四川达州市渠县崇德实验学校2026-2027学年九年级上学期学数学学 情自测试题

**基本信息** 覆盖初中数学核心知识，基础与能力梯度分明，结合生活情境（如矩形花圃面积、苹果购买函数）与几何探究（如菱形证明、动态最值），适配开学衔接与数学眼光、思维、语言素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|轴对称与中心对称、因式分解、平行四边形判定|第8题以建花圃为背景，考查方程应用，体现模型意识| |填空题|10题40分|分式方程增根、旋转性质、动态几何最值|第23题正方形中线段运动最值，培养空间观念与创新意识| |解答题|8题88分|一元二次方程解法、菱形证明、函数与几何综合|第26题动态几何探究，融合平行、垂直与面积关系，发展推理能力与应用意识|

四川省达州市渠县崇德实验学校2026-2027学年九年级上学期开学考试数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列因式分解正确的是（　　） A．1﹣4x2＝（1+4x）（1﹣x） B．x2+16＝（x+4）2 C．a3﹣a2＝a2（a﹣1） D．a2+2a+4＝（a+2）2 3．下列几个变形中，正确的是（　　） A．如果x＞y，那么x﹣1＞y+1 B．如果x＞y，那么 C．如果x＞y，那么 D．如果x＞y，那么 4．如图，在四边形ABCD中，AC交BD于点O，O为AC中点，下列条件能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．OB＝OD B．AB＝CD C．AC＝BD D．AD＝BC 5．如图△ABC的边BC的长为4cm，将△ABC向上平移2cm得到△A'B'C'，且BB'⊥BC，则图中阴影部分的面积为（　　） A．8cm2 B．4cm2 C．12cm2 D．6cm2 6．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 7．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1 8．如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的墙（图中阴影部分），另外三边用25m长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1m宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为xm，若花圃的面积为80m2，所列方程正确的是（　　） A．x（26﹣2x）＝80 B．x（24﹣2x）＝80 C．（x﹣1）（26﹣2x）＝80 D．（x﹣1）（25﹣2x）＝80 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．若代数式有意义，则x的取值范围是______． 10．若b为整数，且x+1是x2+bx+3的一个因式，则b的值为　　 ． 11．若关于x的分式方程有增根，则m的值为 　　 ． 12．已知x+y＝6，xy＝4，则代数式的值是 　　 ． 13．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F，连接AD、CF，过点D作DG⊥CF于点G．若AB＝3，BC＝5，四边形ADCF是菱形，则DG的长为　　 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）用适当的方法解下列方程： （1）（2x﹣1）2＝（2﹣x）2； （2）4x2+11x﹣3＝0； （3）2x2﹣8x+3＝0； （4）（x﹣4）2+（4x﹣3）2＝（3x+1）2． 15．（8分）先化简，再求值：，其中a＝3． 16．（10分）已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且4，求实数k的值． 17．（10分）如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）若AF平分∠BAC，求证：AB2＝BF•BC． 18．（12分）点E是正方形ABCD的对角线BD上一点，过点E作EF⊥AE交CD于点F，AE的延长线交BC于点G，AF交BD于点H． （1）如图1，证明：AE＝EF； （2）如图2，若AD＝DE，AB＝2，求CF的长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α3+8β+1的值为 　　 ． 20．如图，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买6千克这种苹果比分六次购买1千克这种苹果可节省的金额为　　 元． 21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边上，则点B′与点B之间的距离为　　 ． 22．若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜﹣2，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是_______． 23．如图，已知正方形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，G是BO的中点，线段EF（点E在点F的左边）在AC上运动，连接BF，EG，若EF＝2，则BF+GE的最小值是 　　 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元． （1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？ （2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ 25．（10分）课本再现 在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，求证：OA＝OC，OB＝OD． 知识应用 （2）在△ABC中，点P为BC的中点．延长AB到D，使得BD＝AC，延长AC到E，使得CE＝AB，连接DE．如图2，连接BE，若∠BAC＝60°，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明． 26．（12分）如图，在△ABC下方的直线MN∥AB． （1）P为直线MN上一动点，连接PA，PB．若∠ABC＝∠APM，∠CAB＝∠BPN． ①如图1，求证：四边形APBC是平行四边形； ②如图2，∠ACB＝90°，AC＝2BC，作BD⊥MN于点D，连接CD，若，求PD的长； （2）如图3，∠ACB＝90°，BC＝1，作BD⊥MN于点D，连接AD，CD，若△ABD的面积始终为3，求CD长的最大值． 参考答案 四川省达州市渠县崇德实验学校2026-2027学年九年级上学期开学考试数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； B．图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意； C．图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； D．图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意， 故选：B． 2．下列因式分解正确的是（　　） A．1﹣4x2＝（1+4x）（1﹣x） B．x2+16＝（x+4）2 C．a3﹣a2＝a2（a﹣1） D．a2+2a+4＝（a+2）2 【解答】解：A、1﹣4x2＝（1+2x）（1﹣2x），故此选项不符合题意； B、x2+16不能分解因式，故此选项不符合题意； C、a3﹣a2＝a2（a﹣1），故此选项符合题意； D、左边≠右边，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．下列几个变形中，正确的是（　　） A．如果x＞y，那么x﹣1＞y+1 B．如果x＞y，那么 C．如果x＞y，那么 D．如果x＞y，那么 【解答】解：A、如果x＞y，当x＝1，y＝0时，0＜0+1，故A选项不符合要求； B、如果x＞y，当x＝1，y＝﹣1时，，故B选项不符合要求； C、如果x＞y，m2+1＞0，那么，故C选项符合要求； D、如果x＞y，当m2＝0时，，故D选项不符合要求； 故选：C． 4．如图，在四边形ABCD中，AC交BD于点O，O为AC中点，下列条件能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．OB＝OD B．AB＝CD C．AC＝BD D．AD＝BC 【解答】A．∵O为AC中点， ∴OA＝OC， ∵OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故A符合题意； B、C、D都不能判定四边形ABCD是平行四边形， 故选：A． 5．如图△ABC的边BC的长为4cm，将△ABC向上平移2cm得到△A'B'C'，且BB'⊥BC，则图中阴影部分的面积为（　　） A．8cm2 B．4cm2 C．12cm2 D．6cm2 【解答】解：由平移可知，三角形A′B′C′的面积＝三角形ABC的面积， ∴阴影部分的面积等于长方形BB′C′C的面积＝BC×BB'＝4×2＝8（cm2）． 故选：A． 6．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【解答】解：A：菱形和矩形的对边相等，故选项A不符合题意；B：菱形和矩形的对角均相等，故选项B不符合题意；C：菱形和矩形的对角线互相平分，故选项C不符合题意；D：菱形的对角线互相垂直，而矩形不具有该性质，故选项D符合题意；故选：D． 7．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4﹣4m＞0， 解得：m＜1． 故选：A． 8．如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的墙（图中阴影部分），另外三边用25m长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1m宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为xm，若花圃的面积为80m2，所列方程正确的是（　　） A．x（26﹣2x）＝80 B．x（24﹣2x）＝80 C．（x﹣1）（26﹣2x）＝80 D．（x﹣1）（25﹣2x）＝80 【解答】解：设花圃与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26﹣2x）m， 根据题意得：x（26﹣2x）＝80． 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．若代数式有意义，则x的取值范围是 x＜3　 ． 【解答】解：代数式有意义的x的取值范围是3﹣x＞0， 解得x＜3， 故答案为：x＜3． 10．若b为整数，且x+1是x2+bx+3的一个因式，则b的值为　4　 ． 【解答】解：设另一个因式为x+m， 则（x+1）（x+m） ＝x2+mx+x+m ＝x2+（m+1）x+m ＝x2+bx+3， 那么m＝3，b＝m+1＝3+1＝4， 故答案为：4． 11．若关于x的分式方程有增根，则m的值为 　2　 ． 【解答】解：， 1＝x﹣m﹣2（x﹣3）， 解得：x＝5﹣m， ∵分式方程有增根， ∴x﹣3＝0， ∴x＝3， 把x＝3代入x＝5﹣m中， 5﹣m＝3， ∴m＝2， ∴m的值为2， 故答案为：2． 12．已知x+y＝6，xy＝4，则代数式的值是 　3　 ． 【解答】解：∵x+y＝6，xy＝4， ∴3． 故答案为：3． 13．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F，连接AD、CF，过点D作DG⊥CF于点G．若AB＝3，BC＝5，四边形ADCF是菱形，则DG的长为　　 ． 【解答】解：∵四边形ADCF是菱形， ∴AC⊥DF， ∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴DE∥AB， ∴∠BAC＝∠DEC＝90°， ∵AB＝3，BC＝5， ∴AC4，CF＝ADBC， ∵AF∥BC交DE的延长线于点F， ∴AF∥BD，DF∥AB， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴DF＝AB＝3， ∵DG⊥CF于点G， ∴S菱形ADCFDG3×4， ∴DG， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）用适当的方法解下列方程： （1）（2x﹣1）2＝（2﹣x）2； （2）4x2+11x﹣3＝0； （3）2x2﹣8x+3＝0； （4）（x﹣4）2+（4x﹣3）2＝（3x+1）2． 【解答】解：（1）（2x﹣1）2＝（2﹣x）2， （2x﹣1）2﹣（2﹣x）2＝0， （2x﹣1+2﹣x）（2x﹣1﹣2+x）＝0， （x+1）（3x﹣3）＝0， 则x+1＝0或3x﹣3＝0， 所以x1＝﹣1，x2＝1； （2）4x2+11x﹣3＝0， （x+3）（4x﹣1）＝0， 则x+3＝0或4x﹣1＝0， 所以； （3）2x2﹣8x+3＝0， x2﹣4x， x2﹣4x+4， （x﹣2）2， 则x﹣2， 所以； （4）（x﹣4）2+（4x﹣3）2＝（3x+1）2， x2﹣8x+16+16x2﹣24x+9﹣9x2﹣6x﹣1＝0， 8x2﹣38x+24＝0， 4x2﹣19x+12＝0， （x﹣4）（4x﹣3）＝0， 则x﹣4＝0或4x﹣3＝0， 所以． 15．（8分）先化简，再求值：，其中a＝3． 【解答】解： • • ， 当a＝3时，原式2． 16．（10分）已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且4，求实数k的值． 【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两个实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4（k+1）＝﹣4k+12≥0， ∴k≤3； （2）依题意得，x1+x2＝4，x1x2＝k+1， ∵4， ∴， ∴， ∴k1＝5，k2＝﹣3， 又k≤3， ∴k＝﹣3， 经检验k＝﹣3是分式方程的解． 所以k＝﹣3． 17．（10分）如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）若AF平分∠BAC，求证：AB2＝BF•BC． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO， ∵EF垂直平分AC， ∴AO＝CO， 又∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE＝CF， 又∵AE∥CF， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵EF⊥AC， ∴四边形AFCE是菱形． （2）证明：∵AF平分∠BAC， ∴∠BAF＝∠FAC， ∵四边形AFCE是菱形， ∴AF＝FC， ∴∠FAC＝∠FCA， ∴∠BAF＝∠FCA， 又∵∠ABF＝∠CBA， ∴△ABF∽△CBA， ∴， ∴AB2＝BF•BC． 18．（12分）点E是正方形ABCD的对角线BD上一点，过点E作EF⊥AE交CD于点F，AE的延长线交BC于点G，AF交BD于点H． （1）如图1，证明：AE＝EF； （2）如图2，若AD＝DE，AB＝2，求CF的长． 【解答】（1）证明：如图，连接CE． ∵四边形ABCD是正方形， ∴点A，C关于BD对称， ∴CE＝AE，∠DCE＝∠DAE． ∵∠AEF+∠FDA＝180°， ∴∠EFD+∠EAD＝180°， 又∠EFC+∠DFE＝180°， ∴∠DCE＝∠CFE， ∴EC＝FE， ∴AE＝FE； （2）由四边形ABCD是正方形， 得AD＝AB＝2，∠EBA＝∠EDF＝45°，． 由AD＝ED， 得AB＝DE，∠EAD＝∠DEA， 得∠BAD﹣∠DAE＝∠FEA﹣∠DEA，即∠BAE＝∠DEF， 得△EBA≌△FDE， 得， 得． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α3+8β+1的值为 　25　 ． 【解答】解：根据题意得：α+β＝2，α2＝2α+4， α3+8β+1 ＝α•α2+8β+1 ＝α（2α+4）+8β+1 ＝2α2+4α+8β+1 ＝4α+8+4α+8β+1 ＝8α+8β+9 ＝8（α+β）+9 ＝16+9 ＝25． 故答案为：25． 20．如图，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买6千克这种苹果比分六次购买1千克这种苹果可节省的金额为　8　 元． 【解答】解：设y关于x的函数关系式为y＝kx+b， 当0≤x≤2时，将（0，0）、（2，20）代入y＝kx+b中得： ， 解得：， ∴y＝10x（0≤x≤2）； 当x≥2时，将（2，20）、（4，36）代入y＝kx+b中得： ， 解得：， ∴y＝8x+4（x≥2）； 当x＝1时，y＝10x＝10， 当x＝6时，y＝52， 10×6﹣52＝8（元）． 故答案为：8． 21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边上，则点B′与点B之间的距离为　　 ． 【解答】解：连接BB′， ∵AC＝A′C，B′C＝BC，∠A＝60°， ∴△ACA′是等边三角形， ∴∠ACA′＝60°， ∴∠BCB′＝∠ACA′＝60°， ∴△BCB′是等边三角形， ∴BB′＝BC， ∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1， ∴AB＝2AC＝2， 根据勾股定理，得， ∴． 故答案为：． 22．若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜﹣2，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 　﹣13　 ． 【解答】解：， 解不等式①得：x＜﹣2， 解不等式②得：x， ∵不等式组的解集为x＜﹣2， ∴2， 解得：a≥﹣8， ， 2y＝a﹣（y+1）， 解得：y， ∵分式方程的解为负整数， ∴0且1， ∴a＜1且a≠﹣2， ∴﹣8≤a＜1且a≠﹣2， ∵分式方程的解为负整数， ∴a＝﹣8或﹣5， ∴所有满足条件的整数a的值之和是﹣13， 故答案为：﹣13． 23．如图，已知正方形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，G是BO的中点，线段EF（点E在点F的左边）在AC上运动，连接BF，EG，若EF＝2，则BF+GE的最小值是 　2　 ． 【解答】解：∵正方形ABCD，正方形ABCD的边长为， ∴，∠ADC＝∠BCD＝90°， ∴AC8， ∴OAAC＝4，BD＝AC＝8， ∴OBBD＝4， 如图，取BC的中点P，连接GP，FP，DF，连接DP交AC于点H， ∵G是BO的中点， ∴GP是△BOC的中位线， ∴GP∥OC，GPOC＝2， ∵EF＝2， ∴EF＝GP， ∴四边形EFPG是平行四边形， ∴GE＝PF， ∵AC垂直平分BD， ∴BF＝DF， ∴BF+GE＝DF+PF≥DP，即F与H重合时，BF+GE的值最小，最小值为DP的长， ∵CPBC＝2， ∴DP2， ∴BF+GE的最小值为2． 故答案为：2． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元． （1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？ （2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ 【解答】解：（1）设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是（x﹣20）元， 由题意得：， 解得：x＝50， 经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意， ∴x﹣20＝30， 答：A种商品每件的进价是50元，B种商品每件的进价是30元； （2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（40﹣a）件， 由题意得：， 解得：a≤18， ∵a为正整数， ∴a＝14，15，16，17，18， 答：该商店有5种进货方案． 25．（10分）课本再现 在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，求证：OA＝OC，OB＝OD． 知识应用 （2）在△ABC中，点P为BC的中点．延长AB到D，使得BD＝AC，延长AC到E，使得CE＝AB，连接DE．如图2，连接BE，若∠BAC＝60°，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠OAD＝∠OCB，∠ODA＝∠OBC， ∴△OAD≌△OCB（ASA）， ∴OA＝OC，OB＝OD； （2）解：BE＝2AP，证明如下： 如图所示，过点B作BH∥AE交DE于H，连接PH，CH， ∴∠DBH＝∠BAC＝60°， ∵AB＝CE，AC＝BD， ∴AB+BD＝AC+CE，即AD＝AE， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠D＝60°，DE＝DA， ∴△DBH是等边三角形， ∴BH＝BD＝DH， ∴BH＝AC， 又∵BH∥AC， ∴四边形ABHC是平行四边形， ∴AH，BC互相平分， ∵点P为BC的中点， ∴A、P、H三点共线， ∴AH＝2AP， 在△ADH和△EDB中， ， ∴△ADH≌△EDB（SAS）， ∴BE＝AH， ∴BE＝2AP． 26．（12分）如图，在△ABC下方的直线MN∥AB． （1）P为直线MN上一动点，连接PA，PB．若∠ABC＝∠APM，∠CAB＝∠BPN． ①如图1，求证：四边形APBC是平行四边形； ②如图2，∠ACB＝90°，AC＝2BC，作BD⊥MN于点D，连接CD，若，求PD的长； （2）如图3，∠ACB＝90°，BC＝1，作BD⊥MN于点D，连接AD，CD，若△ABD的面积始终为3，求CD长的最大值． 【解答】（1）①证明：∵MN∥AB， ∴∠APM＝∠BAP，∠BPN＝∠ABP， ∵∠ABC＝∠APM，∠CAB＝∠BPN， ∴∠ABC＝∠BAP，∠CAB＝∠ABP， ∴BC∥AP，AC∥BP， ∴四边形APBC是平行四边形． ②解：过C作CH⊥MN于点H，交AB于点G，则四边形BDHG是矩形， 设BCx，则AC＝2x， ∴AB5x， 根据等面积可得：CG2x， BGx， ∵S△ACB＝S△ABP， ∴CG＝GH＝2x， ∴CH＝CG+GH＝4x， ∵DH＝BG＝x， ∴CD2＝DH2+CH2，即17＝x2+16x2， 解得x＝1， ∴BP＝AC＝2，BD＝GH＝2， ∴PD4． （3）解：如图，过B作BP∥AC交MN于点P，作AQ⊥BP交BP于点Q，则四边形ACBQ是矩形， ∴AQ＝BC＝1， ∵MN∥AB， ∴S△ABP＝S△ABD＝3， ∴BP•AQ＝3， ∵BP＝6， 取BP中点O，连接OC、OD，则OBBP＝3， 在Rt△OBC中，OC， ∵△BDP是直角三角形，O是BP中点， ∴ODBP＝3， 根据三角形三边关系可得，CD≤OC+OD＝3， ∴CD最大值为3． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $