专题五 含有理数乘方的混合运算【（挑战压轴题）思维导图+十三大考点讲练+优选题训练 共54题】-2026-2027学年人教版数学七年级上册

本初中数学讲义聚焦“含有理数乘方的混合运算”核心知识点，从幂的概念理解切入，逐步覆盖乘方运算、逆运算、符号规律，延伸至程序流程图、算“24”点等实际应用，结合科学记数法与近似数，构建从概念到运算再到应用的递进式学习支架。 资料以思维导图梳理知识脉络，通过“典例精讲+对应练习”强化十三大考点，融入生活化问题如算“24”点培养应用意识，程序流程图问题提升运算能力与逻辑思维。课中辅助教师系统教学，课后54道优选题助力学生巩固，有效查漏补缺。

2026-2027学年人教版数学七年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题五 含有理数乘方的混合运算 【思维导图+十三大考点讲练+优选题训练 共54题〔原卷版〕】 目 录 【压轴考点01】有理数幂的概念理解 2 【压轴考点02】有理数的乘方运算 4 【压轴考点03】有理数乘方逆运算 6 【压轴考点04】乘方运算的符号规律 7 【压轴考点05】乘方的应用 8 【压轴考点06】程序流程图与有理数计算 10 【压轴考点07】算“24”点 11 【压轴考点08】含乘方的有理数混合运算 13 【压轴考点09】用科学记数法表示绝对值大于1的数 14 【压轴考点10】将用科学记数法表示的数变回原数 15 【压轴考点11】求一个数的近似数 15 【压轴考点12】求近似数的精确度 16 【压轴考点13】近似数推断取值范围 16 17 【压轴考点01】有理数幂的概念理解 【典例精讲】（25-26七年级上·山西晋中·期中）阅读与思考 规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“3的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：除方乘方 【初步探究】 （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式________；________． 【深入思考】 （2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成乘方的形式是________． 【运用规律】 （3）算一算（算出最后结果）：． 【对应练习1】（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）如图1，点A，B在数轴上对应的数分别为a，b，且． (1)______，______； (2)如图2所示，现将该数轴沿着点C折叠，使得点A的对应点与点B重合． ①点C表示的数为______； ②点D为该数轴上点C左侧的一点，沿着点C进行同样的折叠后，对应点记作点E．若点E与点B之间相距5个单位长度，借助数轴求出点D所表示的数． 【对应练习2】（24-25七年级上·河南开封·期中）阅读材料，解决问题： 我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到： ;观察上述算式: 可以得到： 类比上述式子，你能够得到： (1) ， ； (2)利用由特殊到一般的思想，可以得到： （m、n都是正整数）；我们把类似于和这样的式子叫同底数幂；因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． (3)知识运用： ， ； (4)已知 求的值． 【压轴考点02】有理数的乘方运算 【典例精讲】（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1) ； (2) 【对应练习1】（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是多少？ (2)试求出的值． 【对应练习2】（24-25七年级上·云南昆明·期末）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． ． (1)______； (2)已知：，其中，a为负数，求a的值； (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【压轴考点03】有理数乘方逆运算 【典例精讲】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 【对应练习1】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）数学活动 在上个月，我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算，定义：与（，m、n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作，运算法则如下：． 解决问题 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： (1)填空： ； ； (2)如果，求出x的值； (3)如果，请直接写出x的值． 【对应练习2】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 【压轴考点04】乘方运算的符号规律 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·寒假作业）记， ， ，…， (1)填空： ______，是一个______（填“正数”或“负数”）． (2)计算的值． (3)当时，求的值． 【对应练习1】（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）探究规律，完成相关题目．定义“*”运算： ；；；；；； (1)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，符号为______，并把这两个数的______相加，请把运算法则补充完整； (2)计算： (3)若存在有理数m，n，使得，请直接写出m，n的值． 【对应练习2】（25-26七年级上·云南文山·期末）比较大小：_____98（填“＞”“＝”或“＜”）． 【压轴考点05】乘方的应用 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，你能由此得出计算规律吗？ (1)计算：． (2)由此猜测：从1开始的n个连续奇数之和等于多少？选择n的一些值，用计算器计算，验证你的猜想． 【对应练习1】（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）综合与实践 知识回顾：通过对“进位制的认识与探究”的学习我们知道，进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，十进制逢十进一，基数是10，使用0~9十个数记数；计算机常用的记数形式是二进制，二进制逢二进一，基数是2，使用0和1两个数字记数，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，二进制数和十进制数之间可以相互转换．（规定：当时，，例：） 例： 任务一： （1）将转换成十进制数的结果为_______，将35转换成二进制数的结果为________． 类比探究：二进制加法运算的基本原理与十进制相同，不同的是十进制逢十进一，二进制逢二进一． 例： 任务二： （2）①计算： ②将①中结果转化为十进制数 迁移应用： （3）已知将八进制数转换成十进制数的算法与二进制数的算法类似， ①请将98转化为八进制数． ②请将转化为八进制数． 【对应练习2】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢三进一就是三进制，用数字0，1，2记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1212记为，由，可得是十进制数50． (1)将转换为十进制数，结果是________； (2)对于一个用三进制表示的正整数，现有结论“如果这个数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个数就能被2整除．”请以四位的三进制数为例： ①将转化为十进制，结果是________． ②请以四位的三进制数为例，说明该结论正确的道理． 【压轴考点06】程序流程图与有理数计算 【典例精讲】（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 【对应练习1】（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为______，______； (2)你认为当输入数等于______时（写出一个即可），其输出结果为0； (3)你认为这个“数值转换机”不可能输出______（填写：正数、0、负数）； (4)有一次，小明操作的时候输入了一个小于10的正整数，最后输出的结果是2，聪明的你判断一下，小明输入的正整数是______． 【对应练习2】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，任取一个正整数x，若x是奇数，就将x乘3再加上1；若x是偶数，就将x除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环1→4→2→1…，这就是“冰雹猜想”．已知甲、乙两个显示屏上初始输入的数分别为8，5，将它们按“冰雹猜想”同步进行n次运算后，若屏幕上显示输出的数相差2，则n的值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【压轴考点07】算“24”点 【典例精讲】小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 【对应练习1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 【对应练习2】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）“算24”的扑克牌游戏曾经风靡许多国家，深受青少年朋友的喜爱．这种游戏将两张王牌去掉，规定扑克牌中的J为11，Q为12，K为13，A为1．从扑克牌中按要求抽取若干张牌，将牌面所表示的数进行有理数的加、减、乘、除运算（每张牌用且只用一次），算得“24”即可． 【问题情境】 假设已抽取如下的牌，能不能根据牌面所表示的数算“24”呢？如果能，怎么算？ 可列算式：． 根据上图中4张牌，还可以列出不同的算式 ． 【思考探究】 （1）用两张牌算“24”：①；②；③；④用三张牌算“24”：可以将其中两张牌整合，转化为（1）中情况来思考，例如：抽到的牌为2、3、4，可以列式为，转化为（1）中的①．问题：抽到的牌为2、3、4，还可以转化为（1）中的③，即列式为 ． （2）用四张牌算“24”：可以一三分组，也可以两两分组，例如：抽到的牌为8、9、12、13，我们可以一三分组，列式为，转化为（1）中的①；请你用8、9、12、13四张牌进行有理数的加、减、乘、除运算再列一个算式，使得算式结果为24． （3）用五张牌算“24”：请你考虑这九个数字中，若恰巧五张牌的数字都相同（五个1，五个2，…五个9），会有哪些情况可以算出“24”． 【压轴考点08】含乘方的有理数混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·四川广元·期末）计算： (1) (2) 【对应练习1】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【对应练习2】（25-26七年级上·河南郑州·期中）简便运算． (1) (2) (3) (4) 【压轴考点09】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例精讲】（24-25七年级下·河北张家口·期中）地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（     ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 【对应练习1】（25-26七年级上·山东临沂·期末）在如下结论中：①的底数是3；②若有理数互为相反数，，那么；③万用科学记数法表示为；④与一样大；⑤式子的最大值是2．其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【对应练习2】（25-26七年级上·甘肃陇南·期末）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉.针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米大约重10克，现在请同学们来计算． (1)按我国14亿人口计，每年365天，每人每天三餐米饭计算，如果每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） (2)如果我们把一年节约的大米卖成钱，按4元/千克计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示） 【压轴考点10】将用科学记数法表示的数变回原数 【典例精讲】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知航天器速度为米/秒，行星与地球距离为千米，下列正确的是（    ） A．航天器速度原数是79000米/秒 B．的原数末尾有8个0 C．航天器飞完这段距离需秒 D．小数点右移2位，结果为 【对应练习1】一个数用科学记数法表示为，则这个数是______． 【对应练习2】截至2020年10月末，全国核酸日检测能力是人份，实现了“应检尽检”、“愿检尽检”．数据原来的数是（  ） A．576000 B．576万 C．57600000 D．57.6万 【压轴考点11】求一个数的近似数 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）用计算器计算（精确到十分位）： (1)； (2)； (3)． 【对应练习1】（26-27七年级·浙江·暑假作业）用四舍五入法按下列要求取各数的近似数： (1)（精确到）； (2)（精确到十分位）； (3)（精确到千分位）； (4)（精确到个位）； 【对应练习2】下列对使用四舍五入法得到近似数的描述正确的是（） A．近似数精确到百位 B．3.254精确到十分位是3.2 C．近似数6.32万精确到百分位 D．4.701的近似数是4 【压轴考点12】求近似数的精确度 【典例精讲】某集团全年产值约亿元，它精确到___________位．用科学记数法表示此近似数是___________元（保留两位有效数字）． 【对应练习1】（26-27七年级·浙江·暑假作业）用四舍五入法按括号内的要求对下列各数取近似数，结果用科学记数法表示． (1)（精确到万位） (2)（精确到千万位） (3)（精确到百位） 【对应练习2】（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．近似数与的精确度一样 B．近似数精确到万分位 C．近似数与2000的意义完全一样 D．近似数万与的精确度不同 【压轴考点13】近似数推断取值范围 【典例精讲】一个三位小数，四舍五入后是，这个三位小数最小是( )，最大是( )． 【对应练习1】（25-26七年级上·海南海口·阶段检测）近似数是由数a四舍五入得到的，那么数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【对应练习2】（25-26七年级上·安徽·期中）一个三位数先四舍五入到十位，所得的数为， 再将四舍五入到百位，所得的数恰好为． (1)数的最大值和最小值分别是多少？ (2)将数x 的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来（精确到百位）． 1．（26-27七年级上·全国·课后作业）下面各组大小关系中，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是多少？（     ） A． B．11 C． D． 3．（22-23七年级上·河南开封·阶段检测）下列各对数中，互为相反数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（　　） A．19 B．31 C．62 D．98 5．（25-26七年级上·重庆·期末）我国古代算盘（如图1）暗藏着十六进制，其算珠结构为“上二下五”，上珠以一当五，下珠以一当一．当算盘归零时，上下珠靠框，拨珠时靠梁，上珠下拨，下珠上拨．每档代表一个数位，从右往左数位依次增加．若通过“逢十六进一”的运算规则，则可适配古代重量单位“一斤等于十六两”的度量体系．图2表示的十六进制数为，通过（规定：时，），可知表示的十进制数为97．若十进制数88用该算盘表示为十六进制数，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·广西钦州·期末）材料：N进制数与十进制数之间的转换，只要将N进制数的每个数字依次乘基数N的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数，规定：．如：．现有六进制数，八进制数，则_____． 7．（25-26七年级上·广东潮州·期末）我们常用十进制数，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（也就是满七进一，如）用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是__________天． 8．（25-26七年级上·贵州黔西南·阶段检测）据相关资料记载，任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．将得到的数反复进行上述运算，经过有限次运算后，必得到1，这就是“冰雹猜想”．例如数5，按照这种规则，进行五次运算后，第一次得到1，即．若数a经过六次运算后，第一次得到1，则数a的值是________． 9．（25-26七年级上·辽宁抚顺·期末）阅读下列材料： 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：，就是二进制数1011的简单写法，十进制数一般不标注基数．表示这个进制数从右起，第一位上的数字为，第二位上的数字为，第三位上的数字为，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，例如十进制数（当时，）．同理，二进制数转换为十进制数为：．一个十进制数转换为进制数时，把十进制数表示成0，1，2…，与基数的幂的乘积之和的形式．例如，将十进制数46转换为三进制数，因为，即，则，所以46转换为三进制数为．根据上述材料，请将十进制数875转换为五进制数为______． 10．（2026·浙江·模拟预测）阅读材料完成问题：在中学生涯中，我们常常会遇到等比数列，即，，等，每两个数之间都是2倍数关系，若要求和时，我们可以假设这个求和的结果为： 我们将每一项都乘以2，就可以得到，我们将两个数相减就可以得到．现在有一点M从坐标原点开始运动，第一次向右2个单位，第二次向左4个单位，第三次向右8个单位，第四次向左16个单位，如此循环往复，第n次它距离原点______． 11．（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 12．（2026七年级上·全国·专题练习）阅读材料，求值：． 解：设①，将等式两边同时乘以得： ②， ②①，得：， 所以， 即， 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数）． 13·山东济南·阶段检测）综合与探究： 【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”． 一般地写作，读作“的圈次方”． (1)【初步探究】直接写出计算结果：_______；_______． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． (2)【探究应用】试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：______，______； (3)算一算：． 14．（25-26七年级上·福建厦门·期末）背景介绍： 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．在十进制中，使用0-9十个数字进行记数，基数是10．如十进制数3721表示为： （规定当时，）． 某兴趣小组在学完“进位制的认识与探究”后，打算对六进制数开展研究，他们规划了下列研究任务： 说明：为区分六进制数与十进制数的表示，在六进制数的右下角标记6，如六进制数3245记为． 任务一：六进制数与十进制数的转换 （1）转化为十进制数为___________； （2）7转化为六进制数为___________； 任务二：六进制数的乘法和除法运算 他们在逢六进一的约定下，设计了“五五乘法表”（以下表中的数都为六进制数）： 根据乘法表，计算： （1）（2）； 任务三：探究六进制数的整除规律 设位六进制数各数位上的数从最高位到个位依次为：（其中）．试探究该位六进制数能被整除所要满足的条件，并说明理由． 15．（25-26七年级上·江苏南通·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 为区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数（十进制数一般不标注基数）． 可知：一个其它进位制数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转化成一个十进制数，反之，可以将一个十进制数表示成一个其它进位制数． 规定：当时，． 例如：，即； ，即； ，即． 【初步感知】 （1）①请把转化为十进制数为______； ②请把转化为八进制数； 【类比探究】 （2）类比十进制数的四则运算可进行其它进位制数的运算， 例如：． 计算：①； ②． 【拓展提升】 （3）小聪发现不同进制数都可以化为十进制数，故不同进制数也可以进行加法运算． 例如：． 若，则_____（结果用十进制数表示）． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年人教版数学七年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题五含有理数乘方的混合运算 【思维导图+十三大考点讲练+优选题训练共54题〔原卷版〕】 目录 【压轴考向一含乘方的混合运算】 【压轴考点01】有理数幂的概念理解★★★ .2 ,【压轴考点02】有理数的乘方运算★★★★ .4 忠 【压轴考点03】有理数乘方逆运算★★★ …6 ,【压轴考点04】乘方运算的符号规律★★★★ .7 【压轴考点05】乘方的应用★★★ 8 ,【压轴考点06】程序流程图与有理数计算★★★★ 10 【压轴考点07】算“24”点★★★.… .11 【压轴考点08】含乘方的有理数混合运算★★★★ .13 【压轴考向二科学记数法】 【压轴考点09】用科学记数法表示绝对值大于1的数★★★ .14 出 【压轴考点10】将用科学记数法表示的数变回原数★★★★ .15 【压轴考向三近似数】 二【压销考点1】求一个数的近似数★女女 .15 【压轴考点12】求近似数的精确度★★★ …16 【压轴考点13】近似数推断取值范围★★★★ ..16 【压轴题专项训练优选题15题思维拓展练习】 17 第1页共22页 【专题复习思维导图指引】 下有理数的乘方 自二、运算顺序 心三、有理数乘方的运算性质与公式 1.乘方的意义 一指数 有理数的乘方运算后，做有理数的 1.a”·am=am+n(a≠0，m,n为整数) 求n个相同乘数a相乘的积，叫作乘方， 加，减、乘。除、乘方混合运算时， 乘方的结果叫作幕(power). L底数 应注意以下运算顺序： 2.a (a≠0，m,n为整数，m>n) 1.先乘方，再乘除。最后加减 2.乘方的定义 2同级运算，从左到右进行： 3.(a")"=a"m(a≠0，m,n为整数) a·a·a,记作a,读作“a的n次方 3.如有括号，先敏括号内的运算 4.(ab)"=a"b(a,b为有理数，n为正整数) 节个 按小括号、中括号、大括号依次进行。 3.负数的奇次幕是负数，偶次解是正敬 5.(g)”=黑 (b±0，n为正整数 0的任何正整数次幂都是0， 6.a°=1 (a≠0) 4.例：(-2)1=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16： (-2)5=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=-32 挑战压轴题专题五 7a"= (a≠0，n为正整数) 四、科学记数法 含有理数乘方 了注意：上述公式中的口，么可以是正数，负数或0（除公式么、，7 中对0有限制的情况外)。 1.形式：a×10(1≤a<10,n为整数) 2,n的确定： 的混合运算 ★七、压轴题考点技巧 大于10的数，，为原数中整数位数减1： 小于1的数。：为原数中第一个非0数字前0的个数（含小数点前的0） 3.倒：696000=6.96×10 2.规律探索型 0.000567=5.67×10 ⊙六、有关运算律 观察数的变化规律（符号，绝对值指数等） 用字母表示第”个数。 五、近似数 交换律：a+b=b+aab=ba 3刻学记赞法皮用型 1.意义：与准确数接近程度较近的取，叫作近似数 (加法，乘法) 判断数的大小，近似值，有效数字位数等，注意指数的确定 之.表示方法：按要求用四会五入法对圆周率x取近似数： 元3（精确到个位），π￥31（精确到0.1， 结合撞：(a+b+c=a+b+c) 元=3.14（精到0.01，=3.1416（精确到.0001) (abc=a(bc)(加法、乘法】 3有效数字：一个大于10的数表示为a×10的形式（其中：大于成等于1， 5.运章顺序易错点 分配律：a(b+c)=ab+a 且小于10，n是整数)， (乘法对加法的分配) 生意先乘方，再乘除。最后加减：有括号先括号内后括号外 4,科学记数法表示一个并位整数(#大于设等于2以，其中0的指数是对一1. 。是在食ks的特号安化.是e特9昆 © 侧：1000000=1×1㎡，10100000=1.01×10 混合运算：灵活使用运算体，可使计算简便 八、典型压轴题题型与方法 △易错提醒 1,直接计算型 2.化简求值型 3.规律探素型 4、科学记数法型 5.综合运用型 1混清a“与口的意义： 确运用方公式 ①化简时合并同类项，运用公式 ①找出数字的排列规律 、科学记数法 2(=a与一(a)的符号区别： 2整体代入求值 3忘记运算顺序导致计算错误： 4,科学记数法中程的取值铅误 例：(-2+(-2 例：2×(-3)2-4×(-3)+15 例：观察数到-2,4-8.16. 例：5.67×10的近似修 例：已知a314,求(-3的近似 5.近似数精确度不符要求， 【压轴考向一含乘方的混合运算】 【压轴考点01】有理数幂的概念理解★★★ 【典例精讲】(25-26七年级上·山西晋中·期中)阅读与思考 规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如3÷3÷3，(-5)÷(-5)÷(-5)÷（-5) 等.类比有理数的乘方，我们把3÷3÷3记作3③，读作“3的圈3次方”，(-5)÷(-5)÷(-5)÷（-5) 记作(-5)@，读作“-5的圈4次方”.一般地，把a÷a÷a÷…÷a(a≠0)记作a0,读作“a的圈n次 n个 方”， 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如 何转化为乘方运算呢？ 例如：除方→20=2÷2÷2÷2=2×××=（ ”→乘方 【初步探究】 第2页共22页 (1)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式(-6)®-—一：（目。- 【深入思考】 (2)想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成乘方的形式是 【运用规律】 (3)算一算（算出最后结果）：32-(（月°+()°÷8. 【对应练习1】(25-26七年级上·河南南阳·阶段检测)如图1，点A,B在数轴上对应的数分别为a, b,且la+24+(b-10)2=0. B A D C EB、A B 图1 图2 备用图 (1)a= ,b=-_ (2)如图2所示，现将该数轴沿着点C折叠，使得点A的对应点A1与点B重合. ①点C表示的数为_一一-； ②点D为该数轴上点C左侧的一点，沿着点C进行同样的折叠后，对应点记作点E.若点E与点B之间相距 5个单位长度，借助数轴求出点D所表示的数. 第3页共22页 【对应练习2】(24-25七年级上·河南开封·期中)阅读材料，解决问题： 我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到：23=2×2×2：24=2×2× 2×2;观察上述算式： 23×24=2×2×2×2×2×2×2=27,可以得到：23×24=27 类比上述式子，你能够得到： (1)102×105=-,a3×a5=-: (2)利用由特殊到一般的思想，可以得到：am×a”=_（mn都是正整数)；我们把类似于a'和a”这样的 式子叫同底数幂：因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加 (3)知识运用：x·x2,x2024=_,y2ny+1=_; (4)已知xa=3,x=6,求xa+b的值. 。【压轴考点2】有理教的乘方运算★★★★ 【典例精讲】(2026七年级上·全国·专题练习)计算： 1)(-3)2-(1)×号-6÷-到引： (2)-14-(-)×[(-2)3-（-3)2] 第4页共22页 【对应练习1】(26-27七年级上·全国·课后作业)如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分， 部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是 部分②面积的一半，依此类推 ④ ⑥ ② ③ ① (1)阴影部分的面积是多少？ (②试求出++言+…+的值. 【对应练习2】(24-25七年级上·云南昆明·期末)探究规律，完成相关题目. 定义“*”运算： (+2)*(+4)=+(22+4)；(-4)*(-7)=+[(-42+(-7)2]: (-2)*(+4)=-[(-2)2+(+4)2]:(+5)*(-7)=-[(+5)2+(-7)2]: 0*(-5)=(-5)*0=(-5)2;（+3)*0=0*(+3)=(+3)2. 0*0=02+02=0. (1)(-5)*(-2)=-一-： (2)已知：(+1)*[0*a=17,其中，a为负数，求a的值： (3)是否存在有理数m,n,使得(m-1)*(n+2)=0,若存在，求出m,n的值，若不存在，说明理由. 第5页共22页 。【压轴考点03】有理数乘方逆运算★女女 【典例精讲】(25-26七年级上·广西崇左·阶段检测)根据乘方的意义及乘法运算律可知： a2.b2=a·a·b·b=(ab)·(ab)=(ab)2: a3.b3=a·a·a·b·b·b=(ab)(ab)(ab)=(ab)3; (1)根据以上材料可知：a4.b4= an.bn (n为正整数)； ②根据上面得到的结论，计算：(-8201×（目201 【对应练习1】(25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测)数学活动 在上个月，我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新 运算，定义：am与a”（a≠0，mn都是正整数)叫做同底数幂，同底数幂除法记作am÷a”,运算法则如 m>几，am÷an=am-n 下：am÷a= m=n,am÷an=1 m<n,am÷a”=a-m 1 解决问题 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： (1)填空：（份÷（份-：2÷26- (②)如果3÷33x-2=7求出x的值： (3)如果(9-2x)6x-1÷(9-2x)x+4=1,请直接写出x的值， 第6页共22页 【对应练习2】(25-26七年级上浙江金华阶段检测)计算(-0.25)2025×(-42024的结果是( A.- B. C.-4 D.4 【压轴考点04】乘方运算的符号规律★★★★ 【典例精讲】(25-26七年级上·全国·寒假作业)记M(①)=-2， M2)=(-2)×(-2), M3)=(-2)×(-2)×(-2),…, Mm=(-2)×(-2)×…×(-2) n个 (1)填空：M⑤=一一一，M10o0)是一个一（填“正数”或“负数”）. (2)计算M6+M)的值. (3)当Mm<0时，求2014Mm+1007Mm+)的值. 【对应练习1】(25-26七年级上·吉林长春·阶段检测)探究规律，完成相关题目.定义“*”运算： (+2)*(+4)=+[(+2)2+(+4)2]:(-4)*(-7)=+[(-4)2+(-7)2]:(-2)*(+4)=+[(-2)2+(+4)2]: (+5)*(-7)=+[(+5)2+(-7)2]:0*(-5)=(-5)*0=(-5)2;(+3)*0=0*(+3)=(+3)2:0*0=02+ 02=0 (1)归纳*运算的法则：两数进行运算时，符号为一一，并把这两个数的一相加，请把运算法则补充 完整； (2)计算：(+1)*[2*(-3)] (3)若存在有理数m,n,使得(m一2)*(n+1)=0,请直接写出m,n的值. 第7页共22页 【对应练习2】(25-26七年级上·云南文山·期末)比较大小：(-2)4998（填“>”“=”或“<”）. 二【压轴考点5】乘方的应用★★女 【典例精讲】(26-27七年级上·全国·课后作业)如图，你能由此得出计算规律吗？ 1357911 o」o|o1o|o1o 000 0 o 。0。。 0 0 。000 0 0000 0 0 o (1)计算：1+3+5+7+9+11=()2. (2)由此猜测：从1开始的n个连续奇数之和等于多少？选择n的一些值，用计算器计算，验证你的猜想. 【对应练习1】(25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中)综合与实践 知识回顾：通过对“进位制的认识与探究”的学习我们知道，进位制是人们为了记数和运算方便而约定的 记数系统，在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，十进制逢十进一，基数是10，使用09十个 数记数：计算机常用的记数形式是二进制，二进制逢二进一，基数是2，使用0和1两个数字记数，一个数 可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，二进制数和十进制数之间可以相互转换.（规 定：当a≠0时，a°=1，例：2°=1) 例：(11)2=1×21+1×2°=3 18=1×24+0×23+0×22+1×21+0×2°=(10010)2 任务一： (1)将(101)2转换成十进制数的结果为 ,将35转换成二进制数的结果为 类比探究：二进制加法运算的基本原理与十进制相同，不同的是十进制逢十进一，二进制逢二进一 例：(111)2+(10)2=(1001)2 第8页共22页 任务二： (2)①计算：(10101)2+(110)2 ②将①中结果转化为十进制数 迁移应用： (3)已知将八进制数转换成十进制数的算法与二进制数的算法类似， ①请将98转化为八进制数. ②请将(11011)2转化为八进制数. 【对应练习2】(2526七年级上·安徽合肥·期末)进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系 统.约定逢三进一就是三进制，用数字0,1,2记数，三进制数可以转换为十进制数.例如，三进制数1212 记为(1212)3，由(1212)3=1×33+2×32+1×31+2×30=50，可得(1212)3是十进制数50. (1)将(201)3转换为十进制数，结果是 (2)对于一个用三进制表示的正整数，现有结论“如果这个数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这 个数就能被2整除，”请以四位的三进制数(abcd)3为例： ①将(abcd)3转化为十进制，结果是 ②请以四位的三进制数(abcd),为例，说明该结论正确的道理， 第9页共22页 【压轴考点06】程序流程图与有理数计算★★★★ 【典例精讲】(25-26九年级下·河北邯郸·期中)如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示 对前一个数进行卡片上的运算，如按“4→A→B”进行运算，则所列算式为“(4一3)×(-4)”. B -4) 平方 (1)若按“一三→B→A→C”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“→D→C→B→A进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果， 2 【对应练习1】(25-26七年级上·广东深圳·期中)如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换 机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机)， 否 非正 输入 数大于2 取相反数 取绝对值 是 为正 加上-5 取倒数 输出 (1)当小明输入4,7这两个数时，则两次输出的结果依次为 (2)你认为当输入数等于一一时（写出一个即可），其输出结果为0： (3)你认为这个“数值转换机”不可能输出 (填写：正数、0、负数)； (4)有一次，小明操作的时候输入了一个小于10的正整数，最后输出的结果是2，聪明的你判断一下，小明 输入的正整数是一一· 【对应练习2】(25-26七年级上·河北石家庄·期中)如图，任取一个正整数x,若x是奇数，就将x 乘3再加上1；若x是偶数，就将x除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环1→4 →2→1…，这就是“冰雹猜想”.己知甲、乙两个显示屏上初始输入的数分别为8,5，将它们按“冰雹猜 想”同步进行n次运算后，若屏幕上显示输出的数相差2，则n的值可以是( ) 第10页共22页 x为偶数厂x 输入x> 输出 为奇数3x+1 A.3 B.4 C.5 D.6 【压轴考点07】算“24”点★★★ 【典例精讲】小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： -3 -5 0 +3 +4 (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最 大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号）“+”、“一”、“×”、“÷” 运算，使其结果等于24.（写出一种情况即可） 【对应练习1】(25-26七年级上·浙江绍兴·期末)学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除） 后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法.两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是6，只要其余三个数能算出是4或144,18,30，-18，都可算出24， 如：6,7,8,9，可以列出8÷(9-7)×6=24. 兴兴：有时遇到6不能用你的方法算出，可以尝试用6除以好也能得到24哦！如：1,3,4,6，可以列 出6÷(1-3÷4)=24. 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数2,3,5，请从1到10这些自然数中选一个，使四个数能算出24，要求列出算式，并简 单说一下你的思考过程. (2)想一想，数字-1,4,5,6这四个数可以算出24吗？如果可以，请列出算式. 第11页共22页 【对应练习2】(25-26七年级上·江苏南京·阶段检测)“算24”的扑克牌游戏曾经风靡许多国家，深 受青少年朋友的喜爱.这种游戏将两张王牌去掉，规定扑克牌中的厂为11，Q为12，X为13，A为1.从扑 克牌中按要求抽取若干张牌，将牌面所表示的数进行有理数的加、减、乘、除运算（每张牌用且只用一次）， 算得“24”即可. 【问题情境】 假设已抽取如下的牌，能不能根据牌面所表示的数算“24”呢？如果能，怎么算？ 可列算式：(9-5)×(13-7)=24， 根据上图中4张牌，还可以列出不同的算式=24. 【思考探究】 (1)用两张牌算“24”：①2×12=24：②3×8=24：③4×6=24：④11+13=24…用三张牌算“24”： 可以将其中两张牌整合，转化为(1)中情况来思考，例如：抽到的牌为2、3、4，可以列式为2×(3×4)=2× 12=24,转化为(1)中的①.问题：抽到的牌为2、3、4，还可以转化为(1)中的③，即列式为_ (2)用四张牌算“24”：可以一三分组，也可以两两分组，例如：抽到的牌为8、9、12、13，我们可以一 三分组，列式为[8÷(13-9)]×12=(8÷4×12=2×12=24，转化为(1)中的①：请你用8、9、12、 13四张牌进行有理数的加、减、乘、除运算再列一个算式，使得算式结果为24. (3)用五张牌算“24”：请你考虑1~9这九个数字中，若恰巧五张牌的数字都相同（五个1，五个2，… 五个9)，会有哪些情况可以算出“24”. 第12页共22页 二【压轴考点08】含乘方的有理数混合运算女★女★ 【典例精讲】(25-26七年级上·四川广元·期末)计算： (1)-2+24×(（6-号-司 (2)(-1)2026+-5-51×(-)-(-4④)2÷(-8) 【对应练习1】(26-27七年级上·全国·课后作业)计算： (1)-2+2×(-4④2： 2)-22+(-7)÷（-0): (3)(-1到××8-9÷(-) 【对应练习2】(25-26七年级上·河南郑州·期中)简便运算. 回器+器++++ 512-1 2)(1+)×(1+)×(1+)×…×(1+oon0o） 397台×+7动×前+57品×分 第13页共22页 (468×(居-)+25×(+司-43×（居-） 【压轴考向二科学记数法】 【压轴考点09】用科学记数法表示绝对值大于1的数★★★ 【典例精讲】(24-25七年级下·河北张家口·期中)地球上水的总储量为1.39×1018m3,但目前能被 人们利用的水仅占总储量的0.77%，即约为0.0107×1018，关于数据“0.0107×1018”，下列说法正确的 是( A.用科学记数法可以表示为1.07×1016 B.用科学记数法可以表示为1.07×1018 C.该数是一个18位数 D.该数是一个19位数 【对应练习1】(25-26七年级上·山东临沂·期末)在如下结论中：①-32的底数是3：②若有理数ab 互为相反数，a≠0，那么号=-1：③2.5万用科学记数法表示为2.5×104：④--2引与(-2)2一样大：⑤式 子引6-x+2的最大值是2.其中正确的个数有( A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【对应练习2】(25-26七年级上·甘肃陇南·期末)一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉 下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉.针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算， 称得500粒大米大约重10克，现在请同学们来计算. (1)按我国14亿人口计，每年365天，每人每天三餐米饭计算，如果每人每餐节约一粒大米，一年大约能 节约大米多少千克？（用科学记数法表示） (2)如果我们把一年节约的大米卖成钱，按4元/千克计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示） 第14页共22页 【压轴考点10】将用科学记数法表示的数变回原数★★★★ 【典例精讲】(25-26七年级上·浙江杭州·期中)已知航天器速度为7.9×103米/秒，行星与地球距离 为4.74×108千米，下列正确的是( ) A.航天器速度原数是79000米/秒 B.4.74×108的原数末尾有8个0 C.航天器飞完这段距离需6×10？秒 D.4.74×108小数点右移2位，结果为4.74×106 【对应练习1】一个数用科学记数法表示为5.28×103，则这个数是-一· 【对应练习2】截至2020年10月末，全国核酸日检测能力是5.76×106人份，实现了“应检尽检”、“愿 检尽检”.数据5.76×106原来的数是（) A.576000 B.576万 C.57600000 D.57.6万 【压轴考向三近似数】 【压轴考点11】求一个数的近似数★★★ 【典例精讲】(26-27七年级上·全国·课后作业)用计算器计算（精确到十分位）： (1)56.2+7.41×(-2.12): (2)2.914-1.68: (3)(3.91-1.45)2÷(-5.62)+49.34. 【对应练习1】(26-27七年级·浙江·暑假作业)用四舍五入法按下列要求取各数的近似数： (1)0.4605(精确到0.01)： (2)3.955（精确到十分位)： (3)132.5667(精确到千分位)； (4)86.4(精确到个位)； 第15页共22页 【对应练习2】下列对使用四舍五入法得到近似数的描述正确的是() A.近似数2.36×104精确到百位 B.3.254精确到十分位是3.2 C.近似数6.32万精确到百分位 D.4.701的近似数是4 二【压轴考点12】求近似数的精确度★女★ 【典例精讲】某集团全年产值约10.9亿元，它精确到 位.用科学记数法表示此近似数是 元（保留两位有效数字）· 【对应练习1】(26-27七年级·浙江·暑假作业)用四舍五入法按括号内的要求对下列各数取近似数， 结果用科学记数法表示， (1)2567000(精确到万位) (2)4.568×109(精确到千万位) (3)46021(精确到百位) 【对应练习2】(25-26七年级上·福建泉州·阶段检测)下列说法正确的是( ) A.近似数5.20与5.2的精确度一样 B.近似数3.2500精确到万分位 C.近似数2.0×103与2000的意义完全一样 D.近似数0.35万与3.5×103的精确度不同 心【压轴者点3】近似数推断取值范围★★★★ 【典例精讲】一个三位小数，四舍五入后是4.90，这个三位小数最小是( ),最大是( 【对应练习1】(25-26七年级上·海南海口·阶段检测)近似数1.30是由数a四舍五入得到的，那么 数a的取值范围是() A.1.25≤a<1.35 B.1.295≤a<1.305 C.1.25<a<1.35 D.1.295<a<1.305 第16页共22页 【对应练习2】(25-26七年级上·安徽·期中)一个三位数x先四舍五入到十位，所得的数为y,再将y 四舍五入到百位，所得的数恰好为5×102， (1)数x的最大值和最小值分别是多少？ (2)将数x的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来（精确到百位）· 【压轴题专项训练优选题15题思维拓展练习】 1.(26-27七年级上·全国·课后作业)下面各组大小关系中，正确的是( A.0>|-10 B.卜>制 C.1-2+35.6>-2+35.61 D.（-2)3>(-2)2 2.(25-26七年级上·湖南湘潭·期中)如图所示是计算机程序计算，若开始输入x=一1，则最后输出的 结果是多少？( 输入x ×4 -(1) YES 输出 NO A.-11 B.11 C.-10 D.-21 3.(22-23七年级上·河南开封·阶段检测)下列各对数中，互为相反数的是( A.-(+4)与+(-4) B.-(-5)与引-51 C.-23与(-2)3 D.-32与(-3)2 4.(25-26七年级上·辽宁沈阳·期末)定义一种对正整数n的“F'运算：①当n为奇数时，结果为3n+5: ②当n为偶数时，结果为头，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取n=26时， F② F① F② 26 13 44 则有： 第一次 第二次 第三次 将n=49进行2025次“F运 算”的结果是( A.19 B.31 C.62 D.98 第17页共22页 5.(25-26七年级上·重庆·期末)我国古代算盘（如图1）暗藏着十六进制，其算珠结构为“上二下五”， 上珠以一当五，下珠以一当一.当算盘归零时，上下珠靠框，拨珠时靠梁，上珠下拨，下珠上拨.每档代 表一个数位，从右往左数位依次增加.若通过“逢十六进一”的运算规则，则可适配古代重量单位“一斤 等于十六两”的度量体系.图2表示的十六进制数为(61)16，通过6×161+1×16°=97（规定：a≠0时， a°=1)，可知(61)16表示的十进制数为97.若十进制数88用该算盘表示为十六进制数，正确的是( ) 档 框 毫毫鑫套毫鑫 梁 框 图1 图2 A. B. 6.(25-26七年级上·广西钦州·期末)材料：W进制数与十进制数之间的转换，只要将W进制数的每个 数字依次乘基数W的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数，规定：a°=1（α≠ 0).如：(1302)5=1×53+3×52+0×51+2×5°=202.现有六进制数a=(542)6,八进制数b=(317)8, 则a-b=一 7.(25-26七年级上·广东潮州·期末)我们常用十进制数，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人 们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（也 就是满七进一，如2513=2×73+5×72+1×71+3)用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子 自出生后的天数是 天 8.(25-26七年级上·贵州黔西南·阶段检测)据相关资料记载，任取一个正整数，若是奇数，就将该数 乘3加1；若是偶数，就将该数除以2.将得到的数反复进行上述运算，经过有限次运算后，必得到1，这 就是“冰雹猜想”·例如数5，按照这种规则，进行五次运算后，第一次得到1，即 516产x8是x4品2嘉1.若数a经过六次运算后，第一次得到1，则数a的值是. 第18页共22页 9.(25-26七年级上·辽宁抚顺·期末)阅读下列材料： 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制， 也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.为了区分不同的进位制，常在数的右下角标 明基数.例如：(1011)2，就是二进制数1011的简单写法，十进制数一般不标注基数.(abc,表示这个n 进制数从右起，第一位上的数字为c,第二位上的数字为b,第三位上的数字为α，一个数可以表示成各数位 上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，例如十进制数5678=5×103+6×102+7×101+8×100（当 a≠0时，a°=1).同理，二进制数(1101)2转换为十进制数为：1×23+1×22+0×21+1×20=13.一 个十进制数转换为n进制数时，把十进制数表示成0,1,2…，n一1与基数n的幂的乘积之和的形式.例如， 将十进制数46转换为三进制数，因为27<46<81，即33<46<34，则46=1×33+2×32+0×31+1× 3,所以46转换为三进制数为(1201)3·根据上述材料，请将十进制数875转换为五进制数为_一一-· 10.（2026·浙江·模拟预测)阅读材料完成问题：在中学生涯中，我们常常会遇到等比数列，即21,2， 23等，每两个数之间都是2倍数关系，若要求和21+22+23+…+2-1+2”时，我们可以假设这个求和的 结果为： S=21+22+23+…+2n-1+2n 我们将每一项都乘以2，就可以得到2S=22+23+24+…+2n+2+1,我们将两个数相减就可以得到S= 2+1-2.现在有一点M从坐标原点开始运动，第一次向右2个单位，第二次向左4个单位，第三次向右8 个单位，第四次向左16个单位，如此循环往复，第n次它距离原点 11.(2026七年级上·全国·专题练习)计算： (1)(-3)2-(1)°×号-6÷-引： ②)-14-(G-)×[(-2)3-(-3)2] 12.（2026七年级上·全国·专题练习)阅读材料，求值：1+2+22+23+24+.+22024 解：设S=1+2+22+23+24+…+22024①，将等式两边同时乘以2得： 2S=2+22+23+24…+22024+22025②， ②-①，得：2S-5=22025-1, 所以5=22025-1， 第19页共22页 即1+2+22+23+24+…+22024=22025-1， 请你仿照此法计算： (1)1+2+22+23+24+…+210: (2)1+3+32+33+34+…+3m(其中n为正整数). 13·山东济南·阶段检测)综合与探究： 【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，(-3)÷ (-3)÷(-3)÷(-3)等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，(-3)÷(-3)÷ (-3)÷(-3)写作(-3)④，读作“(-3)的圈4次方”. 一般地a÷a÷a÷…÷a(a≠0)写作a,读作“a的圈n次方”， n个a ①【初步探究】直接写出计常结果：2”一.一：（) 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理 数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算 除方 20=2÷2÷2÷2=2× 1.11 乘方 222 2 形式 (2)【探究应用】试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：(-3)⑧=一一一， 3)算一算：122÷(（)×20-目÷3. 第20页共22页 14.(25-26七年级上·福建厦门·期末)背景介绍： 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制.即 “逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几. 一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式.在十进制中，使用0-9十个数字进行记 数，基数是10.如十进制数3721表示为： 3×103+7×102+2×101+1×10°（规定当a≠0时，a°=1）. 某兴趣小组在学完“进位制的认识与探究”后，打算对六进制数开展研究，他们规划了下列研究任务： 说明：为区分六进制数与十进制数的表示，在六进制数的右下角标记6，如六进制数3245记为(3245)6： 任务一：六进制数与十进制数的转换 (1)(204),转化为十进制数为 (2)7转化为六进制数为 任务二：六进制数的乘法和除法运算 他们在逢六进一的约定下，设计了“五五乘法表”（以下表中的数都为六进制数）： 1×1=1, 1×2=2,2×2=4, 1×3=3,2×3=10,3×3=13, 1×4=4,2×4=12,3×4=20,4×4=24, 1×5=5,2×5=14,3×5=23,4×5=32,5×5=41, 根据乘法表，计算： (1)(152)6×(12)6:(2)(113)6÷(3)6: 任务三：探究六进制数的整除规律 设n位六进制数各数位上的数从最高位到个位依次为：a,am-1a-2,,a2,a1(其中 an≠0，n≥2)·试探究该n位六进制数能被(13)6整除所要满足的条件，并说明理由. 第21页共22页 15.(25-26七年级上·江苏南通·期末)进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十 进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几. 为区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数（十进制数一般不标注基数）· 可知：一个其它进位制数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转化成一个十进 制数，反之，可以将一个十进制数表示成一个其它进位制数. 规定：当a≠0时，a°=1. 例如：(1011)2=1×23+0×22+1×21+1×2°=11，即(1011)2=11： (135)6=1×62+3×61+5×60=59,即(135)6=59： 64=1×72+2×71+1×70=(121)7,即64=(121)7： 【初步感知】 (1)①请把(12021)3转化为十进制数为_一一： ②请把(1010111)2转化为八进制数： 【类比探究】 (2)类比十进制数的四则运算可进行其它进位制数的运算， 例如：(11011)2+(1101)2=(12112)2=(101000)2 计算：①(21011)3+(10112)3： ②(24103)5×2. 【拓展提升】 (3)小聪发现不同进制数都可以化为十进制数，故不同进制数也可以进行加法运算. 例如：(101011)2+(2011)3=43+58=101. 若(mm3)4+(nn1)6=234,则(m5)8+(n3)7=-一（结果用十进制数表示）. 第22页共22页 2026-2027学年人教版数学七年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题五 含有理数乘方的混合运算 【思维导图+十三大考点讲练+优选题训练 共54题〔解析版〕】 目 录 【压轴考点01】有理数幂的概念理解 2 【压轴考点02】有理数的乘方运算 5 【压轴考点03】有理数乘方逆运算 8 【压轴考点04】乘方运算的符号规律 11 【压轴考点05】乘方的应用 13 【压轴考点06】程序流程图与有理数计算 16 【压轴考点07】算“24”点 21 【压轴考点08】含乘方的有理数混合运算 24 【压轴考点09】用科学记数法表示绝对值大于1的数 27 【压轴考点10】将用科学记数法表示的数变回原数 29 【压轴考点11】求一个数的近似数 30 【压轴考点12】求近似数的精确度 31 【压轴考点13】近似数推断取值范围 33 34 【压轴考点01】有理数幂的概念理解 【典例精讲】（25-26七年级上·山西晋中·期中）阅读与思考 规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“3的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：除方乘方 【初步探究】 （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式________；________． 【深入思考】 （2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成乘方的形式是________． 【运用规律】 （3）算一算（算出最后结果）：． 【答案】（1），；（2）；5 【分析】本题考查了有理数的除法运算，乘方运算，以及有理数混合运算，正确理解相关运算法则是解题的关键． （1）将有理数除法转化为乘法，再写成幂的形式即可； （2）从（1）中总结归纳相关规律即可； （3）先将除方转化为乘方，再运算乘方，然后运算除法，最后运算加减法，即可作答． 【详解】解：（1）依题意，， ， （2）依题意，； （3） ． 【对应练习1】（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）如图1，点A，B在数轴上对应的数分别为a，b，且． (1)______，______； (2)如图2所示，现将该数轴沿着点C折叠，使得点A的对应点与点B重合． ①点C表示的数为______； ②点D为该数轴上点C左侧的一点，沿着点C进行同样的折叠后，对应点记作点E．若点E与点B之间相距5个单位长度，借助数轴求出点D所表示的数． 【答案】(1)，10 (2)①；②或 【分析】本题考查了数轴，两点之间的距离以及有理数的运算，熟练掌握以上知识点是关键， （1）根据绝对值的非负性，进行求解即可； （2）①根据折叠确定点C表示的数； ②根据点E与点B之间相距5个单位长度，得到点D与点A的距离也是5，再根据两点间的距离，得到点D表示的数即可． 【详解】（1）解：∵，又，， ∴，， ∴， 故答案为：，10； （2）解：①∵该数轴沿着点C折叠，使得点A的对应点与点B重合， ∴点C表示的数为：， 故答案为：； ②∵点E与点B之间相距5个单位长度，点E是点D的对应点，点B是点A的对应点， ∴点D与点A的距离也是5． ∴点D表示的数为或． 【对应练习2】（24-25七年级上·河南开封·期中）阅读材料，解决问题： 我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到： ;观察上述算式: 可以得到： 类比上述式子，你能够得到： (1) ， ； (2)利用由特殊到一般的思想，可以得到： （m、n都是正整数）；我们把类似于和这样的式子叫同底数幂；因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． (3)知识运用： ， ； (4)已知 求的值． 【答案】(1)， (2) (3)； (4) 【分析】本题主要考查了乘方的定义和意义，得到同底数幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键． （1）根据题目中给出的信息进行运算即可； （2）总结题目信息得出同底数幂的运算法则； （3）根据同底数幂的运算法则进行运算即可； （4）逆用同底数的乘法公式进行运算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为，； （2）（m、n都是正整数）， 故答案为； （3），， 故答案为，； （4）∵， ∴． 【压轴考点02】有理数的乘方运算 【典例精讲】（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 先计算平方、立方、绝对值，再算乘除，最后算减法； （2） 先算乘方与小括号，再算中括号，接着算乘法，最后做减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【对应练习1】（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是多少？ (2)试求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意先计算出部分⑥的面积，即可获得答案； （2）利用数形结合的思想，把分数加法和正方形的面积联系起来，通过“正方形的面积减去剩余部分的面积”来简便计算多个分数的和，即可获得答案． 【详解】（1）解：观察图形发现部分①面积为：， 部分②的面积为， 部分③的面积为， …… ∴部分⑥的面积为， 所以图中阴影部分的面积为． （2）解：结合题意可知，的值等于正方形面积减去阴影部分面积， 即， 所以的值为． 【对应练习2】（24-25七年级上·云南昆明·期末）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． ． (1)______； (2)已知：，其中，a为负数，求a的值； (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)29 (2) (3)存在， 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵a为负数， ∴； （3）解：存在，理由如下， ， ∵，， ∴，， 解得，，． 【压轴考点03】有理数乘方逆运算 【典例精讲】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方、有理数乘方的逆运算等知识点，掌握有理数乘方的逆运算是解题的关键． （1）根据阅读材料中的运算过程变形即可解答； （2）根据阅读材料，结合根据（1）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：； ． 故答案为：，． （2）解：由（1）的结论可得：． 【对应练习1】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）数学活动 在上个月，我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算，定义：与（，m、n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作，运算法则如下：． 解决问题 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： (1)填空： ； ； (2)如果，求出x的值； (3)如果，请直接写出x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的乘方逆运算，掌握乘方逆运算法则、分类讨论思想的运用是解题的关键． （1）根据定义的运算法则计算即可； （2）逆用运算法则列一元一次方程求解； （3）根据题意分三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意得 ； ； 故答案为：； （2）解：根据题意得 ， ∵， ∴， ∴ ， 解得； （3）解：根据题意得，可分为三种情况， 当指数相等，且底数不为0时，即，且。 ∴ 解得， ∵， ∴符合题意， 当底数为时，即 解得， 此时指数为， 式子为，符合条件； 当底数为时，且指数差为偶数，即，且是偶数， ∴ 解得， 计算指数差： ， 此时，符合条件， ∴x的值． 【对应练习2】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方的意义，通过拆分指数将原式转化为可利用乘方意义进行计算的形式，进而简便计算． 【详解】解：∵， ∴原式 ， 故选：A． 【压轴考点04】乘方运算的符号规律 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·寒假作业）记， ， ，…， (1)填空： ______，是一个______（填“正数”或“负数”）． (2)计算的值． (3)当时，求的值． 【答案】(1)；正数 (2) (3) 【分析】此题考查数字的变化规律，掌握乘方的意义，判定负数乘方的计算结果是解决问题的关键． （1）根据有理数的乘法法则得出答案即可； （2）先根据乘法法则计算，再根据有理数的加法计算，可得答案； （3）由题意可得，，然后代入计算即可求解． 【详解】（1）解：， 由1000个相乘，则是一个正数， 故答案为：；正数； （2）解：， ， 所以； （3）解：，则n为奇数， ，， ． 【对应练习1】（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）探究规律，完成相关题目．定义“*”运算： ；；；；；； (1)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，符号为______，并把这两个数的______相加，请把运算法则补充完整； (2)计算： (3)若存在有理数m，n，使得，请直接写出m，n的值． 【答案】(1)正或0，平方 (2)170 (3) 【分析】本题为新定义运算问题，考查了有理数的混合运算，平方的非负性等知识，归纳出符号*的运算法则是解题关键． （1）根据提供的7个计算题，从符号和绝对值两方面进行归纳即可求解； （2）根据（1）结论先计算，再计算即可求解； （3）根据（1）结论得到，即可得到，从而求出 【详解】（1）解：归纳*运算的法则：两数进行*运算时，符号为正或0，并把这两个数的平方相加． 故答案为：正或0，平方； （2）解：； （3）解：因为， 所以， 所以， 所以． 【对应练习2】（25-26七年级上·云南文山·期末）比较大小：_____98（填“＞”“＝”或“＜”）． 【答案】＜ 【分析】本题考查了有理数的乘方，有理数大小比较．注意：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．根据正数大于负数进行大小比较． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：＜． 【压轴考点05】乘方的应用 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，你能由此得出计算规律吗？ (1)计算：． (2)由此猜测：从1开始的n个连续奇数之和等于多少？选择n的一些值，用计算器计算，验证你的猜想． 【答案】(1)6 (2)解：由（1）可推知，从开始的个连续奇数的和是：． 验证猜想：时，， 时，． 验证正确． 【分析】（1）观察图形总结规律解答即可； （2）利用（1）得出的规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题可知： ， ， ， ， ， ∴． 【对应练习1】（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）综合与实践 知识回顾：通过对“进位制的认识与探究”的学习我们知道，进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，十进制逢十进一，基数是10，使用0~9十个数记数；计算机常用的记数形式是二进制，二进制逢二进一，基数是2，使用0和1两个数字记数，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，二进制数和十进制数之间可以相互转换．（规定：当时，，例：） 例： 任务一： （1）将转换成十进制数的结果为_______，将35转换成二进制数的结果为________． 类比探究：二进制加法运算的基本原理与十进制相同，不同的是十进制逢十进一，二进制逢二进一． 例： 任务二： （2）①计算： ②将①中结果转化为十进制数 迁移应用： （3）已知将八进制数转换成十进制数的算法与二进制数的算法类似， ①请将98转化为八进制数． ②请将转化为八进制数． 【答案】(1)5， (2) ，27 (3) ， 【分析】本题考查了进制间的相互转换，做题的关键是找准进制间的相互转换规则． （1）根据已知，结合进制规律转化计算即可； （2）①根据二进制逢二进一计算即可， ②利用结合进制规律转化计算即可； （3）仿照二进制的做法求解八进制，再计算时现将二进制转化为十进制，继而化为八进制． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：5，； （2）①， ②； （3）， ∵由（2）知， ∴． 【对应练习2】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢三进一就是三进制，用数字0，1，2记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1212记为，由，可得是十进制数50． (1)将转换为十进制数，结果是________； (2)对于一个用三进制表示的正整数，现有结论“如果这个数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个数就能被2整除．”请以四位的三进制数为例： ①将转化为十进制，结果是________． ②请以四位的三进制数为例，说明该结论正确的道理． 【答案】(1)19 (2)①； ②∵ ， 又∵能被2整除，且能被2整除， ∴能被2整除，即四位的三进制数能被2整除， ∴该结论正确． 【分析】本题考查了三进制数与十进制数的转换及对整除性质的理解． （1）根据三进制数转换为十进制数的规则，将三进制数的每一位数字乘以3的相应次幂，然后将结果相加； （2）同样根据转换规则将四位三进制数转换为十进制数，再分析其数字之和与该数能否被2整除的关系． 【详解】（1）解：由题意知， ， 故答案为：19． （2）解：①， 故答案为：； ②略 【压轴考点06】程序流程图与有理数计算 【典例精讲】（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据流程图规则列式计算即可； （2）根据流程图规则列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， ∴原式． 【对应练习1】（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为______，______； (2)你认为当输入数等于______时（写出一个即可），其输出结果为0； (3)你认为这个“数值转换机”不可能输出______（填写：正数、0、负数）； (4)有一次，小明操作的时候输入了一个小于10的正整数，最后输出的结果是2，聪明的你判断一下，小明输入的正整数是______． 【答案】(1)1，2 (2)（答案不唯一）． (3)负 (4)7或2 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、相反数、绝对值、倒数的概念及应用，熟练掌握这些概念和数值转换机的运算流程是解题的关键． （1）按照数值转换机的流程，对输入的4和7逐步进行判断和运算． （2）从输出0的结果出发，逆向分析转换机中能产生0的运算环节，确定输入数． （3）分析转换机各步骤的运算结果类型，判断不可能输出的数． （4）从输出结果2逆向推导，结合输入为小于10的正整数的条件，找出符合的输入数． 【详解】（1）解：输入4：∵， ∴， ∵， ∴， 为正数， ∴取1的倒数，输出的结果为1； 输入7：∵， ∴， ∵不大于， ∴取相反数， ∵不是正数， ∴取的绝对值，输出的结果为2， 故答案为：，； （2）解：∵的绝对值是，的相反数是， ∴输入时：不大于，，不是正数，取的绝对值， ∴输入数可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． （3）解：若数大于，经“加上”后运算，后续计算或得正数、或得； 若数不大于，取相反数后为正则取倒数（正数），非正则取绝对值（非负数）．因此不可能输出负数． 故答案为：负； （4）解：输入1：∵， ∴取相反数为； ∵非正， ∴取绝对值为，输出． 输入2：∵不大于， ∴取相反数为； ∵非正， ∴取绝对值为，输出． 输入3：∵， ∴进行； ∵， ∴取相反数为； ∵（为正）， ∴取倒数为，输出． 输入4：∵， ∴进行； ∵， ∴取相反数为； ∵（为正）， ∴取倒数为，输出． 输入5：∵， ∴进行； ∵不大于， ∴取相反数为； ∵非正， ∴取绝对值为，输出． 输入6：∵， ∴进行； ∵， ∴取相反数为； ∵非正， ∴取绝对值为，输出． 输入7：∵， ∴进行； ∵不大于， ∴取相反数为； ∵非正， ∴取绝对值为，输出． 输入8： ∵， ∴进行； ∵， ∴进行； ∵， ∴取相反数为； ∵（为正）， ∴取倒数为，输出． 输入9：∵， ∴进行； ∵， ∴进行； ∵， ∴取相反数为； ∵（为正）， ∴取倒数为，输出． 故答案为：或． 【对应练习2】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，任取一个正整数x，若x是奇数，就将x乘3再加上1；若x是偶数，就将x除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环1→4→2→1…，这就是“冰雹猜想”．已知甲、乙两个显示屏上初始输入的数分别为8，5，将它们按“冰雹猜想”同步进行n次运算后，若屏幕上显示输出的数相差2，则n的值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，数的规律探索，根据新定义依次计算出各次数运算的结果，然后找出规律，最后应用规律求解即可． 【详解】解：经过1次运算后得到，即为，相差； 经过2次运算后得到，即为，相差； 经过3次运算后得到，即为，相差； 经过4次运算后得到，即为，相差2； 经过5次运算后得到，即为，相差1； 经过6次运算后得到，即为，相差3； 经过7次运算后得到，即为，相差2； ……， 发现规律：从第次开始，依次以的规律循环， 则相差2的是第次运算， 即运算次数（为正整数）， 故选：B． 【压轴考点07】算“24”点 【典例精讲】小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 【答案】(1)抽取和两张卡片，幂最大，最大为 (2)抽取、、三张卡片，乘积最小，最小为； (3)抽取、、、，（答案不唯一） 【分析】（1）如果底数是正数，指数越大，幂越大；如果底数是负数，指数必须是偶数，结果才为正数，且底数的绝对值越大、指数越大，幂越大．指数越大，幂通常越大，据此即可求解； （2）根据同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，计算积，再根据有理数的大小比较解答即可； （3）根据有理数的混合运算解答即可． 【详解】（1）解：和两张卡片，幂最大，； （2）解：根据正数大于零，正数大于负数， 故抽取的卡片上的数字之积为负数时，积最小， 抽取、和三张卡片，乘积最小，最小为； （3）解：抽取、、、，（答案不唯一） 【对应练习1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 【答案】(1) 所选数字为，算式： (2) 可以， 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，在理解有关规则的基础上灵活应用有理数的混合运算法则求解是解题关键； （1）根据运算结果为和已知给定的三个数，筛选出合适的数字； （2）根据已给数字有，按照题干所给方法进行判断即可． 【详解】（1）解：当选时， ∵， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 任选其一即可； （2）答：可以，． 【对应练习2】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）“算24”的扑克牌游戏曾经风靡许多国家，深受青少年朋友的喜爱．这种游戏将两张王牌去掉，规定扑克牌中的J为11，Q为12，K为13，A为1．从扑克牌中按要求抽取若干张牌，将牌面所表示的数进行有理数的加、减、乘、除运算（每张牌用且只用一次），算得“24”即可． 【问题情境】 假设已抽取如下的牌，能不能根据牌面所表示的数算“24”呢？如果能，怎么算？ 可列算式：． 根据上图中4张牌，还可以列出不同的算式 ． 【思考探究】 （1）用两张牌算“24”：①；②；③；④用三张牌算“24”：可以将其中两张牌整合，转化为（1）中情况来思考，例如：抽到的牌为2、3、4，可以列式为，转化为（1）中的①．问题：抽到的牌为2、3、4，还可以转化为（1）中的③，即列式为 ． （2）用四张牌算“24”：可以一三分组，也可以两两分组，例如：抽到的牌为8、9、12、13，我们可以一三分组，列式为，转化为（1）中的①；请你用8、9、12、13四张牌进行有理数的加、减、乘、除运算再列一个算式，使得算式结果为24． （3）用五张牌算“24”：请你考虑这九个数字中，若恰巧五张牌的数字都相同（五个1，五个2，…五个9），会有哪些情况可以算出“24”． 【答案】问题情境：；思考探究：（1）；（2）；（3）5个数字2，5个数字3，5个数字4，5个数字5，5个数字6和5个数字8可以算出24点． 【详解】解：问题情境：， 故答案为：； 思考探究：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）5个1不能算出24点； ，则5个2可以算出24点； ，则5个3可以算出24点； ，则5个4可以算出24点； ，则5个5可以算出24点； ，则5个6 可以算出24点； 5个7不可以算出24点， ，则5个8可以算出24点； 5个9不可以算出24点； 综上所述，5个数字2，5个数字3，5个数字4，5个数字5，5个数字6和5个数字8可以算出24点． 【压轴考点08】含乘方的有理数混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·四川广元·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先括号里的有理数的加减运算，再根据有理数的乘法和加减运算法则求解即可； （2）先乘方和绝对值运算，再乘除运算，最后加减运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【对应练习1】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 . 【对应练习2】（25-26七年级上·河南郑州·期中）简便运算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）对于，，分别取，相加即可； （2）把各因数通分相乘得分子是从2开始的连续自然数的平方，分母是从1开始的相差2的两个自然数的积，再相乘并依次约分即可； （3）拆分带分数，利用乘法分配律简便计算； （4）利用乘法分配律展开，再把同分母分数相加减即可． 【详解】（1）解：当时，， 则 ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【压轴考点09】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例精讲】（24-25七年级下·河北张家口·期中）地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（     ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 【答案】A 【分析】用科学记数法表示绝对值大于的数，其科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，且的值为原数的整数位数减，据此求解即可． 【详解】解：，故A正确，B错误； 该数是一个位数，故C，D错误． 【对应练习1】（25-26七年级上·山东临沂·期末）在如下结论中：①的底数是3；②若有理数互为相反数，，那么；③万用科学记数法表示为；④与一样大；⑤式子的最大值是2．其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，相反数的定义，科学记数法，绝对值的定义． 根据有理数的乘方，相反数的定义，科学记数法，绝对值的定义逐一判断五个结论即可． 【详解】解：①的底数是3，正确； ②与互为相反数且，则，，正确； ③万，正确； ④，，，错误； ⑤，，无最大值，错误； ∴正确结论有3个． 故选：B． 【对应练习2】（25-26七年级上·甘肃陇南·期末）一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉.针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米大约重10克，现在请同学们来计算． (1)按我国14亿人口计，每年365天，每人每天三餐米饭计算，如果每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） (2)如果我们把一年节约的大米卖成钱，按4元/千克计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示） 【答案】(1)千克 (2)元 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，科学记数法等知识．注意对于绝对值大于10的数，可以用科学记数法表示为形式，其中，，n为整数位数减1﹒ （1）先把14亿化为，再根据题意列式计算，最后用科学记数法表示即可求解； （2）根据题意列式计算即可求解． 【详解】（1）解：14亿， （千克）． 答：一年大约能节约大米千克． （2）解：（元）． 答：可卖得人民币元． 【压轴考点10】将用科学记数法表示的数变回原数 【典例精讲】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知航天器速度为米/秒，行星与地球距离为千米，下列正确的是（    ） A．航天器速度原数是79000米/秒 B．的原数末尾有8个0 C．航天器飞完这段距离需秒 D．小数点右移2位，结果为 【答案】C 【分析】根据科学记数法的意义解答即可． 本题考查了科学记数法，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：A． 航天器速度原数是（米/秒），故选项错误，不符合题意； B． 的原数为末尾有6个0，故选项错误，不符合题意； C． 根据题意，千米=米，航天器飞完这段距离需秒，故选项正确，符合题意； D． 小数点左移2位，结果为，不是向右，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 【对应练习1】一个数用科学记数法表示为，则这个数是______． 【答案】5280 【分析】科学记数法的标准形式为a×10n（1≤|a|＜10，n为整数），本题数据“”中的a=5.28，指数n等于3，所以，需要把5.28的小数点向右移动3位，就得到原数了． 【详解】=， 故答案为：5280． 【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 【对应练习2】截至2020年10月末，全国核酸日检测能力是人份，实现了“应检尽检”、“愿检尽检”．数据原来的数是（  ） A．576000 B．576万 C．57600000 D．57.6万 【答案】B 【分析】将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． 【详解】解：=5760000=576万． 故选：B． 【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 【压轴考点11】求一个数的近似数 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）用计算器计算（精确到十分位）： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【对应练习1】（26-27七年级·浙江·暑假作业）用四舍五入法按下列要求取各数的近似数： (1)（精确到）； (2)（精确到十分位）； (3)（精确到千分位）； (4)（精确到个位）； 【答案】(1) (2) (3) (4)86 【详解】（1）解：（精确到）； （2）解：（精确到十分位）； （3）解：（精确到千分位）； （4）解：（精确到个位）． 【对应练习2】下列对使用四舍五入法得到近似数的描述正确的是（） A．近似数精确到百位 B．3.254精确到十分位是3.2 C．近似数6.32万精确到百分位 D．4.701的近似数是4 【答案】A 【分析】将科学记数法或带“万”的近似数，还原为数后再判断最后一位所在数位得到精确度，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：对于A：，最后一位有效数字在百位，精确到百位，正确； 对于B：精确到十分位时，看百分位数字为，四舍五入得，错误； 对于C：万，最后一位有效数字在百位，万精确到百位，错误； 对于D：精确到个位，四舍五入的近似数为，错误． 【压轴考点12】求近似数的精确度 【典例精讲】某集团全年产值约亿元，它精确到___________位．用科学记数法表示此近似数是___________元（保留两位有效数字）． 【答案】 千万 【分析】先判断亿最后一位数字对应的数位得到精确度，再转换单位为元，按要求保留有效数字用科学记数法表示． 【详解】解：亿的单位为亿，最后一位数字对应数位是千万位， 亿元精确到千万位； 亿元元． 【对应练习1】（26-27七年级·浙江·暑假作业）用四舍五入法按括号内的要求对下列各数取近似数，结果用科学记数法表示． (1)（精确到万位） (2)（精确到千万位） (3)（精确到百位） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （精确到万位）； （2）解：（精确到千万位）； （3）解： （精确到百位）． 【对应练习2】（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．近似数与的精确度一样 B．近似数精确到万分位 C．近似数与2000的意义完全一样 D．近似数万与的精确度不同 【答案】B 【分析】本题考查近似数的精确度概念，精确度由最后一位有效数字所在的位置决定． 【详解】解：近似数的精确度取决于最后一位数字的位置， A、精确到百分位，精确到十分位，精确度不同，故A错误； B、的最后一位在万分位，精确到万分位，故B正确； C、精确到百位，2000精确到个位，意义不同，故C错误； D、万，精确到百位；，精确到百位，精确度相同，故D错误 故答案为：B． 【压轴考点13】近似数推断取值范围 【典例精讲】一个三位小数，四舍五入后是，这个三位小数最小是( )，最大是( )． 【答案】 【分析】保留两位小数需观察千分位上的数字，千分位数字小于时直接舍去，千分位数字大于或等于时向前一位进，“四舍”得到的近似数比原数小，“五入”得到的近似数比原数大，分两种情况讨论即可得到结果． 【详解】解：若近似数是“四舍”得到的，则原三位小数的整数部分为，十分位为，百分位为，千分位最大取，即最大的三位小数为； 若近似数是“五入”得到的，则原三位小数的整数部分为，十分位为，百分位为，千分位最小取，即最小的三位小数为． 【对应练习1】（25-26七年级上·海南海口·阶段检测）近似数是由数a四舍五入得到的，那么数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查近似数，掌握相关知识是解决问题的关键．近似数精确到百分位，由四舍五入法则，数a的取值范围需满足四舍五入后为 【详解】解：∵近似数是由a四舍五入到百分位得到的， ∴a的最小值为（千分位为5，进一后得）， a的最大值小于（若，四舍五入后为）， ∴ 故选：B． 【对应练习2】（25-26七年级上·安徽·期中）一个三位数先四舍五入到十位，所得的数为， 再将四舍五入到百位，所得的数恰好为． (1)数的最大值和最小值分别是多少？ (2)将数x 的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来（精确到百位）． 【答案】(1)最大值是544，最小值是445 (2) 【分析】本题考查了四舍五入和科学记数法，熟悉掌握四舍五入的运算特征和科学记数法是解题的关键． （1）根据四舍五入的运算特征解答即可； （2）先运算出差值进行四舍五入，再进行科学记数法即可． 【详解】（1）解：∵ ∴四舍五入到十位后的数最大是540，四舍五入到十位后的数最小是450， ∴的最大值是，最小值是； （2）解：∵， ∴． 1．（26-27七年级上·全国·课后作业）下面各组大小关系中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用绝对值的性质，乘方运算逐项判定即可． 【详解】解：A、，，故，本选项错误； B、，，，故，本选项错误； C、，，，故，本选项正确； D、，，，故，本选项错误． 2．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是多少？（     ） A． B．11 C． D． 【答案】A 【分析】明确运算规则为，判断条件为结果小于，若否则循环计算． 【详解】解：当输入时，， ∵， ∴需将重新代入计算， ∴当时，， ∵， ∴最后输出的结果为． 3．（22-23七年级上·河南开封·阶段检测）下列各对数中，互为相反数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】先根据有理数的化简法则计算每个选项中两个数的值，再根据相反数的定义判断即可，相反数是指绝对值相等，符号相反的两个数． 【详解】解：、∵，，两数相等， ∴不是互为相反数，不符合题意； 、∵，，两数相等， ∴不是互为相反数，不符合题意； 、∵，，两数相等， ∴不是互为相反数，不符合题意； 、∵，，两数绝对值相等，符号相反， ∴两数互为相反数，符合题意． 4．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（　　） A．19 B．31 C．62 D．98 【答案】C 【分析】根据题意，依次求出每次“F运算”的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为， 所以第1次“F运算”的结果是， 第2次“F运算”的结果， 第3次“F运算”的结果， 第4次“F运算”的结果， 第5次“F运算”的结果， 第6次“F运算”的结果， 第7次“F运算”的结果， …， 由此可见，从第1次“F运算”的结果开始按152，19，62，31，98，49循环． 因为， 所以第2025次“F运算”的结果62． 5．（25-26七年级上·重庆·期末）我国古代算盘（如图1）暗藏着十六进制，其算珠结构为“上二下五”，上珠以一当五，下珠以一当一．当算盘归零时，上下珠靠框，拨珠时靠梁，上珠下拨，下珠上拨．每档代表一个数位，从右往左数位依次增加．若通过“逢十六进一”的运算规则，则可适配古代重量单位“一斤等于十六两”的度量体系．图2表示的十六进制数为，通过（规定：时，），可知表示的十进制数为97．若十进制数88用该算盘表示为十六进制数，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数制转换，算盘的算珠表示规则及数字表示的逻辑推理，根据题意理解十六进制转十进制的规则，再分析算盘的算珠表示规则，将十进制数88转化为十六进制数，逐一验证选项中算盘的算珠表示是否对应，选出正确选项即可． 【详解】解：A项：，不符合题意； B项：，不符合题意； C项：，符合题意； D项：，不符合题意， 故选：C． 6．（25-26七年级上·广西钦州·期末）材料：N进制数与十进制数之间的转换，只要将N进制数的每个数字依次乘基数N的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数，规定：．如：．现有六进制数，八进制数，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解题中所给进制数转化为十进制数的方法是解题的关键． 将六进制数和八进制数转换为十进制数，然后计算它们的差． 【详解】解：六进制数转换为十进制： 八进制数转换为十进制： 因此， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·广东潮州·期末）我们常用十进制数，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（也就是满七进一，如）用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是__________天． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘方的混合运算，掌握进制之间的转换计算是解题的关键． 根据七进制的转换计算，对图中数据进行计算即可． 【详解】解：天， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·贵州黔西南·阶段检测）据相关资料记载，任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．将得到的数反复进行上述运算，经过有限次运算后，必得到1，这就是“冰雹猜想”．例如数5，按照这种规则，进行五次运算后，第一次得到1，即．若数a经过六次运算后，第一次得到1，则数a的值是________． 【答案】64或10 【分析】本题考查了新定义和数的规律的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 根据冰雹猜想的运算规则，采用倒推法从第六次运算后第一次得到1开始，逐步向前推导，求出所有可能的初始值． 【详解】设第6次运算后得到1．由于1是由2除以2得到，因此第5次运算后得到的数为2， 第5次运算后得到2，是由4除以2得到，因此第4次运算后得到的数为4， 第4次运算后得到4，若由1乘3加1得到，但1在第六次才第一次出现，因此之前不能出现1，故只能由8除以2得到，因此第3次运算后得到的数为8， 第3次运算后得到8，是由16除以2得到，因此第2次运算后得到的数为16． 第2次运算后得到16，可能由32除以2得到，或由5乘3加1得到， 若第1次运算后得到的数为32，进而若为偶数且，得；若为奇数且，不为整数，故； 若第1次运算后得到的数为5，进而若为偶数且，得；若为奇数且，不为整数，故； 因此数的值为64或10， 故答案为：64或10． 9．（25-26七年级上·辽宁抚顺·期末）阅读下列材料： 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：，就是二进制数1011的简单写法，十进制数一般不标注基数．表示这个进制数从右起，第一位上的数字为，第二位上的数字为，第三位上的数字为，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，例如十进制数（当时，）．同理，二进制数转换为十进制数为：．一个十进制数转换为进制数时，把十进制数表示成0，1，2…，与基数的幂的乘积之和的形式．例如，将十进制数46转换为三进制数，因为，即，则，所以46转换为三进制数为．根据上述材料，请将十进制数875转换为五进制数为______． 【答案】 【分析】本题考查的是乘方运算的含义，对新定义“进位制”的理解与应用，根据题意理解进制转换的规则是解题的关键 将十进制数875转换为五进制数，需要找到5的幂次，使得875表示为0到4的数字与5的幂的乘积之和，最高位对应． 【详解】解：∵， ∴十进制数875转换为五进制数为． 故答案为：． 10．（2026·浙江·模拟预测）阅读材料完成问题：在中学生涯中，我们常常会遇到等比数列，即，，等，每两个数之间都是2倍数关系，若要求和时，我们可以假设这个求和的结果为： 我们将每一项都乘以2，就可以得到，我们将两个数相减就可以得到．现在有一点M从坐标原点开始运动，第一次向右2个单位，第二次向左4个单位，第三次向右8个单位，第四次向左16个单位，如此循环往复，第n次它距离原点______． 【答案】 个单位 【分析】先根据运动方向表示出点第次运动后的位置表达式，再利用题干给出的错位相减法求和，最后取绝对值得到点到原点的距离. 【详解】解：规定向右运动为正方向，向左运动为负方向，则第次运动后点的位置坐标为： 将①两边同时乘以得： ①+②得：，整理得：， ∵点到原点的距离为位置坐标的绝对值， 故第n次它距离原点. 11．（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法即可得到答案； （2）按照先计算乘方，再计算乘法，最后计算加法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（2026七年级上·全国·专题练习）阅读材料，求值：． 解：设①，将等式两边同时乘以得： ②， ②①，得：， 所以， 即， 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据材料提示，设，结合题意的计算方法求解即可； （2）设，等式两边同时乘以，结合题意的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：设， ， ， ； （2）设， ， ∴， ， ． 13．（25-26七年级上·山东济南·阶段检测）综合与探究： 【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”． 一般地写作，读作“的圈次方”． (1)【初步探究】直接写出计算结果：_______；_______． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． (2)【探究应用】试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：______，______； (3)算一算：． 【答案】(1)； (2)， (3)0 【分析】（1）根据题目中的例子计算即可得解； （2）根据题目中的例子计算即可得解； （3）先求出、、，再结合有理数的运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ， ； （3）解：，， 原式 ． 14．（25-26七年级上·福建厦门·期末）背景介绍： 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．在十进制中，使用0-9十个数字进行记数，基数是10．如十进制数3721表示为： （规定当时，）． 某兴趣小组在学完“进位制的认识与探究”后，打算对六进制数开展研究，他们规划了下列研究任务： 说明：为区分六进制数与十进制数的表示，在六进制数的右下角标记6，如六进制数3245记为． 任务一：六进制数与十进制数的转换 （1）转化为十进制数为___________； （2）7转化为六进制数为___________； 任务二：六进制数的乘法和除法运算 他们在逢六进一的约定下，设计了“五五乘法表”（以下表中的数都为六进制数）： 根据乘法表，计算： （1）（2）； 任务三：探究六进制数的整除规律 设位六进制数各数位上的数从最高位到个位依次为：（其中）．试探究该位六进制数能被整除所要满足的条件，并说明理由． 【答案】任务一：（1）76；（2） 任务二：（1）；（2） 任务三： 所要满足的条件是该n位六进制数最后两位组成的六进制数能被整除（或等价于是9的正整数倍，其中为从右数第二位数字，为个位数字）． 理由如下： 由题意得，该n位六进制数 ， ∵， ∴该n位六进制数能被整除所要满足的条件是最后两位组成的六进制数能被整除（或等价于是9的非负整数倍，其中为从右数第二位数字，为个位数字）． 【分析】本题主要考查了六进制数与十进制数的转化，理解进制数的记数规则是解题的关键． 任务一：根据转换方法进行十进制与六进制的转换即可求解； 任务二：利用“五五乘法表”进行计算即可求解； 任务三：按六进制数的特征即可求解． 【详解】解：任务一：（1）． 故答案为：76． （2）∵， ∴． 故答案为：． 任务二：（1）； （2）． 任务三：略 15．（25-26七年级上·江苏南通·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 为区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数（十进制数一般不标注基数）． 可知：一个其它进位制数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转化成一个十进制数，反之，可以将一个十进制数表示成一个其它进位制数． 规定：当时，． 例如：，即； ，即； ，即． 【初步感知】 （1）①请把转化为十进制数为______； ②请把转化为八进制数； 【类比探究】 （2）类比十进制数的四则运算可进行其它进位制数的运算， 例如：． 计算：①； ②． 【拓展提升】 （3）小聪发现不同进制数都可以化为十进制数，故不同进制数也可以进行加法运算． 例如：． 若，则_____（结果用十进制数表示）． 【答案】（1）①142；②；（2）①；②；（3）51 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用． （1）根据题意将三进制化为十进制即可求解． （2）根据题意，类比十进制的运算规则，在相应进位制下进行计算即可求解． （3）根据题意例题进行计算先求得，，根据即可求解． 【详解】（1）①把 ， 故答案为： ② ， 即：． （2）① ② （3）∵， ， ， ， ，，且、为正整数， ，， 故答案为： 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null