3.1函数的概念及其表示（第2课时　区间、定义域与同一函数）·讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学区间表示、定义域求法及同一函数判定核心知识点，承接函数概念与三要素，为后续单调性、奇偶性等学习奠定基础，构建函数学习的关键支架。 资料精准对接课标要求，通过区间规则强化数学语言表达，以定义域求法培养逻辑推理能力，用例3反例（y=x与y=|x|）发展抽象思维与批判性思维。分层设计适配不同班级，题型精练附详解助力课中教学与课后查漏补缺。

3.1　函数的概念及其表示（第2课时） 区间、定义域与同一函数·讲义（教师用）　人教A版　必修第一册　本节共4课时，本课时是第2课时 一、课标要求与教材位置 本节在人教A版必修第一册第60—73页，是第三章的起点，也是整个高中函数学习的地基。全节共4课时：第一课时学函数的概念与三要素，第二课时学区间、定义域的求法与同一函数的判定，第三课时学函数的三种表示法与解析式的求法，第四课时学分段函数及其应用。本课时对应教材第64—66页，承接上一课时建立的定义与三要素，往下解决三件事：把连续的数集写成区间、求具体函数的定义域、判断两个函数是不是同一个。 课程标准对这一部分的要求是：会求简单函数的定义域；理解函数的三要素，能判断两个函数是否为同一个函数。区间是记号层面的规定，属于“会用”；定义域的求法属于“掌握”；同一函数的判定属于“理解”，学生要能说清为什么，不能只背结论。 教材把区间安排在函数定义之后、例2之前，位置很讲究——区间只是集合的另一种写法，不是新知识，但后面所有的定义域、值域都要用它来表述。教材第73页最后一道思考题问“任何数集都能用区间表示吗”，答案是不能，正好用来收束这一段。 高考中本课时是最实用的一块。直接考的有：求含分式、根式、零次幂的定义域（选择填空）；判断同一函数（四组给你挑）；抽象函数定义域的双向转化（常出现在解答题第一问的前置步骤里）。间接的作用更普遍——单调性、奇偶性、值域、最值的讨论都必须先确定定义域，定义域错了整道题作废。 二、知识精讲 （一）区间 研究函数时常会用到区间的概念。设a，b是两个实数，而且a＜b。教材第64页规定： （1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为 [a，b]； （2）满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为 (a，b)； （3）满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为 [a，b)、(a，b]。 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。这些区间的几何表示教材用表3.1—2给出：在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。 实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”。满足x≥a、x＞a、x≤b、x＜b的实数x的集合，可以用区间分别表示为[a，＋∞)、(a，＋∞)、(－∞，b]、(－∞，b)，几何表示见教材表3.1—3。 用区间的三条规则： ① 前小后大。写[a，b]必须a＜b，写成[3，1]是错的。 ② ∞不是数，是趋势，所以∞这一端永远用小括号。写[2，＋∞]是硬伤，阅卷时最常见的扣分点之一。 ③ 区间只能表示连续的实数集合。{1，2，3}写不成区间，{x|x0}也写不成一个区间，只能写成(－∞，0)∪(0，＋∞)。多段之间用并集符号∪连接，不用逗号。 教学处理提示　区间只是集合的另一种写法，不是新东西。可以让学生把上一章学过的几个解集当场改写成区间，两分钟就能过关。三条规则要在数轴上讲：把端点画出来，问“＋∞这个点在哪”；把挖掉的点圈出来，问“这是一段还是两段”。 （二）求函数的定义域 函数的定义域通常由问题的实际背景确定。如果只给出解析式y＝f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。这句话是教材第65页例2的分析原文，要让学生记住，答题时可以直接引用。 “有意义”的常见约束（逐条板书）： ① 分式的分母不等于0； ② 偶次根式的被开方数大于或等于0； ③ 零次幂的底数不等于0； ④ 几个式子相加减，取各自定义域的交集； ⑤ 实际问题还要受实际意义的限制（人数是正整数、边长为正、时间非负等）。 第④条要单独说一句：定义域是交集不是并集。学生常把两个条件用“或”连起来，或者只算了其中一个就收笔。写的时候先把每一条列成不等式，联立求交集，最后统一写成区间。 例2（教材第65页）　已知函数f(x)＝＋，（1）求函数的定义域；（2）求f(－3)、f()的值；（3）当a＞0时，求f(a)、f(a－1)的值。 解： 　　（1）使根式有意义的实数x的集合是{x|x≥－3}，使分式有意义的实数x的集合是{x|x－2}。所以这个函数的定义域是 　　　　{x|x≥－3}∩{x|x－2}＝{x|x≥－3，且x－2}， 　　　　即 [－3，－2)∪(－2，＋∞)。 　　（2）将－3与代入解析式，有 　　　　f(－3)＝＋＝－1； 　　　　f()＝＋＝＋＝＋。 　　（3）因为a＞0，所以f(a)、f(a－1)有意义。 　　　　f(a)＝＋； 　　　　f(a－1)＝＋＝＋。 方法点拨　第（1）问列不等式组、求交集、写成区间，三步不能省。第（2）问代入后不要急着约分，先通分成，再分母有理化成。第（3）问是抽象代入的第一次，务必强调：f(a－1)是把整个“a－1”当作x代进去，解析式里每一处x都要换，不是把a代进去再减1。 （三）抽象函数的定义域 这是本课时最难的一处。f(x)中的x与f(x＋1)中的x＋1，站在同一个位置上——都是f作用的对象。所以： ① 已知f(x)的定义域是D，求f(g(x))的定义域：解不等式g(x)D，解出的x的范围就是答案； ② 已知f(g(x))的定义域是D，求f(x)的定义域：由xD求出g(x)的取值范围，这个范围就是f的定义域； ③ 括号里的整体范围始终一致，这是全部窍门。 举一个走完两步的例子。已知f(x＋1)的定义域是[－1，3]，求f(2x)的定义域。第一步，由x[－1，3]得x＋1[0，4]，所以f的定义域是[0，4]；第二步，由0≤2x≤4得x[0，2]。中间必须经过“f的定义域”这个中转站，不能从[－1，3]直接跳到答案。 教学处理提示　这一块优生班做双向转化，普通班只做单向：已知f(x)的定义域求f(x＋1)的定义域。把“括号里的整体范围不变”这句话记住，比记两条规则管用。 （四）同一个函数 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域。因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数。 两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不相同，那么它们不是同一个函数。教材举的例子正是上一课时的问题1与问题2：尽管两个函数的对应关系都是y＝350x，但它们的定义域不相同，因此它们不是同一个函数；同时，它们的定义域都不是R，而是R的真子集，因此它们与正比例函数y＝350x（xR）也不是同一个函数。 反过来，教材还说：函数u＝t²（t(－∞，＋∞)）、x＝y²（y(－∞，＋∞)）与y＝x²（x(－∞，＋∞)），虽然表示它们的字母不同，但因为它们的对应关系和定义域相同，所以它们是同一个函数。字母不影响判断。 例3（教材第66页）　下列函数中哪个与函数y＝x是同一个函数？（1）y＝()²；（2）u＝；（3）y＝；（4）m＝。 解： 　　（1）y＝()²＝x（x{x|x≥0}），它与函数y＝x（xR）虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与y＝x不是同一个函数。 　　（2）u＝＝v（vR），它与函数y＝x（xR）不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与y＝x是同一个函数。 　　（3）y＝＝|x|＝，它与函数y＝x（xR）的定义域都是实数集R，但是当x＜0时，它的对应关系与y＝x不相同。所以这个函数与y＝x不是同一个函数。 　　（4）m＝＝n（n{n|n0}），它与函数y＝x（xR）的对应关系相同但定义域不相同。所以这个函数与y＝x不是同一个函数。 方法点拨（三步判定，作业与考试都按这个格式写）： 第一步，各自求定义域（求定义域时不许先化简，化简会改变定义域）； 第二步，定义域不同，直接判否，不必再看对应关系； 第三步，定义域相同，再化简比对应关系，逐个自变量看函数值是否相同。 教学处理提示　第（3）小题是全套材料里最重要的一道反例：定义域一样，仍然不是同一个函数。学生做到这里往往已经形成“定义域一样就是同一个”的错觉，必须在这里打断——取x＝－2代进去，y＝x得－2，y＝得2。教材第66页旁注提示可以用信息技术画出例3中四个函数的图象，根据图象进行判断，有条件可以现场画y＝x与y＝的图象，左半支的差别一眼可见。这个反例建议留在黑板上整节课不擦。 教材在例3之后还留了一个思考：至此，我们在初中学习的基础上，运用集合语言和对应关系刻画了函数，并引进了符号y＝f(x)，明确了函数的构成要素。比较函数的这两种定义，你对函数有什么新的认识？可以让学生用一两句话写下来，答案不必统一，能说出“定义域被摆到明面上了”“对应关系不一定是式子”这两点就算到位。 三、概念辨析与易错点 1．区间要求a＜b。　写成[3，1]是错的，前小后大是硬规定。 2．∞这一端永远用小括号。　写[2，＋∞]、(－∞，1]∪[1，＋∞]都是硬伤。∞是趋势不是数，不能取到。 3．区间只能表示连续的实数集合。　{1，2，3}不能写成区间；{x|x0}要写成(－∞，0)∪(0，＋∞)，不是一个区间。 4．多个区间之间用∪连接，不用逗号。　写成“[－3，－2)，(－2，＋∞)”是错的，要写成[－3，－2)∪(－2，＋∞)。 5．求定义域时不能先化简。　y＝的定义域是{x|x0}，化简成y＝x再求就错了。定义域由原式决定，化简是求出定义域之后的事。 6．几个式子相加减，定义域取交集不取并集。　f(x)＝＋的定义域是[3，＋∞)，不是把两个条件用“或”连起来。 7．分母上的根式要求大于0。　中，3x－1既在根号里又在分母上，条件是3x－1＞0，不是≥0。 8．零次幂的底数不为0容易漏。　f(x)＝＋(x－1)⁰的定义域是[－2，1)∪(1，2]，漏掉x1就成了[－2，2]。 9．解不等式时忘记变号。　由1－2x≥0得x≤，两边同除以－2要变号。写成x≥的，取x＝1代回去，根式立刻无意义。 10．f(a－1)是把整个a－1代进去。　解析式里每一处x都要换，不是f(a)－1，也不是只换第一处。 11．抽象函数定义域，看的是括号里的整体。　已知f(x)定义域为[0，2]，求f(2x)的定义域：由0≤2x≤2得0≤x≤1。学生常直接照抄[0，2]。 12．双向转化必须经过中转站。　已知f(x＋1)的定义域是[－1，3]求f(2x)的定义域，要先求出f的定义域[0，4]，再解0≤2x≤4，不能从[－1，3]直接跳。 13．判断同一函数时，字母不影响结论。　y＝x²（xR）与u＝t²（tR）是同一个函数。学生看到字母不同就判否，是把形式当成了本质。 14．定义域相同，也未必是同一个函数。　y＝x与y＝的定义域都是R，但x＜0时函数值不同，不是同一个函数。这是教材例3第（3）小题，本课时最重要的反例。 15．“定义域为”与“在……上有意义”是两回事。　f(x)＝的定义域恰好是[1，＋∞)时m＝2；只要求在[1，＋∞)上有意义时m≤2。前者是等号，后者是包含。 四、题型归纳 题型一　区间与集合的互化 例1　把下列集合改写成区间，或把区间改写成集合。 （1）{x|－1＜x≤5}；（2）{x|x≥2}；（3）{x|x3}；（4）{x|x≤0或x＞4}；（5）(－∞，2)∪(2，＋∞)。 解析： 　　（1）(－1，5]；（2）[2，＋∞)；（3）(－∞，3)∪(3，＋∞)； 　　（4）(－∞，0]∪(4，＋∞)；（5）{x|x2}。 方法点拨　对着数轴改写最稳：先在数轴上把集合画出来，实心点写方括号，空心点写小括号，几段就写几段，段与段之间用∪。 题型二　求具体函数的定义域 例2　求下列函数的定义域。 （1）f(x)＝；　（2）f(x)＝＋； （3）f(x)＝；　（4）f(x)＝(x－2)⁰＋。 解析： 　　（1）由x²－3x＋20，得x1且x2，定义域为(－∞，1)∪(1，2)∪(2，＋∞)。 　　（2）由2x－1≥0且x－30，得x≥且x3，定义域为[，3)∪(3，＋∞)。 　　（3）由4－x≥0且|x|－10，得x≤4且x±1，定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，4]。 　　（4）由x－20且x＋1≥0，得x≥－1且x2，定义域为[－1，2)∪(2，＋∞)。 方法点拨　把每一条限制写成不等式，联立求交集，最后写成区间。挖掉一个点就多分一段，挖掉两个点就分三段。写答案前数一数：几个不等号、几个不等式，段数对不对得上。 题型三　抽象函数的定义域 例3　（1）已知f(x)的定义域是[0，4]，求f(x²)的定义域；（2）已知f(x＋1)的定义域是[－1，3]，求f(x)的定义域，并求f(2x)的定义域；（3）已知f(x＋2)的定义域为(－3，4)，求g(x)＝的定义域。 解析： 　　（1）由0≤x²≤4，得－2≤x≤2，定义域是[－2，2]。 　　（2）因为x[－1，3]，所以x＋1[0，4]。f作用的对象是x＋1，其取值范围[0，4]就是f的定义域。 　　　　再由0≤2x≤4，得0≤x≤2，所以f(2x)的定义域是[0，2]。 　　（3）由x(－3，4)得x＋2(－1，6)，所以f(x)的定义域是(－1，6)； 　　　　又3x－1＞0得x＞；取交集得g(x)的定义域是(，6)。 方法点拨　只盯括号里的整体——f后面括号里的东西，取值范围永远是f的定义域，与外面套的是x、x＋1还是2x无关。第（3）小题多一层：g(x)中的f(x)要求x落在f的定义域里，同时分母上的根式要求被开方数大于0，两条取交集。 题型四　判断是不是同一个函数 例4　下列各组函数中，表示同一个函数的是哪几组？ （1）f(x)＝x，g(x)＝；　（2）f(x)＝|x|，g(x)＝； （3）f(x)＝x²，g(x)＝()⁴；　（4）f(x)＝x²－2x－1，g(t)＝t²－2t－1； （5）f(x)＝x＋1，g(x)＝。 解析： 　　（1）f的定义域是R，g的定义域是{x|x0}，定义域不同，不是同一个函数。 　　（2）定义域都是R；对任意x，＝|x|，对应关系相同，是同一个函数。 　　（3）f的定义域是R，g的定义域是[0，＋∞)，不是同一个函数。 　　（4）定义域都是R，对应关系都是“平方减去二倍再减1”，只是自变量的字母不同，是同一个函数。 　　（5）g的定义域是{x|x1}，与R不同，不是同一个函数（化简后虽然都是x＋1，但x＝1取不到）。 方法点拨　三步走：先各自求定义域（不许先化简），定义域不同直接判否；定义域相同再化简比对应关系；字母不同不影响判断。全套材料的答题格式统一按这三步写。 ★题型五　含参数的定义域问题（优生班） 例5（★）　已知函数f(x)＝的定义域为[1，＋∞)，求实数m的值；若函数f(x)＝在[1，＋∞)上有意义，求实数m的取值范围。 解析： 　　由2x－m≥0，得x≥，所以f(x)的定义域是[，＋∞)。 　　第一问要求定义域恰好是[1，＋∞)，所以＝1，得m＝2； 　　第二问只要求在[1，＋∞)上有意义，即[1，＋∞)[，＋∞)，所以≤1，得m≤2。 方法点拨　“定义域为D”是等号，“在D上有意义”是包含。这两句话在题干里只差几个字，答案却差一个区间，读题时要停一下。含参问题的通法是先把定义域用含参的式子表示出来，再按题目要求列等式或列包含关系。 五、附：常见书写错误例析 1．在∞一端写方括号。　[2，＋∞]、(－∞，1]∪[1，＋∞]都要扣分。∞永远配小括号。 2．区间之间用逗号连接。　写“[－3，－2)，(－2，＋∞)”是错的。两段之间是并集关系，必须写∪。 3．把定义域写成不等式与区间的混合体。　“定义域为x≥－3且x－2”只是把条件重述了一遍，规范写法是{x|x≥－3，且x－2}或[－3，－2)∪(－2，＋∞)。 4．求定义域只写结论不写条件。　直接写“定义域为[，3)∪(3，＋∞)”，中间要有“由2x－1≥0得x≥，由x－30得x3”这两句。 5．判断同一函数时先化简再求定义域。　把先约成x再说“定义域是R”，顺序错了，结论也错了。 6．判断同一函数只写结论不说理由。　“不是同一个函数”后面要跟一句“因为定义域不同”或“因为x＜0时对应关系不同”。 六、与考试的对应 月考与期中：本课时是第一次月考的主力内容。高频的三类是——求具体函数的定义域（含分式、根式、零次幂的组合，选择或填空）；判断同一函数（四组给你挑，选择题）；用区间表示集合（填空）。抽象函数的定义域一般出现在填空题的后半段或解答题第一问。 期末与高考：定义域是所有函数题的前置步骤。高考中直接考定义域的题不多，但“先求定义域”这个动作贯穿始终；抽象函数定义域的双向转化在解答题第一问出现的频率不低。同一函数的判定近年多以选择题形式出现，四个选项各埋一个坑：定义域不同、对应关系不同、只换字母、化简后掉了点。 为后续铺垫：3.2讲单调性与奇偶性，两个定义都以“对定义域内任意x”开头，奇偶性还要求定义域关于原点对称——那一条的前提是学生会求定义域。第四章指数函数、对数函数的定义域限制（真数大于0）也是这一课时方法的直接应用。 七、初高中衔接与教学提醒 学生的初中基础　初中解过一元一次、一元二次不等式，会在数轴上表示解集，但没有系统地求过函数的定义域，也没有见过区间记号。 最大的认知障碍　“定义域相同就是同一个函数”这个错觉。教材例3第（3）小题是唯一能打破它的反例，一定要当场代数验证，不能只念结论。 进度建议　复习回顾5分钟、区间10分钟、求定义域13分钟、同一函数12分钟、检测与小结5分钟。区间不必讲太久，它只是记号；把时间留给定义域和同一函数。 两班分层　优生班：加抽象函数定义域的双向转化，加含参定义域（例5）；普通班：抽象函数只讲f(x)与f(x＋1)的单向转化，含参定义域放到期中复习再补。 当堂过关项　四类区间的记号与数轴表示口答；“先定域后化简”这句话齐声念一遍；同一函数三步口答。 需要预告的后续联系　讲完定义域可以说一句：定义域是所有函数问题的第一步，3.2讲奇偶性时还要求它关于原点对称。不要展开。 八、题型精练（附详解） 一、选择题 1．区间[5，8)表示的集合是（　　） 　A．{x|x≤5或x＞8}　B．{x|5＜x≤8}　C．{x|5≤x＜8}　D．{x|5≤x≤8} 2．函数f(x)＝＋的定义域是（　　） 　A．[－2，＋∞)　B．[－2，1)　C．[－2，1)∪(1，＋∞)　D．(1，＋∞) 3．函数f(x)＝的定义域为（　　） 　A．(－∞，]　B．[，＋∞)　C．(－∞，2]　D．[2，＋∞) 4．下列各组函数中，表示同一个函数的是（　　） 　A．y＝x与y＝　　B．y＝|x|与y＝()² 　C．y＝x²与y＝(x＋1)²　　D．y＝x＋1与y＝ 5．函数f(x)＝的定义域是（　　） 　A．(－∞，4]　B．(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，4] 　C．[－1，1]　D．(－∞，－1)∪(1，4] 6．已知f(x)的定义域是[－2，2]，则f(2x－1)的定义域是（　　） 　A．[－2，2]　B．[－，]　C．[－3，5]　D．[－1，1] 二、填空题 7．用区间表示下列集合：{x|－1＜x≤5}＝＿＿＿＿；{x|x≥2}＝＿＿＿＿；{x|x3}＝＿＿＿＿。 8．已知f(x＋1)的定义域是[－1，3]，则f(x)的定义域是＿＿＿＿，f(2x)的定义域是＿＿＿＿。 9．函数f(x)＝(x－)⁰＋的定义域是＿＿＿＿＿＿＿＿。 三、解答题 10．求下列函数的定义域：（1）f(x)＝＋；（2）f(x)＝。 11．判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由：（1）f(x)＝x－1，g(x)＝；（2）f(x)＝1，g(x)＝x⁰；（3）f(x)＝|x－1|，g(x)＝。 12．（★）已知函数f(x)＝的定义域为[3，＋∞)，求a的值；若f(x)＝在[3，＋∞)上有意义，求a的取值范围。 参考答案与详解 1．C。　[5，8)表示满足5≤x＜8的实数x的集合，左端闭、右端开。误选D是把右端也当成了闭；误选B是把两端的开闭弄反了。 2．C。　由x＋2≥0得x≥－2，由1－x0得x1，取交集得[－2，1)∪(1，＋∞)。误选B是漏掉了x＞1的部分；误选A是忘了分母的限制。 3．A。　由1－2x≥0得x≤。误选B是两边同除以－2时忘记变号——取x＝1代回原式，1－2＝－1，根式无意义，可以当场验证。 4．D。　A项：的定义域是{x|x0}，与R不同；B项：()²的定义域是[0，＋∞)，与R不同；C项：定义域都是R，但x＝0时函数值分别为0与1，对应关系不同；D项：＝x＋1，定义域都是R，对应关系相同。 5．B。　由4－x≥0得x≤4，由|x|－10得x1且x－1。挖掉两个点，分成三段。误选A是漏了分母的限制；误选D是漏了x＝－1这个点。 6．B。　f作用的对象是2x－1，由－2≤2x－1≤2得－1≤2x≤3，即－≤x≤。误选A是直接照抄f(x)的定义域；误选C是把变换方向做反了。 7．　(－1，5]；[2，＋∞)；(－∞，3)∪(3，＋∞)。第三个不能写成一个区间，也不能用逗号连接。 8．　[0，4]；[0，2]。由x[－1，3]得x＋1[0，4]，这就是f的定义域；再由0≤2x≤4得x[0，2]。中间必须经过“f的定义域”这个中转站。 9．　[－2，)∪(，＋∞)。由x－0得x，由x＋2≥0得x≥－2。漏掉零次幂的限制就成了[－2，＋∞)。 10． 　　（1）由x²－40得x±2，由x＋3≥0得x≥－3， 　　　　取交集得定义域是[－3，－2)∪(－2，2)∪(2，＋∞)。 　　（2）由x＋1≥0得x≥－1，由x－20得x2， 　　　　取交集得定义域是[－1，2)∪(2，＋∞)。 11． 　　（1）不是。f的定义域是R，g的定义域是{x|x－1}，定义域不同。（g化简后虽然也是x－1，但x＝－1取不到。） 　　（2）不是。f的定义域是R，g的定义域是{x|x0}，定义域不同。 　　（3）是。两者定义域都是R，且＝|x－1|，对应关系相同。 12． 　　由x－a≥0得x≥a，所以f(x)的定义域是[a，＋∞)。 　　第一问要求定义域恰好是[3，＋∞)，所以a＝3； 　　第二问要求[3，＋∞)[a，＋∞)，所以a≤3。 　　（“定义域为”是等号，“在……上有意义”是包含，两者只差几个字，答案差一个区间。） 学科网（北京）股份有限公司 $