1.3矩形的性质与判定同步练习题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、中档综合、提升拓展三层设计，覆盖矩形性质与判定的单一应用到跨知识综合，强化推理能力与几何直观，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|矩形判定定理、基本性质|单选1（判定辨析）、填空8（判定条件），强化概念理解| |中档|性质与判定综合应用|解答15（平行四边形证矩形）、填空12（中垂线与矩形结合），培养推理能力| |提升|动态与跨知识综合|解答17（坐标系折叠）、填空14（矩形折叠求长度），发展几何直观与模型意识|

2026-2027学年北师大版九年级数学上册《1.3矩形的性质与判定》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．如图，小明能用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，他的依据是（     ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 2．在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，垂足为B，点D是的中点，连接，若，则的长为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．如图，将由四根木条钉成的矩形木框挤压后变成平行四边形的形状，在这个变化过程中，关于木框的面积，下列说法正确的是（     ） A．不变 B．变大 C．变小 D．不能确定 5．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接．若，则的长为（     ） A． B．3 C．4 D．5 6．如图，在矩形中，，，点 E 是的中点，连接，则的长度为(     ) A．5 B．4 C．3 D． 7．如图，在矩形中，点的坐标是，则、两点间的距离是（     ） A． B． C．8 D．6 二、填空题 8．在下列条件中，①，；②，；③；能够判定四边形为矩形的是________（填序号）． 9．如图是一块矩形飞镖游戏板，向游戏板随机投掷飞镖，飞镖扎在阴影区域内的概率为________． 10．把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若，则_____________°． 11．如图，在中，点在边上，，点，点分别是，的中点，，连接，则的长为_____． 12．如图，在矩形中，，，对角线的中垂线交于点，交于点，则的长为________．    13．如图，在四边形中，，，，，点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，则当运动时间为_____秒时，四边形是矩形． 14．如图，将一张矩形纸片折叠，折痕为，折叠后，的对应边经过点A，的对应边交的延长线于点P．若，则的长为_________． 三、解答题 15．如图，在中，点是边的中点，点是的中点，延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)给添加一个条件，使得四边形是矩形． 16．如图，是等腰三角形，，点D、E分别是、的中点，连接并延长至点F，使，连接、、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的周长． 17．如图，是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处． (1)求、两点的坐标； (2)求过、两点的直线函数表达式． 18．如图，在矩形中，延长到点D，使，延长到点E，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 19．如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 20．阅读下列材料，并完成相应的任务： ×年×月×日星期日 今天，我在一本书上看到这样一道题：如图1，P为矩形内的任意一点，求证．下面是这道题的部分证明过程：过点P作，则． ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴在和中，根据勾股定理得，…… 任务： (1)请完成材料中剩余的证明过程． (2)如图2，P为矩形内一点，且，，，求的长（结果保留根号）． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】根据矩形的判定定理求解即可． 【详解】解：检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，依据是对角线相等的平行四边形是矩形， 2．D 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分求解即可． 【详解】解：如图， 四边形是矩形， ，， 又， ． 3．D 【分析】利用直角三角形斜边中线定理，直接计算中线长度即可． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， ∵点D是的中点，， ∴． 4．C 【详解】解：∵矩形木框挤压变成平行四边形后，底边没变，但高变小了， ∴木框的面积变小了． 5．A 【分析】矩形的对角线相等且互相平分，据此可得的长，再由三角形中位线定理可得的长． 【详解】解：∵在矩形中，对角线，相交于点， ∴， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴． 6．A 【分析】由于点E为中点，故，在中，利用勾股定理求即可． 【详解】解：如图， 四边形为矩形， ， 为中点，， ， 在中，，， ． 7．A 【分析】根据矩形的性质可得，根据点B坐标求出即可求出答案． 【详解】解：连接， 在矩形中，， ∵， ∴， ∴． 8．③ 【详解】解：①，，只能判定四边形为平行四边形，不能判定为矩形，不符合要求； ②∵，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴只能判定四边形为平行四边形，不能判定为矩形，不符合要求； ③∵， ∴可判定四边形为矩形，符合要求． 因此符合要求的条件为③． 9． 【分析】此题主要考查了几何概率，以及矩形的性质，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．用阴影区域所占的面积除以总面积即可得出答案． 【详解】解：观察发现：由矩形的中心对称性得图中阴影部分面积， ∴针头扎在阴影区域内的概率为； 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了平行线的性质，翻折的性质，熟记性质是解题的关键．根据翻折的性质求出，根据两直线平行，内错角相等求出，再根据直角三角形两锐角互余求出即可． 【详解】解：如图，由题意，得，， ， ， ， ， 故答案为： 11． 【分析】首先利用三线合一性质得到，然后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴． 12． 【分析】本题考查了矩形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理；根据矩形的性质和勾股定理求出，根据垂直平分线的性质得出，设，则，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】四边形是矩形， ，又，， ， 是的垂直平分线， ∴， 设，则， 在中， 即 解得：， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查矩形的判定，由矩形的判定可得出，则可得出答案．确定是解题的关键． 【详解】解：∵点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，设运动时间为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 当时，四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理．连接，设，，证明，求得，由折叠的性质求得，在中，利用勾股定理列式计算，即可求解． 【详解】解：连接，设，， 由矩形的性质和折叠的性质知，，， ∵，， ∴， ∴， 由矩形的性质知： ∴， 折叠的性质知：， ∴， ∴， 由折叠的性质知， ∴， ∴，即， 在中，，即， 解得， ∴， 故答案为： 15．(1) 证明：是的中点， ， 又， ． ，， ∴， ∵为的中点， ， ， 四边形是平行四边形． (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，三线合一定理，全等三角形的性质与判定： （1）证明得到，，则，再证明，即可证明四边形是平行四边形． （2）根据三线合一定理当可得，则可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判定四边形是矩形． 【详解】（1）略 （2）解：添加，可得平行四边形是矩形，理由如下： ， ， ， 又四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形． 16．(1)证明：∵点E是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 点D为等腰的底边的中点， ，即， 四边形是矩形 (2) 【分析】（1）先根据对角线互相平分证明为平行四边形，再由三线合一得到，即可证明为矩形； （2）先证明是等边三角形，然后利用勾股定理求解，即可求解周长． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等腰三角形，，， 是等边三角形， ， 点D是的中点， ， ， ， 矩形的周长． 17．(1)， (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理和待定系数法求解析式， 根据折叠的性质得到，在中利用勾股定理求得，再由折叠得到，有，在中求得即可求得点的坐标； 根据第一问得点坐标利用待定系数法即可求得解析式． 【详解】（1）解：依题意可知，折痕是四边形的对称轴， 在中，，， 由勾股定理，得， 则， ∴． 在中，由勾股定理，得， 又∵，， ∴， 解得， 则， 故，． （2）设、两点所在的直线的解析式为， 则， 解得， 所以过、两点的直线函数表达式为． 18．(1) 证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ∴， ， 四边形是菱形； (2)24 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再结合矩形的性质得，故四边形是菱形； （2）先运用勾股定理算出，再根据菱形的性质求出面积，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ，， ， ，， 四边形的面积． 19．(1)证明：四边形是菱形， ，， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． (2) 【分析】（1）根据菱形的性质得，，再由三角形中位线定理得，得四边形是平行四边形，然后证明即可得出结论． （2）由三角形的中位线定理得，再由矩形的性质得，，，然后由勾股定理求出的长，即可得出的长，结合勾股定理进而求得． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形， ， 由（1）得：，四边形是矩形， ，，， 是的中点， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 四边形是矩形，， ， ，  ，  四边形是菱形， ． 20．(1)过点P作，则． ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴四边形和都是矩形， ∴，， ∴在和中， 根据勾股定理得， 同理，在和中， 根据勾股定理得， ∴； (2)． 【分析】（1）证明四边形和都是矩形，得到，，在和中，利用勾股定理得到，同理，在和中，利用勾股定理即可证明； （2）过点P作，分别交、于点、，则．，，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点P作，分别交、于点、，则． ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）知四边形和都是矩形， ∴，， ∴． $