第4章 融合创新2 三角中的融合创新问题（Word练习）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（人教A版）

**基本信息** 聚焦解三角形综合应用，以基础题型为载体，逐步过渡到新概念拓展，构建从三角函数化简到特殊三角形性质探究的递进式训练体系，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数化简与最值|1题|函数最值求解及三角形应用|三角恒等变换→函数性质→解三角形基础| |解三角形基础应用|2题|边角关系证明与几何量计算|正弦定理/余弦定理→边角互化→面积与长度计算| |特殊三角形性质探究|3-4题|新概念（布洛卡点/倍角三角形）证明与综合应用|基础定理→拓展概念→逻辑推理与数学建模|

[对应学生用书P363] 说明：本试卷共64分． 1．(15分)设函数f(x)＝cos ＋2cos2x. (1)求f(x)的最大值，并写出使f(x)取最大值时x的集合； (2)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝，b＋c＝2，求a的最小值． 解析　(1)由题意得f(x)＝－cos2x－sin 2x＋(1＋cos 2x)＝cos 2x－sin 2x＋1 ＝cos ＋1， ∵－1≤cos ≤1，∴0≤cos ＋1≤2， ∴f(x)的最大值为2，此时2x＋＝2kπ，k∈Z，即x＝kπ－，k∈Z， 所以x的集合为. (2)由题意得f(A)＝cos ＋1＝， ∴cos ＝， ∵A∈(0，π)，∴2A＋∈，∴2A＋＝，∴A＝. 在△ABC中，b＋c＝2，cos A＝－，由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2＋bc＝(b＋c)2－bc， 又bc≤＝1，∴a2＝(b＋c)2－bc≥4－1＝3，当且仅当b＝c＝1时等号成立，∴a的最小值为. 2．(15分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＋c＝2b cos A. (1)证明：B＝2A； (2)设D为BC边上的中点，点E在AB边上，满足·＝·，且b＝a，四边形ACDE的面积为，求线段CE的长． 解析　(1)证明　由正弦定理得sin A＋sin C＝2sin B cos A⇒sin A＋sin (A＋B)＝2cos A sin B ⇒sin A＋sin A cos B＋cos A sin B＝2cos A sin B⇒sin A＝cos A sin B－sin A cos B⇒sin A＝sin (B－A)， ∵A，B∈(0，π)，∴A＝B－A，∴B＝2A. (2)由·＝·⇒·＝0. ∴DE⊥AB，＝＝＝＝2cos A，∴cos A＝＝＝， ∴A＝，B＝，C＝，∴BE＝DB cos B＝a， DE＝DB sin B＝a，AB＝2a，AC＝a， ∴AE＝AB－BE＝2a－a＝a， 而四边形ACDE的面积S＝S△ACD＋S△AED＝×a×＋××＝a2， ∴a2＝⇒a＝2， 由余弦定理得CE＝＝＝. 3．(17分)三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意.1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．当△ABC内一点P满足条件∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝θ时，则称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为布洛卡角．如图，在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为θ. (1)若θ＝30°.求证： ①a2＋b2＋c2＝4S△ABC(S△ABC为△ABC的面积)； ②△ABC为等边三角形． (2)若A＝2θ，求证：sin2A＝sinB sin C. 证明　(1)①若θ＝30°， 则S△ABC＝S△PAB＋S△PBC＋S△PAC＝c·AP sin θ＋a·BP sin θ＋b·CP sin θ ＝sin θ＝， 所以c·AP＋a·BP＋b·CP＝4S△ABC， 在△PAB，△PBC，△PAC中，分别由余弦定理得 BP2＝c2＋AP2－2c·AP cos θ， CP2＝a2＋BP2－2a·BP cos θ， AP2＝b2＋CP2－2b·CP cos θ， 三式相加整理得2cos θ ＝a2＋b2＋c2， 即×4S△ABC＝a2＋b2＋c2， 所以a2＋b2＋c2＝4S△ABC. ②由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A， 则a2＋b2＋c2－4S△ABC＝2b2＋2c2－2bc cos A－4S△ABC ＝2b2＋2c2－2bc cos A－2bc sin A＝2b2＋2c2－4bc sin ≥4bc－4bc＝0， 当且仅当b＝c且sin ＝1时等号成立， 有A∈，所以A＋∈，所以A＋＝，所以A＝， 即当且仅当b＝c且A＝时等号成立， 即当且仅当△ABC为等边三角形时等号成立， 所以a2＋b2＋c2≥4S△ABC，当且仅当△ABC为等边三角形时等号成立， 又由①知a2＋b2＋c2＝4S△ABC， 所以△ABC为等边三角形． (2)由(1)得S△ABC＝sin θ， 所以c·AP＋a·BP＋b·CP＝. 因为a2＋b2＋c2＝2cos θ， 所以a2＋b2＋c2＝2cos θ·＝2cos θ·＝4bc cos2θ， 又由余弦定理可得b2＋c2＝a2＋2bc cos2θ＝a2＋2bc， 所以2a2＋2bc＝4bc cos2θ， 所以a2＝bc，所以a2＝bc， 由正弦定理可得sin2A＝sinB sin C． 4．(17分)定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形．如图，△ABC的面积为S，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin C＝. (1)证明：△ABC是倍角三角形； (2)若c＝9，当S取最大值时，求tan B. 解析　(1)证明　因为sin C＝＝＝，又sin C≠0，所以＝1，则b2＝c2－ab， 又由余弦定理知，b2＝a2＋c2－2ac cos B，故可得2c cos B＝a＋b， 由正弦定理，2sin C cos B＝sin A＋sin B. 又sin A＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C， 代入上式可得sin C cos B＝sin B cos C＋sin B， 即sin C cos B－sin B cos C＝sin B， sin (C－B)＝sin B， 则有C－B＝B，C＝2B或C－B＋B＝π(舍去)， 故△ABC是倍角三角形． (2)因为C＝2B，所以A＝π－B－C＝π－3B>0， 故0<B<，则tan B∈(0，)，又c＝9， 又＝，则a＝＝＝， 则S＝ac sin B＝a sin B ＝××sin B＝× ＝× ＝(sin 2B＋cos 2B tan B) ＝ ＝×， 设x＝tan B∈(0，)，f(x)＝， 则f′(x)＝ ＝， 令f′(x)＝0得 x2＝2－3或x2＝－2－3(舍)， 且当0<x2<2－3时，f′(x)>0， 当2－3<x2<3时，f′(x)<0， 则f(x)在(0, )上单调递增， 在(，)上单调递减， 故当x＝时，f(x)取最大值，此时S也取最大值，故tan B＝为所求． 学科网（北京）股份有限公司 $