4.3用一元一次方程解决问题 题型分类解答题专题训练 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程应用，按行程、销售、配套分类，分层设计基础、巩固、提升题，实现从单一建模到综合应用的知识巩固，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一问题方程建立|如行程问题只列方程，销售问题求单价| |巩固|实际情境方程求解|如含损耗的销售利润计算，简单配套问题| |提升|复杂情境综合应用|如多次相遇、多零件配套及利润优化问题|

4.3用一元一次方程解决问题 题型分类解答题专题训练 一、行程问题 1．一辆汽车和一辆摩托车同时从甲，乙两地相对开出，摩托车每小时行54千米，汽车每小时行48千米．两车相遇后又以原来的速度继续前进．摩托车到甲地立即返回，汽车到乙地立即返回．两车在距离中点108千米的地方再次相遇，那么甲，乙两地的路程是多少千米？ 2．甲，乙周末骑自行车去郊外游玩，甲从A地出发沿直线匀速前往B地，乙在甲前面1千米处沿相同路线同时出发前往B地．甲的速度比乙的速度的2倍少7千米/小时，他们出发分钟后，甲追上乙．若甲追上乙后，甲的速度立即提高7千米/小时快速到达B地．到达B地后休息分钟．再沿原路以提速后的速度返回，乙仍按原速前往B地，结果两人在距离B地2千米处再次相遇，求A、B两地的距离． 3．甲骑车以12千米/时的速度从A地前往B地，同时乙步行以4千米/时的速度从B地前往A地，乙出发后小时遇到甲，相遇后二人继续前进，甲到达B地后休息了半小时立即返回A地，问甲离开B地多少小时后才能追上乙？ 4．为做好赛事保障工作，甲、乙两辆赛事保障车对一条坡道进行巡逻检查，上、下坡时全程匀速．已知甲车从坡底行驶到坡顶用时3分钟，从坡顶行驶到坡底用时2分钟，甲车下坡比上坡每分钟多行驶300米，若两车上坡、下坡的速度分别相同． (1)求坡道的长度； (2)若甲车在坡顶，乙车在坡底，甲、乙两车同时出发相向而行，经过多久两车相距300米？ 5．甲、乙两人分别从相距30km的两地骑车相向而行，甲骑车的速度是，乙骑车的速度是．甲先出发25min后，乙骑车出发，则乙出发多少小时后两人相遇（只列方程）？ 6．一辆汽车从甲城开往乙城6小时到达，返回时减慢了速度，每小时比原来少行5千米，结果用了8小时就回到了甲城，求甲城到乙城的路程有多少千米？ 二、销售盈亏问题 7．某超市用4000元购进了甜柿和三华李各200千克，三华李的进价比甜柿的进价每千克多10元． (1)甜柿和三华李的进价分别是每千克多少元？ (2)受天气影响，在运输过程中三华李损耗了，若三华李的售价为每千克20元，要使此次销售获利不少于2100元，则甜柿的售价为最少应为多少元？ 8．某水果店以5元的价格购进了一批玉屏黄桃，由于销售情况良好，该店又以4.5元的价格再次购进一批玉屏黄桃，该水果店两次共购进玉屏黄桃，共用去2800元． (1)求该水果店两次分别购进了多少千克玉屏黄桃？ (2)在销售中，尽管两次进货的价格不同，但该水果店仍以相同的价格售出，且在销售过程中支出其他费用共350元．若该水果店售完这些玉屏黄桃后共获得1650元的利润，则该水果店每千克玉屏黄桃的售价是多少元？ 9．水果超市以30元/箱的价格从哈达批发市场购进8箱苹果，若以每箱苹果净重25千克为标准，超过千克数记为正数，不足千克数记为负数，称重后记录如下： (1)这8箱苹果一共重多少千克? (2)若把这些苹果全部以零售的形式卖掉，超市计划共获利，那么在销售过程中苹果的单价应定为每千克多少元? (3)在实际销售过程中，超市预计苹果最终会有的损耗，若超市仍想获利，那么在销售过程中苹果的单价应定为每千克多少元? 10．为增强体质，加强体育锻炼，学校计划拿出不超过4000元的资金购买一批篮球和排球，已知篮球和排球的单价比为．单价和为180元． (1)篮球和排球的单价各是多少元？ (2)若要求购买的篮球和排球的总数量为42个，且购买的排球数不多于12个，有哪几种购买方案？ (3)在所有的购买方案中，哪种方案花钱最少？ 11．某商场用2750元购进A，B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价，标价如下表所示： 类型 A型 B型 进价（元/盏） 40 65 标价（元/盏） 60 100 (1)这两种台灯各购进多少盏？ (2)若A型台灯按标价的9折出售，B型台灯按标价的8折出售，那么这批台灯全部售出后，商场共获利多少元？ (3)远东二中准备用1560元，按进价购买A型、B型台灯（两种型号均购买），刚好1560元全部用完，那么学校有哪几种购买方案？ 12．水果批发商进口一种高档水果，售出水果每千克盈利（毛利润）元，每天可售出千克，经市场调查后发现，在进价不变的情况下，若每千克售价降低1元，每天多售出千克． (1)若以每千克盈利元的价钱出售，能卖出多少千克？ (2)若以每千克盈利元的价钱出售，此时能盈利多少元？ (3)若水果店要保证每天销售这种水果的毛利润为元，同时又要价格尽可能低，则每千克水果应降价多少元？ 三、配套问题 13．“机器人”的研发和运用，有效地节省了劳动力．某制造“机器人”的车间有28名工人，每人每天可以生产“机器人”的机壳500个或机脚800个．1个机壳需要配4个机脚，为使每天生产的机壳和机脚刚好配套．应安排生产机壳和机脚的工人各多少名？ 14．某服装厂要生产同一种型号的服装，已知3m长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套． (1)列一元一次方程解决问题：现库内存有布料200m，应如何分配布料做上衣和做裤子才能恰好配套？可以生产多少套衣服？ (2)如果恰好有这种布料327m，最多可以生产多少套衣服？本着不浪费的原则，如果有剩余，余料可以做几件上衣或裤子？ 15．一个车间每天生产甲种零件个或生产乙种零件个或生产丙种零件个．从3种零件中各取一个配套使用，现在要在天之内生产产品配套，则三种零件各需安排生产多少天？ 16．某工厂有28名工人生产零件和零件，每人每天可生产零件18个或零件12个（每人每天只能生产一种零件），一个零件配两个零件.工厂将零件批发给商场时，每个零件可获利10元，每个零件可获利5元. (1)若每天生产的零件和零件恰好配套，求该工厂每天有多少工人生产零件？ (2)因市场需求，该工厂每天在生产配套的零件外，还要多生产出一部分零件供商场零售.在（1）的人员分配情况下，现从生产零件的工人中调出多少名工人生产零件，才能使每天生产的零件全部批发给商场后总获利为3120元？ 17．七年级1班共有学生45人，其中男生比女生少3人．某节课上，老师组织同学们做圆柱形笔筒．每名学生每节课能做筒身30个或筒底90个． (1)七年级1班有男生、女生各多少人？ (2)原计划女生负责做筒身，男生做筒底，要求每个筒身匹配2个筒底，那么每节课做出的筒身和筒底配套吗？如果不配套，男生要支援女生几人，才能使筒身和筒底配套？（列方程解决问题） 18．某校七年级（2）班共有42名学生，在一节科技活动课上作长方体纸盒，已知每名同学一节课可制作盒身20个或盒盖30个，一个盒身和两个盒盖配成一个长方体纸盒．为使一节课制作的盒身、盒盖刚好配套，应安排制作盒身和盒盖的同学各多少名？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．甲，乙两地的路程是千米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲，乙两地的路程是千米，根据两车所用时间相同建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设甲，乙两地的路程是千米， 第二次相遇时，两车共行驶了3个全程，即千米。相遇点距中点108千米，由于摩托车速度快，其行驶路程应超过两车行驶总路程的一半，可推得摩托车行驶了千米，即千米，同理汽车行驶了千米 根据题意可得：， 解得， 答：甲，乙两地的路程是千米． 2． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设乙的速度是千米小时，则甲原速是千米小时，利用路程之差速度之差时间，可列出关于的一元一次方程，解之可得出甲、乙的速度；设，两地的距离为千米，利用时间路程速度，结合甲比乙少用分钟（甲休息了分钟），可列出关于的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：设乙的速度是千米小时，则甲原速是千米小时， ， ， 千米小时， 设，两地的距离为千米，根据题意得： ， 解得：． 答：，两地的距离为千米． 3．甲离开B地小时后才能追上乙 【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 设甲离开B地x小时后才能追上乙，根据题意列出方程，再解方程即可． 【详解】解：设甲离开B地x小时后才能追上乙，依题意，得 ， 解得 答：甲离开B地小时后才能追上乙． 4．(1)坡道的长度为1800米 (2)经过1分钟或1.4分钟后两车相距300米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用——上下坡问题．熟练掌握路程与速度和时间的关系列方程，是解题的关键． （1）设上坡时的速度为米／分钟，坡道长度为米，则下坡时的速度为米／分钟．根据从坡底行驶到坡顶用时3分钟，从坡顶行驶到坡底用时2分钟，列二元一次方程组解答； （2）利用第（1）问求出的速度，设经过分钟后两车相距300米，分①相遇之前，②相遇之后，列方程解答. 【详解】（1）解：设上坡时的速度为米／分钟，坡道长度为米，则下坡时的速度为米／分钟． 根据题意，得解得 答：坡道的长度为1800米． （2）解：由（1）可知甲、乙两车上坡的速度为600米／分钟，下坡的速度为（米／分钟）． 设经过t分钟后两车相距300米， ①相遇之前：，解得； ②相遇之后：，解得． 答：经过1分钟或1.4分钟后两车相距300米． 5． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 设乙出发小时后两人相遇，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】解：设乙出发小时后两人相遇， 依题意得： 6．120 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决行程问题，解题的关键是理解题意，找准等量关系． 设原来的速度为，则返回时的速度为，根据来回路程相等，列出方程求解即可． 【详解】解：设原来的速度为，则返回时的速度为，根据题意得， 解得， ∴（千米） 答：甲城到乙城的路程有120千米． 7．(1)甜柿的进价是每千克5元，则三华李的进价是每千克15元 (2)甜柿的售价最少应为12.5元 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程和不等式是解题的关键： （1）设甜柿的进价是每千克x元，根据用4000元购进了甜柿和三华李各200千克，三华李的进价比甜柿的进价每千克多10元，列出方程进行求解即可； （2）设甜柿的售价为a元，根据此次销售获利不少于2100元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设甜柿的进价是每千克x元，则三华李的进价是每千克元，依题意，得 解得 此时； 答：甜柿的进价是每千克5元，则三华李的进价是每千克15元． （2）解：设甜柿的售价为a元，依题意，得 ， 解得； 答：甜柿的售价最少应为12.5元． 8．(1)第一次购进了玉屏黄桃，第二次购进了玉屏黄桃 (2)8元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． （1）设第一次购买了千克玉屏黄桃，则第二次购买了千克玉屏黄桃，根据两次购买的总费用为2800元建立方程求解即可； （2）设该水果店每千克售价应定为元，根据利润等于总销售额减去总成本建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设该水果店第一次购进了玉屏黄桃，则第二次购进了玉屏黄桃， 由题意，得 解得， ∴． 答：该水果店第一次购进了玉屏黄桃，第二次购进了玉屏黄桃． （2）解：设该水果店每千克玉屏黄桃的售价是m元， 由题意，得， 解得． 答：该水果店每千克玉屏黄桃的售价是8元． 9．(1)一共重192千克； (2)在销售过程中苹果的单价应定为每千克1.5元； (3)在销售过程中苹果的单价应定为每千克2元 【分析】本题考查正数和负数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，正确的列出相应的方程求解． （1）先计算8箱苹果与标准重量的偏差总和，再与标准总重量相加得到实际总重量； （2）设在销售过程中苹果的单价应定为每千克x元，根据“售价﹣进价＝利润”列出方程计算，即可得到答案； （3）考虑损耗后的实际销售重量，再根据“售价﹣进价＝利润”列出方程，列方程计算，即可得到答案． 【详解】（1）解： （千克）， （千克） 这箱苹果一共重192千克； （2）设在销售过程中苹果的单价应定为每千克x元，根据题意，得： 解这个方程得：， 所以在销售过程中苹果的单价应定为每千克1.5元； （3）设销售过程中苹果单价为每千克y元，根据题意，得： 解这个方程得：， 所以销售过程中苹果单价应定为每千克2元． 10．(1)篮球的单价是100元，排球的单价80元． (2)一共有3种方案，分别为：①购买篮球32个，排球10个；②购买篮球31个，排球11个；③购买篮球30个，排球12个． (3)方案③购买篮球30个，排球12个花钱最少． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等与不等关系是解题的关键． （1）根据题意可设篮球和排球的单价分别为元和元，然后根据单价和为180元可得关于x的方程，解方程即可求出结果； （2）设购买排球个，则购买篮球个，根据购买的排球数不多于12个和购买资金不超过4000元可得关于m的不等式组，解不等式组即可求出m的范围，进一步即可求得整数m的具体值，进而可得结果． （3）分别算出三种方案的花费，然后比较即可． 【详解】（1）解：设篮球和排球的单价分别为元和元， 依题意得：， 解得， 即，， 答：篮球的单价是100元，排球的单价80元． （2）解：设购买排球个，则购买篮球个， 由题意得：， 解得：， 因为m只能取整数，所以m的值可以为：10、11、12， ∴一共有3种方案，分别为：①购买篮球32个，排球10个；②购买篮球31个，排球11个；③购买篮球30个，排球12个． （3）解：方案①的花费为：（元）； 方案②的花费为：（元）； 方案③的花费为：（元）， ∴方案③购买篮球30个，排球12个花钱最少． 11．(1)A型台灯20盏，B型台灯30盏 (2)730元 (3)有两种购买方案：方案一：购进型台灯26盏，B型台灯8盏：方案二：购进型台灯13盏，B型台灯16盏 【分析】此题考查了一元一次方程及二元一次方程的应用，是利用方程求解实际问题的题目，解题的关键是找到等量关系． （1）根据题意可得等量关系：、两种新型节能台灯共50盏，种新型节能台灯的台数种新型节能台灯的台数元；设型台灯购进盏，型台灯购进盏，列方程即可求得； （2）根据题意列出代数式进行解答即可． （3）设购进型台灯盏，购进型台灯盏．则，化简得，再求解即可． 【详解】（1）解：设购进型台灯盏，则购进型台灯盏． 根据题意，得， ， （盏， 答：购进型台灯20盏，购进型台灯30盏． （2）解：这批台灯全部售出后，商场共获利（元， 答：这批台灯全部售出后，商场共获利730元． （3）解：设购进型台灯盏，购进型台灯盏． 则， 化简得． 因为均为正整数，所以必须是8的倍数． 当时，； 当时，； 当时，（不符合两种型号均购买，舍去）． 所以学校有2种购买方案：方案一：购进型台灯26盏，B型台灯8盏：方案二：购进型台灯13盏B型台灯16盏． 12．(1)千克 (2)元 (3)5元 【分析】本题考查了销售盈亏(一元一次方程的应用)，营销问题(一元二次方程的应用) ，有理数四则混合运算的实际应用等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设降价元，可用表示出盈利，由此列出方程求解，从而可求出销量； （2）每千克盈利元，乘以（1）中算出的销量即可； （3）设每千克应降价元，根据题意，列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设降价元， 盈利（元/千克）， 每千克盈利元， 则， 解得：， 销量千克； （2）以每千克盈利元的价钱出售， 此时能盈利元； （3）设每千克应降价元， 则， 解得：，， 因为同时又要价格尽可能低， 所以每千克水果应降价5元． 13．安排8名工人生产机壳，安排20名工人生产机脚 【分析】设安排x名工人生产机壳，则安排（28-x）名工人生产机脚，根据1个机壳需要配4个机脚，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设安排x名工人生产机壳，则安排（28-x）名工人生产机脚， 依题意，得：4×500x=800（28-x）， 解得：x=8． 即安排8名工人生产机壳，安排20名工人生产机脚． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 14．(1)用120米布做上衣，80米布做裤子才能恰好配套，可以生产80套衣服 (2)布料327m，最多可以生产130套衣服，余料可以做1件上衣或2条裤子 【分析】（1）设做上衣的布料用x米，则做裤子的布料用 (200-x)米，根据3米长的某种布料可做上衣2 件或裤子3条，得出做上衣与裤子所用的布料关 系，进而得出方程求解即可； （2）由已知先求出一套衣服用料2.5米，用327÷2.5＝130...2，再根据本着不浪费的原则 可以得出结论． 【详解】（1）解：设做上衣用x米布，则做裤子用（200-x）米布，依题意有：， 解得：x=120， 则：200-x=80， 答：用120米布做上衣，80米布做裤子才能恰好配套，可以生产80套衣服． （2）∵做一件上衣用米布，做一条裤子用1米布， ∴一套服装用2.5米布， 3272.5=130剩余2米布， ∴布料327米，最多可以生产130套衣服，余料可以做1件上衣或2条裤子． 【点睛】本题主要考查的是一元一次方程应用题中的配套问题，根据题意列出对应的方程是解题的关键． 15．甲种零件需安排生产天，乙种零件需安排生产天，丙种零件需安排生产天． 【分析】由、、的最小公倍数为，可设甲种零件需安排生产天，则乙种零件需安排生产天，丙种零件需安排生产天，根据生产的三种零件总数相等且生产三种零件的总天数为天，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵、、的最小公倍数为， ∴，，， 设甲种零件需安排生产天，则乙种零件需安排生产天，丙种零件需安排生产天， 根据题意得：， 解得：， ，，． 答：甲种零件需安排生产天，乙种零件需安排生产天，丙种零件需安排生产天． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及最小公倍数，找准等量关系，列出一元一次方程是解题的关键． 16．(1)7名 (2)5名 【分析】（1）设该工厂每天有名工人生产零件，则每天有名工人生产零件，根据每天生产的零件和零件恰好配套建立方程，解方程即可得； （2）设从生产零件的工人中调出名工人生产零件，则该工厂每天有名工人生产零件，有名工人生产零件，再根据每天生产的零件全部批发给商场后总获利为3120元建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设该工厂每天有名工人生产零件，则每天有名工人生产零件， 由题意得：， 解得， 答：该工厂每天有7名工人生产零件． （2）解：设从生产零件的工人中调出名工人生产零件，则该工厂每天有名工人生产零件，有名工人生产零件， 由题意得：， 解得， 答：从生产零件的工人中调出5名工人生产零件，才能使每天生产的零件全部批发给商场后总获利为3120元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 17．(1)七年级1班有男生21人，女生24人 (2)男生要支援女生3人，才能使筒身和筒底配套 【分析】（1）根据男生人数+女生人数=总人数，可以列出相应的方程，然后求解即可； （2）根据题意，可以计算出原计划制作的筒身和筒底数，然后看一下数量是否是二倍的关系即可判断原计划生产的是否配套；然后根据判断设男生要支援女生a人，再列方程，解答即可． 【详解】（1）解：设女生有x人，则男生有人， 由题意可得：， 解得， ∴， 答：七年级1班有男生21人，女生24人； （2）解：女生可以做筒身：（个），男生可以做筒底：（个）， ， ∴原计划每节课做出的筒身和筒底不配套； 设男生要支援女生a人，才能使筒身和筒底配套， ， 解得， 答：男生要支援女生3人，才能使筒身和筒底配套． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程，这是一道典型的配套问题． 18．18名同学制作盒身，24名同学制作盒盖 【分析】设应安排名同学制作盒身，根据题意列方程计算即可． 【详解】解：设应安排名同学制作盒身，则安排名同学制作盒盖， 依题意，得：， 解得：， ． 答：应安排18名同学制作盒身，24名同学制作盒盖． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确列出方程是解题的关键． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $