1.1认识特殊的平行四边形分层训练 -2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 分层递进式夯实特殊平行四边形定义与性质，通过概念辨析、性质应用及综合证明构建知识逻辑链，培养几何直观与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |夯实基础|14题|定义判断法、性质直接应用|从平行四边形到菱形、矩形的概念生成，强调定义核心要素| |能力提优|12题|性质继承分析、图形关系转化|菱形与矩形的交叉关系（公共部分为正方形），深化性质综合应用| |压轴拓展|2题|对称性质迁移、全等证明|结合对称与旋转，实现特殊平行四边形性质的高阶推理|

九年级数学 · 1.1 认识特殊的平行四边形 · 分层训练 1.1 认识特殊的平行四边形 分层训练· A 夯实基础 第一部分（必做） 一、选择题（共 6 题） 1．如图，四个图形均为平行四边形，图中短线表示相应边相等，小方角表示直角。一定是正方形的是（ ） A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ 2．下列说法中，符合菱形定义的是（ ） A．四边相等的四边形 B．有一组邻边相等的平行四边形 C．对角相等的四边形 D．有一个直角的平行四边形 3．菱形、矩形、正方形都一定具有的性质是（ ） A．四条边都相等 B．四个角都是直角 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 4．下列关于正方形的说法正确的是（ ） A．只是矩形 B．只是菱形 C．既是矩形又是菱形 D．不是平行四边形 5．关于轴对称性，下列说法错误的是（ ） A．菱形有2条对称轴 B．矩形有2条对称轴 C．正方形有4条对称轴 D．所有平行四边形都有对称轴 6．把一个平行四边形的一个角调整为90°，其他条件仍保持平行四边形不变，此时得到的图形一定是（ ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．梯形 二、填空题（共 4 题） 7．有一组邻边相等的平行四边形叫作________；有一个角是直角的平行四边形叫作________。 8．菱形的两条对称轴是两条________所在的直线；矩形的两条对称轴是分别经过两组________中点的直线。 9．正方形绕其对称中心旋转，小于360°且能与原图形重合的最小旋转角为________。 10．如图，在菱形ABCD中，连接BD。若∠ABD＝28°，则∠C＝________。 三、解答题（共 4 题） 11．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AD＝6 cm，∠A＝72°。求四边形ABCD的形状、周长和∠B的度数。 12．如图，矩形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝8 cm。求AD、CD及矩形ABCD的周长。 13．给一个普通四边形ABCD依次添加条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝AD；③∠A＝90°。 （1）添加条件①后，四边形ABCD是什么图形？ （2）继续添加条件②后，四边形ABCD是什么图形？ （3）再添加条件③后，四边形ABCD是什么图形？请分别写出判断依据。 14．下面依次画出菱形、矩形、正方形。请在图中画出它们的全部对称轴，并在图下写出对称轴的条数。 B 能力提优 第二部分（必做） 四、选择题（共 4 题） 15．下列“条件—结论”对应正确的是（ ） A．平行四边形＋邻边相等→矩形 B．平行四边形＋一个直角→菱形 C．矩形＋邻边相等→正方形 D．矩形＋邻边不相等→正方形 16．菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O。只利用“菱形具有平行四边形的一切性质”，一定能得到（ ） A．OA＝OC B．AC＝BD C．∠A＝∠B D．∠A＝90° 17．如图，正方形ABCD绕中心O旋转。下列角度中，旋转后不能与原正方形重合的是（ ） A．90° B．135° C．180° D．270° 18．甲、乙、丙三个平行四边形分别满足：甲“邻边相等但没有直角”，乙“有直角但邻边不相等”，丙“邻边相等且有直角”。它们依次是（ ） A．菱形、矩形、正方形 B．矩形、菱形、正方形 C．菱形、正方形、矩形 D．正方形、矩形、菱形 五、填空题（共 4 题） 19．用图形关系表示，菱形与矩形的公共部分是________。 20．菱形、矩形、正方形都是中心对称图形，它们的对称中心都是两条________的交点。 21．一个矩形的长为7 cm，宽为4 cm，因为矩形也是平行四边形，所以它的两组对边分别________，其周长为________cm。 22．如图，在菱形ABCD中，AC是一条对称轴。若∠BAC＝32°，则∠ABC＝________。 六、解答题（共 4 题） 23．某活动框架始终保持为平行四边形，且相邻两根边条长度相等。图中甲、乙是它的两个状态。 （1）状态甲是什么特殊平行四边形？说明理由； （2）当把框架调到状态乙，使其中一个角成为直角时，它又是什么图形？说明理由。 24．在平行四边形ABCD中，若AB＝AD，∠A＝50°。 （1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由； （2）求∠B，∠C，∠D的度数。 25．如图，四边形ABCD是菱形，AC为一条对称轴。点E在AB上，点F是点E关于直线AC的对称点。 （1）点F应落在哪条边上？写出AE与AF、∠EAC与∠CAF的数量关系； （2）若∠EAC＝25°，求∠ABC的度数。 26．如图，正方形ABCD的边长为8 cm，画出它的4条对称轴后，正方形被分成8个全等的小三角形。 （1）求其中任意一个小三角形的面积占正方形面积的几分之几； （2）求其中任意一个小三角形的面积。 C 压轴拓展 第三部分（选做·附加） 27．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝80°，连接AC。点E在边BC上，点F是点E关于直线AC的对称点。 （1）判断四边形ABCD的形状，并求∠BAC的度数； （2）若∠EAC＝15°，求∠AEF的度数。 28．如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边BA的延长线上，且CE＝AF，连接DE，DF。 （1）求证：DE＝DF； （2）求证：DE⊥DF。 详细答案与解析 第一部分（必做） 1．答案：C 解析：图Ⅲ既标出一组邻边相等，又标出一个直角；在“已知是平行四边形”的前提下，同时满足正方形定义中的两个特殊条件，所以一定是正方形。图Ⅰ只能确定为菱形，图Ⅱ只能确定为矩形，图Ⅳ仍是一般平行四边形。 2．答案：B 解析：菱形的定义是“有一组邻边相等的平行四边形”。A缺少“平行四边形”这一前提；C是一般平行四边形也具有的角的性质；D对应矩形。 3．答案：C 解析：三种图形都是平行四边形，因此都继承平行四边形“对角线互相平分”的性质。A只对菱形、正方形一定成立；B只对矩形、正方形一定成立；D不是一般矩形必有的性质。 4．答案：C 解析：正方形既有一组邻边相等，又有一个直角，因此既符合菱形定义，也符合矩形定义，同时当然还是平行四边形。 5．答案：D 解析：菱形有2条对称轴，矩形有2条，正方形有4条；一般平行四边形通常不是轴对称图形。 6．答案：B 解析：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。只给出直角，不能保证邻边相等，所以不一定是正方形。 7．答案：菱形；矩形 解析：直接根据菱形和矩形的定义填写。 8．答案：对角线；对边 解析：菱形的两条对角线所在直线是其对称轴；矩形的两条对称轴分别经过两组对边的中点。 9．答案：90° 解析：正方形绕中心旋转90°、180°、270°都能与原图形重合，其中最小正旋转角为90°。 10．答案：124° 解析：菱形ABCD中AB＝AD，所以△ABD是等腰三角形，∠ADB＝∠ABD＝28°。于是∠A＝180°－28°－28°＝124°。菱形是平行四边形，对角相等，所以∠C＝∠A＝124°。 11．答案：ABCD是菱形，周长24 cm，∠B＝108° 解析：因为ABCD是平行四边形，且AB＝AD，所以它有一组邻边相等，因此ABCD是菱形。平行四边形的对边相等，所以AB＝BC＝CD＝DA＝6 cm，故周长为4×6＝24 cm。平行四边形的邻角互补，所以∠B＝180°－72°＝108°。 12．答案：AD＝8 cm，CD＝5 cm，周长26 cm 解析：矩形是特殊的平行四边形，所以对边相等，即AD＝BC＝8 cm，CD＝AB＝5 cm。矩形ABCD的周长＝2×（AB＋BC）＝2×（5＋8）＝26 cm。 13．答案：（1）平行四边形；（2）菱形；（3）正方形 解析：（1）两组对边分别平行，按定义是平行四边形。（2）在平行四边形基础上又有一组邻边相等，成为菱形。（3）再有一个角是直角，同时具有菱形和矩形的特殊条件，因此成为正方形。 14．答案：菱形2条；矩形2条；正方形4条 解析：菱形的对称轴是两条对角线所在直线；矩形的对称轴是两条分别经过两组对边中点的直线；正方形同时具有上述两类对称轴，共4条。 第二部分（必做） 15．答案：C 解析：矩形本身已有一个直角，若再有一组邻边相等，就同时满足正方形定义中的两个特殊条件，因此成为正方形。A应得到菱形，B应得到矩形；D已明确邻边不相等，不符合正方形“一组邻边相等”的条件。 16．答案：A 解析：菱形是平行四边形，所以其对角线互相平分，故OA＝OC、OB＝OD。AC＝BD、∠A＝∠B、∠A＝90°都不是一般平行四边形必有的性质。 17．答案：B 解析：正方形的最小旋转对称角是90°，所以小于360°时能重合的角度是90°、180°、270°。135°不是90°的整数倍，不能重合。 18．答案：A 解析：甲有一组邻边相等且没有直角，是菱形而不是正方形；乙有直角但邻边不相等，是矩形而不是正方形；丙两条件同时具备，是正方形。 19．答案：正方形 解析：正方形既是特殊的菱形，又是特殊的矩形，因此菱形与矩形的公共部分就是正方形。 20．答案：对角线 解析：三者都是平行四边形，平行四边形的两条对角线互相平分，其交点就是中心对称的对称中心。 21．答案：平行且相等；22 解析：矩形是平行四边形，所以两组对边分别平行且相等。周长＝2×(7＋4)＝22 cm。 22．答案：116° 解析：AC是菱形的一条对称轴，点B与点D关于AC对称，所以∠BAC＝∠CAD＝32°，从而∠A＝64°。菱形是平行四边形，邻角互补，所以∠ABC＝180°－64°＝116°。 23．答案：（1）菱形；（2）正方形 解析：（1）框架始终是平行四边形，且一组邻边相等，符合菱形定义。（2）状态乙在上述条件基础上又出现一个直角，因此同时满足“一组邻边相等”和“一个角是直角”，是正方形。 24．答案：（1）菱形；（2）∠B＝130°，∠C＝50°，∠D＝130° 解析：（1）因为ABCD是平行四边形，且AB＝AD，所以它有一组邻边相等，因此ABCD是菱形。（2）平行四边形的对角相等、邻角互补，所以∠C＝∠A＝50°，∠B＝180°－50°＝130°，∠D＝∠B＝130°。 25．答案：（1）F在AD上，AE＝AF，∠EAC＝∠CAF；（2）130° 解析：（1）AC是菱形的对称轴，边AB关于AC的对称边是AD，因此E的对称点F落在AD上；轴对称保持长度和角度不变，所以AE＝AF，∠EAC＝∠CAF。（2）∠EAC＝25°，故∠CAF＝25°，∠A＝50°。菱形是平行四边形，邻角互补，所以∠ABC＝180°－50°＝130°。 26．答案：（1）八分之一；（2）8 cm² 解析：4条对称轴把正方形分成8个全等的小三角形，所以每个小三角形的面积都占正方形面积的八分之一。正方形边长为8 cm，面积为8×8＝64 cm²，因此其中任意一个小三角形的面积为64÷8＝8 cm²。 第三部分（选做·附加） 27．答案：（1）菱形，∠BAC＝40°；（2）∠AEF＝75° 解析：（1）因为ABCD是平行四边形，且AB＝AD，所以ABCD有一组邻边相等，因此ABCD是菱形。菱形关于对角线AC所在直线成轴对称，所以AC平分∠BAD，故∠BAC＝80°÷2＝40°。（2）F是E关于直线AC的对称点，所以AE＝AF，且∠FAC＝∠EAC＝15°，从而∠EAF＝30°。在等腰三角形AEF中，∠AEF＝（180°－30°）÷2＝75°。 28．答案：（1）DE＝DF；（2）DE⊥DF 解析：（1）正方形ABCD中，DC＝DA，∠DCE＝∠DAF＝90°。又CE＝AF，所以△DCE≌△DAF（边角边），因此DE＝DF。（2）由△DCE≌△DAF，得∠CDE＝∠ADF。又∠CDA＝90°，所以∠EDA＝90°－∠CDE。于是∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝90°－∠CDE＋∠ADF＝90°，故DE⊥DF。 学科网（北京）股份有限公司 $