概率与统计中的综合问题 专项训练-2026届高三数学一轮复习

概率与统计中的综合问题 一、单项选择题 1.已知随机变量X服从二项分布B(4,p),其期望E(X)=3,随机变量Y服从正态分布N(1,2),若P(Y>0)=p,则P(0<Y<2)=(　　) A. B. C. D. 2.设一个正三棱柱ABC-DEF,每条棱长都相等,一只蚂蚁从上底面ABC的某顶点出发,每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点算一次爬行,若它选择三个方向爬行的概率相等,若蚂蚁爬行10次,仍然在上底面的概率为P10,则P10为(　　) A.·()10+ B.()11+ C.()11- D.·()10+ 3.设随机变量M服从正态分布,且函数f(x)=x2-6x+M没有零点的概率为,函数g(x)=2x2-4x+2M有两个零点的概率为,若P(M>m)=,则m=(　　) A.17 B.10 C.9 D.不能确定 二、填空题 4.甲、乙两位同学进行象棋比赛,采用五局三胜制(当一人赢得三局时,该同学获胜,比赛结束).根据以往比赛成绩,每局比赛中甲获胜的概率都是p(0<p<1),且各局比赛结果相互独立.若甲以3∶1获胜的概率不高于甲以3∶2获胜的概率,则p的取值范围为　　　　　. 5.设随机变量ξ服从二项分布B(5,),则函数f(x)=x2+4x+ξ存在零点的概率是　　　　　. 6.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,得0分的概率为c(a,b,c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的数学期望为2,则的最小值为　　　　　. 三、解答题 7.(13分)为考察某种药物A对预防疾病B的效果,进行了动物(单位:只)试验,得到如下列联表: 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 100 80 s 服用 150 70 220 合计 250 t 400 (1)求s,t; (2)记未服用药物A的动物患疾病B的概率为p,给出p的估计值; (3)根据小概率值α=0.01的独立性检验,能否认为药物A对预防疾病B有效? 附:χ2=. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 8.(15分)某植物园种植一种观赏花卉,这种观赏花卉的高度(单位:cm)介于[15,25],现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量,所得数据统计如右图所示. (1)求a的值; (2)若从高度在[15,17)和[17,19)中分层随机抽样抽取5株,在这5株中随机抽取3株,记高度在[15,17)内的株数为X,求X的分布列及数学期望E(X); (3)以频率估计概率,若在所有花卉中随机抽取3株,求至少有2株高度在[21,25]的条件下,至多1株高度低于23 cm的概率. 9.(15分)随着网络技术的迅速发展,各种购物群成为网络销售的新渠道.在丑橘销售旺季,某丑橘基地随机抽查了100个购物群的销售情况,各购物群销售丑橘的数量(都在100箱到600箱之间)情况如下: 丑橘数量/箱 [100, 200) [200, 300) [300, 400) [400, 500) [500, 600] 购物群数量/个 a 18 a+8 a+20 18 (1)求实数a的值,并用组中值估计这100个购物群销售丑橘总量的平均数(箱). (2)假设所有购物群销售丑橘的数量X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ为(1)中的平均数,σ2=12 100.若参与销售该基地丑橘的购物群约有2 000个,销售丑橘的数量在[266,596)(单位:箱)内的群为“一级群”,销售数量小于266箱的购物群为“二级群”,销售数量大于等于596箱的购物群为“优质群”.该丑橘基地对每个“优质群”奖励1 000元,每个“一级群”奖励200元,“二级群”不奖励,则该丑橘基地大约需要准备多少元? 附:若X服从正态分布X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.997. 10.(15分)2023年,中国新能源汽车销售火爆,A省相关部门调查了该省2023年1月份至10月份的新能源汽车销量情况,得到一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,10),其中xi表示第i个月,yi表示第i个月A省新能源汽车的销量(单位:万辆),由样本数据的散点图可知,y与x具有线性相关关系,并将这10个月的数据作了初步处理,得到下面一些统计量的值: xiyi yi 1.5 89.1 385 15 (1)建立y关于x的线性回归方程,并估计A省12月份新能源汽车的销量. (2)为鼓励新能源汽车销售商积极参与调查,A省汽车行业协会针对新能源汽车销售商开展抽奖活动,所有费用由某新能源汽车厂商赞助.奖项共设一、二、三等奖三个奖项,其中一等奖、二等奖、三等奖分别奖励2万元、1万元、5千元,抽中一等奖、二等奖、三等奖的概率分别为.现有甲、乙两家汽车销售商参加了抽奖活动,假设他们是否中奖相互独立,求这两家汽车销售商所获奖金总额X(单位:万元)的分布列及数学期望. 附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 11.(17分)每天锻炼一小时,健康工作五十年,幸福生活一辈子.某公司组织全员每天进行体育锻炼,订制了主题为“百年风云”的系列纪念币奖励员工,该系列纪念币有A1,A2,A3,A4四种.每个员工每天自主选择“球类”和“田径”中的一项进行锻炼.锻炼结束后员工将随机等可能地获得一枚纪念币. (1)某员工活动前两天获得A1,A4,则前四天恰好能集齐“百年风云”系列纪念币的概率是多少? (2)通过抽样调查发现:活动首日有的员工选择“球类”,其余的员工选择“田径”;在前一天选择“球类”的员工中,次日会有的员工继续选择“球类”,其余的选择“田径”;在前一天选择“田径”的员工中,次日会有的员工继续选择“田径”,其余的选择“球类”.用频率估计概率,记某员工第n天选择“球类”的概率为Pn. ①计算P1,P2,并求Pn. ②该集团公司共有员工1 400人,经过足够多天后,试估计该公司接下来每天各有多少员工参加“球类”和“田径”运动. 12.(17分)某电动车公司为了抢占更多的市场份额,计划加大广告投入.该公司近5年的年广告费xi(单位:百万元)和年销售量yi(单位:百万辆)关系如图所示. 令vi=ln xi(i=1,2,…,5),数据经过初步处理得: yi vi (xi-)2 (yi-) (vi-)2 (xi-)·(yi-) (yi-)·(vi-) 44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06 现有①y=bx+a和②y=nln x+m两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型,其中a,b,m,n均为常数. (1)请从相关系数的角度,分析哪一个模型拟合程度更好? (2)根据(1)的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据,求出y关于x的回归方程,并预测年广告费为6百万元时,产品的年销售量是多少? (3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200元(不含广告费、研发经费).该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入,年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润除受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量ξ影响,设随机变量ξ服从正态分布N(600,σ2),且满足P(ξ>800)=0.3.在(2)的条件下,求该公司年净利润的最大值大于1 000(百万元)的概率.(年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量) 附:①相关系数r=, 回归直线x中公式分别为; ②参考数据:=8.06,≈20.1,ln 5≈1.6,ln 6≈1.8. 答案 1.D　由E(X)=4p=3⇒p=,则P(Y>0)=,则P(0<Y<1)=,则P(0<Y<2)=2P(0<Y<1)= 2.D　由题意,设第n次爬行后仍然在上底面的概率为Pn. ①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有两条路,其概率为Pn-1(n≥2); ②若上一步在下面,则第n-1步不在上面的概率是1-Pn-1(n≥2).如果爬上来,其概率是(1-Pn-1)(n≥2),两种事件又是互斥的,∴Pn=Pn-1+(1-Pn-1),即Pn=Pn-1+, ∴Pn-(Pn-1-),∴数列是以为公比的等比数列,而P1=,∴Pn=()n+,∴当n=10时,P10=()10+,故选D. 3.A　因为函数f(x)=x2-6x+M没有零点,所以36-4M<0,解得M>9,又因为随机变量M服从正态分布,且P(M>9)=,所以正态曲线关于x=9对称,因为函数g(x)=2x2-4x+2M有两个零点,所以16-16M≥0,解得M≤1,则P(M≤1)=,又因为P(M>m)=,所以1与m关于x=9对称,所以m=17. 4.(0,]　由题意可知,甲以3∶1获胜的概率为p1=p2(1-p)p=3p3(1-p),甲以3∶2获胜的概率为p2=p2(1-p)2p=6p3(1-p)2,因为p1≤p2,所以p1-p2=3p3(1-p)[1-2(1-p)]≤0,解得p,故p的取值范围为(0,]. 5　因为函数f(x)=x2+4x+ξ存在零点,所以Δ=42-4ξ≥0,即ξ≤4,又因为随机变量ξ服从二项分布B,所以P(ξ≤4)=1-P(ξ=5)=1- 6.2+　∵一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,得0分的概率为c,a,b,c∈(0,1),他投篮一次得分的期望为2,∴3a+2b=2, (3a+2b)=(2+4)=2+,当且仅当时等号成立, 的最小值为2+ 7.解 (1)由列联表知s=100+80=180,t=80+70=150. (2)由列联表知,未服用药物A的动物有180只,未服用药物A且患疾病B的动物有80只,所以未服用药物A的动物患疾病B的频率为,即未服用药物A的动物患疾病B的概率的估计值为p= (3)零假设为H0:药物A对预防疾病B无效,由列联表得到χ2=6.734>6.635,根据小概率值α=0.01的独立性检验,推断H0不成立,即认为药物A对预防疾病B有效,该推断犯错误的概率不超过0.01. 8.解 (1)依题意可得(0.05+0.075+a+0.15+0.1)×2=1,解得a=0.125. (2)由(1)可得高度在[15,17)和[17,19)的频率分别为0.1和0.15,所以分层抽取的5株中,高度在[15,17)和[17,19)的株数分别为2和3,所以X可取0,1,2. 所以P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=, 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)=0+1+2 (3)从所有花卉中随机抽取3株,记至少有2株高度在[21,25]为事件M,至多1株高度低于23 cm为事件N,则P(M)=,P(MN)=, 所以P(N|M)= 9.解 (1)由题意得a+18+a+8+a+20+18=100,解得a=12.故平均数为(150×12+250×18+350×20+450×32+550×18)=376(箱). (2)由题意,μ=376,σ=110,且266=376-110=μ-σ,596=376+220=μ+2σ,故P(X>596)=P(X>μ+2σ)=(1-0.954)=0.023,所以“优质群”约有2 000×0.023=46(个),P(266≤X<596)=P(μ-σ<X<μ+2σ)=0.683+0.954=0.818 5,所以“一级群”约有2 000×0.818 5=1 637(个),所以需要资金为46×1 000+1 637×200=373 400(元),故至少需要准备373 400元. 10.解 (1)由题意得==5.5,=1.5,=0.08,=1.5-0.08×5.5=1.06,=1.06+0.08x,当x=12时,=2.02,故A省12月份新能源汽车的销量约为2.02万辆. (2)这两家汽车销售商所获得的奖金总额X(单位:万元)可取4,3,2.5,2,1.5,1. P(X=4)=,P(X=3)=2,P(X=2.5)=2,P(X=2)=,P(X=1.5)=2,P(X=1)=, 分布列如下: X 4 3 2.5 2 1.5 1 P 数学期望为 E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=4+3+2.5+2+1.5+1 11.解 (1)设事件E为“他恰好能集齐这四枚纪念币”,由题意,基本事件总数是N=4×4=16个,事件E包含基本事件的个数有n=2×1=2,所以他恰好能集齐这四枚纪念币的概率P(E)= (2)①由题可知P1=,P2=P1+(1-P1)=P1,所以P2=,当n≥2时,Pn=Pn-1+(1-Pn-1)=Pn-1,所以Pn-=-(Pn-1-),又因为P1-,即是以为首项,以-为公比的等比数列, 所以Pn-,所以Pn= ②依题意得,当n足够大时,选择“球类”的概率近似于,假设用ξ表示一天中选择“球类”的人数,则ξ~B,所以E(ξ)=1 400=600,即选择“球类”的人数的期望为600,选择“田径”的人数的期望为800. 12.解 (1)设模型①和②的相关系数分别为r1,r2. 由题意可得r1=0.97, r2==1. 所以|r1|<|r2|,由相关系数的相关性质可得,模型②的拟合程度更好. (2)因为=5,vi=0.96,yi=8.8,得m=-5=8.8-0.96×5=4, 所以y=5v+4,即回归方程为y=5ln x+4.当x=6时,y=5ln 6+4≈13, 因此当年广告费为6百万元时,产品的销售量大概是13百万辆,即1 300万辆. (3)净利润为200×(5ln x+4)-200x-ξ(x>0),令g(x)=200×(5ln x+4)-200x-ξ,所以g'(x)=-200.可得y=g(x)在(0,5)上为增函数,在(5,+∞)上为减函数. 所以g(x)max=g(5)=200×(5ln 5+4-5)-ξ≈1 400-ξ,由题意得1 400-ξ>1 000,即ξ<400,P(ξ<400)=P(ξ>800)=0.3,即该公司年净利润大于1 000百万元的概率为0.3. 学科网（北京）股份有限公司 $