四川达州市通川区第七中学校2026-2027学年九年级上学期学情自测数学试题

**基本信息** 九年级上学期学情自测数学卷，以《鹊华秋色图》装裱（文化传承）、垃圾分类（社会热点）为情境，分层考查方程、几何等核心知识，综合题凸显推理与创新。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|轴对称与中心对称、不等式性质、因式分解|第6题结合古画装裱考方程应用| |填空题|5/20|函数图像、根与系数关系、菱形与正方形转化|第14题动态菱形变正方形考空间观念| |解答题|10/90|方程求解、几何证明、旋转综合、动态几何|22题垃圾分类购物考模型意识，25题动态菱形中MF=AB考创新意识|

四川省达州市通川区第七中学校2026-2027学年九年级上学期学情自测数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如果x＜y，那么下列不等式正确的是（　　） A．﹣x﹣1＜﹣y﹣1 B．x+1＞y+1 C．﹣2x＜﹣2y D．2x＜2y 3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a（x﹣y）＝ax﹣ay C．x2+2x+1＝x（x+2）+1 D．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 4．下列条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D C．AB＝AD，CB＝CD D．AB∥CD，AB＝CD 5．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0，配方后得到的方程是（　　） A．（x﹣3）2＝2 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣3）2＝11 D．（x+3）2＝9 6．（《鹊华秋色图》是画家赵孟頫的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为54cm，宽为27cm的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是5：12，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为xcm，下列符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 7．如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是（6，2），点D的坐标是（0，2），点A在x轴上，则点C的坐标是（　　） A．（3，2） B．（3，3） C．（3，4） D．（2，4） 8．若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1 9．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（　　）cm2． A．24 B．27 C．30 D．33 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．对角线AC，BD相交于点O．点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，则△AEF的周长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．若代数式有意义，则x的取值范围是________． 12．如图，已知直线y1＝2x+3与直线y2＝kx+b（k≠0）交于点（n，6），则关于x的不等式kx+b≥2x+3的解集为_________． 13．一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根为a与β．则的值是 　　 ． 14．小颖将能够活动的菱形学具活动成为图1所示形状，并测得AC＝5，∠B＝60°，接着，她又将这个学具活动成为图2所示正方形，此时A'C'的长为 　　 ． 15．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心AB长为半径作弧交AD于点F，分别以点B、F为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点G，连接AG并延长交BC于点E，若AE＝12，BF＝8，则AB的长为 　　 ． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16．解方程：（1）x2﹣2x﹣3＝0； （2）2x（x+1）＝3（x+1）． 17．（1）因式分解：2a3﹣12a2+18a； （2）解分式方程：； 18．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 19．先化简，再求代数式的值，请从0、1、2、3中选取一个适当的数代入求值． 20．已知关于x的一元二次方程x2+（2a+1）x+a2＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围； （2）若方程有两个相等的实数根，求a的值，并求出这两个相等的实数根． 21．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，∠EFC＝2∠ABE．求证：四边形DBFE是菱形． 22．加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任．某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，营造干净、整洁、舒适的人居环境，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多40元，且用4800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同． （1）求甲、乙两种分类垃圾桶的单价； （2）该社区计划用不超过3600元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共20个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？ 23．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于点F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若BD⊥EF，则判断四边形EBFD是什么特殊四边形，请证明你的结论． 24．在△ABC中，AB＝BC，点D在边AC上，连接BD，将BD绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜180°），得线段BE． （1）如图1，若α＝∠ABC，连接AE，求证：∠E+∠ADB＝180°； （2）如图2，若α+∠ABC＝180°，连接CE，作△BCE的中线BM，用等式表示线段BM，AC，CD之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，在（2）的条件下，若∠ABC＝120°，AC＝6，∠DBM＝15°，求BM的长． 25．在菱形ABCD中，∠B＝α（90°≤α＜180°），点E是边BC上一点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转α得到线段EF，连接CF． （1）如图1，α＝90°，求∠DCF的度数； （2）如图2，90°＜α＜180°，求∠DCF的度数（含α的代数式表示）； （3）如图3，α＝120°，AB＝2，点M是DC边上一动点，连接MF，若MF＝AB，N是CM延长线上一点，且MN＝CF，连接FN，请直接写出FN的最大值． 参考答案 四川省达州市通川区第七中学校2026-2027学年九年级上学期学情自测数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、图形不是轴对称图形，它是中心对称图形，不符合题意； C、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意， 故选：D． 2．如果x＜y，那么下列不等式正确的是（　　） A．﹣x﹣1＜﹣y﹣1 B．x+1＞y+1 C．﹣2x＜﹣2y D．2x＜2y 【解答】解：A、在不等式x＜y的两边同时乘﹣1，不等号的方向改变，即﹣x＞﹣y，两边再同时减去1，即﹣x﹣1＞﹣y﹣1，不符合题意； B、在不等式x＜y的两边同时加上1，不等号的方向不变，即x+1＜y+1，不符合题意； C、在不等式x＜y的两边同时乘﹣2，不等号法方向改变，即﹣2x＞﹣2y，不符合题意； D、在不等式x＜y的两边同时乘2，不等号的方向不变，即2x＜2y，符合题意． 故选：D． 3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a（x﹣y）＝ax﹣ay C．x2+2x+1＝x（x+2）+1 D．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 【解答】解：A、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意； B、a（x﹣y）＝ax﹣ay，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； C、x2+2x+1＝x（x+2）+1，没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意； D、（x+1）（x+3）＝x2+4x+3，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； 故选：A． 4．下列条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D C．AB＝AD，CB＝CD D．AB∥CD，AB＝CD 【解答】解：如图示，根据平行四边形的判定方法，只有D正确． 故选：D． 5．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0，配方后得到的方程是（　　） A．（x﹣3）2＝2 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣3）2＝11 D．（x+3）2＝9 【解答】解：∵x2﹣6x﹣2＝0， ∴x2﹣6x＝2， ∴（x﹣3）2＝11， 故选：C． 6．（《鹊华秋色图》是画家赵孟頫的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为54cm，宽为27cm的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是5：12，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为xcm，下列符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可得：， 故选：D． 7．如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是（6，2），点D的坐标是（0，2），点A在x轴上，则点C的坐标是（　　） A．（3，2） B．（3，3） C．（3，4） D．（2，4） 【解答】解：连接AC，BD相交于点E， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AE＝CE，BE＝DE，AC⊥BD， ∵点A在x轴上，点B的坐标为（6，2），点D的坐标为（0，2）， ∴BD＝6，AE＝2， ∴DEBD＝3，AC＝2AE＝4， ∴点C的坐标为：（3，4）． 故选：C． 8．若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1 【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4m≥0， 解得m≤1， 故选：B． 9．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（　　）cm2． A．24 B．27 C．30 D．33 【解答】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图， ∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB， ∴OE＝OD＝3， 同理可得OF＝OD＝3， ∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC OE×ABOD×BCOF×AC （AB+BC+AC）， ∵△ABC的周长是18， ∴S△ABC18＝27（cm2）． 故选：B． 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．对角线AC，BD相交于点O．点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，则△AEF的周长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝8，∠BAD＝90°，OB＝OD＝OA＝OC， 在Rt△BAD中，∵BD10， ∴OD＝OA＝OB＝5， ∵E．F分别是AO，AD中点， ∴EFOD，AE，AF＝4， ∴△AEF的周长为9， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．若代数式有意义，则x的取值范围是x　 ． 【解答】解：由题意得，1﹣2x≠0， 解得x， 故答案为：x． 12．如图，已知直线y1＝2x+3与直线y2＝kx+b（k≠0）交于点（n，6），则关于x的不等式kx+b≥2x+3的解集为 x　 ． 【解答】解：将点（n，6）代入y＝2x+3得， n， 由函数图象可知， 当x时，一次函数y1＝2x+3的图象不在一次函数y2＝kx+b图象的上方，即kx+b≥2x+3， 所以关于x的不等式kx+b≥2x+3的解集为：x． 故答案为：x． 13．一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根为a与β．则的值是 　　 ． 【解答】解：由题意可知：α+β＝3，αβ＝﹣2， ∴． 故答案为：． 14．小颖将能够活动的菱形学具活动成为图1所示形状，并测得AC＝5，∠B＝60°，接着，她又将这个学具活动成为图2所示正方形，此时A'C'的长为 　5　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC， ∵AC＝5， ∴AB＝BC＝5， ∵四边形A′B′C′D′为正方形， ∴∠A′B′C′＝90°， 由旋转的性质得出A′B′＝B′C′＝AB＝5， ∴A′C′5， 故答案为：5． 15．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心AB长为半径作弧交AD于点F，分别以点B、F为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点G，连接AG并延长交BC于点E，若AE＝12，BF＝8，则AB的长为 　　 ． 【解答】解：设AE与BF相交于点O， 由作图过程可知，AB＝AF，AE⊥BF， ∴OB＝OF4，AO平分∠BAF， ∴∠FAE＝∠BAE． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠FAE＝∠BEA， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴AB＝BE， ∴△ABE为等腰三角形， ∵BO⊥AE， ∴OA＝OE6． 在Rt△BOE中，由勾股定理得，BE， ∴AB． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16．解方程：（1）x2﹣2x﹣3＝0； （2）2x（x+1）＝3（x+1）． 【解答】解：（1）x2﹣2x﹣3＝0， （x﹣3）（x+1）＝0， ∴x﹣3＝0或x+1＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣1； （2）2x（x+1）＝3（x+1）， 移项，得2x（x+1）﹣3（x+1）＝0， 所以（x+1）（2x﹣3）＝0， 所以x+1＝0或2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1，． 17．（1）因式分解：2a3﹣12a2+18a； （2）解分式方程：； 【解答】解：（1）2a3﹣12a2+18a ＝2a（a2﹣6a+9） ＝2a（a﹣3）2； （2）． 方程两边同乘3（x﹣1），得：3x﹣2x＝3（x﹣1）， 解得， 检验，当时，3（x﹣1）≠0， ∴原方程的解为； 18．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【解答】解：， 由①得：2x＞﹣2， ∴x＞﹣1， 由②得：3x﹣1＜2x+2， ∴x＜3， ∴不等式组的解集为：﹣1＜x＜3， ∴表示在数轴上为： 19．先化简，再求代数式的值，请从0、1、2、3中选取一个适当的数代入求值． 【解答】解： ， ∵x﹣1≠0，x≠0，x﹣3≠0， ∴x≠0，1，3， ∴x＝2， 当x＝2时，原式． 20．已知关于x的一元二次方程x2+（2a+1）x+a2＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围； （2）若方程有两个相等的实数根，求a的值，并求出这两个相等的实数根． 【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即（2a+1）2﹣4a2＞0时， 解得a； （2）∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即（2a+1）2﹣4a2＝0， 解得a， ∴方程为x2x0， ∴（x）2＝0， ∴x0， ∴x1＝x2． 21．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，∠EFC＝2∠ABE．求证：四边形DBFE是菱形． 【解答】证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠EFC＝2∠ABE＝∠ABC， ∴EF∥AB， ∴四边形DBFE是平行四边形， ∵DE∥BC， ∴∠DEB＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠DEB， ∴DE＝DB， ∴四边形DBFE是菱形． 22．加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任．某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，营造干净、整洁、舒适的人居环境，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多40元，且用4800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同． （1）求甲、乙两种分类垃圾桶的单价； （2）该社区计划用不超过3600元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共20个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？ 【解答】解：（1）甲分类垃圾桶的单价是x元，则乙分类垃圾桶的单价是（x+40）元， 根据题意得， 解得x＝160， 经检验，x＝160是原方程的解，且符合题意， ∴x+40＝160+40＝200． 答：甲分类垃圾桶的单价是160元，乙分类垃圾桶的单价是200元； （2）设购买甲分类垃圾桶y个，则购买乙分类垃圾桶（20﹣y）个， 依题意得：200（20﹣y）+160y≤3600， 解得：y≥10， ∵y为正整数， ∴y的最小值为10． 答：最少需要购买甲种分类垃圾桶10个． 23．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于点F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若BD⊥EF，则判断四边形EBFD是什么特殊四边形，请证明你的结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝CB，AD∥CB，∠A＝∠C，∠ABC＝∠ADC， ∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC， ∴∠ABE∠ABC，∠CDF∠ADC， ∴∠ABE＝∠CDF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（ASA）； （2）解：四边形EBFD是菱形；理由如下： 由（1）得：△ABE≌△CDF， ∴AE＝CF， ∴DE＝BF， 又∵DE∥BF， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∵BD⊥EF， ∴四边形EBFD是菱形． 24．在△ABC中，AB＝BC，点D在边AC上，连接BD，将BD绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜180°），得线段BE． （1）如图1，若α＝∠ABC，连接AE，求证：∠E+∠ADB＝180°； （2）如图2，若α+∠ABC＝180°，连接CE，作△BCE的中线BM，用等式表示线段BM，AC，CD之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，在（2）的条件下，若∠ABC＝120°，AC＝6，∠DBM＝15°，求BM的长． 【解答】（1）证明：将BD绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得线段BE． ∴BE＝BD，∠DBE＝α， 又∵α＝∠ABC， ∴∠DBE＝∠ABC， ∴∠DBE﹣∠ABD＝∠ABC﹣∠ABD，即∠ABE＝∠CBD， 在△ABE和△CBD中， ， ∴△ABE≌△CBD（SAS）， ∴∠E＝∠BDC， 又∵∠BDC+∠ADB＝180°， ∴∠E+∠ADB＝180°． （2）， 理由如下； 如图，延长CB使BF＝CB． ∵BM是△BCE的中线， ∴CM＝ME， ∴BM是△CEF的中位线， ∴， ∵将BD绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得线段BE． ∴BE＝BD，∠DBE＝α， ∵α+∠ABC＝180°，即∠DBE+∠ABC＝180°， 又∵∠ABF+∠ABC＝180°， ∴∠ABF＝∠DBE， ∴∠ABF﹣∠ABE＝∠DBE﹣∠ABE，即∠FBE＝∠ABD， ∵CB＝FB，CB＝AB， ∴FB＝AB， 在△FBE和△ABD中， ， ∴△FBE≌△ABD（SAS）， ∴FE＝AD， ∴； （3）情况一：设AB与FE的交点为G，过B点作BH⊥AC于H点． ∵AB＝BC，∠ABC＝120°， ∴， 又∵AC＝6，BH⊥AC， ∴AH＝CH＝3，． 设BH＝x．则AB＝2x，则（2x）2﹣x2＝32，解得， ∴， ∵BF＝BA， ∴， 若∠ABC＝120°， ∴∠ABF＝60°，由（2）知△FBE≌△ABD， ∴∠BFE＝∠BAD＝30°， ∴∠FGB＝90°，∠BGE＝90°， ∴BG，FG， ∵∠DBE＝α，α+∠ABC＝180°， ∴∠DBE＝60°， ∵∠DBM＝15°，∠EBM＝60°﹣15°＝45°， ∵BM∥FE， ∴∠MBC＝∠F＝30°， ∴∠ABM＝∠ABC﹣∠MBC＝90°， ∴∠GBE＝∠ABM﹣∠EBM＝45°， ∴∠GEB＝90°﹣∠GBE＝45°，，， 由（2）知． 情况二：当BM在BD右侧时，如图，过点E作ET∥BM交CB的延长线于T， 则∠TEB＝∠EBM＝75°， ∴TE＝TB＝2， ∵M是CE中点， ∴BM是△TEB的中位线， ∴BMTB， 综上，BM或． 25．在菱形ABCD中，∠B＝α（90°≤α＜180°），点E是边BC上一点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转α得到线段EF，连接CF． （1）如图1，α＝90°，求∠DCF的度数； （2）如图2，90°＜α＜180°，求∠DCF的度数（含α的代数式表示）； （3）如图3，α＝120°，AB＝2，点M是DC边上一动点，连接MF，若MF＝AB，N是CM延长线上一点，且MN＝CF，连接FN，请直接写出FN的最大值． 【解答】解：（1）如图，过点F作FG⊥BC，交BC延长线于点G， ∵在菱形ABCD中，∠B＝α＝90°， ∴四边形ABCD是正方形，∠BAE+∠AEB＝90°， ∴AB＝BC，CD⊥BC， 由旋转的性质得AE＝EF，∠AEF＝α＝90°， ∴∠GEF+∠AEB＝90°， ∴∠GEF＝∠BAE， 在△GEF和△BAE中， ∴△GEF≌△BAE（AAS）， ∴EG＝AB，GF＝BE， ∴EG＝BC， ∴EG﹣EC＝BC﹣EC， 即CG＝BE， ∴CG＝GF， ∴∠FCG＝∠CFG＝45°， 又∵CD⊥BC， ∴∠DCF＝90°﹣∠FCG＝45°； （2）如图，延长BC到点G，使CG＝BE，连接FG， ∵四边形ABCD是菱形，∠B＝α（90°＜α＜180°）， ∴AB＝BC，AB∥CD，∠BAE+∠AEB＝180°﹣α， ∴∠DCG＝∠B＝α， ∵CG＝BE， ∴CG+CE＝BE+CE， 即EG＝BC， ∴EG＝AB， 由旋转的性质得AE＝EF，∠AEF＝α， ∴∠GEF+∠AEB＝180°﹣α， ∴∠GEF＝∠BAE， 在△GEF和△BAE中， ， ∴△GEF≌△BAE（SAS）， ∴FG＝BE，∠G＝∠B＝α， ∴CG＝FG， ∴∠FCG＝∠CFG， ∴； （3）由（2）知当α＝120°时，， 如图，过点N作NP⊥CN于点N，且使NP＝CM，连接PM， ∴∠PNM＝∠MCF＝90°， 又∵NP＝CM，MN＝CF， ∴△PMN≌△MFC（SAS）， ∴∠PMN＝∠MFC，PM＝MF， ∵MF＝AB，AB＝2， ∴PM＝MF＝AB＝2， ∵∠MCF＝90°， ∴∠MFC+∠CMF＝90°， ∴∠PMN+∠CMF＝90°， ∴∠PMF＝180°﹣（∠PMN+∠CMF）＝90°， 取PM中点H，连接NH，FH， ∵∠PNM＝90°，PM＝MF＝2， ∴， ∴， 由两点之间线段最短得，且当N、H、F依次共线时， NF取得最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $