广东省深圳市北师大版2026-2027学年八年级学期数学第一次学情自测模拟卷（拔尖卷）

**基本信息** 立足勾股定理与实数核心内容，通过《九章算术》“折竹抵地”文化情境、梯子滑动生活应用及“如意数”创新定义，分层考查运算能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|无理数判断、勾股定理逆定理、实数运算|结合数轴与正方形（第5题）考查几何直观| |填空题|5/15|二次根式取值范围、无理数估算|圆滚动与数轴结合（第12题）体现抽象能力| |解答题|7/61|勾股定理应用、实数综合运算、新定义证明|分层设计：基础计算（14题）→新定义证明（16题）→动态几何探究（20题），注重推理与应用|

广东省深圳市北师大版2026—2027学年八年级上学期数学第一次月考模拟卷.拔尖卷 测试范围：第一章勾股定理 第二章实数 第一部分 选择题 一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的) 1．下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C．0 D． 2．若的三边分别为，，，下列给出的条件能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形底边上的高为（    ） A． B． C． D．或 5．如图，正方形ABCD的顶点A，D在数轴上，且点A表示的数为－1，点D表示的数为0，用圆规在数轴上截取，则点E所表示的数为（    ） A．1 B． C． D． 6．如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积差为（   ） A． B． C． D．无法计算 7．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在数轴上数表示2，的对应点分别是B、C，B是的中点，则点A表示的数（    ） A． B． C． D． 第二部分 非选择题 二、填空题:本大题共5小题，每小题3分，共15分.把答案直接填在答题卡相对应的位置上. 9．在实数范围内要使成立，则的取值范围是_______． 10．满足的所有整数x的和是__________． 11．设的整数部分是a，小数部分是b，则____． 12．如图，圆的半径为1个单位长度，该圆上仅有点A与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴负方向滚动一周，点A到达点的位置，则点表示的数是________． 13．如图所示，在中，，若，则________． 三、解答题:本大题共7小题，共61分.把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔. 14．（6分）计算： (1)； (2)； (3)． 15．（7分）已知的平方根是，的算术平方根是3． (1)求a与b的值； (2)求的立方根． 16．（8分）定义：任意两个数，按规则扩充得到一个新数c，将所得的新数称为“如意数”． (1)若，，直接写出a，b的“如意数”c； (2)如果，，证明“如意数”c是非负数． 17．（8分）如图，小区有一块三角形空地，为响应张掖市创建全国文明典范城市的号召，小区计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路、隔开，．经测量，米，米，米，米． (1)求的长； (2)求小路的长． 18．（10分）如图，一架长米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙米． (1)此时梯子顶端A离地面多少米？ (2)若梯子顶端A下滑米到C，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D？ 19．（10分）已知． (1)求的值； (2)若为的小数部分，求的值； (3)在（2）的条件下，求的值． 20．（12分）已知在中，，点D在线段上，点F在射线上，连接，作交射线于E，． (1)如图1，当时，时，求的大小； (2)当，时， ①如图2，连接，当，求的长； ②若，求的长． 参考答案 1．B 2．B 3．D 4．C 5．C 6．B 7．C 8．C 9． 10．2 11． 12． 13． 14．【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 15．【详解】（1）解：由题意，得，， 解得：，． （2）解：∵， ∴的立方根为：． 16．【详解】（1）解：∵，， ∴ ； (2)证明：∵，， ∴ ， ∵， ∴“如意数”c为非负数． 17．【详解】（1）解：米，米，米， ，， ， ， ， （米）； （2）解：， （米）． 18．【详解】（1）解：由题意得，在中，米，米，， ∴米， ∴梯子顶端A离地面米； （2）解：在中，米，米，， ∴米， ∴米， ∴梯子底端B将向左滑动米到D． 19．【详解】（1）解：， ，， ，， ； （2）解：由（1）可知，， ， ， ， 的整数部分是4，小数部分是， 为的小数部分， ； （3）2026 20．【详解】（1）解：∵，， ， ∵，， ； （2）解：①，， ， ∵，， ，，，， ， ， ， ∴， ， ， ∵， ， 解得：（负根舍去）； ②如图，过作于，当在的右边时， ∵，， ，， ∵， ， ， ， ， ， 当在的左边时，如图， 同理可得：，，， ∴， 由（1）得：， 而，， ∴， ∴； 综上：或． 学科网（北京）股份有限公司 $