1.2菱形的性质与判定分层训练 -2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 分层递进式菱形性质与判定综合训练，覆盖基础理解、能力应用及综合拓展，逻辑链从性质认知到判定推理再到实际应用，渗透几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A夯实基础|14题（如第3、11题）|直接考查菱形边、角、对角线性质及面积计算|以菱形定义为起点，通过对角线垂直平分性质推导边长、面积公式| |B能力提升|12题（如第17、25题）|结合中点四边形、等宽纸带交叉等情境考查判定与性质综合|连接菱形与平行四边形判定，强化“对角线垂直”核心条件的应用| |C压轴拓展|2题（第27、28题）|菱形与全等、等腰三角形结合的综合证明|深化性质与判定的交叉应用，培养逻辑推理与模型意识|

九年级数学 · 1.2 菱形的性质与判定 · 分层训练 1.2 菱形的性质与判定 分层训练· A 夯实基础 第一部分（必做） 一、选择题（共 6 题） 1．下列关于菱形的说法中，不一定正确的是（ ） A．四条边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相平分 2．如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD＝72°，对角线 AC 交 BD 于点 O，则 ∠BAC 的度数为（ ） （第2题图） A．18° B．36° C．54° D．72° 3．如图，菱形 ABCD 的边长为 10 cm，对角线 AC＝12 cm，则另一条对角线 BD 的长为（ ） （第3题图） A．8 cm B．12 cm C．16 cm D．20 cm 4．菱形的两条对角线长分别为 6 cm 和 8 cm，则它的面积为（ ） A．14 cm² B．24 cm² C．28 cm² D．48 cm² 5．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AO＝5，BO＝12，则菱形 ABCD 的周长为（ ） （第5题图） A．26 B．34 C．48 D．52 6．如图，在平行四边形 ABCD 中，添加下列条件后，能判定它是菱形的是（ ） （第6题图） A．AC＝BD B．AC⊥BD C．∠A＝90° D．∠A＝∠C 二、填空题（共 4 题） 7．如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC＝118°，则 ∠BAC＝__________。 （第7题图） 8．菱形的两条对角线长分别为 12 cm 和 16 cm，则它的面积为__________ cm²。 9．菱形的边长为 13 cm，一条对角线长为 10 cm，则另一条对角线长为__________ cm。 10．一个菱形的周长为 40 cm，以其中一边为底时高为 8 cm，则这个菱形的面积为__________ cm²。 三、解答题（共 4 题） 11．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AB＝13 cm，AC＝10 cm。求 BD 的长和菱形 ABCD 的面积。 （第11题图） 12．如图，在菱形 ABCD 中，AB＝6 cm，∠BAD＝60°。求两条对角线 AC、BD 的长。 （第12题图） 13．如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC、BD 相交于点 O，且 AC⊥BD。求证：四边形 ABCD 是菱形。 （第13题图） 14．如图，一块菱形交通标志牌的两条对角线长分别为 1.2 m 和 1.6 m。 （1）求标志牌的面积； （2）若沿标志牌四周安装一圈反光条，求反光条的总长度。 （第14题图） B 能力提升 第二部分（必做） 四、选择题（共 4 题） 15．顺次连接菱形四边的中点，所得四边形一定是（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 16．四边形 ABCD 的两条对角线互相平分。若再添加一个条件，使四边形 ABCD 一定是菱形，可添加（ ） A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB⊥BC D．∠A＝∠C 17．如图，菱形 ABCD 中，AC＝16，BD＝12，OE⊥AB 于 E，则 OE 的长为（ ） （第17题图） A．4 B．4.8 C．5 D．6 18．菱形的一条对角线长等于它的边长，则这个菱形的较小内角是（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 五、填空题（共 4 题） 19．一个菱形的周长为 20 cm，两条对角线长度之比为 3∶4，则它的面积为__________ cm²。 20．在菱形 ABCD 中，∠ADC＝130°，对角线相交于 O，OE⊥AB 于 E，则 ∠AOE＝__________。 21．如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 平分 ∠DAB，则四边形 ABCD 是__________。 （第21题图） 22．菱形的边长为 5 cm，一条对角线长为 6 cm，则另一条对角线长为__________ cm。 六、解答题（共 4 题） 23．如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 BD 平分 ∠ABC。求证：四边形 ABCD 是菱形。 （第23题图） 24．已知两条线段 a＝6 cm，b＝8 cm。如图，请用尺规作一个菱形，使它的两条对角线长分别为 a、b。（保留作图痕迹，不写作法） （第24题图） 25．如图，两条等宽纸带交叉叠放，重叠部分为四边形 ABCD。两条纸带的宽都为 h。求证：四边形 ABCD 是菱形。 （第25题图） 26．如图，在菱形 ABCD 中，AC＝12 m，BD＝16 m，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点。 （1）判断四边形 EFGH 的形状，并说明理由； （2）若在四边形 EFGH 内种植草坪，每平方米费用 25 元，求所需费用。 （第26题图） C 压轴拓展 第三部分（选做·附加） 27．如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，且 BE＝DF。 （1）求证：AE＝AF； （2）若 ∠EAF＝40°，求 ∠AEF 的度数。 （第27题图） 28．如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O。点 E、F 分别在 AC 上，且 AE＝CF，连接 BE、DF。 （1）求证：四边形 DEBF 是平行四边形； （2）若再有 DE＝BE，求证：四边形 DEBF 是菱形。 （第28题图） 详细答案与解析 第一部分（必做） 1．答案：C 解析：菱形具有以下性质：四条边相等；两条对角线互相垂直、互相平分；每一条对角线平分一组对角。一般的菱形两条对角线不一定相等，只有当菱形是正方形时两条对角线才相等。∴ 不一定正确的是 C。 2．答案：B 解析：∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ 对角线 AC 平分 ∠BAD。 ∴ ∠BAC＝1/2∠BAD＝72°÷2＝36°。故选 B。 3．答案：C 解析：设两条对角线 AC、BD 相交于点 O。∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AC⊥BD，AO＝OC＝AC÷2＝6 cm。 在 Rt△AOB 中，AB＝10 cm。由勾股定理，BO²＝AB²－AO²＝10²－6²＝64，∴ BO＝8 cm。 ∵ O 是 BD 的中点，∴ BD＝2BO＝16 cm。故选 C。 4．答案：B 解析：菱形面积公式为 S＝1/2×d₁×d₂，其中 d₁、d₂ 为两条对角线的长。 ∴ S＝1/2×6×8＝24 cm²。故选 B。 5．答案：D 解析：设两条对角线 AC、BD 相交于点 O。∵ 菱形的两条对角线互相垂直，∴ ∠AOB＝90°。 在 Rt△AOB 中，AO＝5，BO＝12，∴ AB＝√(AO²＋BO²)＝√(5²＋12²)＝13。 ∵ 菱形四条边相等，∴ 周长＝4AB＝4×13＝52。故选 D。 6．答案：B 解析：已知四边形 ABCD 是平行四边形。若再有 AC⊥BD，则由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可判定 ABCD 是菱形。∴ 选 B。 说明：AC＝BD 可判定该平行四边形为矩形；∠A＝90°也可判定为矩形；平行四边形本身就有 ∠A＝∠C，故 D 不能进一步判定为菱形。 7．答案：31° 解析：∵ 菱形是平行四边形，∴ 邻角互补，即 ∠DAB＋∠ABC＝180°。 ∴ ∠DAB＝180°－118°＝62°。又∵ 对角线 AC 平分 ∠DAB，∴ ∠BAC＝62°÷2＝31°。 8．答案：96 解析：菱形面积 S＝1/2×d₁×d₂＝1/2×12×16＝96 cm²。∴ 填 96。 9．答案：24 解析：设两条对角线相交于点 O，另一条对角线长为 2x cm。∵ 菱形的对角线互相垂直平分，∴ 已知对角线的一半为 10÷2＝5 cm，另一条对角线的一半为 x cm。 在由半对角线和边构成的直角三角形中，由勾股定理得 5²＋x²＝13²。 ∴ x²＝144，x＝12（x＞0），∴ 另一条对角线长为 2x＝24 cm。 10．答案：80 解析：菱形四条边相等，边长＝40÷4＝10 cm。以一边为底，高为 8 cm，∴ S＝底×高＝10×8＝80 cm²。 第一部分（必做）·解答题 11．答案：BD＝24 cm；菱形 ABCD 的面积为 120 cm² 解：设对角线 AC、BD 相交于点 O。 ∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AC⊥BD，AO＝OC＝AC÷2＝5 cm，BO＝OD。 在 Rt△AOB 中，AB＝13 cm，由勾股定理得 BO＝√(AB²－AO²)＝√(13²－5²)＝√144＝12 cm。 ∴ BD＝2BO＝24 cm。 又∵ 菱形面积等于两条对角线乘积的一半，∴ S菱形ABCD＝1/2×AC×BD＝1/2×10×24＝120 cm²。 答：BD 的长为 24 cm，菱形 ABCD 的面积为 120 cm²。 12．答案：AC＝6√3 cm，BD＝6 cm 解：连接 BD（图中已有）。 ∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AB＝AD＝6 cm。又∵ ∠BAD＝60°，∴ △ABD 为等边三角形。 ∴ BD＝AB＝6 cm。 设 AC、BD 相交于点 O。∵ 菱形的对角线互相垂直平分，∴ AO⊥BO，BO＝BD÷2＝3 cm。 在 Rt△AOB 中，AB＝6 cm，由勾股定理得 AO＝√(AB²－BO²)＝√(6²－3²)＝3√3 cm。 ∴ AC＝2AO＝6√3 cm。 答：AC＝6√3 cm，BD＝6 cm。 13．答案：四边形 ABCD 是菱形 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ 对角线互相平分，即 OA＝OC。 又∵ AC⊥BD，∴ ∠AOB＝∠COB＝90°，且 OB＝OB。 在 Rt△AOB 和 Rt△COB 中，OA＝OC，OB＝OB，∴ Rt△AOB≌Rt△COB（两直角边分别相等）。 ∴ AB＝BC。 ∵ ABCD 是平行四边形，且有一组邻边 AB＝BC，∴ 四边形 ABCD 是菱形。 14．答案：（1）0.96 m²；（2）4 m 解：（1）∵ 菱形的两条对角线长分别为 1.2 m、1.6 m，∴ 标志牌面积 S＝1/2×1.2×1.6＝0.96 m²。 答：标志牌的面积为 0.96 m²。 （2）设两条对角线相交于点 O。∵ 菱形的对角线互相垂直平分，∴ 两条半对角线长分别为 1.2÷2＝0.6 m、1.6÷2＝0.8 m。 在由一条边与两条半对角线组成的直角三角形中，边长＝√(0.6²＋0.8²)＝√1＝1 m。 ∴ 菱形周长＝4×1＝4 m。 答：反光条的总长度为 4 m。 第二部分（必做） 15．答案：B 解析：设菱形 ABCD 四边的中点依次为 E、F、G、H。由三角形中位线定理，EF∥AC，FG∥BD，GH∥AC，HE∥BD。 ∴ EF∥GH，FG∥HE，∴ 四边形 EFGH 是平行四边形。 又∵ 菱形的两条对角线 AC⊥BD，且 EF∥AC、FG∥BD，∴ EF⊥FG。 ∴ 平行四边形 EFGH 有一个角是直角，∴ EFGH 是矩形。故选 B。 16．答案：B 解析：∵ 四边形 ABCD 的两条对角线互相平分，∴ ABCD 是平行四边形。 若再添加 AC⊥BD，则由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可知 ABCD 一定是菱形。∴ 选 B。 说明：AC＝BD 只能进一步判定为矩形；∠A＝∠C 是平行四边形本身已有的性质；AB⊥BC 也只能判定为矩形，均不能保证是菱形。 17．答案：B 解析：设 AC、BD 相交于点 O。∵ 菱形的对角线互相垂直平分，∴ AO＝AC÷2＝8，BO＝BD÷2＝6，且 AO⊥BO。 在 Rt△AOB 中，AB＝√(8²＋6²)＝10。 △AOB 的面积一方面为 1/2×AO×BO＝1/2×8×6＝24；另一方面，∵ OE⊥AB，∴ S△AOB＝1/2×AB×OE＝1/2×10×OE。 ∴ 1/2×10×OE＝24，解得 OE＝4.8。故选 B。 18．答案：C 解析：设菱形的一条对角线 AC 等于边长，即 AC＝AB。又∵ 菱形四条边相等，∴ AB＝BC。 ∴ AB＝BC＝AC，∴ △ABC 是等边三角形，∠ABC＝60°。 菱形相邻内角互补，另一个内角为 120°，∴ 较小内角为 60°。故选 C。 19．答案：24 解析：菱形周长为 20 cm，∴ 边长为 20÷4＝5 cm。设两条半对角线的长分别为 3x cm、4x cm。 ∵ 菱形的两条对角线互相垂直平分，∴ 两条半对角线与一条边组成直角三角形。由勾股定理，(3x)²＋(4x)²＝5²。 ∴ 25x²＝25，x＝1（x＞0）。∴ 两条对角线长分别为 6 cm、8 cm。 ∴ S＝1/2×6×8＝24 cm²。 20．答案：65° 解析：∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ ∠DAB＋∠ADC＝180°。 ∴ ∠DAB＝180°－130°＝50°。又∵ AC 平分 ∠DAB，∴ ∠CAB＝25°。 ∵ E 在 AB 上，OE⊥AB，∴ ∠AEO＝90°；且 ∠OAE＝∠CAB＝25°。 在 Rt△AOE 中，∠AOE＝180°－90°－25°＝65°。 21．答案：菱形 解析：∵ AC 平分 ∠DAB，∴ ∠DAC＝∠CAB。 又∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD∥BC，∴ ∠DAC＝∠BCA（两直线平行，内错角相等）。 ∴ ∠CAB＝∠BCA，∴ AB＝BC。 ∵ ABCD 是平行四边形，且有一组邻边 AB＝BC，∴ ABCD 是菱形。 22．答案：8 解析：设另一条对角线长为 2x cm。已知一条对角线长为 6 cm，故其一半为 3 cm。 ∵ 菱形的两条对角线互相垂直平分，∴ 3 cm、x cm 与边长 5 cm 构成直角三角形。 由勾股定理，3²＋x²＝5²，∴ x²＝16，x＝4（x＞0）。∴ 另一条对角线长为 2x＝8 cm。 第二部分（必做）·解答题 23．答案：四边形 ABCD 是菱形 解：证明如下。 ∵ BD 平分 ∠ABC，∴ ∠ABD＝∠DBC。 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD∥BC，∴ ∠ADB＝∠DBC（两直线平行，内错角相等）。 ∴ ∠ABD＝∠ADB，∴ AB＝AD。 ∵ ABCD 是平行四边形，且有一组邻边 AB＝AD，∴ 四边形 ABCD 是菱形。 24．答案：作图应为两条对角线分别长 6 cm、8 cm 的菱形 解：按题意作图并保留尺规作图痕迹，不写作法。作出的四边形应满足：两条对角线互相垂直且互相平分，其中一条对角线长 6 cm，另一条对角线长 8 cm。 检验：∵ 作出的四边形两条对角线互相平分，∴ 它是平行四边形；又∵ 两条对角线互相垂直，∴ 该平行四边形是菱形。故作图满足题意。 25．答案：四边形 ABCD 是菱形 解：证明如下。 ∵ 两条纸带的两组边分别互相平行，∴ AB∥CD，AD∥BC，∴ 四边形 ABCD 是平行四边形。 设四边形 ABCD 的面积为 S。两条纸带的宽均为 h。 以 AB 为底时，AB 与 CD 分别在同一条纸带的两条边界线上，它们之间的距离为 h，∴ S＝AB·h。 以 AD 为底时，AD 与 BC 分别在另一条纸带的两条边界线上，它们之间的距离也为 h，∴ S＝AD·h。 ∴ AB·h＝AD·h。又∵ h＞0，∴ AB＝AD。 ∵ ABCD 是平行四边形，且有一组邻边 AB＝AD，∴ 四边形 ABCD 是菱形。 26．答案：（1）矩形；（2）1 200 元 解：（1）∵ E、F 分别是 AB、BC 的中点，∴ 在 △ABC 中，由三角形中位线定理得 EF∥AC，EF＝1/2AC。 同理，在 △BCD、△CDA、△DAB 中，分别有 FG∥BD，GH∥AC，HE∥BD。 ∴ EF∥GH，FG∥HE，∴ 四边形 EFGH 是平行四边形。 又∵ ABCD 是菱形，∴ AC⊥BD。且 EF∥AC，FG∥BD，∴ EF⊥FG。 ∴ 平行四边形 EFGH 有一个角为直角，∴ 四边形 EFGH 是矩形。 （2）EF＝1/2AC＝6 m，FG＝1/2BD＝8 m。 ∴ S矩形EFGH＝EF×FG＝6×8＝48 m²。 所需费用＝48×25＝1 200（元）。 答：四边形 EFGH 是矩形，种植草坪需 1 200 元。 第三部分（选做·附加） 27．答案：（1）AE＝AF；（2）70° 解：（1）证明如下。 ∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AB＝AD，且 ∠ABC＝∠ADC。 ∵ ∠ABC＝60°，∴ ∠ADC＝60°。又∵ E 在 BC 上，F 在 CD 上，∴ ∠ABE＝60°，∠ADF＝60°。 又∵ BE＝DF，∴ 在 △ABE 和 △ADF 中，AB＝AD，∠ABE＝∠ADF，BE＝DF。 ∴ △ABE≌△ADF（SAS），∴ AE＝AF。 （2）由（1）得 AE＝AF，∴ △AEF 是等腰三角形，∠AEF＝∠AFE。 又∵ ∠EAF＝40°，∴ ∠AEF＝(180°－40°)÷2＝70°。 答：∠AEF＝70°。 28．答案：（1）四边形 DEBF 是平行四边形；（2）四边形 DEBF 是菱形 解：（1）证明如下。 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，且 AC、BD 相交于点 O，∴ AO＝OC，BO＝OD。 设 AO＝OC＝a，AE＝CF＝x。∵ E、F 都在线段 AC 上，∴ OE＝|a－x|，OF＝|a－x|，∴ OE＝OF。 在四边形 DEBF 中，两条对角线分别为 DB、EF。由 BO＝OD，OE＝OF，知 DB、EF 互相平分。 ∴ 四边形 DEBF 是平行四边形。 （2）由（1）知四边形 DEBF 是平行四边形。又∵ DE＝BE，即该平行四边形有一组邻边相等，∴ 四边形 DEBF 是菱形。 学科网（北京）股份有限公司 $