精品解析：北京市海淀区 北京一零一中石油分校2026—2027学年八年级上学期开学检测数学试题

2026—2027学年八年级上开学检测 一．单选题（每题5分，共40分） 1. 以下各组线段中，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】找出每组线段的最长边，通过比较两条较短线段的和与最长边的大小，判断能否组成三角形． 【详解】解：对于A选项：∵， ∴不能组成三角形； 对于B选项：∵， ∴不能组成三角形； 对于C选项：∵， ∴能组成三角形； 对于D选项：∵， ∴不能组成三角形． 2. 小明在学习三角形的知识时，得到下面两个结论： 甲：如果的一个外角等于它的一个内角，那么是直角三角形； 乙：如果的任意两个内角的和都大于第三个内角，那么是锐角三角形． 关于这两个结论，以下判断正确的是（ ） A. 甲对乙错 B. 甲错乙对 C. 甲乙都对 D. 甲乙都错 【答案】C 【解析】 【详解】解：甲：∵三角形任意一个外角与它相邻的内角和为， ∴若外角等于相邻内角，则两个角都为，故三角形是直角三角形； 若外角等于不相邻内角，根据三角形外角性质，外角等于不相邻两个内角的和， ∴另一个不相邻内角为，不符合三角形定义，不存在这种情况，故甲结论正确； 乙：设中最大内角为，则，， ∵任意两个内角和大于第三个内角， ∴， ∴，代入得， ∴， ∴三角形三个内角都小于，是锐角三角形，故乙结论正确． 综上，甲乙都对． 3. 对用一副三角板可以找到多少不同的角度，两位同学进行了讨论．小明：一副三角板可以找到，，，的角．小丽：不止能找到这些角，还可以组成更多的角．如图所示，当一副三角板这样摆放时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角板的特征确定图中两个底角的度数，利用三角形内角和定理求出顶角度数，再根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：由图可知，右侧三角板为含角的直角三角板，其与底边的夹角为，左侧三角板为等腰直角三角板，其与底边的夹角为 ， 设两斜边交点为P，与底边交点分别为A、B ， 在中，、， ， ． 4. 如图所示，在中，，，垂足分别为，已知，，，则边上的高的长为（ ） A. 4 B. 4.8 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用通过等面积法列出式子，求解即可． 【详解】解：由题意得，， 即， 解得，   故选：B． 5. 如图，为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；②以点为圆心，为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，交上一步作的弧于点；④连接并延长，交于点．若，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图，再由三角形外角的性质得到，即可求解． 【详解】解：由作图可得， ∵， ∴． 6. 如图，有一个圆柱形杯子，小明要测量杯口的直径，他用长度都完全一样的木棍（木棍粗细忽略不计）如图所示放置，与交于点，且是和的中点，小明说测量出的长度，利用全等三角形的性质就可求出的长，以上做法中小明证明全等的依据为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用证明，即可． 【详解】解：∵是和的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等 B. 全等三角形的周长和面积分别相等 C. 所有的等边三角形都是全等三角形 D. 到角两边距离相等的点在角的平分线上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，解题的关键是根据角平分线的判定定理，全等三角形的判定与性质解答． 根据相关定理逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：A、∵ 两边及其中一边的对角对应相等时，无法判定两个三角形全等，只有两边及其夹角对应相等才能判定全等，故此选项错误； B、∵ 全等三角形可以完全重合，对应边都相等，∴ 全等三角形的周长和面积分别相等，故此选项正确； C、∵ 全等三角形要求对应边长度相等，等边三角形的边长不一定相等，∴ 不是所有等边三角形都是全等三角形，故此选项错误； D、∵ 只有在角的内部，到角两边距离相等的点才在角的平分线上，选项缺少“在角的内部”的前提，故此选项错误． 故选：B． 8. 在锐角中，点是边上一动点（不与点、重合），且，点、点到直线的距离分别为、，记，则在点从点向点运动的过程中，以下说法： ①至少存在两个点，使得的值最小； ②对于任意的点，的值始终保持不变； ③至多存在两个点，使得； 其中正确的个数是（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】D 【解析】 【分析】通过作、到直线的垂线，利用相似三角形得到与的比值等于与的比值，结合面积关系逐一分析三个说法． 【详解】解：如图，分别作直线于，直线于，则，， ∵直线于，直线于 又 即 即， ① 当，即为中点时， ，，为绝对值的最小值， 仅存在1个这样的点，故①错误； ② 由面积关系，， 得， 点运动时长度变化，故的值随的位置变化而变化，故②错误； ③ 由，得，该式对所有符合条件的点恒成立，即有无数个点满足，故③错误， 综上，正确的个数为0． 二．填空题（每题5分，共20分） 9. 将点向左平移个单位长度后落在轴上，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据点平移的坐标变化规律得到平移后点的坐标，再利用轴上点的横坐标为列方程，解方程即可． 【详解】解：将点向左平移个单位长度所得到的点的坐标为，即为， ∵将点向左平移个单位长度后落在轴上， ∴点在轴上， ∴， ∴． 10. 若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将方程组中两个方程相加，整理得到关于的表达式，再结合已知，构造关于的一元一次方程求解即可． 【详解】解：， 得，， 等式两边同除以得，， ， ， 解得． 11. 如果，那么，这个命题是___________命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【解析】 【分析】举反例说明其为假命题即可． 【详解】解：取，，符合， 此时， ∴如果，那么，这个命题是假命题． 12. 在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为的点称为“和谐点”． （1）若点是“和谐点”，则的值为________； （2）下列结论正确的是________（写出所有正确结论的序号）． ①第一象限内有无数个“和谐点”； ②已知点，，若点是“和谐点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为； ③已知点，，若点是第一象限内的“和谐点”，三角形的面积记为，则． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】（1）明确“和谐点”的定义：若点坐标为，则满足，所有和谐点都在直线上，因为点是和谐点，所以将代入，解方程即可得到的值． （2）结论①：因为第一象限内的点满足，联立，判断该范围内解的个数即可．结论②：先确定直线的表达式，再求出在坐标轴上的和谐点的坐标，最后用点到竖直直线的距离公式计算距离，判断是否为6．结论③：先确定线段的长度和所在直线的纵坐标，再结合第一象限内和谐点的横坐标的取值范围，用三角形面积公式计算的范围，判断不等式是否成立． 【详解】解：（1）根据“和谐点”的定义：点的横、纵坐标之和为4， 已知点是和谐点， 因此列等式：  ， 解得． （2）逐一判断结论： 结论①：第一象限内的点满足，，结合和谐点定义，当时，范围内有无穷多个实数，对应无数个点，①正确； 结论②：坐标轴上的和谐点满足，若在轴上则，得，若在轴上则，得，由、可知直线是竖直线，点到的距离为横坐标差的绝对值，到的距离为6，到的距离为2，并非所有坐标轴上的和谐点到的距离都是6，因此②错误； 结论③：由、可知，线段长度为4，且在直线上，设第一象限内的和谐点，由第一象限点的性质得且，即， ， ∴，③正确． 三．解答题（13—17题各6分，18题10分） 13. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 14. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 15. 如图，点A，E，B，F在同一直线上，与相交于点G，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定，关键是根据证明解答． 根据等式的性质得出，进而利用证明解答． 【详解】略 16. 如图，在中，平分，E为的中点，．求证：．     【答案】 证明：延长至点，使，连接，则：， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形：延长至点，使，证明，得到，再证明，即可得出结论． 【详解】略 17. 阅读可以增进人们的知识也能陶冶人们的情操．我们要多阅读，多阅读有营养的书．因此我校对学生的课外阅读时间进行了抽样调查，将收集的数据分成A，B，C，D，E五组进行整理，并绘制成如图所示的统计图表（图中信息不完整）． 阅读时间分组统计表 组别 阅读时间 人数 A B 100 C D 140 E 请结合以上信息解答下列问题 （1）________，________，请补全“阅读人数分组统计图”； （2）求出B组人数在扇形统计图中所对应的圆心角； （3）估计全校课外阅读时间在以下（不含）的学生所占百分比． 【答案】（1），； 补全图形如下： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据D组的人数及占比可求出调查的总人数，再根据C，E组的占比求出对应的人数，再用总人数减去各组人数即可求出a，再根据所求的数值即可补全统计图； （2）利用乘以B组人数的占比可得答案； （3）根据题意可知在以下（不含）的学生所占百分比为，故可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，调查的总人数为， ∴，， 则； 补全图形略 【小问2详解】 解：B组人数在扇形统计图中所对应的圆心角为： . 【小问3详解】 解：由（1）可知， 答：估计全校课外阅读时间在以下的学生所占百分比为． 18. 如图，，，，是的中点，连并延长线交射线于点． （1）如图1，当时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2，若为钝角时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） ，理由如下：如图1所示：连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， （2） 与的数量关系：，证明如下： 如图2， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的综合应用等知识； （1）连接，先证，得，再证，得，即可得出结论； （2）先证，得，再证，得，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年八年级上开学检测 一．单选题（每题5分，共40分） 1. 以下各组线段中，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 小明在学习三角形的知识时，得到下面两个结论： 甲：如果的一个外角等于它的一个内角，那么是直角三角形； 乙：如果的任意两个内角的和都大于第三个内角，那么是锐角三角形． 关于这两个结论，以下判断正确的是（ ） A. 甲对乙错 B. 甲错乙对 C. 甲乙都对 D. 甲乙都错 3. 对用一副三角板可以找到多少不同的角度，两位同学进行了讨论．小明：一副三角板可以找到，，，的角．小丽：不止能找到这些角，还可以组成更多的角．如图所示，当一副三角板这样摆放时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，在中，，，垂足分别为，已知，，，则边上的高的长为（ ） A. 4 B. 4.8 C. D. 8 5. 如图，为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；②以点为圆心，为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，交上一步作的弧于点；④连接并延长，交于点．若，则的度数为( ) A. B. C. D. 6. 如图，有一个圆柱形杯子，小明要测量杯口的直径，他用长度都完全一样的木棍（木棍粗细忽略不计）如图所示放置，与交于点，且是和的中点，小明说测量出的长度，利用全等三角形的性质就可求出的长，以上做法中小明证明全等的依据为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等 B. 全等三角形的周长和面积分别相等 C. 所有的等边三角形都是全等三角形 D. 到角两边距离相等的点在角的平分线上 8. 在锐角中，点是边上一动点（不与点、重合），且，点、点到直线的距离分别为、，记，则在点从点向点运动的过程中，以下说法： ①至少存在两个点，使得的值最小； ②对于任意的点，的值始终保持不变； ③至多存在两个点，使得； 其中正确的个数是（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二．填空题（每题5分，共20分） 9. 将点向左平移个单位长度后落在轴上，则的值为________． 10. 若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为________． 11. 如果，那么，这个命题是___________命题（填“真”或“假”）． 12. 在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为的点称为“和谐点”． （1）若点是“和谐点”，则的值为________； （2）下列结论正确的是________（写出所有正确结论的序号）． ①第一象限内有无数个“和谐点”； ②已知点，，若点是“和谐点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为； ③已知点，，若点是第一象限内的“和谐点”，三角形的面积记为，则． 三．解答题（13—17题各6分，18题10分） 13. 计算：． 14. 解不等式组： 15. 如图，点A，E，B，F在同一直线上，与相交于点G，．求证：． 16. 如图，在中，平分，E为的中点，．求证：．     17. 阅读可以增进人们的知识也能陶冶人们的情操．我们要多阅读，多阅读有营养的书．因此我校对学生的课外阅读时间进行了抽样调查，将收集的数据分成A，B，C，D，E五组进行整理，并绘制成如图所示的统计图表（图中信息不完整）． 阅读时间分组统计表 组别 阅读时间 人数 A B 100 C D 140 E 请结合以上信息解答下列问题 （1）________，________，请补全“阅读人数分组统计图”； （2）求出B组人数在扇形统计图中所对应的圆心角； （3）估计全校课外阅读时间在以下（不含）的学生所占百分比． 18. 如图，，，，是的中点，连并延长线交射线于点． （1）如图1，当时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2，若为钝角时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $