3.1 函数的概念及其表示 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学函数的概念及其表示，系统梳理函数三要素（定义域、对应关系、值域）、区间概念与应用、函数三种表示法（解析法、列表法、图象法）及分段函数，通过七个题型（判断函数、同一函数、定义域、值域、解析式、分段函数问题）构建从概念到应用的学习支架。 该资料以题型为导向，每个题型配备方法提炼与例题，培养数学思维（推理意识、运算能力）和数学眼光（几何直观），如用图像法判断函数关系，多种方法求值域。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过练习查漏补缺，强化知识应用。

§3.1 函数的概念及其表示 目录 题型1：判断是否为函数 3 题型2：判断两个函数是否为同一个函数 5 题型3：具体函数的定义域 6 题型4：抽象函数的定义域 7 题型5：求函数的值域 7 题型6：求函数的解析式 9 题型7：有关分段函数问题的求解 11 1. 函数的概念 设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个实数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的实数与之对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作. 其中，叫做自变量，的取值范围叫做定义域，与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 函数三要素：定义域、对应关系、值域。两个函数相等当且仅当定义域和对应关系相同。 2. 区间的概念与应用 设是两个实数，而且.我们规定： 定义 名称 区间表示 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 无穷区间 无穷区间 无穷区间 无穷区间 注意 （1）区间的左端点必须小于右端点；（2）区间符号里面的两个字母（或数字）之间用“，”隔开；（3）用数轴来表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别；（4）是一个趋向符号，表示无限接近，却永远不能达到，不是一个数，因此以和为区间的一端时，这一端必须用小括号;（5）实数集R可以用区间表示为，读作“无穷大”，读作“负无穷大”，读作“正无穷大”. 3. 函数的表示法 函数的表示法有三种，分别是解析法、列表法、图象法 表示法 概念 优缺点 解析法 用解析式表示两个变量之间的对应关系 能简明全面地概括两个变量间的对应关系，也可以通过解析式求出任何一个变量的函数值；但是缺乏直观 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 不需计算即可直接看出表格中自变量的函数值；但表格外的数据没法求解 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 能直观形象地表示随着自变量的变化，相应函数值的变化趋势；但是作图法得到的函数值未必准确 4. 分段函数 在函数的定义域内，对于自变量在不同取值范围内，函数有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． 分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集，值域是各段值域的并集.分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交. 题型1：判断是否为函数 方法提炼 (1) 判断一个对应关系是否为函数的方法 (2) 判断图形是否为函数关系的步骤 ①任取一条垂直于轴的直线； ②在定义域内平行移动直线； ③若直线与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数. 【例1.1.】 （多选）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 【例1.2.】 （多选）下列y关于x的关系不是函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【例1.3.】 下列图形可作为函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【例1.4.】 （多选）已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【例1.5.】 （多选）已知集合，，下列表达式能建立从集合A到集合B的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 题型2：判断两个函数是否为同一个函数 方法提炼 判断两个函数为同一个函数的注意点： (1) 判断两个函数是否为同一个函数，就是看两函数的定义域和对应关系是否相同，若两者都相同，则为同一个函数，若定义域和对应关系有一个不相同就不是同一个函数. (2) 若两个函数为同一个函数，则它们的值域一定相同，反之则不然，即若两函数的定义域与值域都相同，则它们也不一定是同一个函数. (3) 函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. (4) 在化简解析式时，必须是等价变形. 【例2.1.】 （多选）下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【例2.2.】 （多选）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【例2.3.】 下列四组函数中，是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【例2.4.】 下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型3：具体函数的定义域 方法提炼 (1) 常见定义域的求法，除此之外函数定义为R. (2) 若函数是由一些简单函数通过四则运算组成的，则它的定义域是各个简单函数定义域的交集. 【例3.1.】 函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【例3.2.】 函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【例3.3.】 （1）求函数 的定义域； （2）求 的定义域； 【例3.4.】 若函数f (x)＝的定义域为，则实数a＝________． 【例3.5.】 已知. (1)若定义域为，求实数的取值范围； (2)若定义域为，求实数的值； 题型4：抽象函数的定义域 方法提炼 (1) 若的定义域为，则的定义域可由不等式求出。 (2) 若的定义域为，则的定义域为在上的值域。 【例4.1.】 已知函数的定义域为，则函数的定义域为________． 【例4.2.】 若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【例4.3.】 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例4.4.】 已知函数，则______；的定义域是______. 题型5：求函数的值域 方法提炼 求函数的值域时要明确两点:一是值域的概念；二是函数的定义域和对应关系。常用的方法有: (1) 观察法：利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”观察函数的值域． (2) 配方法:若函数是二次函数形式,即可化为型的数,则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域,但要注意给定区间上二次函数最值的求法。 (3) 分离常数法：形如的函数，经常采用分离常数法，将变形为 再结合x的取值范围确定的取值范围,从而确定函数的值域。 (4) 换元法:运用换元,将已知函数转化为值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域。例如,形如(均为常数)的函数常用此法，即先令，求出，并注明的取值范围，再代入上式将表示成关于的二次函数，最后用配方法求值域． (5) 判别式法:求形如 （不同时为0)的值域,常利用去分母的形式把函数转化成关于x的一元二次方程,通过方程有实根,判别式,求出y的取值范围,即得到函数的值域。 (6) 数形结合法:有些函数的图像比较容易画出，可以通过函数的图像得出函数的值域。 (7) 反表示法:如求函数的值域,由解出，得。而,所以,即,所以,故所求函数的值域为[-2,1)。 (8) 中间变量值域法:如求函数的值域，由得,而，所以,所以或。故所求函数的值域为。 (9) 均值不等式法：若函数解析式中某些元素直接或间接（通过配凑、拆项等）满足均值不等式的应用条件，则可利用均值不等式求最值，进而可得函数的值域． 【例5.1.】 函数的值域是_____. 【例5.2.】 求函数的值域； 【例5.3.】 函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【例5.4.】 函数的值域是__. 【例5.5.】 函数的值域是______． 【例5.6.】 函数的值域为______. 【例5.7.】 设函数．求函数的值域； 【例5.8.】 函数的最大值为________． 【例5.9.】 定义域为的函数的值域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【例5.10.】 若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【例5.11.】 已知，，求的值域． 【例5.12.】 （多选）已知定义域为D的函数其值域为，则定义域D可能是（    ） A． B． C． D． 【例5.13.】 已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例5.14.】 （多选）已知函数的值域为，则常数可以是（ ） A． B．1 C．7 D． 【例5.15.】 若函数的值域为，则__________. 题型6：求函数的解析式 方法提炼 求函数解析式的四种常用方法 (1) 换元法：设，解出，代入，求的解析式即可.注意换元时的取值范围. (2) 配凑法：对的解析式进行配凑变形，使它能用表示出来，再用代替两边所有的“”即可. (3) 待定系数法：若已知函数的类型，求解析式时，用待定系数法.先设出它的一般形式，根据条件确定相关的系数即可. (4) 方程组法(或消元法)：当题目中出现和，与的关系式时，经常通过构造方程组来求解. 注意：写解析式时，应注明定义域. 【例6.1.】 ，求的解析式; （2）已知，求; （3）已知（且），求. 【例6.2.】 求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 【例6.3.】 已知是二次函数，且，，，则的解析式为_________． 【例6.4.】 若函数，则（    ） A． B． C． D． 【例6.5.】 已知，则___________________． 【例6.6.】 已知且，求函数的解析式． 【例6.7.】 若函数满足：对任意实数x，y都有成立.写出函数的一个解析式__________. 【例6.8.】 设是定义在上的函数，且满足对任意，等式恒成立，则的解析式为______. 题型7：有关分段函数问题的求解 方法提炼 (1) 有关分段函数问题最好的求解方法是“图像法”。作分段函数的图像时,应按分段区间分别作出其图像,在作每一段图像时,先不考虑定义域的限制,用虚线作出其图像,再用实线保留定义域内的一段图像即可,即“分段作图”。作图时要特别注意衔接点处点的虚实情况，保证不重不漏. (2) 分段函数求值问题的解题思路： ①求函数值：根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.当出现的形式时，应从内到外依次求值． ②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验． (3) 分段函数解析式的求法:在定义域的不同段内,分别求其解析式,做到不重不漏,然后写成统一的分段解析式形式,注意要标明每段中自变量的取值范围。 【例7.1.】 已知，则（   ） A． B． C． D． 【例7.2.】 已知函数，若，则______. 【例7.3.】 已知函数，则____________． 【例7.4.】 已知函数，求； 【例7.5.】 设函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【例7.6.】 已知，，则不等式的解是___________. 【例7.7.】 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例7.8.】 已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §3.1 函数的概念及其表示 目录 题型1：判断是否为函数 3 题型2：判断两个函数是否为同一个函数 7 题型3：具体函数的定义域 10 题型4：抽象函数的定义域 12 题型5：求函数的值域 14 题型6：求函数的解析式 22 题型7：有关分段函数问题的求解 27 1. 函数的概念 设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个实数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的实数与之对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作. 其中，叫做自变量，的取值范围叫做定义域，与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 函数三要素：定义域、对应关系、值域。两个函数相等当且仅当定义域和对应关系相同。 2. 区间的概念与应用 设是两个实数，而且.我们规定： 定义 名称 区间表示 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 无穷区间 无穷区间 无穷区间 无穷区间 注意 （1）区间的左端点必须小于右端点；（2）区间符号里面的两个字母（或数字）之间用“，”隔开；（3）用数轴来表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别；（4）是一个趋向符号，表示无限接近，却永远不能达到，不是一个数，因此以和为区间的一端时，这一端必须用小括号;（5）实数集R可以用区间表示为，读作“无穷大”，读作“负无穷大”，读作“正无穷大”. 3. 函数的表示法 函数的表示法有三种，分别是解析法、列表法、图象法 表示法 概念 优缺点 解析法 用解析式表示两个变量之间的对应关系 能简明全面地概括两个变量间的对应关系，也可以通过解析式求出任何一个变量的函数值；但是缺乏直观 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 不需计算即可直接看出表格中自变量的函数值；但表格外的数据没法求解 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 能直观形象地表示随着自变量的变化，相应函数值的变化趋势；但是作图法得到的函数值未必准确 4. 分段函数 在函数的定义域内，对于自变量在不同取值范围内，函数有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． 分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集，值域是各段值域的并集.分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交. 题型1：判断是否为函数 方法提炼 (1) 判断一个对应关系是否为函数的方法 (2) 判断图形是否为函数关系的步骤 ①任取一条垂直于轴的直线； ②在定义域内平行移动直线； ③若直线与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数. 【例1.1.】 （多选）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的概念，集合中任意一个元素，集合中都有唯一的元素与之对应，选项和分别可以举出反例，即可判断是错误的；选项和满足概念条件. 【详解】选项，A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中的任意一个整数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的整数与其对应，故是集合A到集合B的函数. 选项，由负数没有平方根，若集合A中的元素取负整数，则集合B中没有元素与之对应，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中任意一个实数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数. 【例1.2.】 （多选）下列y关于x的关系不是函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.94 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的定义可判断AC中的关系为函数关系，BD中的关系不是函数关系. 【详解】对于A，因为，所以该关系是函数关系； 对于B，当时，没有对应的值，但题干函数定义域包括，所以该关系不是函数关系； 对于C，因为任意的x值，有唯一的y值与之对应，所以该关系是函数关系； 对于D，因为当时，有两个值与之对应，所以该关系不是函数关系． 故选：BD． 【例1.3.】 下列图形可作为函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的定义即可判断. 【详解】对于C，满足函数的定义，所以可以作为函数的图象， 对于A、B、D均存在使得一个对应两个及两个以上的值，不符合函数的定义，所以不能作为函数的图象. 故选：C. 【例1.4.】 （多选）已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】函数关系的判断、函数图像的识别 【分析】根据每个选项的函数图象，分别求出对应函数的定义域和值域即可求解. 【详解】因为函数的定义域为，值域为 由选项A图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件； 由选项B图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项C图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项D图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件; 故选：AD. 【例1.5.】 （多选）已知集合，，下列表达式能建立从集合A到集合B的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】函数关系的判断、求函数值、指数函数的判定与求值、对数函数的概念判断与求值 【分析】根据已知集合的函数关系，将自变量代入求对应函数值，判断值域是否存在所得函数值，即可判断. 【详解】由，， 时，，，，； 时，，，，； 时，，，，； 时，，，，， 所以，不能建立从集合A到集合B的函数关系，A，D错误； ，可以建立从集合A到集合B的函数关系，B，C正确. 故选：BC 题型2：判断两个函数是否为同一个函数 方法提炼 判断两个函数为同一个函数的注意点： (1) 判断两个函数是否为同一个函数，就是看两函数的定义域和对应关系是否相同，若两者都相同，则为同一个函数，若定义域和对应关系有一个不相同就不是同一个函数. (2) 若两个函数为同一个函数，则它们的值域一定相同，反之则不然，即若两函数的定义域与值域都相同，则它们也不一定是同一个函数. (3) 函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. (4) 在化简解析式时，必须是等价变形. 【例2.1.】 （多选）下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ACD 【难度】0.9 【知识点】函数关系的判断、具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【详解】对于A：，定义域为，而，定义域也是，两个函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一个函数，故A正确； 对于B：，定义域为，而，定义域为，定义域不同，所以不是同一个函数，故B错误； 对于C：，需满足，即，而，需满足，即， 且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故C正确； 对于D：，定义域为，而，定义域为，且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故D正确. 【例2.2.】 （多选）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】根据两个函数的定义域与对应关系是否相同进行判断. 【详解】选项A：两函数的定义域均为，对应关系也相同，是同一函数. 选项B：的定义域为，的定义域为，定义域不相同，两函数不是同一函数. 项C：由可知两函数是同一函数. 选项D：由，可知两函数对应关系不相同，不是同一函数. 【例2.3.】 下列四组函数中，是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断两个函数是否相等 【分析】利用相同函数的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为R，的定义域为，A不是； 对于B，函数与的定义域均为R，且，即对应法则相同，B是； 对于C，函数的定义域为R，的定义域为，C不是； 对于D，函数的定义域为R，的定义域为，D不是. 故选：B 【例2.4.】 下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等、求分段函数解析式或求函数的值 【详解】选项A：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故A错误； 选项B：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故B错误； 选项C：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故C错误； 选项D：的定义域是， 去绝对值分段得， 定义域和表达式均和一致，是同一函数，故D正确． 题型3：具体函数的定义域 方法提炼 (1) 常见定义域的求法，除此之外函数定义为R. (2) 若函数是由一些简单函数通过四则运算组成的，则它的定义域是各个简单函数定义域的交集. 【例3.1.】 函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.81 【知识点】具体函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据题意，利用函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数有意义，可得，解得或， 所以函数的定义域为． 【例3.2.】 函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域 【详解】由题意知，解得且，即的定义域是. 【例3.3.】 （1）求函数 的定义域； （2）求 的定义域； 【答案】（1） （2） 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、复合函数的定义域 【分析】（1）由根号下的二次式大于零解不等式，得出定义域范围； （2）分别考虑零次幂的底数不为零与分母不为零，联立得到定义域； （3）将代入已知的定义域区间，解出的范围. 【详解】（1）要使函数有意义，即， 解不等式得或， 故函数的定义域为； （2）由题意得，即， 故所求函数的定义域为. 【例3.4.】 若函数f (x)＝的定义域为，则实数a＝________． 【答案】 【难度】0.82 【知识点】已知函数的定义域求参数 【分析】根据函数定义域的成立条件，联立偶次根式被开方数非负、分母不为零的约束，结合给定定义域的端点确定参数的值. 【详解】要使函数有意义，需同时满足： 偶次根式的被开方数非负：，解得； 分母不为零：，即. 已知函数的定义域为，说明上述两个约束的解集交集为，因此根式约束的下界需等于定义域左端点，即，解得； 此时需满足，可保证时自动满足，完全符合定义域要求，故. 【例3.5.】 已知. (1)若定义域为，求实数的取值范围； (2)若定义域为，求实数的值； 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知函数的定义域求参数 【分析】（1）若定义域为，由恒成立求解； （2）若定义域为，则-6，2是一元二次方程的两根，由韦达定理求解； 【详解】（1）若定义域为，则恒成立， 则，或， 解得：； （2）若定义域为， 则-6，2是一元二次方程的两根， 由韦达定理得，解得：； 题型4：抽象函数的定义域 方法提炼 (1) 若的定义域为，则的定义域可由不等式求出。 (2) 若的定义域为，则的定义域为在上的值域。 【例4.1.】 已知函数的定义域为，则函数的定义域为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域、复合函数的定义域 【详解】因为函数的定义域为，所以， 即的作用对象的取值范围为， 所以，解得， 即函数的定义域为. 【例4.2.】 若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.8 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域、复合函数的定义域 【分析】由复合函数、分式函数和根式函数定义域的求法求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 【例4.3.】 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】抽象函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由抽象函数定义域结合二次函数不等式即可求解 . 【详解】函数的定义域为，则，所以函数的定义域为； 若函数有意义，则，解得． 则函数的定义域为. 【例4.4.】 已知函数，则______；的定义域是______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、复合函数的定义域 【分析】代入求解可得第一空答案；求出的定义域及的解析式，根据其解析式，可求得第二空答案. 【详解】因为， 所以， 所以； 因为的定义域为， 且， 所以，解得 所以函数的定义域是. 故答案为：；. 题型5：求函数的值域 方法提炼 求函数的值域时要明确两点:一是值域的概念；二是函数的定义域和对应关系。常用的方法有: (1) 观察法：利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”观察函数的值域． (2) 配方法:若函数是二次函数形式,即可化为型的数,则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域,但要注意给定区间上二次函数最值的求法。 (3) 分离常数法：形如的函数，经常采用分离常数法，将变形为 再结合x的取值范围确定的取值范围,从而确定函数的值域。 (4) 换元法:运用换元,将已知函数转化为值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域。例如,形如(均为常数)的函数常用此法，即先令，求出，并注明的取值范围，再代入上式将表示成关于的二次函数，最后用配方法求值域． (5) 判别式法:求形如 （不同时为0)的值域,常利用去分母的形式把函数转化成关于x的一元二次方程,通过方程有实根,判别式,求出y的取值范围,即得到函数的值域。 (6) 数形结合法:有些函数的图像比较容易画出，可以通过函数的图像得出函数的值域。 (7) 反表示法:如求函数的值域,由解出，得。而,所以,即,所以,故所求函数的值域为[-2,1)。 (8) 中间变量值域法:如求函数的值域，由得,而，所以,所以或。故所求函数的值域为。 (9) 均值不等式法：若函数解析式中某些元素直接或间接（通过配凑、拆项等）满足均值不等式的应用条件，则可利用均值不等式求最值，进而可得函数的值域． 【例5.1.】 函数的值域是_____. 【答案】 【难度】0.82 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】由换元法和判别式法即可求解. 【详解】解法一：（换元法）令，则， ，由图可知： ，即值域为. 解法二：（判别式法） 将函数化为 ①时，方程不成立； ②时，由得， 解得： 综上： 所以函数的值域为. 【例5.2.】 求函数的值域； 【答案】 【难度】0.75 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、利用函数单调性求最值或值域、判别式法求最值 【分析】分离常数后即可求解. 【详解】， 因为，所以， 则函数的值域为． 【例5.3.】 函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】利用分离常数法将原函数变形为，再根据自变量的条件逐步推导出最终的值域. 【详解】由题意得， 因为，所以，所以，所以，所以， 即函数的值域为． 【例5.4.】 函数的值域是__. 【答案】 【难度】0.75 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】利用配凑法化简，结合基本不等式求解. 【详解】当时，函数 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即函数的值域为. 【例5.5.】 函数的值域是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】根据已知函数的性质，运用换元法化简不等式，结合的值域构造不等式，解不等式求函数的值域． 【详解】令，则，原函数化为：， 整理得即，当时显然不合题意； 当时，， ，即，等价于，解得， 原函数的值域为. 【例5.6.】 函数的值域为______. 【答案】 【难度】0.7 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】令，则可得，化简函数解析式，利用二次函数的值域求解即可. 【详解】令，则可得，即， 可得， 当时，取得最大值，即. 所以其值域为. 【例5.7.】 设函数．求函数的值域； 【答案】 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、利用函数单调性求最值或值域 【分析】将平方后可求解. 【详解】由题意知，函数的定义域是， 因为， 由，解得， 所以函数的值域为． 【例5.8.】 函数的最大值为________． 【答案】 【难度】0.78 【知识点】具体函数的定义域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【详解】由，解得，的定义域为，且. 由柯西不等式得，，当且仅当即时等号成立； ，即的最大值为. 【例5.9.】 定义域为的函数的值域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的值域 【分析】由函数图像的平移变换，即可得到结果. 【详解】因为函数是由函数向右或向左平移个单位得到，所以函数的值域与函数的值域相同. 故选：B 【例5.10.】 若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的值域 【分析】由条件，结合不等式性质求的范围即可. 【详解】因为函数的值域是， 所以， 所以， 所以， 所以， 故函数的值域是. 故选：C. 【例5.11.】 已知，，求的值域． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求二次函数的值域或最值、复合函数的值域 【分析】根据题意求的解析式，结合二次函数求值域. 【详解】因为，， 所以， 则当时，， 所以的值域为. 【例5.12.】 （多选）已知定义域为D的函数其值域为，则定义域D可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】二次函数的图象分析与判断、根据函数的值域求定义域 【分析】先作出函数图象；再利用数形结合思想，注意区间端点，即可得出答案. 【详解】先作出函数在R上的图象，如图所示：    结合函数图象可知当函数值域为时，选项A、D正确. 故选：AD. 【例5.13.】 已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据值域求参数的值或者范围 【分析】根据函数的值域为可得有解，从而有，即可得实数的取值范围. 【详解】函数的值域为， 则有解，所以，解得或， 故实数的取值范围为. 故选：B. 【例5.14.】 （多选）已知函数的值域为，则常数可以是（ ） A． B．1 C．7 D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】根据值域求参数的值或者范围 【分析】利用判别式法求函数值域即可求解参数. 【详解】因为，所以， 当时，有解， 当不是0时，，即， 因为函数的值域为， 所以是方程的两个根， 所以，， 解得或，所以7或. 故选：AC 【例5.15.】 若函数的值域为，则__________. 【答案】7 【难度】0.65 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式进行分析，由此列方程，从而求得. 【详解】因为， 当且仅当，即时等号成立， 依题意，，得. 故答案为： 题型6：求函数的解析式 方法提炼 求函数解析式的四种常用方法 (1) 换元法：设，解出，代入，求的解析式即可.注意换元时的取值范围. (2) 配凑法：对的解析式进行配凑变形，使它能用表示出来，再用代替两边所有的“”即可. (3) 待定系数法：若已知函数的类型，求解析式时，用待定系数法.先设出它的一般形式，根据条件确定相关的系数即可. (4) 方程组法(或消元法)：当题目中出现和，与的关系式时，经常通过构造方程组来求解. 注意：写解析式时，应注明定义域. 【例6.1.】 ，求的解析式; （2）已知，求; （3）已知（且），求. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【难度】0.85 【知识点】已知函数类型求解析式、函数方程组法求解析式 【分析】（1）利用代入法可得出的解析式； （2）利用换元法可求出函数的解析式； （3）由得出，结合方程组法可得出函数的解析式. 【详解】（1）因为，所以； （2）因为，令，则， 所以，故； （3）因为①（且），所以②， 联立①②可得. 【例6.2.】 求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 【答案】(1) (2) 或 (3) 【难度】0.65 【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式、函数方程组法求解析式 【分析】（1）由配凑法求解即可； （2）由待定系数法求解即可； （3）通过构造方程组求解即可. 【详解】（1）因为， 因为，所以； （2）设， 则， 所以，解得或， 所以或； （3）因为定义在上的函数满足①， 所以②， 由①②，得， 所以. 【例6.3.】 已知是二次函数，且，，，则的解析式为_________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知函数类型求解析式、求二次函数的解析式 【分析】设，结合题设条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式. 【详解】设， 根据题意得，解得， 所以 ． 故答案为：． 【例6.4.】 若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】根据换元法求解即可. 【详解】令，，则， . . 【例6.5.】 已知，则___________________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】利用换元法求函数的解析式，即可得出的表达式. 【详解】令，则, 由，得, 所以，即. 【例6.6.】 已知且，求函数的解析式． 【答案】且 【难度】0.65 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】利用解方程组法，分别用，代换题设式子中的，得到方程组求解即可. 【详解】，① 将①中的用代换得② 再将①中的用代换得③ 则由得且． 【例6.7.】 若函数满足：对任意实数x，y都有成立.写出函数的一个解析式__________. 【答案】（不唯一） 【难度】0.85 【知识点】求抽象函数的解析式 【分析】设，根据条件探究满足的条件即可. 【详解】先假设为一次函数，设， 则. 所以函数都满足条件. 故答案为：（不唯一） 【例6.8.】 设是定义在上的函数，且满足对任意，等式恒成立，则的解析式为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求抽象函数的解析式 【分析】利用赋值法，令，即可求出解析式. 【详解】是定义在上的函数，且对任意恒成立， 令，得， 即，整理得 故. 故答案为：. 题型7：有关分段函数问题的求解 方法提炼 (1) 有关分段函数问题最好的求解方法是“图像法”。作分段函数的图像时,应按分段区间分别作出其图像,在作每一段图像时,先不考虑定义域的限制,用虚线作出其图像,再用实线保留定义域内的一段图像即可,即“分段作图”。作图时要特别注意衔接点处点的虚实情况，保证不重不漏. (2) 分段函数求值问题的解题思路： ①求函数值：根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.当出现的形式时，应从内到外依次求值． ②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验． (3) 分段函数解析式的求法:在定义域的不同段内,分别求其解析式,做到不重不漏,然后写成统一的分段解析式形式,注意要标明每段中自变量的取值范围。 【例7.1.】 已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.92 【知识点】求函数值、求分段函数解析式或求函数的值、求分段函数值 【分析】先求解内层函数的取值，再将其作为自变量代入计算复合函数值. 【详解】 ，所以 . 【例7.2.】 已知函数，若，则______. 【答案】或/或 【难度】0.85 【知识点】分段函数的性质及应用、已知分段函数的值求参数或自变量、求分段函数值 【分析】根据分段函数的定义域分界点，分及两类求解的取值，再计算. 【详解】当时，，解得，则； 当时，，解得， 则或； 综上：或. 【例7.3.】 已知函数，则____________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】利用分段函数时的递推关系，将转化为区间内的，再代入对应解析式计算； 【详解】由题意可得：. 【例7.4.】 已知函数，求； 【答案】. 【难度】0.65 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】根据分段函数的定义域和值域求解. 【详解】由题设知：时， 时， 时， 又因为， 所以. 【例7.5.】 设函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值、解不含参数的一元二次不等式、分段函数的值域或最值 【详解】若，即，即或； 若，即； 所以， 画出函数图象如下图所示： 由图可知当时，； 当时，可得， 因此则的值域是. 【例7.6.】 已知，，则不等式的解是___________. 【答案】 【难度】0.7 【知识点】分段函数的性质及应用、解分段函数不等式 【详解】时，， 时，， ， ∴， 由得，①或② 不等式组①的解集为， 不等式组②的解集为， 综上，不等式的解集为. 【例7.7.】 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】根据分段函数解析式求出当时，即可得到当时的值域需包含，从而得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 所以当时，即； 要使函数的值域为， 所以当时的值域需包含， 又，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：D 【例7.8.】 已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 【答案】(1)，最大值为4 (2) (3)或 【难度】0.82 【知识点】画出具体函数图象、分段函数的值域或最值、解分段函数不等式、求分段函数值 【分析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，并根据图象求最值； （2）由分段函数各段定义域所对应的解析式，依次代入数值即可求解； （3）分别在各段解析式内解，并将结果取并集即可. 【详解】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当时，取得最大值4． （2），，， 即. （3）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 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