1.3矩形的性质与判定分层训练 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 该练习通过三级分层设计，从基础性质判定到综合应用，梯度递进巩固矩形知识，培养推理能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |必做一|矩形性质（边、角、对角线）、直角三角形斜边中线性质|基础选择填空，直接考查概念辨析与简单计算| |必做二|矩形判定（角、对角线）、性质与判定综合应用|中档解答题，强化推理证明与性质灵活运用| |选做附加|矩形与平行四边形、直角三角形综合，实际问题|综合探究题，提升空间观念与问题解决能力|

九年级数学 · 1.3 矩形的性质与判定 · 分层训练 1.3 矩形的性质与判定 分层训练· 第一部分（必做） 一、选择题（共 6 题） 1．下列关于矩形的性质，说法不正确的是（ ） A．两组对边平行 B．四个角均为直角 C．对角线互相垂直 D．对角线相等且互相平分 2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB=120°，则∠OAB的度数为（ ） （第2题图） A．20° B．30° C．40° D．60° 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M是斜边AB的中点，若AB=9，则CM的长为（ ） （第3题图） A．3 B．4 C． D．9 4．在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O。添加下列条件后，不能判定▱ABCD为矩形的是（ ） A．∠A=90° B．AC=BD C．OA=OB D．AB=BC 5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAC=35°，则∠AOD的度数为（ ） （第5题图） A．55° B．70° C．90° D．110° 6．一个木框已确认两组对边分别平行。测量发现两条对角线长度相等，据此可判断该木框为矩形。所依据的判定定理是（ ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．三个角是直角的四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 二、填空题（共 4 题） 7．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC=18，则OA+OB=__________。 （第7题图） 8．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=100°，则∠OAB=__________。 （第8题图） 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为斜边AB的中点，若CM=4.5，则AB=__________。 （第9题图） 10．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA=OB，则▱ABCD是__________。 （第10题图） 三、解答题（共 4 题） 11．已知：如图，四边形ABCD是矩形。求证：AC=BD。 （第11题图） 证明时可从△ABC与△DCB入手，写出完整证明过程。 12．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，对角线AC，BD相交于点O。 （第12题图） （1）求AC的长； （2）求△AOB的周长。 13．如图，已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，AC=BD。求证：四边形ABCD是矩形。 （第13题图） 14．公路AB与BC互相垂直，点M是公路AC的中点。已知AC=26 km，AB=10 km。 （1）求BM的长； （2）求BC的长。 第二部分（必做） 四、选择题（共 4 题） 15．四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，则四边形ABCD一定是（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 16．在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O。若AC=12，∠AOB=60°，则AB的长为（ ） A．3 B．6 C．12 D．18 17．在▱ABCD中，若∠A=∠B，则▱ABCD一定是（ ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法确定 18．制作一个平行四边形活动框架，若要把它固定成矩形，下列操作可行的是（ ） A．使一组邻边相等 B．使两条对角线相等 C．使两条对角线垂直 D．使一条对角线平分一个角 五、填空题（共 4 题） 19．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB=120°，则∠OBC=__________。 （第19题图） 20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，M是AB的中点，则CM=__________，BC=__________。 （第20题图） 21．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA=3，OB=3，则▱ABCD是__________。 （第21题图） 22．四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，且AC=BD，则四边形ABCD是__________。 六、解答题（共 4 题） 23．在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点。连接AE，CF。求证：AE=CF。 24．如图，小亮根据“AC=BD”就断定四边形ABCD是矩形。 （1）说明这一判断为什么不充分； （2）若O为AC，BD的交点，再补充OA=OC，OB=OD，请写出正确的判定过程。 （第24题图） 25．如图，在▱ABCD中，∠A=2∠B。 （1）求∠A，∠B的度数，并判断▱ABCD是否为矩形； （2）若把条件改为∠A=∠B，判断▱ABCD的形状，并说明理由。 （第25题图） 26．如图，工人检测一个四边形门框ABCD。已知AB∥CD，AB=CD，测得AC=BD，对角线交于点O。 （第26题图） （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AC=2.5 m，求AO的长。 第三部分（选做·附加） 27．一块平行四边形玻璃ABCD，已知AB=6 cm，BC=8 cm，AC=10 cm。小明认为还需要测量另一条对角线BD才能判断它是不是矩形，小华认为根据现有数据即可判断。 （1）你赞同谁的观点？说明理由； （2）若对角线AC，BD相交于点O，求BD的长以及OA+OB+OC+OD的值。 28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M是斜边AB的中点。延长CM到点D，使MD=CM，连接AD，BD。 （第28题图） （1）求证：四边形ACBD是矩形； （2）若AC=6，BC=8，求四边形ACBD的周长和面积。 详细答案与解析 第一部分（必做） 1．答案：C 解析：矩形是特殊的平行四边形，所以两组对边分别平行；矩形的四个角都是直角；矩形的两条对角线相等且互相平分。矩形的两条对角线不一定互相垂直，因此选C。 2．答案：B 解析：∵ 四边形ABCD是矩形，AC，BD相交于点O， ∴ AC=BD，OA=OC=AC÷2，OB=OD=BD÷2， ∴ OA=OB。 ∵ ∠AOB=120°，△AOB是等腰三角形， ∴ ∠OAB=∠OBA=(180°-120°)÷2=30°。 故选B。 3．答案：C（9/2） 解析：∵ △ABC是直角三角形，M是斜边AB的中点， ∴ CM=AB÷2=9÷2=9/2。 故选C。 4．答案：D 解析：A：∵ ▱ABCD中∠A=90°，∴ 有一个角是直角的平行四边形是矩形，可以判定。 B：∵ ▱ABCD中AC=BD，∴ 对角线相等的平行四边形是矩形，可以判定。 C：∵ ▱ABCD的对角线互相平分，∴ AC=2OA，BD=2OB。又OA=OB，∴ AC=BD，故可以判定为矩形。 D：AB=BC只能说明该平行四边形的一组邻边相等，不能推出有直角或对角线相等，因此不能判定为矩形。故选D。 5．答案：B 解析：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠BAD=90°，AC=BD，且OA=OD。 ∵ ∠BAC=35°， ∴ ∠OAD=∠CAD=90°-35°=55°。 ∵ OA=OD， ∴ ∠ODA=∠OAD=55°。 ∴ ∠AOD=180°-55°-55°=70°。 故选B。 6．答案：B 解析：∵ 木框的两组对边分别平行， ∴ 木框是平行四边形。 又∵ 两条对角线长度相等， ∴ 根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定该木框为矩形。故选B。 7．答案：18 解析：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AC=BD，且OA=OC=AC÷2，OB=OD=BD÷2。 ∵ AC=18， ∴ OA=9，BD=18，OB=9。 ∴ OA+OB=9+9=18。 8．答案：40° 解析：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AC=BD，且OA=OC，OB=OD， ∴ OA=OB。 ∴ △AOB是等腰三角形。 ∵ ∠AOB=100°， ∴ ∠OAB=(180°-100°)÷2=40°。 9．答案：9 解析：∵ △ABC是直角三角形，M为斜边AB的中点， ∴ CM=AB÷2。 ∵ CM=4.5， ∴ AB=2CM=2×4.5=9。 10．答案：矩形 解析：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA=OC，OB=OD， ∴ AC=2OA，BD=2OB。 又∵ OA=OB， ∴ AC=BD。 ∴ 对角线相等的平行四边形ABCD是矩形。 11．答案：见证明 证明： ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°。 又∵ BC=CB， ∴ △ABC≌△DCB（SAS）。 ∴ AC=BD。 12．答案：（1）AC=10；（2）△AOB的周长为18 解： （1）∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠ABC=90°。 在Rt△ABC中，AB=8，BC=6， ∴ AC=√(AB²+BC²)=√(8²+6²)=√100=10。 （2）∵ 四边形ABCD是矩形，AC，BD相交于点O， ∴ AC=BD，OA=OC，OB=OD， ∴ OA=OB=AC÷2=10÷2=5。 ∴ △AOB的周长=AB+AO+BO=8+5+5=18。 13．答案：见证明 证明： ∵ OA=OC，OB=OD， ∴ 四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相平分。 ∴ 四边形ABCD是平行四边形。 又∵ AC=BD， ∴ 对角线相等的平行四边形ABCD是矩形。 14．答案：（1）BM=13 km；（2）BC=24 km 解： （1）∵ AB⊥BC， ∴ △ABC是直角三角形，AC是斜边。 又∵ M是斜边AC的中点， ∴ BM=AC÷2=26÷2=13（km）。 （2）在Rt△ABC中，∵ AC=26 km，AB=10 km， ∴ BC²=AC²-AB²=26²-10²=676-100=576。 ∵ BC>0， ∴ BC=24 km。 第二部分（必做） 15．答案：B 解析：∵ 四边形ABCD的内角和为360°，且∠A=∠B=∠C=90°， ∴ ∠D=360°-90°-90°-90°=90°。 ∴ 四边形ABCD的四个角都是直角，故四边形ABCD是矩形。选B。 16．答案：B 解析：∵ 四边形ABCD是矩形，AC=12， ∴ AC=BD，OA=OC，OB=OD， ∴ OA=OB=6。 又∵ ∠AOB=60°， ∴ △AOB是等边三角形。 ∴ AB=OA=6。故选B。 17．答案：A 解析：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ ∠A+∠B=180°。 又∵ ∠A=∠B， ∴ 2∠A=180°，∴ ∠A=∠B=90°。 ∴ 有一个角是直角的平行四边形ABCD是矩形。故选A。 18．答案：B 解析：活动框架已经是平行四边形。若使两条对角线相等，就满足“对角线相等的平行四边形是矩形”的判定条件，因此可将框架固定成矩形。故选B。 19．答案：60° 解析：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ OA=OB，∠ABC=90°。 ∵ ∠AOB=120°，△AOB是等腰三角形， ∴ ∠OBA=(180°-120°)÷2=30°。 ∴ ∠OBC=∠ABC-∠OBA=90°-30°=60°。 20．答案：5，8 解析：∵ △ABC是直角三角形，M是斜边AB的中点， ∴ CM=AB÷2=10÷2=5。 在Rt△ABC中，∵ AB=10，AC=6， ∴ BC²=AB²-AC²=10²-6²=64。 ∵ BC>0， ∴ BC=8。 21．答案：矩形 解析：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AC=2OA=6，BD=2OB=6。 ∴ AC=BD。 ∴ 对角线相等的平行四边形ABCD是矩形。 22．答案：矩形 解析：∵ AB∥CD，AB=CD， ∴ 一组对边平行且相等的四边形ABCD是平行四边形。 又∵ AC=BD， ∴ 对角线相等的平行四边形ABCD是矩形。 23．答案：见证明 证明： ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AB=CD，∠ABC=∠CDA=90°。 ∵ E，F分别是BC，AD的中点， ∴ BE=BC÷2，DF=AD÷2。 又∵ 矩形的对边相等，即BC=AD， ∴ BE=DF。 在△ABE和△CDF中， ∵ AB=CD，∠ABE=∠CDF=90°，BE=DF， ∴ △ABE≌△CDF（SAS）。 ∴ AE=CF。 24．答案：（1）判断不充分；（2）四边形ABCD是矩形 解： （1）“AC=BD”只说明四边形ABCD的两条对角线相等。一般四边形即使两条对角线相等，也不一定是矩形；使用“对角线相等的平行四边形是矩形”时，还必须先证明该四边形是平行四边形。因此小亮的判断不充分。 （2）∵ OA=OC，OB=OD， ∴ 四边形ABCD的两条对角线互相平分。 ∴ 四边形ABCD是平行四边形。 又∵ AC=BD， ∴ 对角线相等的平行四边形ABCD是矩形。 25．答案：（1）∠A=120°，∠B=60°，不是矩形；（2）矩形 解： （1）∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ ∠A+∠B=180°。 又∵ ∠A=2∠B， ∴ 2∠B+∠B=180°，即3∠B=180°。 ∴ ∠B=60°，∠A=120°。 ∵ ∠A，∠B都不是90°， ∴ ▱ABCD不是矩形。 （2）若∠A=∠B，则 ∵ ∠A+∠B=180°， ∴ 2∠A=180°，∴ ∠A=∠B=90°。 ∴ 有一个角是直角的平行四边形ABCD是矩形。 26．答案：（1）见证明；（2）AO=1.25 m 解： （1）∵ AB∥CD，AB=CD， ∴ 一组对边平行且相等的四边形ABCD是平行四边形。 又∵ AC=BD， ∴ 对角线相等的平行四边形ABCD是矩形。 （2）∵ 四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O， ∴ OA=OC，即O是AC的中点。 ∵ AC=2.5 m， ∴ AO=AC÷2=2.5÷2=1.25（m）。 第三部分（选做·附加） 27．答案：（1）赞同小华；（2）BD=10 cm，OA+OB+OC+OD=20 cm 解： （1）赞同小华。理由如下： 在△ABC中，AB=6 cm，BC=8 cm，AC=10 cm。 ∵ AB²+BC²=6²+8²=36+64=100=10²=AC²， ∴ 根据勾股定理的逆定理，∠ABC=90°。 又∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ 有一个角是直角的平行四边形ABCD是矩形。 因此根据现有数据已经可以判断这块玻璃是矩形，不需要再测量BD。 （2）∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AC=BD，且OA=OC=AC÷2，OB=OD=BD÷2。 ∵ AC=10 cm， ∴ BD=10 cm，OA=OC=5 cm，OB=OD=5 cm。 ∴ OA+OB+OC+OD=5+5+5+5=20（cm）。 28．答案：（1）见证明；（2）周长为28，面积为48 解： （1）证明： ∵ M是斜边AB的中点， ∴ AM=BM。 又∵ MD=CM，且AB与CD相交于点M， ∴ 四边形ACBD的两条对角线AB，CD互相平分。 ∴ 四边形ACBD是平行四边形。 ∵ △ABC是直角三角形，M是斜边AB的中点， ∴ CM=AB÷2。 又∵ MD=CM， ∴ CD=CM+MD=2CM=AB。 ∴ 平行四边形ACBD的两条对角线AB，CD相等。 ∴ 四边形ACBD是矩形。 （2）解： 由（1）知四边形ACBD是矩形，其相邻两边为AC，CB。 ∵ AC=6，BC=8， ∴ 四边形ACBD的周长=2(AC+BC)=2×(6+8)=28； 四边形ACBD的面积=AC×BC=6×8=48。 学科网（北京）股份有限公司 $