4.3用一元一次方程解决问题（知识梳理+同步练习）2026-2027学年苏科版七年级上册数学

**基本信息** 聚焦一元一次方程应用题，通过基础巩固、技巧提升、综合应用三层设计，实现从单一模型到实际问题解决的进阶，培养模型意识与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|和差倍分、行程等基本模型|10道单选题，直接考查等量关系建立，强化解题五步规范| |提升层|间接设元、分类讨论|10道填空题，涉及数字问题、分段计费，训练设元技巧与实际检验| |综合层|多模型融合与实际应用|6道解答题，结合古代数学问题、工程利润综合题，提升复杂情境问题解决能力|

4.3用一元一次方程解决问题（知识梳理+同步练习） 知识梳理 一、列方程解应用题核心思路 通过分析实际问题中的等量关系，设未知数、列一元一次方程，解方程得到实际问题答案。核心：找等量关系。 二、解题标准五步 1. 审：审题：读懂题意，梳理已知量、未知量，找出题目中的不变量、等量关系。 2. 设：设未知数：一般求什么设什么；复杂题型可设间接未知数，注意带单位。 3. 列：列方程：根据等量关系，列出规范一元一次方程。 4. 解：解方程：按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1步骤求解。 5. 答：检验作答：检验解是否符合方程、符合实际意义，舍去不合理的解，规范写答。 三、常见等量关系模型 1. 和差倍分问题 大数=小数×倍数±差；总和=各部分量之和，是基础题型。 2. 行程问题 基本公式： 相遇问题：路程和=总路程；追及问题：路程差=初始距离。 3. 工程问题 总工程看作单位1，工作总量=工作效率×工作时间，合作效率=各效率之和。 4. 利润折扣问题 利润=售价-进价；利润率=；售价=标价×折扣。 5. 配比、计费、数字问题 分段计费：不同区间收费标准不同，分段计算求和；数字问题抓住数位关系列式。 四、设未知数技巧 1. 直接设元：题目所求量单一，直接设所求量为。 2. 间接设元：直接列式复杂，设中间变量，求出后再求题目所求量。 3. 设小不设大：优先设较小量、基础量，方便列式计算。 五、应用题检验核心要求 1. 代数检验：代入方程，验证左右相等。 2. 实际检验：人数、物品数量、长度等必须为正数、整数，不符合实际直接舍去。 同步练习 一、单选题 1．（2026·浙江·中考真题）2026年“吴越杯”浙江省城市足球联赛开赛，规定胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某队在10场比赛中负了2场，共积20分，求该队的胜场数．设该队胜了x场，则x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27六年级上·上海长宁·开学考试）“神舟十三号”航天员乘组在空间站组合体工作生活了183天，刷新了中国航天员单次飞行任务太空驻留时间的纪录，比“神舟十二号”航天员乘组在空间站组合体工作生活时长的2倍还多3天．如果用“x”表示“神舟十二号”航天员乘组在空间站组合体工作生活的天数，那么解决“神舟十二号”航天员乘组在空间站组合体工作生活的天数这个问题，下面所列方程中不正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）某商店将一种商品按标价的七五折出售，仍可获利.  若该商品的进价为元，则标价为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．（25-26七年级下·贵州六盘水·期末）洛书是中国古代流传下来的神秘图案，又称脉络图、龟书，被认为是表述天地空间变化脉络的图案，在今天看来它就是一个三阶幻方．如图1，是由九个数字组成的三阶幻方，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和都为15．如图2，是一个未完成的三阶幻方，要使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（25-26七年级上·河南郑州·期中）某市为节约用水，制定了如下标准：用水不超过20吨，按每吨1.2元收费，超过20吨，则超出部分按每吨1.5元收费，小明家六月的平均水费是每吨1.25元，那么小明家六月应缴水费（     ） A．36元 B．30元 C．24元 D．22元 6．（25-26七年级下·吉林·期末）《九章算术》中有如下题：原文是“今有人共买鸡，人出八，盈十；人出六，不足十四．问人数、鸡价各几何？”意思是：有若干人凑钱合伙买鸡，如果每人出8文钱，多出10文钱；如果每人出6文钱，还差14文钱．问买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设有人共同买鸡，根据题意，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 7．（26-27七年级上·河南郑州·开学考试）一场知识挑战赛共有20题，答对一题得5分，答错一题扣2分，未答一题扣1分．小宇答错的题数是未答题数的2倍，最后得60分．他答对了（     ）题 A．11 B．12 C．13 D．14 8．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图是2025年10月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数（例如图中框住的五个数分别为5、7、13、19、21），对于框架框住的五个数字之和，计算结果不可能是（     ） A．75 B．100 C．115 D．120 10．（25-26六年级下·上海·开学考试）已知三位数3□2正好是三个连续自然数的和，□里的数字可能是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 11．（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）如果把数字6写在一个数的个位数字后面，得到的新数比原数增加了6000，原来的数是_________． 12．（26-27七年级上·河南郑州·开学考试）如图，某校的饮水机有温水和开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．已知温水的流速为20毫升/秒，开水的流速为15毫升/秒．小美先后接了一些温水和开水共220毫升，一共用了12秒（接开水和温水之间的时间差忽略不计）．则小美接开水用了______秒． 13．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）已知A、B两地相距，甲车从A地出发开往B地，同时乙车从B地开往A地，甲车的速度是，乙车的速度是，出发_________小时两车相距． 14．（25-26七年级下·浙江杭州·开学考试）如图有两个面积相等的长方形，重叠后得到图形．图形中的长度是( )，图形的周长是( )． 15．（26-27七年级上·河南郑州·开学考试）某车间计划加工一批产品，如果每小时加工产品10个，就可以在预定时间完成任务；实际加工两个小时后，提高了加工速度，每小时多加工2个，结果提前1小时完成了任务．那么这批产品一共有____个． 16．（25-26六年级下·山东泰安·期中）为传承清明文化、缅怀先辈，某班以小组为单位，精心布置清明节主题黑板报．甲组单独布置需小时，乙组单独布置需小时，如果甲、乙两组合作了小时后，因甲组另有任务，剩下的任务由乙组单独完成，若设乙单独完成剩下的任务还需要小时，则可列方程为______________________． 17．（25-26七年级下·吉林长春·期末）汝窑是宋代五大名窑之首，在中国陶瓷史上素有“汝窑为魁”之称．某汝窑瓷器工厂烧制茶具，每套茶具由个茶壶和只茶杯组成．用千克瓷泥可做个茶壶或只茶杯，现要用千克瓷泥制作茶具，设用x千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套．根据题意，可列方程为________． 18．（25-26六年级下·山东威海·期末）用一根长为的铁丝围成一个长方形，若这个长方形的长比宽的2倍少，则这个长方形的面积是__________． 19．（2026·江西南昌·二模）南昌市胜利路蜜雪冰城推出营销活动，每人限购1杯，价格如图，已知某团体中购买茉莉奶绿的人数是蜜桃四季春的2倍，而买新鲜冰淇淋的人数是买蜜桃四季春的一半，共花费80元，则这个团体共有________人． 20．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，已知等边三角形的边长为，有一点P从点A出发沿的方向以的速度匀速移动，另有一点Q从点B出发沿的方向以的速度匀速移动，若点P、Q同时出发，经过 ________ 秒后，两点第2次同时到达等边三角形的同一顶点． 三、解答题 21．（26-27七年级上·辽宁鞍山·开学考试）某水果店运来苹果和梨一共340千克，苹果卖出四分之一，梨卖出三分之一后，剩下的苹果、梨质量恰好相等．水果店原来运来苹果、梨各多少千克？ 22．（26-27七年级上·全国·课后作业）某航空公司规定：乘坐飞机经济舱的旅客每人最多可免费托运行李，超出部分每千克按经济舱全票价的计费．一名经济舱旅客托运了行李，行李费连同八折机票共付1107元，求该旅客机票的全票价． 23．（26-27七年级上·全国·课后作业）今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问：家数、牛价各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱．家数、牛价各是多少？ 24．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）某市出租车的收费标准是：行程不超过3千米起步价为10元，超过3千米后每千米增收1.8元．某乘客乘坐出租车千米． (1)请用关于的代数式表示当时该乘客的付费． (2)如果该乘客坐了8千米，应付费多少元？ (3)如果该乘客付费26.2元，他乘坐了多少千米？ 25．（26-27七年级上·广西南宁·开学考试）某地区有A、B两家票务中心售卖机票，优惠活动如下： A票务中心：机票按原价打七五折销售，每张票额外加收手续费35元； B票务中心：机票按原价优惠，免收任何手续费． (1)张老师从潍坊飞往成都，机票原价为930元．在哪家票务中心购票实际付款更少？请计算说明； (2)李叔叔要从潍坊飞往某地，他核算后发现两家票务中心购票实付款一样多，请算一算这张飞机票原价是多少元？ 26．（25-26六年级下·上海·期末）某企业聘用甲、乙两队完成一项工程，已知乙队单独完成这项工程需天，甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的倍．如果甲、乙两队先合作天，接着甲队因故停工天（乙队不停工），后继续与乙队合作完成剩下的工程． (1)甲队单独完成这项工程需要 天． (2)完成这项工程总共用了多少天？ (3)该企业为了这项工程一共支付万元的费用．如果你是决策者，你会将这笔费用如何分配给甲、乙两队？请设计一个分配的方案，并说明分配的依据． 试卷第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B C B B D B D B 1．B 【详解】解：总比赛10场，负2场，胜场，则平场，胜场总积分为分，平场总积分为分， ∵总积分为20分， ∴． 2．C 【详解】解：由题可列方程为：， 可变形为或． 3．B 【详解】解：设该商品的标价为元， 根据题意，可列方程：， 解得， ∴商品的标价为元． 4．C 【详解】解：由题意得，， 解得， 由题意得，， ∴， 解得． 5．B 【详解】解：设小明家六月用水吨， ∵， ∴ 由题意得 去括号得， 移项合并得 解得 应缴水费为元． 6．B 【详解】解：设有人共同买鸡． ∵每人出8文，多出10文， ∴鸡价可表示为， ∵ 每人出6文，还差14文， ∴ 鸡价可表示为， ∴ 可列方程为． 7．D 【详解】解：设未答题数为道，则答错题数为道，答对题数为道， 根据题意可得， 解得：， 故答对题数为． 8．B 【详解】解：设车有辆． 每车坐3人且两车空时，总人数为． 每车坐2人且9人无车坐时，总人数为． 由总人数相等得． 9．D 【详解】解：设中间一个数为x，则其余四个数分别为：，，，，则5个数的和为：， 当五个数字之和为75时，， 解得：， 即中间一个数为15，其余四个数为：7，9，21，23， ∴五个数字之和能为75，故A不符合题意； 当五个数字之和为100时，， 解得：， 即中间一个数为20，其余四个数为：12，14，26，28， ∴五个数字之和能为100，故B不符合题意； 当五个数字之和为115时，， 解得：， 即中间一个数为23，其余四个数为：15，17，29，31， ∴五个数字之和能为23，故C不符合题意； 当五个数字之和为120时，， 解得：， 即中间一个数为24，其余四个数为：16，18，30，32， ∵日历中不存在32， ∴五个数字之和不可能为120，故D符合题意． 10．B 【详解】设□里的数字为，该三位数各位数字之和为，需要是3的倍数， ∵ 当时，，8不是3的倍数，A不符合； 当时，，9是3的倍数，B符合； 当时，，不是3的倍数，C不符合； 当时，，不是3的倍数，D不符合． 11．666 【详解】解：设原来的数为， ∵把数字写在原数个位后，新数为，新数比原数增加 ∴列方程得 整理得 解得 ∴原数为666． 12． 【详解】解：设小美接开水用了x秒，则接温水用了秒， 根据题意，得， 解得， 答：小美接开水用了4秒． 13．1或 【详解】解：设出发小时后两车相距， 分两种情况讨论：当相遇前两车相距时， 根据题意得， 解得； 当相遇后两车相距时， 根据题意得， 解得； 综上，出发小时或小时两车相距． 14． 8 【详解】解：∵两个长方形的面积相等 ∴ 解得； ∴图形的周长是． 15．80 【详解】解：设预定小时完成任务，产品总数为个， ∵实际先加工2小时，已经完成个，提高速度后每小时加工个，结果提前1小时完成， ∴提高速度后加工的时间为小时， 根据产品总数量相等列方程：， 解得， ∴产品总数为个． 16． 【详解】解：设乙单独完成剩下的任务还需要x小时， 由题意得∶ ． 17． 【详解】解：设用千克瓷泥做茶壶，则剩余千克做茶杯， 千克瓷泥做个茶壶，千克共做个茶壶， 千克瓷泥做只茶杯，千克共做只茶杯， 每套茶具需要个茶壶、只茶杯， 代入得方程：． 18．20 【详解】解：设这个长方形的宽为，则长为， 由题意可得：， 解得：， ， 这个长方形的面积是：． 19．14 【详解】解：设购买蜜桃四季春的人数为人．则购买茉莉奶绿的人数为人，购买新鲜冰淇淋的人数为人，根据共花费80元列方程求解即可． 由图可知，茉莉奶绿单价6元，蜜桃四季春单价7元，新鲜冰淇淋单价2元． 根据题意，得， 整理，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 所以这个团体共有人． 20．30 【详解】解：设点P、Q同时出发，经过秒后两点第1次同时到达等边三角形的同一顶点， 由题意得，， 解得； 设再经过y秒后两点第2次同时到达等边三角形的同一顶点， 由题意得，， 解得， ， 即经过 30秒后，两点第2次同时到达等边三角形的同一顶点． 21．水果店原来运来苹果160千克，梨180千克 【详解】解：设水果店原来运来苹果x千克，则运来梨千克， 根据题意，得 （千克） 答：水果店原来运来苹果160千克，梨180千克． 22．该旅客机票的全票价为1080元． 【详解】解：设机票的价格为x元． 根据题意可得：， 解这个方程，得． 答：这名旅客的机票全票价为1080元． 23．家数为126，牛价为3750钱． 【详解】解：设牛价为x钱， 由题意得，， 解得， ∴， 答：家数为126，牛价为3750钱． 24．(1)元 (2)乘客坐了8千米，应付费19元 (3)他乘坐了12千米 【详解】（1）解：当行程超过3千米即时，收费为：元． （2）解：当时，（元）． 答：乘客坐了8千米，应付费19元． （3）解：设他乘坐了千米， 由题意得：，解得． 答：他乘坐了12千米． 25．(1)在A票务中心购票实际付款更少， 理由：（元）， （元）， （元）， ， 所以在A票务中心购票实际付款更少； (2)这张飞机票原价是700元． 【详解】（1）(1)在A票务中心购票实际付款更少， 理由：（元）， （元）， （元）， ， 所以在A票务中心购票实际付款更少； （2）解：设飞机票原价是元， 根据题意，得， 解得， 答：这张飞机票原价是700元． 26．(1) (2)完成这项工程总共用了天． (3)分配方案：甲队分得万元，乙队分得万元．分配依据：按两队完成的工作量占总工作量的比例分配，多劳多得． 【详解】（1）解：（天）， 故甲队单独完成这项工程需要天． （2）解：设甲队复工后，两队继续合作天完成剩余工程．则 ， 解得， （天）， 答：完成这项工程总共用了天． （3）解：∵甲实际工作天数（天）， ∴甲完成工作量， ∵乙实际工作天数为天， ∴乙完成工作量， ∴甲队费用（万元），乙队费用（万元）， ∴分配方案：甲队分得万元，乙队分得万元．分配依据：按两队完成的工作量占总工作量的比例分配，多劳多得． $