5.3一元一次方程的应用题型分类解答题专题训练2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 以题型分类构建一元一次方程应用训练体系，通过配套、工程、销售三大模块提炼等量关系建立方法，强化数学建模与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|----|----|----| |配套问题|6题，含桌面桌腿、齿轮配套等|抓住“部件数量比例”列方程，如1桌面配4桌腿|从实际配套情境抽象比例关系，培养数学眼光观察数量联系| |工程问题|6题，含合作、工期优化等|工作总量设为1，利用“工作量=效率×时间”建等式|通过工程情境发展数学思维，理解效率与时间的逻辑关系| |销售盈亏问题|6题，含利润计算、方案选择等|依据“利润=（售价-进价）×销量”构建模型|结合经济生活培养数据意识，用数学语言表达现实数量关系|

5.3一元一次方程的应用 题型分类解答题专题训练 一、配套问题 1．制作一张餐桌要用一个桌面和4条桌腿．某家具公司的木工师傅用木材可制作15个桌面或300个桌腿，公司现有的木材. （1）应怎样安排用料才能使制作的桌面和桌腿配套？ （2）一共可制作多少张桌子？ 2．工厂某车间有48名工人，平均每人每天加工大齿轮10个或小齿轮15个，已知1个大齿轮与3个小齿轮配成一套，那么怎么安排工人，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 3．为了进行资源的再利用，学校准备对所有库存的桌凳进行维修，现有甲、乙两木工组，甲组每天修桌凳14套，乙组每天比甲组多修7套，甲组单独修完这些桌凳比乙组单独修完多用20天.请问乙组单独修完需要多少天？学校共库存多少套桌凳？ 4．某车间有名工人，生产特种螺栓和螺帽，一个螺栓的两头各套上一个螺帽配成一套，每人每天平均生产螺栓个或螺帽个．问要有多少工人生产螺栓，其余的工人生产螺帽，才能使一天所生产的螺栓和螺帽刚好配套? 5．有一些相同的房间需要粉刷墙面，2名一级技工粉刷5个房间，一天下来有30m2墙面未来得及粉刷；同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多刷了另外的40m2墙面，平均每名一级技工比二级技工每天多粉刷10m2墙面，求每个房间需要粉刷的墙面面积． 6．某车间有27个工人，生产甲、乙两种零件，已知每人每天平均能生产甲种零件22个或乙种零件16个，应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套？（每2个甲种零件和1个乙种零件配成一套） 二、工程问题 7．为了便于广大市民晚上出行，政府计划用24天的时间在徒骇河大桥至下注段公路两侧修建路灯便民设施，若此项工程由甲队单独做需要40天完成，由乙队单独做需要20天完成.在甲队单独做了一段时间后，为了加快工程进度乙队也加入了工程建设，正好按原计划完成了此项工程，问此项工程甲队单独做了多少天? 8．某公司需要粉刷一些相同的房间，经调查3名师傅一天粉刷8个房间，还剩刷不完；5名徒弟一天可以粉刷9个房间；每名师傅比徒弟一天多刷的墙面． （1）求每个房间需要粉刷的面积． （2）若来该公司应聘的有3名师傅和10名徒弟，每名师傅和每名徒弟每天的工资分别是240元和200元，该公司要求这36个房间要在2天内粉刷完成，问人工费最低是多少? 9．某城市平均每天产生垃圾700吨，由甲，乙两个垃圾处理厂处理．已知甲厂每小时可以处理垃圾55吨，每吨需费用10元；乙厂每小时可以处理垃圾45吨，每吨费用9元． （1）甲，乙两厂同时处理该城市的垃圾，每天需要多少时间完成？ （2）如果该城市每天用于处理垃圾的费用为6700元，那么甲厂每天处理垃圾多少吨？ 10．一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作． （1）甲、乙合作多少天才能把该工程完成？ （2）甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？ 11．某建筑工地计划租用甲、乙两辆车清理建筑垃圾，已知甲车单独运完需要12天，乙车单独运完需要24天．甲车先运了3天，然后甲、乙两车合作运完剩下的垃圾． （1）甲、乙两车合作还需要多少天才能运完这些垃圾？ （2）已知甲车每天的租金比乙车多100元，运完这些垃圾后建筑工地共需支付租金3900元，甲、乙两车每天的租金分别为多少元？ 12．一项工程甲单独做需要10小时，乙单独做需要8小时，现甲单独做两小时后乙加入一起做，问这项工程完成共需几个小时？ 三、销售盈亏问题 13．某公司销售A，两种设备，第一季度共卖出2400台．第二季度卖出A种设备的数量比第一季度多，卖出种设备的数量比第一季度少，两种设备的总销量增加了120台．第一季度两种设备各卖了多少台？ 14．排球垫球作为河南中考体育“运动健康技能类”选考项目，成为同学们选考热点，排球的销量也一直在增加．某体育用品店，销售一种排球，进价为每个16元，按照每个30元销售，平均每月能卖出200个．调查发现，在不亏本的情况下，为减少库存，售价每降低0.5元，平均每月可多卖出10个． (1)合合说：“如果薄利多销，平均每月的销售量肯定能达到500个．”请你判断合合的说法是否正确，并说明理由； (2)该体育用品店期望销售该排球平均每月的销售利润为2860元，销售员甲说：“在原售价的基础上降低1元，销售利润即可达到预期目标．”销售员乙说：“在原售价的基础上降低3元更合适”，如果你作为老板，请你用方程的思想说明该采纳谁的意见． 15．商店以80元一件的价格购进一批衬衫，售价为100元，由于售价太高，几天过去后还有150件没卖出去，于是商店九折出售衬衫，又过了几天，经理统计了一下，一共售出了180件，于是将最后的几件衬衫按进货价售出，最后商店一共获利2300元．求商店一共进了多少件衬衫？ 16．随着对人们交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． (1)A、B两种头盔的单价各是多少元？ (2)该店计划正好用450元购进A、B两种头盔共12个，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元．假如这些头盔全部售出，该店共可获利多少元？ 17．某零食店销售牛轧糖、雪花酥2种糖果，如果用800元可购买4千克雪花酥和5千克牛轧糖，用1000元可购买10千克牛轧糖和2千克雪花酥． (1)求雪花酥、牛轧糖每千克的价格分别为多少元？ (2)已知该零食店在12月共售出牛轧糖50千克、雪花酥30千克．春节将近，1月份超市将牛轧糖每千克的售价提升m元，雪花酥的价格不变，结果与12月相比牛轧糖销量下降了10%，雪花酥销量上升10千克，销售总额比12月多出1050元，求m的值． 18．近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙 种头盔的单价高11元． (1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？ (2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．若此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，则应如何购买，才能使总费用最小？是多少？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）15立方米做桌面，用3立方米做桌腿．（2）225张. 【分析】（1）设安排木材制作桌面，安排木材制作桌腿，根据题意可得等量关系：桌面数桌腿数，根据等量关系列出方程，再解即可； （2）求出制作桌面的木料量，即可求出制作桌子的套数． 【详解】解：（1）设应计划使用木料制作桌面，则使用木料制作桌腿，根据题意得：， 解得：， 则． 答：用15立方米做桌面，用3立方米做桌腿才能使制作的桌面和桌腿配套． （2）木材可制作15个桌面，则木料制作个桌面. 答：一共制作225套． 【点睛】本题考查了一元一次方程实际应用问题中的配套问题，解题的关键是找到配套的部分之间的比例关系． 2．16名工人加工大齿轮，32人加工小齿轮 【分析】设需安排x名工人加工大齿轮，则（48﹣x）人加工小齿轮，由1个大齿轮与3个小齿轮配成一套可知小齿轮的个数是大齿轮个数的3倍，从而得出等量关系，就可以列出方程求出即可． 【详解】解：设需安排x名工人加工大齿轮，则（48﹣x）人加工小齿轮，由题意得 10x×3＝15（48﹣x）， 解得：x＝16． 所以 48﹣x＝32． 答：需安排16名工人加工大齿轮，32人加工小齿轮． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 3．乙组单独修完需要30天，该学校库存桌椅700套. 【分析】设乙单独修需要x天，则甲单独修需要(x+20)天，根据总数列出方程进行求解. 【详解】设乙单独修完需x天，则甲单独修完需（x+20）天.甲每天修14套，乙每天修21套，根据题意，列方程为：14（x+20）=21x， 解得：x=30（天）， 经检验，符合题意， ∴共有桌椅：14×（30+20）＝700（套）. 答：乙组单独修完需要30天，该学校库存桌椅700套. 【点睛】本题考查列代数式和一元一次方程的实际应用，解题的关键是掌握列代数式和一元一次方程的实际应用. 4．名工人生产螺栓，名工人生产螺帽 【分析】根据一个螺栓的两头各套上一个螺帽配成一套，可得螺栓与螺母个数比为1：2刚好配套，据此列方程求解即可． 【详解】解：设x名工人生产螺栓，则有（28−x）名工人生产螺母， 由题意得：2×12x＝18（28−x）， 解得：x＝12，则28−x＝16， 答：12名工人生产螺栓，16名工人生产螺帽，才能使一天所生产的螺栓和螺帽刚好配套. 【点睛】本题考查用一元一次方程解决实际问题，得到螺栓和螺母数量的等量关系是解决本题的关键． 5．每个房间需要粉刷的墙面面积是66m2 【分析】设每个二级技工每天刷，则每个一级技工每天刷，根据题意列出方程解答即可． 【详解】解：设每个二级技工每天刷，则每个一级技工每天刷 依题意得＝ 解得 则＝＝ 答：每个房间需要粉刷的墙面面积是66． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键是理解题意能力，本题可先求出每一个房间有多少平方米， 然后再求每名一级工、二级工每天分别刷墙面多少平方米. 6．16人生产甲零件，11人生产乙零件 【分析】由于2个甲种零件和1个乙种零件配成一套，所以需要甲的零件个数一定多．那么乙的零件个数要和甲的零件个数刚好配套，等量关系为：甲的零件个数=2×乙的零件个数． 【详解】解：设分配x人生产甲零件，则有(27-x)人生产乙零件， 根据题意可列方程：22x=2×16(27-x)， 解得：x=16． 则27-x=11人． 即分配16人生产甲零件，11人生产乙零件． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找到关键描述语，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 7．此项工程甲队单独做了16天． 【分析】设甲队单独做了x天，根据题意，甲队一天做，乙队一天做，由甲队x天修建的工作量+两队合作修建的工作量=1列方程，解之即可． 【详解】设甲队单独做了x天，根据题意， 得：x+(24-x)( +)=1， 解得：x=16， 答：此项工程甲队单独做了16天． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用-工程问题，认真审题，把工作总量看着单位1，得出工作量、工作时间和工作效率三个数量之间的相互关系是解答的关键． 8．（1）；（2）3840元． 【分析】（1）设每个房间需要粉刷的面积为xm2，然后分别表示出师傅和徒弟每天粉刷的面积，然后根据每名师傅比徒弟一天多刷的墙面列方程解答即可； （2）设聘请m名师傅和n名徒弟完成粉刷任务（m，n均为非负整数，且0≤m≤3，0≤n≤10），然后根据（1）的结论结合题意列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为非负整数及m，n的取值范围，即可得出各聘请方案，分别求出各方案所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】解：（1）设每个房间需要粉刷的面积为xm2，则师傅一天粉刷墙面的面积为 m2，徒弟一天粉刷墙面的面积为 m2， 由题意得：-=30 解得x=50 答：每个房间需要粉刷的面积为50 m2； （2）设聘请m名师傅和n名徒弟完成粉刷任务（m，n均为非负整数，且0≤m≤3，0≤n≤10）， 由依题意，得：120m+90n=36×50÷2，即n=10-m. ∵m，n均为非负整数，且0≤m≤3，0≤n≤10， ∴当m=0时，n=10；当m=3时，n=6； ∴该公司共有两种聘请方案，方案1：聘请10名徒弟完成粉刷任务；方案2：聘请3名师傅和6名徒弟完成粉刷任务 方案1所需人工费为200×10×2=4000（元）， 方案2所需人工费为（200×6+240×3）×2=3840（元）. ∵4000>3840， .∴聘请3名师傅和6名徒弟完成粉刷任务所需人工费最低，最低人工费为3840元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程的应用，正确列出一元一次方程和二元一次方程是解答本题的关键． 9．（1）7小时；（2）甲厂每天处理垃圾400吨． 【分析】（1）设每天需要x小时完成，根据甲乙两厂每小时处理垃圾的吨数列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）设甲厂每天处理y吨垃圾，乙厂处理（700-y）吨，根据费用为6700元列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：（1）设甲，乙两厂同时处理该城市的垃圾，每天需要x小时完成， ， 解得：， 答：甲，乙两厂同时处理该城市的垃圾，每天需要7小时完成； （2）设甲厂每天处理垃圾y吨， ， 解得：， 答：甲厂每天处理垃圾400吨． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键． 10．（1）甲、乙合作6天才能把该工程完成；（2）由甲、乙合作18天完成更省钱． 【分析】（1）设甲、乙两队合作天，甲队单独完成这项工程需要30天，乙队单独完成这项工程需要45天，列出方程，解答即可； （2）把在工期内的情况进行比较即可. 【详解】解：（1）设甲、乙合作天才能把该工程完成． ， 解得． 答：甲、乙合作6天才能把该工程完成． （2）当甲队独做时：万元 乙队单独完成超时，所以乙队不能独做． 当甲、乙两队全程合作时：设甲、乙合作天完成全工程． ， 解得：    万元． 105万元>99万元． 答：由甲、乙合作18天完成更省钱． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 11．（1）甲、乙两车合作还需要6天运完垃圾；（2）甲车每天的租金为300元，乙车每天的租金为200元． 【分析】（1）设甲、乙两车合作还需要x天运完垃圾，根据甲车完成的工作量+乙车完成的工作量=总工程量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设乙车每天的租金为y元，则甲车每天的租金为（y+100）元，根据总租金=每天的租车×租车的时间结合总租金为3900元，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）设甲、乙两车合作还需要x天运完垃圾， 依题意，得：， 解得：x=6， 答：甲、乙两车合作还需要6天运完垃圾； （2）设乙车每天的租金为y元，则甲车每天的租金为（y+100）元， 依题意，得：， 解得：y=200， ∴y+100=300． 答：甲车每天的租金为300元，乙车每天的租金为200元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 12．这项工程完成共需个小时． 【分析】设这项工程完成共需x个小时，根据甲先干2小时工作量+甲乙合作工作量=总工作量1，列方程，解这个方程即可． 【详解】解：设这项工程完成共需x个小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验符合题意， 答：这项工程完成共需个小时． 【点睛】本题考查工程问题应用题，掌握工作量-工作效率×工作时间，一般工作总量为1，抓住等量关系构造方程是解题关键． 13．第一季度A种设备卖了2000台，种设备卖了400台 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键； 设第一季度A种设备卖出了台，则种设备卖出了台，根据“第二季度卖出A种设备的数量比第一季度多，卖出种设备的数量比第一季度少，两种设备的总销量增加了120台”列出一元一次方程，解方程即可得出答案，． 【详解】解：设第一季度A种设备卖出了台，则种设备卖出了台，根据题意得 解得， （台）， 答：第一季度A种设备卖了2000台，种设备卖了400台． 14．(1) 解：合合的说法不正确，理由如下： 设售价降低元，平均每月的销售量能达到500个， 依题意得，， 解得， 降价后每个的售价为（元）， 进价为每个16元，， 平均每月的销售量能达到500个时会亏本， 合合的说法不正确． (2) 解：采纳销售员乙的意见，理由如下： 设售价降低元，可使平均每月的销售利润为2860元， 依题意，得， 整理，得， 解得，， 降价1元或3元都能达到销售利润为2860元的目标； 降低售价可以增加销售量，从而减少库存， 应采纳销售员乙的意见． 【分析】本题考查了一元一次方程中的应用，一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）设售价降低元，平均每月的销售量能达到500个，根据“售价每降低0.5元，平均每月可多卖出10个”列出方程，可求出具体降价金额，从而可求出售价，将售价与进价比较即可得出结论； （2）设售价降低元，可使平均每月的销售利润为2860元，根据利润、售价、进价之间的关系列出方程，解出结果后，再根据增加销售量可以减少库存即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 15．商店一共进了200件衬衫． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设商店一共进了x件衬衫，则第一次卖出去，则二次售出件，根据商店一共获利2300元列出一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：设商店一共进了x件衬衫，则第一次卖出去，则二次售出件， 根据题意可知： ， 整理得：， 解得：， 答：商店一共进了200件衬衫． 16．(1)A种头盔的单价为元，B种头盔的单价为元 (2)这些头盔全部售出，该店共可获利元 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设A种头盔的单价为元，B种头盔的单价为元，由此列式求解即可； （2）设购进A种头盔个，则购进B种头盔个，由此列式得到购进A种头盔个，则购进B种头盔个，结合题意即可求解． 【详解】（1）解：设A种头盔的单价为元，B种头盔的单价为元， ∴， 解得，， ∴A种头盔的单价为元，B种头盔的单价为元； （2）解：设购进A种头盔个，则购进B种头盔个， ∴， 解得，， ∴购进A种头盔个，则购进B种头盔个， ∵销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元， ∴（元）， ∴这些头盔全部售出，该店共可获利元． 17．(1)雪花酥的价格为100元，每千克牛轧糖的价格为80元 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）设每千克雪花酥的价格为元，牛轧糖的价格为元，找准等量关系，正确列出二元一次方程组； （2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【详解】（1）(1)设每千克雪花酥的价格为元，牛轧糖的价格为元，依题意得： ， 解得， 答：雪花酥的价格为100元，每千克牛轧糖的价格为80元 （2）解：根据题意得 ， 解得， 即的值为10． 18．(1)甲、乙两种头盔的单价各是65元，54元. (2)购14只甲种头盔，总费用最小，为1976元. 【分析】(1)设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得，解答即可. (2) 设购m只甲种头盔，设总费用为w，则，利用一次函数的性质解答即可. 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质的应用，熟练掌握性质是解题的关键. 【详解】（1）解：设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得 解得，， ，   答：甲、乙两种头盔的单价各是65元，54元． （2）解：设购m只甲种头盔，设总费用为w， 则， 解得， 故最小整数解为， ， ∵，则w随m的增大而增大， ∴当时，w取最小值，最小值． 答：购14只甲种头盔，总费用最小为1976元． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $