四川达州市铁路中学2026-2027学年九年级上学期开学学情自测数学试题

**基本信息** 以真实情境与梯度设计实现开学学情精准诊断，涵盖四边形、方程等核心知识，突出逻辑推理与模型应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/32|图形性质、不等式性质等|如1题结合中心对称与轴对称，考查空间观念| |填空题|10/40|内角和、因式分解等|如9题韶阳楼塔基正六边形，渗透文化传承| |解答题|8/78|几何证明、函数应用等|24题新能源汽车销售模型，体现应用意识；26题“奇妙四边形”新定义，发展创新思维|

四川省达州市铁路中学2026-2027学年九年级上学期开学学情自测数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．若a＞b，则下列不等式不一定成立的是（　　） A．a﹣4＞b﹣4 B．2a＞2b C．1﹣5a＜1﹣5b D．ac＜bc 3．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x﹣2y＝1 B． C．x2﹣2y+4＝0 D．x2﹣2x+1＝0 4．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　） A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角 5．如图，在△ABC中，F在BC上，AC＝CF，CD⊥AF，垂足为D，E为AB的中点，AC＝6，BC＝10，则ED的长为（　　） A．4 B．3 C． D．2 6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（　　） A．20 B．24 C．40 D．48 7．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交CD于点E，AB＝6，AD＝4，则CE＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．关于x的方程1有增根，则m的值是（　　） A．0 B．2或3 C．2 D．3 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．如图，韶关市城市新地标韶阳楼坐落在美丽的森林公园内．韶阳楼的地底藏有一座神秘古塔的塔基，正与韶阳楼的中心位置重合，该塔基是正六边形，此六边形的内角和为　　 ． 10．分解因式：8x2﹣2＝　　 ． 11．已知k是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则k2﹣k＝　　 ． 12．已知关于x的不等式组有解，则m的取值范围是_______． 13．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为_____. 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．解方程：（1）； （2）3x2+x﹣1＝0． 15．先化简，再求值：，请从﹣3，﹣1，0这三个整数中选一个适当的数作为x的值代入求值． 16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的坐标分别是A（﹣2，﹣3），B（0，﹣2），C（﹣3，0）． （1）把△ABC向右平移4个单位长度后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1； （2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2； （3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点　　 中心对称． 17．四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，且DE＝BF，AF＝CE． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若DE＝4，CF＝3，EF＝5，求四边形ABCD的周长． 18．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的角平分线分别交BD，BC于点O，E． （1）连接DE，求证：四边形ABED为菱形； （2）若BC＝8，CD＝4，求AE的长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC为　　 三角形． 20．若x1、x2是方程x2+3x﹣5＝0两根，则的值为　　 ． 21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E．若CE＝8，则线段AE的长度等于 　　 ． 22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P是△ABC内一点，AP＝6，且∠APB＝∠APC＝135°，那么AB的长为________. 23．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点P，AE＝2，BF＝EG，DG＞AE，则DP长的最小值为_______. 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．根据以下素材，完成下列任务． 背景素材 背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的，在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． 素材1 某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆． 素材2 某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元． 问题解决 任务1 根据素材1，求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 任务2 根据素材2，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 25．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于A，B两点，∠OAB＝45°，点A的坐标为（4，0）．点C（m，n）是线段AB上一点，连接OC并延长至D，使DC＝OC，连接BD． （1）求直线AB的表达式； （2）若△BCD是直角三角形，求点C的坐标； （3）若直线y＝mx+2n﹣18与△BCD的边有两个交点，求m的取值范围． 26．定义：一组对角互补，且有一组邻边相等的四边形称为“奇妙四边形”． （1）下列选项中一定是“奇妙四边形”的是 A ； A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 （2）如图，在边长为的正方形ABCD中，E为AB边上一动点（E不与A，B重合），DE交AC于点F，过F作FG⊥DE交BC于点G． ①判断四边形CDFG是否为“奇妙四边形”，并说明理由； ②若四边形BGFE是“奇妙四边形”，连接DG，请直接写出△DFG的面积． 参考答案 四川省达州市铁路中学2026-2027学年九年级上学期开学学情自测数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】A．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； C．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； D．该图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 2．若a＞b，则下列不等式不一定成立的是（　　） A．a﹣4＞b﹣4 B．2a＞2b C．1﹣5a＜1﹣5b D．ac＜bc 【解答】解：若a＞b，则下列不等式不一定成立的： ∵a＞b， ∴a﹣4＞b﹣4，故A不符合题意； 2a＞2b，故B不符合题意； 1﹣5a＜1﹣5b，故C不符合题意； 当c＜0时，ac＜bc，故D符合题意． 故选：D． 3．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x﹣2y＝1 B． C．x2﹣2y+4＝0 D．x2﹣2x+1＝0 【解答】解：A．方程x﹣2y＝1是二元一次方程，选项A不符合题意； B．方程x2+3是分式方程，选项B不符合题意； C．方程x2﹣2y+4＝0是二元二次方程，选项C不符合题意； D．方程x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，选项D符合题意． 故选：D． 4．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　） A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角 【解答】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等， 故选：C． 5．如图，在△ABC中，F在BC上，AC＝CF，CD⊥AF，垂足为D，E为AB的中点，AC＝6，BC＝10，则ED的长为（　　） A．4 B．3 C． D．2 【解答】解：∵AC＝CF，CD⊥AF， ∴D是AF是中点， ∵BC＝10，CF＝AC＝6， ∴BF＝10﹣6＝4， ∵E是AB中点， ∴ED是△ABF的中位线， ∴EDBF＝2， 故选：D． 6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（　　） A．20 B．24 C．40 D．48 【解答】解：由菱形对角线性质知，AOAC＝3，BOBD＝4，且AO⊥BO， 则AB5， 故这个菱形的周长L＝4AB＝20． 故选：A． 7．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交CD于点E，AB＝6，AD＝4，则CE＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：∵在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交CD于点E， ∴∠DAE＝∠BAE，∠BAE＝∠DEA， ∴∠DAE＝∠DEA， ∴AD＝DE， ∵CD＝AB＝6，AD＝4， ∴CE＝CD﹣DE＝6﹣4＝2． 故选：B． 8．关于x的方程1有增根，则m的值是（　　） A．0 B．2或3 C．2 D．3 【解答】解：， 2x﹣1＝m+x﹣2， 解得：x＝m﹣1， ∵方程有增根， ∴x﹣2＝0， ∴x＝2， 把x＝2代入x＝m﹣1中可得： m﹣1＝2， ∴m＝3， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．如图，韶关市城市新地标韶阳楼坐落在美丽的森林公园内．韶阳楼的地底藏有一座神秘古塔的塔基，正与韶阳楼的中心位置重合，该塔基是正六边形，此六边形的内角和为　720°　 ． 【解答】解：正六边形的内角和（6﹣2）•180°＝720°， 故答案为：720°． 10．分解因式：8x2﹣2＝　2（2x+1）（2x﹣1）　 ． 【解答】解：8x2﹣2 ＝2（4x2﹣1） ＝2[（2x）2﹣12] ＝2（2x+1）（2x﹣1）． 故答案为：2（2x+1）（2x﹣1）． 11．已知k是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则k2﹣k＝　2　 ． 【解答】解：∵k是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根， ∴x＝k满足该方程，即k2﹣k﹣2＝0， 解得k2﹣k＝2． 故答案为：2． 12．已知关于x的不等式组有解，则m的取值范围是m＜3　 ． 【解答】解：解不等式2x﹣1＜5，得：x＜3， ∵不等式组有解， ∴m＜3， 故答案为：m＜3． 13．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为__4____. 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，且BD＝8， ∴， ∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形，OA＝AB＝4， 故答案为：4． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．解方程：（1）； （2）3x2+x﹣1＝0． 【解答】解：（1）， 去分母得x（x+2）＝8+（x﹣2）（x+2）， 解得x＝2， 检验：当x＝2时，最简公分母（x﹣2）（x+2）＝0， ∴x＝2是原分式方程的增根，即原分式方程无解； （2）3x2+x﹣1＝0， ∵a＝3，b＝1，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×3×（﹣1）＝13＞0， ∴， ∴，． 15．先化简，再求值：，请从﹣3，﹣1，0这三个整数中选一个适当的数作为x的值代入求值． 【解答】解：原式• • • ， ∵x+1≠0且x+3≠0， ∴x可以取0， 当x＝0时，原式1． 16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的坐标分别是A（﹣2，﹣3），B（0，﹣2），C（﹣3，0）． （1）把△ABC向右平移4个单位长度后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1； （2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2； （3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点　（2，0）　 中心对称． 【解答】解：（1）把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，如图，△A1B1C1即为所求； （2）分别找出△ABC关于原点的对称点，如图，△A2B2C2即为所求； （3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（2，0）中心对称， 故答案为：（2，0）． 17．四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，且DE＝BF，AF＝CE． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若DE＝4，CF＝3，EF＝5，求四边形ABCD的周长． 【解答】（1）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠CED＝∠AFB＝90°， 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（SAS）， ∴AB＝CD，∠BAF＝∠DCE， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：∵CF＝3，EF＝5， ∴EC＝CF+EF＝3+5＝8， ∵∠CED＝90°， ∴CD4， 由（1）可知，△ABF≌△CDE， ∴BF＝DE＝4， ∵BF⊥AC， ∴∠BFC＝90°， ∴BC5， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝5， ∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（45）＝810． 18．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，∠BAD的角平分线分别交BD，BC于点O，E． （1）连接DE，求证：四边形ABED为菱形； （2）若BC＝8，CD＝4，求AE的长． 【解答】（1）证明：如图， ∵AB＝AD，AE平分∠BAD， ∴OB＝OD， ∵AD∥BC， ∴∠OBE＝∠ODA， 在△OBE和△ODA中， ， ∴△OBE≌△ODA（ASA）， ∴OE＝OA， ∴四边形ABED是平行四边形， 又∵AB＝AD， ∴平行四边形ABED为菱形； （2）解：∵∠C＝90°， ∴BD4， ∴OB＝OD＝2， ∵AB＝AD，AE平分∠BAD， ∴AE⊥BD， 由（1）可知，OE＝OA，四边形ABED为菱形， ∴BE＝DE， 设BE＝DE＝x，则CE＝BC﹣BE＝8﹣x， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+CE2＝DE2， 即42+（8﹣x）2＝x2， 解得：x＝5， ∴BE＝5， 在Rt△BOE中，由勾股定理得：OE， ∴AE＝2OE＝2， 即AE的长为2． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC为　等腰或直角　 三角形． 【解答】解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4， ∴c2（a+b）（a﹣b）＝（a2+b2）（a+b）（a﹣b）， ∴当a＝b，则△ABC是等腰三角形； 当a≠b，则c2＝（a2+b2），故△ABC是直角三角形， 当a＝b，且c2＝（a2+b2），故△ABC是等腰直角三角形， ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 故答案为：等腰或直角． 20．若x1、x2是方程x2+3x﹣5＝0两根，则的值为　　 ． 【解答】解：∵x1、x2是方程x2+3x﹣5＝0两根， ∴x1+x23，x1•x25， ∴， 故答案为：． 21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E．若CE＝8，则线段AE的长度等于 　16　 ． 【解答】解：如图，连接BE， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∴∠A＝∠ABE＝30°， ∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°， 在Rt△CBE中，CE＝8，∠CBE＝30°， ∴BE＝2CE＝16， ∴AE＝BE＝16， 故答案为：16． 22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P是△ABC内一点，AP＝6，且∠APB＝∠APC＝135°，那么AB的长为________. 【解答】解：如图，把△BCP绕C逆时针旋转90°得到△ACQ，连接PQ， ∴∠CPB＝∠CQA，PC＝QC，∠PCQ＝90°， ∴△PQC为等腰直角三角形， ∴∠PQC＝∠QPC＝45°， ∴∠APQ＝∠APC﹣∠CPQ＝135°﹣45°＝90°， ∵∠APB＝∠APC＝135°， ∴∠CPB＝360°﹣∠APB﹣∠APC＝90°， ∴∠CQA＝∠CPB＝90°， ∴∠AQP＝∠AQC﹣∠PQC＝45°， ∴∠QAP＝90°﹣∠AQP＝45°， ∴△APQ是等腰直角三角形，AP＝QP， ∵AP＝6， ∴PQ＝AP＝6， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：． 23．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点P，AE＝2，BF＝EG，DG＞AE，则DP长的最小值为___22____. 【解答】解：如图，过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点Q，连接QP、QD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠A＝∠ADC＝∠DME＝90°，AB∥CD， ∴四边形ADME是矩形， ∴EM＝AD＝AB， 在Rt△BAF和Rt△EMG中， ， ∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL）， ∴∠ABF＝∠MEG，∠AFB＝∠EGM， ∵AB∥CD， ∴∠MGE＝∠BEG＝∠AFB， ∵∠ABF+∠AFB＝90°， ∴∠ABF+∠BEG＝90°， ∴∠EPF＝90°， ∴BF⊥EG， ∵△EPB是直角三角形，Q是BE的中点， ∴QPBE， ∵AB＝6，AE＝2， ∴BE＝6﹣2＝4， ∴QB＝QE＝2， ∵QD﹣QP≤DP， ∴当Q、D、P共线时，DP有最小值， ∵QPBE＝2，AQ＝AE+EQ＝2+2＝4， ∴QD2， ∴PD＝22， ∴PD的最小值为22． 故答案为：22． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．根据以下素材，完成下列任务． 背景素材 背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的，在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． 素材1 某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆． 素材2 某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元． 问题解决 任务1 根据素材1，求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 任务2 根据素材2，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【解答】解：（1）设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：3（1+x）2＝5.07， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为30%； （2）设下调后每辆汽车的售价为y万元．则每辆汽车的销售利润为（y﹣15）万元，平均每周可售出（81）辆，即（58﹣2y）辆， 根据题意得：（y﹣15）（58﹣2y）＝96， 整理得：y2﹣44y+483＝0． 解得：y1＝21，y2＝23， 又∵此次销售尽量让利于顾客， ∴y＝21， 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 25．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于A，B两点，∠OAB＝45°，点A的坐标为（4，0）．点C（m，n）是线段AB上一点，连接OC并延长至D，使DC＝OC，连接BD． （1）求直线AB的表达式； （2）若△BCD是直角三角形，求点C的坐标； （3）若直线y＝mx+2n﹣18与△BCD的边有两个交点，求m的取值范围． 【解答】解：（1）∵∠OAB＝45°，点A的坐标为（4，0），则点B（0，4），即b＝4， 则AB的表达式为：y＝kx+4， 将点A的坐标代入上式得：0＝4k+4，则k＝﹣1， 故直线AB的表达式为：y＝﹣x+4； （2）设点C（m，﹣m+4）， ∵DC＝OC，则点D（2m，8﹣2m）， 由B、C、D的坐标得，CD2＝2m2﹣8m+16，BD2＝8m2﹣16m+16，BC2＝2m2， 当CD为斜边时， 则2m2﹣8m+16＝8m2﹣16m+16+2m2， 解得：m＝0（舍去）或1，即点C（1，3）； 当BD或BC为斜边时， 同理可得：8m2﹣16m+16＝2m2+2m2﹣8m+16或2m2﹣8m+16+8m2﹣16m+16＝2m2， 解得：m＝0（舍去）或2，即点C（2，2）； 综上，点C（1，3）或（2，2）； （3）∵点C（m，n）是线段AB上一点，直线AB的表达式为y＝﹣x+4， ∴n＝﹣m+4，0≤m≤4， ∴y＝mx+2n﹣18＝m（x﹣2）﹣10，即直线过点（2，﹣10）， ∵由（2）可知C是OD的中点， ∴D点坐标为（2m，2n）， ∴D点坐标为（2m，8﹣2m），代入函数表达式得：8﹣2m＝m•（2m）+2（﹣m+4）﹣18， 解得：m＝﹣3（舍去）或3， ∵0≤m≤4， ∴3＜m≤4． 26．定义：一组对角互补，且有一组邻边相等的四边形称为“奇妙四边形”． （1）下列选项中一定是“奇妙四边形”的是 A ； A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 （2）如图，在边长为的正方形ABCD中，E为AB边上一动点（E不与A，B重合），DE交AC于点F，过F作FG⊥DE交BC于点G． ①判断四边形CDFG是否为“奇妙四边形”，并说明理由； ②若四边形BGFE是“奇妙四边形”，连接DG，请直接写出△DFG的面积． 【解答】解：（1）正方形邻边均相等，任意两角都互补，故一定符合题意； 平行四边形两个条件都不一定满足，故不符合题意； 菱形不满足对角一定互补，故不符合题意； 矩形不满足两边一定相等，故不符合题意； 故答案为：A； （2）①是，理由如下： 过F作FM⊥BC于M，FN⊥CD于N，如图： ∵四边形ABCD为正方形， ∴AC平分∠BCD，CD⊥BC， ∴FM⊥FN，FM＝FN， ∵DF⊥FG， ∴∠DFN+∠NFG＝90°，∠MFG+∠NFG＝90°， ∴∠DFN＝∠MFG， ∴△DFN≌△GFM（AAS）， ∴DF＝FG， ∵∠DFG+∠DCG＝90°+90°＝180°， ∴四边形DFGC符合“奇妙四边形”的定义； ②∵∠GFE＝90°，∠B＝90°， ∴∠GFE+∠B＝180°， ∴若四边形BGFE是“奇妙四边形”，则需要邻边相等， 若EF＝BE，连接EG，如图： ∵EG＝EG， ∴△EFG≌△EBG（HL）， ∴FG＝BG， 设FG＝BG＝x，则CG＝2x，DGx， 在Rt△CDG中，DG2＝CG2+CD2， 解得：x＝6﹣2（负值已舍）， ∴S△DFGx2＝24﹣12； 若FG＝GB，同上一情况； 若FG＝EF，则DF＝FG＝EF， ∴DG⊥EG，DG＝EG， ∴DEDG， ∵DG≥CD， ∴DGCD＝BD， ∴DE≥BD， ∵E在AB上， ∴E和B重合，此时四边形BEFG不存在； 若BG＝BE，连接EG，如图： ∵AB＝BC， ∴AE＝CG， 又∵AD＝CD， ∴△DAE≌△DCG（SAS）， ∴DE＝DG， 设AE＝x，则BE＝2x，DE＝DG， ∴DF＝FGDG，EGBE＝2x， ∴EF＝DE﹣DF， 在Rt△EFG中，EG2＝EF2+FG2， 解得：x＝22或22（舍）， ∴S△DFGDF23＝12﹣6； 综上所述，△DFG的面积为：24﹣12或12﹣6． 学科网（北京）股份有限公司 $