专题四 有理数的运算【（挑战压轴题）导图知识卡片+十大考点讲练+优选题训练 共45题】-2026-2027学年人教版数学七年级上册典型题培优系列

本讲义聚焦有理数的运算核心知识点，系统梳理加减混合运算、简便运算、乘除混合运算、四则混合运算及应用，结合数轴判断正负与翻折问题，通过思维导图构建从基础运算到实际应用的递进式学习支架。 资料以十大考点讲练+优选题训练为特色，典例精讲归纳运算技巧（如分离带分数法），培养运算能力与推理意识。实际应用问题（如购物优惠、行程记录）发展应用意识，思维导图助力抽象能力与几何直观。课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识掌握。

2026-2027学年人教版数学七年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题四 有理数的运算 【思维导图+十大考点讲练+优选题训练 共45题〔原卷版〕】 目 录 【压轴考点01】有理数的加减混合运算 2 【压轴考点02】有理数加减中的简便运算 5 【压轴考点03】有理数加减混合运算的应用 9 【压轴考点04】省略加法和括号的形式 12 【压轴考点05】有理数乘除混合运算 14 【压轴考点06】有理数乘除中的简便运算 17 【压轴考点07】有理数四则混合运算 20 【压轴考点08】有理数四则混合运算的实际应用 22 【压轴考点09】根据点在数轴的位置判断式子的正负 25 【压轴考点10】数轴上的翻折 27 31 【压轴考点01】有理数的加减混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆铜梁·阶段检测）计算： (1) (2) 【对应练习1】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1) ； (2)； (2) ． 【对应练习2】（25-26七年级上·河南南阳·期中）阅读以下内容，完成下列题目． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算．” 小明写出了一些按照（加乘）运算法则进行运算的式子： ；；；；； (1)归纳：类比有理数运算法则，归纳出（加乘）运算的运算法则，请你把下面内容补充完整： 两数进行（加乘）运算时，同号得________，异号得________，并把绝对值________；特别是0和任何数进行（加乘）运算时都等于________________； (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)拓展：若，直接写出的值． 【压轴考点02】有理数加减中的简便运算 【典例精讲】（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）阅读下面的材料，并解答问题． 计算：． 解：因为，①， 所以原式 ． (1)上述材料中，序号①的内容为___________； (2)利用上述材料的方法计算：． 【对应练习1】（25-26七年级上·陕西延安·期中）阅读下面的文字，并回答问题： 对进行计算，我们可以用下面的方法：．这种方法称为分离带分数法． 请你运用上面的方法，计算： (1) ． (2)． 【对应练习2】（25-26七年级上·全国·单元复习）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)； (5) ； (6)． 【压轴考点03】有理数加减混合运算的应用 【典例精讲】佳佳和琪琪用扑克牌做数学游戏，如图，两人手中各有四张扑克牌，并且都不知道对方手中的牌． 游戏规则是：将方块“◆”记为正分，如“”记为分，将梅花“”记为负分，如“”记为分；两人各自同时从对方手中任意抽取一张牌，与手中剩余的牌计算总分，得分高的人获胜． (1)若佳佳从琪琪手中抽到“◆”，同时琪琪从佳佳手中抽到“”，分别计算此时佳佳和琪琪手中牌的总分，并判断谁获胜； (2)若两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分最高可能是多少？ (3)在两人互相任意抽取一张牌后，直接写出佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分具有什么特征． 【对应练习1】（25-26七年级上·广东广州·期末）如图是一种转盘型密码锁，共有40个小格．每次开锁时需要先把表示“0”的刻度与固定盘上的标记线对齐，再顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘6次．规定：逆时针旋转记为“”，顺时针旋转记为“”，例如“”表示顺时针旋转5小格，此时标记线对准的数为35． (1)若开锁密码为“，，，，，”（需旋转6次），请描述第一次的旋转过程，并求锁打开时标记线对准的刻度线所表示的数； (2)若转盘逆时针旋转1小格损耗单位零件寿命，顺时针旋转1小格损耗单位零件寿命，请计算第（1）问打开锁的过程中零件寿命总损耗． 【对应练习2】（25-26七年级上·北京·期末）纸箱中放有若干个小球，小明和小聪玩一个取球游戏，游戏规则如下：游戏初始两人手中各有10个小球，每一回合通过猜拳方式决定胜负（无平局），胜者从纸箱中取出1个小球，负者从手中拿1个小球放回纸箱．如果出现连胜情况，每回合胜者取球个数增加1个，负者放回小球的个数保持不变．例如，在小明的3连胜中，他第一回合从纸箱中取出1个小球，第二回合取出2个小球，第三回合取出3个小球，小聪每回合从手中拿1个小球放回纸箱．若两人一共进行10回合的游戏，其中小明出现一次2连胜，小聪出现一次2连胜和一次3连胜，此外，两人均未出现其他连胜情况，则在游戏结束时小聪手中小球数比小明手中小球数多_____个． 【压轴考点04】省略加法和括号的形式 【典例精讲】（1）把下列各式写成省略加号的和的形式，并写出它们的两种读法： （2）【我计算】请计算： 【我排序】明明在做完上题之后，对“计算”的思考过程进行了以下梳理． ①确定和的绝对值：； ②确定和的符号：计算出加数+2和-3的绝对值，分别是2和3，通过比较它们的绝对值发现，加数-3的绝对值较大，写出和的符号为“-”； ③写出计算结果； ④决定应用有理数加法法则中“异号的两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”； ⑤判断出是两个有理数相加的问题； ⑥观察两个加数的符号，发现是异号两数相加． 明明同学不小心把顺序写乱了，请你仔细阅读他的思考过程，写出正确的顺序为（只写出对应的顺序号即可）：___________ 【我会算】请计算： 【对应练习1】写成省略加号的和的形式为 ___________． 【对应练习2】为计算简便，把(﹣1.4)﹣(﹣3.7)﹣(+0.5)+(+2.4)+(﹣3.5)写成省略加号的和的形式，并按要求交换加数的位置正确的是(    ) A．﹣1.4+2.4+3.7﹣0.5﹣3.5 B．﹣1.4+2.4+3.7+0.5﹣3.5 C．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5﹣3.5 D．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5+3.5 【压轴考点05】有理数乘除混合运算 【典例精讲】（26-27七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【对应练习1】（25-26七年级上·全国·阶段检测）计算： (1)； (2)； (2) (4)． 【对应练习2】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）近年来，我国的新能源汽车越来越受消费者青睐，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程，以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”（如下表）． 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 里程（km） (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走___________km； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知这辆新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.6元，请计算小明家新能源汽车这7天的行驶用了多少元钱电费？ 【压轴考点06】有理数乘除中的简便运算 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【对应练习1】（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 【对应练习2】（25-26七年级上·重庆·期中）计算： (1) (2) (2) (4) 【压轴考点07】有理数四则混合运算 【典例精讲】（26-27七年级上·河南新乡·开学考试）沛沛做一道计算题的解题过程如下： 计算： 解：原式…………………① ……………………………② …………………………………③ …………………………………………④ (1)沛沛从第_________步开始出现错误； (2)请你写出正确完整的解题过程； 【对应练习1】（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）简便运算： (1) ． (2)； (3)． 【对应练习2】计算． (1) (2) (3) (4) 【压轴考点08】有理数四则混合运算的实际应用 【典例精讲】（26-27七年级上·江苏宿迁·开学考试）学校篮球队要买50个篮球，张老师去了甲、乙、丙三家专卖店，单价都是75元，但促销方式各不相同．甲专卖店：买十送二；乙专卖店：打八折；丙专卖店：每满100元返现金20元．如果只在一家专卖店买，张老师选择哪家专卖店买最省钱？ 【对应练习1】（25-26七年级上·河南郑州·期中）某家商店购入一批苹果，在运输过程中花去100元运费，后来决定将这些苹果的价格降到原定价的卖出，这样所得的总利润就只有原计划的 ．已知这批苹果的进价是每千克6元4角，原计划可获得利润2700元．这批苹果一共有多少千克? 【对应练习2】（25-26七年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，已知点A，B，C从左到右依次在数轴上，所表示的数分别为x，，200，现将一把最小刻度为的刻度尺放到数轴上，测得点A与点B的距离为． (1)若数轴的1个单位长度为． ①x的值为______；点A与点C的距离为______个单位长度； ②求点A，B，C所表示的数的和； (2)若数轴的1个单位长度不是，且刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，． ①求x的值； ②点D在数轴上，且点A与点C的距离是点A与点D的距离的5倍，求点D所表示的数； ③若刻度尺的最大刻度为，将数轴的单位长度变为原来的后，用刻度尺能一次性测量出数轴上点B与点C的距离，直接写出k的最小整数值． 【压轴考点09】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典例精讲】（25-26七年级上·广东东莞·期中）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有（     ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【对应练习1】（25-26七年级上·广东广州·期末）点A、B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和，对于以下结论： ①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【对应练习2】（25-26七年级上·重庆南川·期中）如图，点在数轴上表示的数分别为，则下列结论中正确的个数有（   ） ①；②；③；④； ⑤若P是数轴上任一点，表示的数是，且的最小值为17，则 A．1个 B．2个 C．3 D．4个 【压轴考点10】数轴上的翻折 【典例精讲】如图，、两点在数轴上，表示的数为，表示的数为． (1)、两点间的距离是______． (2)若把点先向右移动个单位，再向左移动个单位，然后又向左移动个单位，此时点表示的数是______； (3)如图，以点为折点，将此数轴向右对折，若点和点之间的距离是，则点表示的数是______． 【对应练习1】（25-26七年级上·广东汕头·期末）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 左右折叠纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点” 操作一： （1）左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合； 操作二： （2）左右折叠纸面，使表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①对折中心点所表示的数为______，对折后6表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上，两点之间距离为12（在的左侧），且，两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 【对应练习2】（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．一般地，点在数轴上分别表示数，，那么之间的距离可表示为． (1)如图1，在数轴上，点，，分别对应有理数，1，4，则，之间的距离为_____，，之间的距离为_____； (2)如图2，为数轴上一动点，点表示的有理数为，现以为折点，将图1的数轴向右对折．已知点在点的右侧，与点，的相对位置不固定，且对折后点，的对应点分别为点． ①若对折后点与点重合，求此时的值； ②若对折后三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请求出此时的值． 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）与绝对值等于的数的和等于（     ） A． B．1 C． D．或1 2．（26-27六年级上·上海·开学考试）停车场对小汽车的收费标准是这样的：半小时内（含半小时）免费，半小时以上，每过1小时收费8元，不足1小时按1小时算．一辆小汽车付停车费24元，那么它的停车时间段可能是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知a、b是有理数，下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若且a、b均是非零数，则 C．若，则 D．若数轴上a，b在原点的两侧，则 4．（25-26八年级下·重庆长寿·期末）在一组互不相等的正整数中任意提取个数，若这m个数的和与积相加正好等于这n个数的和，则称这样的提取为完美提取．例如：在1，2，3，4，5中，因为，，所以提取1，2，4这三个数就是完美提取（提取的数字相同，排序不同，属于同一种提取）．若要在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中实现完美提取，下列说法正确的个数是（     ） ①6，7是这十个数中的一种完美提取； ②1，2，4，5是这十个数中的一种完美提取； ③这十个数的完美提取一共有4种． A．0 B．1 C．2 D．3 5．（25-26七年级上·天津河东·期末）已知a，b是有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列结论：①；②；③；④若，c是有理数，且满足，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 6．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期末）通过“白昼时长规律的探究”一课的学习，小青学到了很多知识．①白昼时长（正午时刻日出时刻）；②北京天安门广场上国旗升旗时刻每天都有变化，最早是，最晚是；③同经度不同纬度不同地区二十四节气中，夏至日白昼时长最长，冬至日白昼时长最短；④同纬度不同经度地区二十四节气日同一天的白昼时长几乎完全相同，经度不影响白昼时长；⑤经度影响日出、日落的时刻，越向东日出、日落时刻越早．你认为正确的有________________．（填序号即可） 7．（25-26七年级下·重庆·自主招生）公元2025年11月25日，长征二号F运载火箭在酒泉卫星发射中心完成中国载人航天工程首次应急发射，为纪念其在航天的伟大进步，我们在小数加两个循环点，能得到最小循环小数，则这两个循环点的数字之和是________． 8．（25-26七年级上·福建泉州·开学考试）在体育课上，六（1）班男生进行一分钟仰卧起坐测试，李老师以做个为优秀的标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示．其中第一小队名男生的成绩记录如下：，，，，，，，．该小队男生的平均成绩是( )个，优秀率为( )． 9．若有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中： ①  ②  ③  ④  ⑤ 其中正确的说法有________（填序号）． 10．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）有一条正方形赛车赛道，周长为4000米．两辆无人驾驶赛车正在做练习测试．甲赛车从出发，乙赛车从出发，同时出发顺时针匀速行驶．甲每秒钟行驶100米，乙每秒钟行驶88米．至少经过___________秒钟后，两辆车在同一条边上行驶．（注：若出现两者恰好都在顶角上的情况，不符合要求．） 11．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）计算（能简便的就简便计算）： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（26-27七年级上·河南新乡·开学考试）下面是小华同学计算的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 解：原式           第一步            第二步      第三步       第四步 任务： (1)计算过程中，为了简便，小华同学在进行第二步计算时，运用了加法的_______律和_________律． (2)她从第_________步开始出现错误． (3)请你直接写出正确的运算结果，并就有理数的加减运算给出一条建议． 13．（25-26七年级上·山东德州·期中）某班在一次考试中抽查了10名同学的数学成绩，以80分为基准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：，，，，，，，，0，； (1)这10名同学的数学成绩中最高分是多少？最低分是多少？ (2)10名同学中，数学成绩低于80分的占的百分比是多少？ (3)10名同学数学成绩的总分和平均分各是多少？ 14．（26-27七年级上·上海·开学考试）介休103路内环公交车从起点站（火车站）开出，下面是它经过几个停靠站时上下车人数的记录表．（上车人数记为正） 车站名 火车站北 定阳饭店 政务中心 介休三中 介纺社区 北坛公园东 上车人数 ﹢6 0 下车人数 ﹣ 0 (1)从火车站北到北坛公园东站，途中无人上车的站是__________，无人下车的站是__________． (2)这辆公交车从介休三中站开出时，车上有（    ）名乘客，从北坛公园东站开出时，车上有（   ）名乘客． (3)介休103路所有乘客统一票价为1元，那么这趟公交车从北坛公园东站开出时，已经收入多少钱？ 15．（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式                ．                           解法二：原式的倒数为 ． 所以，原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_____错误． (2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算：． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年人教版数学七年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题四 有理数的运算 【思维导图+十大考点讲练+优选题训练 共45题〔解析版〕】 目 录 【压轴考点01】有理数的加减混合运算 2 【压轴考点02】有理数加减中的简便运算 5 【压轴考点03】有理数加减混合运算的应用 9 【压轴考点04】省略加法和括号的形式 12 【压轴考点05】有理数乘除混合运算 14 【压轴考点06】有理数乘除中的简便运算 17 【压轴考点07】有理数四则混合运算 20 【压轴考点08】有理数四则混合运算的实际应用 22 【压轴考点09】根据点在数轴的位置判断式子的正负 25 【压轴考点10】数轴上的翻折 27 31 【压轴考点01】有理数的加减混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆铜梁·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【思路引导】本题考查有理数的加减法； （1）去括号后，按照有理数加减法法则计算即可； （2）去括号后，将同分母的分数先计算，再将所得结果相加即可. 【规范解答】（1）解： . （2）解： . 【对应练习1】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先去括号并计算绝对值，再计算加减即可得出结果； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可得出结果； （3）根据有理数的混合运算法则计算即可得出结果． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【对应练习2】（25-26七年级上·河南南阳·期中）阅读以下内容，完成下列题目． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算．” 小明写出了一些按照（加乘）运算法则进行运算的式子： ；；；；； (1)归纳：类比有理数运算法则，归纳出（加乘）运算的运算法则，请你把下面内容补充完整： 两数进行（加乘）运算时，同号得________，异号得________，并把绝对值________；特别是0和任何数进行（加乘）运算时都等于________________； (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)拓展：若，直接写出的值． 【答案】(1)正 负 相加 这个数的绝对值 (2) (3)3或1 【思路引导】本题考查了新定义，有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算法则． （1）根据题目中的例子可以总结出（加乘）运算的运算法则； （2）根据（1）中的结论可以解答本题； （3）根据（1）中的结论和分类讨论的方法可以解答本题． 【规范解答】（1）解：两数进行（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；特别是0和任何数进行（加乘）运算时都等于这个数的绝对值， 故答案为：正，负，相加，这个数的绝对值； （2） ； （3） ， ， 当时，， 得， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 综上，的值为3或1． 【压轴考点02】有理数加减中的简便运算 【典例精讲】（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）阅读下面的材料，并解答问题． 计算：． 解：因为，①， 所以原式 ． (1)上述材料中，序号①的内容为___________； (2)利用上述材料的方法计算：． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查有理数的加法运算，解题的关键是掌握拆项法，将带分数拆成整数和分数两部分，再分别相加． （1）根据拆项法的规则，将带分数拆分为整数和分数。 （2）运用拆项法拆分带分数，再分别结合整数与整数、分数与分数进行计算。 【规范解答】（1）解：由拆项法可知，， 故答案为：． （2） ． 【对应练习1】（25-26七年级上·陕西延安·期中）阅读下面的文字，并回答问题： 对进行计算，我们可以用下面的方法：．这种方法称为分离带分数法． 请你运用上面的方法，计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)2021 【思路引导】本题考查了分数的简便运算． （1）将每个带分数分为整数部分和分数部分，分别计算后再合并； （2）将每个带分数分为整数部分和分数部分，分别计算后再合并． 【规范解答】（1）解： （2）解： ． 【对应练习2】（25-26七年级上·全国·单元复习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【思路引导】（1）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （2）先将带分数拆成整数和分数两部分，然后利用加法的交换律和结合律，整数和整数相结合，同分母分数相结合，进行计算即可． （3）将带分数转化为假分数再进行有理数加减乘除运算即可； （4）乘方后，计算小括号部分，再运算乘除即可； （5）将带分数转化为假分数再进行有理数乘除运算即可； （6）先计算前两项，再与后一项运算即可． 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握分数与小数的转化是关键． 【规范解答】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【压轴考点03】有理数加减混合运算的应用 【典例精讲】佳佳和琪琪用扑克牌做数学游戏，如图，两人手中各有四张扑克牌，并且都不知道对方手中的牌． 游戏规则是：将方块“◆”记为正分，如“”记为分，将梅花“”记为负分，如“”记为分；两人各自同时从对方手中任意抽取一张牌，与手中剩余的牌计算总分，得分高的人获胜． (1)若佳佳从琪琪手中抽到“◆”，同时琪琪从佳佳手中抽到“”，分别计算此时佳佳和琪琪手中牌的总分，并判断谁获胜； (2)若两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分最高可能是多少？ (3)在两人互相任意抽取一张牌后，直接写出佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分具有什么特征． 【答案】(1)佳佳获胜 (2) (3)佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分的绝对值相等 【思路引导】（1）分别计算两人互相抽取后，各人手中牌的总分，比较即可得出答案； （2）根据两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分要最高，则佳佳从琪琪手中抽到“◆”，同时琪琪从佳佳手中抽到“7”，再列式计算即可； （3）根据两人手中牌的总分的和为，可得佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分的绝对值相等，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：互相抽取后，佳佳手中牌的总分为：， 琪琪手中牌的总分为：． ， 佳佳获胜； （2）解：∵两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分最高， ∴佳佳应抽取琪琪手中最大的牌，琪琪应抽取佳佳手中最小的牌， ∴当佳佳从琪琪手中抽取到“◆7”，同时琪琪从佳佳手中抽取到“7”时，佳佳手中牌的总分最高， ∴佳佳手中牌的总分最高为：． （3）解：∵佳佳和琪琪手中的牌互换， ∴佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分的和不变， ∵， ∴两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分的绝对值相等（或佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分互为相反数）． 【对应练习1】（25-26七年级上·广东广州·期末）如图是一种转盘型密码锁，共有40个小格．每次开锁时需要先把表示“0”的刻度与固定盘上的标记线对齐，再顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘6次．规定：逆时针旋转记为“”，顺时针旋转记为“”，例如“”表示顺时针旋转5小格，此时标记线对准的数为35． (1)若开锁密码为“，，，，，”（需旋转6次），请描述第一次的旋转过程，并求锁打开时标记线对准的刻度线所表示的数； (2)若转盘逆时针旋转1小格损耗单位零件寿命，顺时针旋转1小格损耗单位零件寿命，请计算第（1）问打开锁的过程中零件寿命总损耗． 【答案】(1) 根据题意，第一次旋转过程为：逆时针旋转15小格， ， ， ∴刻度线所表示的数为； 刻度线所表示的数为 (2) 【思路引导】本题考查正负数的意义，有理数的加减运算的实际应用，掌握好相关知识是关键． （1）根据题干背景，描述旋转过程即可；将6个数相加，根据结果判断所表示的数； （2）根据（1）的旋转过程，分别计算顺逆时针的寿命消耗，相加即可． 【规范解答】（1）略 （2）解：， ， ， ∴零件寿命总损耗为单位． 【对应练习2】（25-26七年级上·北京·期末）纸箱中放有若干个小球，小明和小聪玩一个取球游戏，游戏规则如下：游戏初始两人手中各有10个小球，每一回合通过猜拳方式决定胜负（无平局），胜者从纸箱中取出1个小球，负者从手中拿1个小球放回纸箱．如果出现连胜情况，每回合胜者取球个数增加1个，负者放回小球的个数保持不变．例如，在小明的3连胜中，他第一回合从纸箱中取出1个小球，第二回合取出2个小球，第三回合取出3个小球，小聪每回合从手中拿1个小球放回纸箱．若两人一共进行10回合的游戏，其中小明出现一次2连胜，小聪出现一次2连胜和一次3连胜，此外，两人均未出现其他连胜情况，则在游戏结束时小聪手中小球数比小明手中小球数多_____个． 【答案】7 【思路引导】本题主要考查了有理数加减混合运算的应用，理解题意是解题的关键． 通过分析游戏规则和连胜情况，确定小明和小聪胜的回合数分别为4和6，计算各自胜的回合时取球数的总和，各自负的回合时放球数的总和，然后运用有理数加减运算求解即可． 【规范解答】解：小明出现一次2连胜，取球（个）； 小聪出现一次2连胜和一次3连胜，取球（个）； ∵此外，两人均未出现其他连胜情况， ∴其余3回合为小明胜2回合和小聪胜1回合， ∴小明胜的回合数为4，小聪胜的回合数为6， 小明共取球（个），放球6个， 小聪共取球（个），放球4个， （个）， ∴在游戏结束时小聪手中小球数比小明手中小球数多7个． 故答案为：7． 【压轴考点04】省略加法和括号的形式 【典例精讲】（1）把下列各式写成省略加号的和的形式，并写出它们的两种读法： （2）【我计算】请计算： 【我排序】明明在做完上题之后，对“计算”的思考过程进行了以下梳理． ①确定和的绝对值：； ②确定和的符号：计算出加数+2和-3的绝对值，分别是2和3，通过比较它们的绝对值发现，加数-3的绝对值较大，写出和的符号为“-”； ③写出计算结果； ④决定应用有理数加法法则中“异号的两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”； ⑤判断出是两个有理数相加的问题； ⑥观察两个加数的符号，发现是异号两数相加． 明明同学不小心把顺序写乱了，请你仔细阅读他的思考过程，写出正确的顺序为（只写出对应的顺序号即可）：___________ 【我会算】请计算： 【答案】（1）；读法见解析；（2）；⑤⑥④②①③；． 【思路引导】（1）利用有理数的加减运算法则变形得到结果，写出读法即可； （2）根据有理数的加法运算即可得到答案；根据有理数的加法法则即可排出正确的顺序；根据有理数的除法法则，先确定结果的符号，同时除法转化为乘法，再根据陈发法则计算即可得到结果． 【规范解答】解：（1）； 两种读法：①加减减；②、、、的和； （2）“我计算”； “我排序” 正确的顺序为⑤⑥④②①③， 答案为：⑤⑥④②①③； “我会算” ． 【考点剖析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【对应练习1】写成省略加号的和的形式为 ___________． 【答案】 【思路引导】利用有理数减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，变为连加，加号省略即可 【规范解答】解：∵ ∴写成省略加号的和的形式为， 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查了有理数加减混合运算中的符号化简，熟练掌握有理数减法的法则，符号化简法则，是解题的关键． 【对应练习2】为计算简便，把(﹣1.4)﹣(﹣3.7)﹣(+0.5)+(+2.4)+(﹣3.5)写成省略加号的和的形式，并按要求交换加数的位置正确的是(    ) A．﹣1.4+2.4+3.7﹣0.5﹣3.5 B．﹣1.4+2.4+3.7+0.5﹣3.5 C．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5﹣3.5 D．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5+3.5 【答案】A 【思路引导】根据有理数的运算法则计算即可. 【规范解答】原式＝﹣1.4+3.7﹣0.5+2.4﹣3.5 ＝﹣1.4+2.4+3.7﹣0.5﹣3.5， 故选A. 【考点剖析】考查有理数的运算，解题的关键是熟记和运用有理数的计算法则． 【压轴考点05】有理数乘除混合运算 【典例精讲】（26-27七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)12 (4) 【规范解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【对应练习1】（25-26七年级上·全国·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1)8； (2)2； (3)； (4) 【思路引导】本题考查有理数的混合运算．熟练掌握有理数的运算法则：乘法分配律，减去一个数等于加这个数的相反数，除以一个不等于的数等于乘这个数的倒数，有理数加减混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，同级运算从左到右进行，有括号按小、中、大括号依次进行，是解题的关键． （1）将式子去括号，从左到右依次计算，得出答案； （2）根据乘法分配律去括号，从左到右依次计算，得出答案； （3）将式子去括号，从左到右依次计算，得出答案； （4）依据有理数加减混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，依次计算后得出答案． 【规范解答】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， ． 【对应练习2】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）近年来，我国的新能源汽车越来越受消费者青睐，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程，以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”（如下表）． 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 里程（km） (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走___________km； (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知这辆新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.6元，请计算小明家新能源汽车这7天的行驶用了多少元钱电费？ 【答案】(1)49 (2)400（千米） (3)36（元） 【思路引导】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的实际应用． （1）由表格可知，行驶路程最多的一天是第二天，最少的一天是第六天，相减即可得出答案； （2）先求出这七天高于（或低于）的标准所行驶的路程，再加上七天按标准行驶的路程，即可求解； （3）根据（2）的结论，进一步计算即可求解． 【规范解答】（1）解：由表格得：， 即这7天里路程最多的一天比最少的一天多走． 故答案为：49； （2）解：（千米）， 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了． （3）解：用电的费用： 答：小明家这7天的行驶费用是36元． 【压轴考点06】有理数乘除中的简便运算 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)499 (2)7 (3)885 (4) 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律及裂项法是解题的关键. （1）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （2）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （3）根据同分母分数加法运算法则进行计算，再变形，根据同分母分数加法运算法则，进行计算即可； （4）将原式变形为，然后裂项，再根据加法交换律和结合律，结合裂项法，进行计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：                   ； （3）解： ； （4）解： ． 【对应练习1】（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算． 的倒数为，求出其值，再求倒数即可． 【规范解答】解：的倒数为， ， 所以． 【对应练习2】（25-26七年级上·重庆·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）能揍整的先相加； （2）利用分配律计算； （3）除法转化为乘法，再利用分配律简化运用； （4）先计算乘方，再计算乘除、绝对值，最后计算加减． 【规范解答】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【考点剖析】本题考查了有理数的加减混合运算，有理数乘法运算律，有理数乘除中的简便运算，含乘方的有理数混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 【压轴考点07】有理数四则混合运算 【典例精讲】（26-27七年级上·河南新乡·开学考试）沛沛做一道计算题的解题过程如下： 计算： 解：原式…………………① ……………………………② …………………………………③ …………………………………………④ (1)沛沛从第_________步开始出现错误； (2)请你写出正确完整的解题过程； 【答案】(1)① (2) 解：原式 【思路引导】（1）根据除法没有分配律，应该先计算括号里的减法运算，然后计算除法即可求解此题； （2）首先处理括号内的分数减法，再按运算顺序，先计算乘除部分，最后计算加减部分，依据有理数加减运算法则得出最终结果． 【规范解答】（1）因为除法没有分配律，所以应该先计算括号里的减法运算，然后计算除法，所以第①步开始出现错误． 【对应练习1】（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）简便运算： (1)． (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【对应练习2】计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【规范解答】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 【压轴考点08】有理数四则混合运算的实际应用 【典例精讲】（26-27七年级上·江苏宿迁·开学考试）学校篮球队要买50个篮球，张老师去了甲、乙、丙三家专卖店，单价都是75元，但促销方式各不相同．甲专卖店：买十送二；乙专卖店：打八折；丙专卖店：每满100元返现金20元．如果只在一家专卖店买，张老师选择哪家专卖店买最省钱？ 【答案】张老师选择乙专卖店买最省钱 【思路引导】分别计算三家专卖店购买50个篮球的总花费，比较花费大小即可确定最省钱的方案． 【规范解答】解：甲专卖店：付10个的钱可获得：（个）篮球， ， ∴需付费购买的篮球数量为：（个）， 总花费为：（元）， 乙专卖店：总花费为（元）， 丙专卖店：50个篮球总原价为（元）， ， ∴可返现金额为（元）， 实际花费为（元）， ∵， ∴乙专卖店花费最少， 答：张老师选择乙专卖店买最省钱． 【对应练习1】（25-26七年级上·河南郑州·期中）某家商店购入一批苹果，在运输过程中花去100元运费，后来决定将这些苹果的价格降到原定价的卖出，这样所得的总利润就只有原计划的 ．已知这批苹果的进价是每千克6元4角，原计划可获得利润2700元．这批苹果一共有多少千克? 【答案】这批苹果一共有500千克 【思路引导】先计算出这些苹果的原利润及降价后的利润，进而可得总售价、成本价，然后计算重量即可． 【规范解答】解：原来需要这些苹果获利（元）， 降价后需要这些苹果获利（元）， 价格降低，少获利（元）， 则这些苹果总售价为（元）， 成本为（元）， 这批苹果一共有（千克）， 答：这批苹果一共有500千克． 【对应练习2】（25-26七年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，已知点A，B，C从左到右依次在数轴上，所表示的数分别为x，，200，现将一把最小刻度为的刻度尺放到数轴上，测得点A与点B的距离为． (1)若数轴的1个单位长度为． ①x的值为______；点A与点C的距离为______个单位长度； ②求点A，B，C所表示的数的和； (2)若数轴的1个单位长度不是，且刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，． ①求x的值； ②点D在数轴上，且点A与点C的距离是点A与点D的距离的5倍，求点D所表示的数； ③若刻度尺的最大刻度为，将数轴的单位长度变为原来的后，用刻度尺能一次性测量出数轴上点B与点C的距离，直接写出k的最小整数值． 【答案】(1) ①； ② (2) ① ②或 ③6 【思路引导】本题考查数轴的应用，有理数的运算，掌握好数轴上两点间的距离计算方法是解题关键． （1）①根据两点之间的距离的计算方法进行计算或者逆推计算即可； ②将三个数相加即可； （2）①先根据条件计算出数轴上一个单位长度是，再根据点A与点B的距离，推算出x的值； ②先算出点A与点C的距离，再算出点A与点D的距离．根据点D在点A的左侧或者右侧，分别得出点D所表示的数； ③点B与点C之间的距离是210个单位长度，由题意可知，，计算出k的范围后，找到符合要求的最小整数． 【规范解答】（1）解：①∵点A与点B的距离为， 又∵数轴的1个单位长度为， ∴点A与点B的距离为个单位长度， ∴； 点A与点C的距离为个单位长度； ②点A，B，C所表示的数的和为； （2）解：①∵刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，， ∴数轴上一个单位长度为， ∵点A与点B的距离为． ∴点A与点B的距离为个单位长度， ∴； ②点A与点C的距离为个单位长度， ∵点A与点C的距离是点A与点D的距离的5倍， ∴点A与点D的距离为个单位长度， 当点D在点A左侧时， 点D所表示的数为， 当点D在点A右侧时， 点D所表示的数为， ∴点D所表示的数为或； ③点B与点C的距离为， 由题意可知，， ∴， ∴满足要求的k的最小整数值为6． 【压轴考点09】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典例精讲】（25-26七年级上·广东东莞·期中）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有（     ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【思路引导】根据数轴上点的位置确定、的正负号及绝对值的大小关系，结合有理数的运算法则逐一判断即可． 【规范解答】解：由数轴可知：，且， ∴，故①正确； ，故②正确； ，故③正确； ，故④错误． 综上所述，一定成立的有①②③，共3个． 【对应练习1】（25-26七年级上·广东广州·期末）点A、B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和，对于以下结论： ①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【思路引导】本题考查数轴上数的位置与绝对值、有理数运算的结合，先根据数轴确定、的取值范围，再逐一分析每个结论． 【规范解答】解：由数轴可知，，． ①∵， ∴，根据绝对值性质，，故①正确； ②∵，， ∴，根据绝对值性质，，故②错误； ③∵， ∴， 又， ∴， 因此，故③正确； ④∵，，∴，故④错误； 综上，正确的是①③， 故选：C． 【对应练习2】（25-26七年级上·重庆南川·期中）如图，点在数轴上表示的数分别为，则下列结论中正确的个数有（   ） ①；②；③；④； ⑤若P是数轴上任一点，表示的数是，且的最小值为17，则 A．1个 B．2个 C．3 D．4个 【答案】D 【思路引导】本题考查了数轴的特征和应用以及绝对值的含义和求法，有理数的加法和乘法，解题的关键是掌握相关的知识的灵活运用．根据数轴得：，故可判断②，再根据有理数的乘法即可判断①，根据有理数的加法即可判断③，根据绝对值的性质即可判断④，根据绝对值的几何意义即可判断⑤． 【规范解答】解：根据数轴得：，故②正确； ， ，故①正确； ②， ， ，故③正确； ，， ， ，故④不正确； 当时，的值最小，即， ，故⑤正确． 综上所述，正确的有①②③⑤，共4个， 故选：． 【压轴考点10】数轴上的翻折 【典例精讲】如图，、两点在数轴上，表示的数为，表示的数为． (1)、两点间的距离是______． (2)若把点先向右移动个单位，再向左移动个单位，然后又向左移动个单位，此时点表示的数是______； (3)如图，以点为折点，将此数轴向右对折，若点和点之间的距离是，则点表示的数是______． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【思路引导】根据数轴上两点间的距离公式即可求解； 根据题意列出算式，然后通过有理数运算法则即可求解； 分点在点左侧时和点在点右侧时两种情况求解即可． 【规范解答】（1）解：因为表示的数为，表示的数为， 所以、两点间的距离是， 故答案为：； （2）解：因为把点先向右移动个单位，再向左移动个单位，然后又向左移动个单位， 所以此时点表示的数是， 故答案为：； （3）解：当点在点左侧时，则对折后点表示为， 所以折点表示的数为， 当点在点右侧时，则对折后点表示为， 所以折点表示的数为， 故答案为：或． 【对应练习1】（25-26七年级上·广东汕头·期末）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 左右折叠纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点” 操作一： （1）左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合； 操作二： （2）左右折叠纸面，使表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①对折中心点所表示的数为______，对折后6表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上，两点之间距离为12（在的左侧），且，两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 【答案】（1）7；（2）①，；②、 【思路引导】本题考查数轴上的折叠问题，解题的关键是确定对折中心点： （1）根据左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，得到对折中心点为原点，即可得出结果； （2）①根据对折中心点到两个重合的点之间的距离相等，求出对折中心点，进而求出对折后与6表示的点重合的点表示的数即可；②根据对折中心点到两个重合的点之间的距离相等，进行求解即可． 【规范解答】解：（1）∵左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合， ∴对折中心点为原点， ∴表示的点与7表示的点重合； （2）①由题意，对折中心点为， ； 故对折后6表示的点与数表示的点重合； ②解：由题意可得：、两点距离对折中心点的距离为， 因为对折中心点所表示的数为2的点，，； 所以、两点表示的数分别为：、． 【对应练习2】（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．一般地，点在数轴上分别表示数，，那么之间的距离可表示为． (1)如图1，在数轴上，点，，分别对应有理数，1，4，则，之间的距离为_____，，之间的距离为_____； (2)如图2，为数轴上一动点，点表示的有理数为，现以为折点，将图1的数轴向右对折．已知点在点的右侧，与点，的相对位置不固定，且对折后点，的对应点分别为点． ①若对折后点与点重合，求此时的值； ②若对折后三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请求出此时的值． 【答案】(1)2，3 (2)①1.5；②0.75或2或3.5． 【思路引导】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴折叠后，折点到对应点的距离相等．关键是分类讨论要全面． （1）根据两点之间的距离公式解答即可． （2）①对折后点A与点C重合，即点到，的距离相等，据此求解即可． ②分三种情况进行分析计算． 【规范解答】（1）解：∵点，，分别对应有理数，1，4， ∴，之间的距离为，，之间的距离为 故答案为：2，3． （2）①因为对折后点与点重合，，所以． 因为，所以此时的值为1.5． ②由题意知，对折后存在以下三种情况： （i）对折后点不动，此时折点在点之间，点在点之间，且到点的距离相等． 因为，所以， 则点表示的数为，可得， 则，所以点表示的数为， 即此时的值为0.75； （ii）对折后点动，点不动，此时折点在点之间， 点在点之间，且到点的距离相等． 因为，所以，所以， 即点表示的数为，可得，则， 所以点表示的数为，即此时的值为2； （iii）对折后点动，点不动，此时折点在点之间， 点在点之间，且到点的距离相等． 因为，所以，所以， 即点表示的数为，可得，则， 所以点表示的数为，即此时的值为3.5． 综上，的值为0.75或2或3.5． 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）与绝对值等于的数的和等于（     ） A． B．1 C． D．或1 【答案】D 【思路引导】需注意绝对值等于的数有两个，分两种情况计算和. 【规范解答】解：∵绝对值等于的数是或， ∴当这个数为时，； 当这个数为时，， ∴所求的和为或. 2．（26-27六年级上·上海·开学考试）停车场对小汽车的收费标准是这样的：半小时内（含半小时）免费，半小时以上，每过1小时收费8元，不足1小时按1小时算．一辆小汽车付停车费24元，那么它的停车时间段可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】先计算停车时间，根据计费标准，解答即可； 【规范解答】解：∵ 停车费为24元，每小时收费8元， ∴停车时间为：小时. ∵ 半小时内免费，不足1小时按1小时计费， ∴ 实际停车时长满足2小时30分小时30分. A．小时45分，3小时45分小时30分，不符合. B．小时，2小时小时30分，不符合. C．小时20分，2小时30分小时20分小时30分，符合. D． 小时25分，2小时25分小时30分，不符合. 3．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知a、b是有理数，下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若且a、b均是非零数，则 C．若，则 D．若数轴上a，b在原点的两侧，则 【答案】A 【思路引导】根据绝对值的性质逐一判断各选项正误． 【规范解答】解：若，则或，例如，时，但，故A错误； ，当异号或至少有一个为零，即时，结论正确；又a、b均为非零有理数，因此，故B正确； 由，根据绝对值的性质可得，即，故C正确； 由a、b在原点两侧可得a、b异号且均不为0，故当时，此时，从而，和为0；当时，此时，从而，和为0，故D正确． 4．（25-26八年级下·重庆长寿·期末）在一组互不相等的正整数中任意提取个数，若这m个数的和与积相加正好等于这n个数的和，则称这样的提取为完美提取．例如：在1，2，3，4，5中，因为，，所以提取1，2，4这三个数就是完美提取（提取的数字相同，排序不同，属于同一种提取）．若要在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中实现完美提取，下列说法正确的个数是（     ） ①6，7是这十个数中的一种完美提取； ②1，2，4，5是这十个数中的一种完美提取； ③这十个数的完美提取一共有4种． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【思路引导】本题根据完美提取的定义，先计算1到10的总和，再逐个验证三个说法，统计正确说法的个数即可，考查有理数混合运算的应用． 【规范解答】解：首先计算1到10这十个数的总和，得． 对①，提取6和7，按定义计算得，等于总和，符合完美提取的定义，故①正确． 对②，提取1，2，4，5，按定义计算得，不符合定义，故②错误． 对③，枚举所有符合条件的完美提取： 当时，仅符合，共1种； 当时，仅符合，共1种； 当时，仅符合，共1种； 当时，最小的乘积为，不可能符合条件； 因此一共只有3种完美提取，故③错误． 综上，正确的说法共1个． 5．（25-26七年级上·天津河东·期末）已知a，b是有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列结论：①；②；③；④若，c是有理数，且满足，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【思路引导】本题考查数轴与有理数，有理数的运算，绝对值的意义，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，结合有理数的运算法则和绝对值的意义，逐一进行判断即可． 【规范解答】解：由数轴可知：， ∴， ∴，； 若，， 则：或； 综上：①②③正确，④错误； 故答案为：①②③ 6．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期末）通过“白昼时长规律的探究”一课的学习，小青学到了很多知识．①白昼时长（正午时刻日出时刻）；②北京天安门广场上国旗升旗时刻每天都有变化，最早是，最晚是；③同经度不同纬度不同地区二十四节气中，夏至日白昼时长最长，冬至日白昼时长最短；④同纬度不同经度地区二十四节气日同一天的白昼时长几乎完全相同，经度不影响白昼时长；⑤经度影响日出、日落的时刻，越向东日出、日落时刻越早．你认为正确的有________________．（填序号即可） 【答案】①②③④⑤ 【思路引导】根据昼长的计算规律，日出日落时刻与经纬度的关系，结合天安门广场升旗的实际规律，逐个判断各说法的正误即可． 【规范解答】① 一天中，正午时刻处于日出与日落的中间，日出到正午的时长等于正午到日落的时长，因此总白昼时长为（正午时刻日出时刻），说法正确． ② 北京天安门广场升旗时刻与日出时刻同步，夏至日出最早，升旗时刻最早约为，冬至日出最晚，升旗时刻最晚约为，符合实际规律，说法正确． ③ 北半球二十四节气体系下，夏至日太阳直射北回归线，同经度不同纬度的北半球地区，夏至白昼时长为一年最长，冬至日太阳直射南回归线，冬至白昼时长为一年最短，说法正确． ④ 白昼时长由纬度和太阳直射点位置决定，同纬度同一日期的白昼长度几乎一致，经度不影响白昼时长，仅影响日出日落的时刻，说法正确． ⑤ 越向东地方时越早，因此同一日期日出、日落的时刻都更早，说法正确． 7．（25-26七年级下·重庆·自主招生）公元2025年11月25日，长征二号F运载火箭在酒泉卫星发射中心完成中国载人航天工程首次应急发射，为纪念其在航天的伟大进步，我们在小数加两个循环点，能得到最小循环小数，则这两个循环点的数字之和是________． 【答案】8 【思路引导】根据循环小数的定义进行求解即可． 【规范解答】解：由题意得，第二个循环点必然是小数最后一位数字， ∵要使得到的循环小数最小，应使循环节的起始数字尽可能小， ∴将第一个循环点放在数字上，得到的循环小数最小，即， ∴二者之和为． 8．（25-26七年级上·福建泉州·开学考试）在体育课上，六（1）班男生进行一分钟仰卧起坐测试，李老师以做个为优秀的标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示．其中第一小队名男生的成绩记录如下：，，，，，，，．该小队男生的平均成绩是( )个，优秀率为( )． 【答案】 【思路引导】以个为优秀标准，正数表示超过标准的个数，负数表示不足标准的个数，先计算偏差总和得到平均成绩，再统计优秀人数计算优秀率. 【规范解答】解：首先计算8名男生成绩与标准的偏差和：， 平均偏差为 ， 因此平均成绩为 个． 成绩记录大于等于即为达到优秀标准，符合条件的共有人． 优秀率为 ． 9．若有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中： ①  ②  ③  ④  ⑤ 其中正确的说法有________（填序号）． 【答案】④ 【思路引导】根据数轴的意义，得到，计算判断即可； 【规范解答】解：根据题意，得，， ，，，，， 故①②③⑤错误；④正确； 10．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）有一条正方形赛车赛道，周长为4000米．两辆无人驾驶赛车正在做练习测试．甲赛车从出发，乙赛车从出发，同时出发顺时针匀速行驶．甲每秒钟行驶100米，乙每秒钟行驶88米．至少经过___________秒钟后，两辆车在同一条边上行驶．（注：若出现两者恰好都在顶角上的情况，不符合要求．） 【答案】 【思路引导】正方形赛道周长 4000米，则边长为 1000 米．甲从 B 出发，乙从 A出发，顺时针行驶，初始甲在乙前方 1000米．甲速度 100 米/秒，乙速度 88 米/秒，甲比乙快，当甲比乙多走的路程要满足大于2000米，且小于3000米时，相当于乙在甲前方 0到 1000米之间，此时若甲刚进入某条边且乙未离开该边，则两车在同一条边上．甲到达顶点的时间为 10 的倍数，据此求解即可． 【规范解答】解：∵正方形的周长为4000米， ∴正方形的边长为米， ∵甲每秒钟行驶100米，乙每秒钟行驶88米，且， ∴要使时间最少，则甲刚到某个顶点时，此时乙在该顶点所在的边上，且此时甲比乙多走的路程要满足大于2000米，且小于3000米， ∵，， ∴需要的时间满足大于秒，且小于秒， ∵甲每秒钟行驶100米，且， ∴甲每过10秒就从一个顶点运动到另一个顶点， ∴运动的时间一定要是10的倍数， ∴至少经过170秒钟后，两辆车在同一条边上行驶． 11．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）计算（能简便的就简便计算）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】根据有理数的加减运算法则以及绝对值的性质，结合加法运算律求解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12．（26-27七年级上·河南新乡·开学考试）下面是小华同学计算的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 解：原式          第一步           第二步                           第三步                                第四步 任务： (1)计算过程中，为了简便，小华同学在进行第二步计算时，运用了加法的_______律和_________律． (2)她从第_________步开始出现错误． (3)请你直接写出正确的运算结果，并就有理数的加减运算给出一条建议． 【答案】(1)交换；结合 (2)三 (3)；建议：计算有理数加减法时要细心，要将减法转化为加法，确保每一步计算准确． 【规范解答】（1）解：略； （2）解：略； （3）解：原式， ， ， ， 所以，正确的运算结果是；建议：计算有理数加减法时要细心，要将减法转化为加法，确保每一步计算准确． 13．（25-26七年级上·山东德州·期中）某班在一次考试中抽查了10名同学的数学成绩，以80分为基准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：，，，，，，，，0，； (1)这10名同学的数学成绩中最高分是多少？最低分是多少？ (2)10名同学中，数学成绩低于80分的占的百分比是多少？ (3)10名同学数学成绩的总分和平均分各是多少？ 【答案】(1)最高分是分，最低分是分 (2)数学成绩低于80分的占的百分比是 (3)总分是分，平均分是分 【思路引导】（1）利用80加上记录数字中的最大数可得最高分；利用80加上记录数字中的最小数可得最低分； （2）利用负数的个数除以抽查的学生总人数即可； （3）将记录数字相加，再计算10名同学的基准总分数可得总分，再除以人数可得平均分． 【规范解答】（1）解：由题意得：最高分是（分）， 最低分是（分）， 答：这10名同学的数学成绩中最高分是分，最低分是分． （2）解：在记录的结果中，负数共有5个， ∴10名同学中，数学成绩低于80分的人数为5人， ∴， 答：数学成绩低于80分的占的百分比是． （3）解：总分是 （分）， 平均分是（分）， 答：10名同学数学成绩的总分是分，平均分是分． 14．（26-27七年级上·上海·开学考试）介休103路内环公交车从起点站（火车站）开出，下面是它经过几个停靠站时上下车人数的记录表．（上车人数记为正） 车站名 火车站北 定阳饭店 政务中心 介休三中 介纺社区 北坛公园东 上车人数 ﹢6 0 下车人数 ﹣ 0 (1)从火车站北到北坛公园东站，途中无人上车的站是__________，无人下车的站是__________． (2)这辆公交车从介休三中站开出时，车上有（    ）名乘客，从北坛公园东站开出时，车上有（   ）名乘客． (3)介休103路所有乘客统一票价为1元，那么这趟公交车从北坛公园东站开出时，已经收入多少钱？ 【答案】(1)介休三中；政务中心． (2)15；13 (3)28元 【思路引导】（1）正数与负数表示意义相反的两种量，规定上车人数记为正，则和它意义相反的下车人数就为负，无人上车和下车记为0； （2）用火车站北、定阳饭店、政务中心、介休三中的上车人数，减去下车的人数即可知道这辆公交车从介休三中站开出时，车上的乘客人数；同理计算出从北坛公园东站开出时，车上的乘客人数； （3）计算出从火车站北到北坛公园东站所有的上车总人数，再乘1（票价为1元），即可求出收入总钱数． 【规范解答】（1）解：从火车站北到北坛公园东站，途中无人上车的站是介休三中，无人下车的站是政务中心． （2）解：（人）； （人）； 这辆公交车从介休三中站开出时，车上有15名乘客，从北坛公园东站开出时，车上有13名乘客． （3）解： （元）． 答：已经收入28元． 15．（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式                ．                           解法二：原式的倒数为 ． 所以，原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_____错误． (2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算：． 【答案】(1)一 (2) 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算及倒数的性质． （1）根据除法没有分配律来判断解法的正误； （2）先求出原式的倒数，再根据倒数的性质求出原式的结果． 【规范解答】（1）解：解法一：根据除法的运算法则，除法没有分配律，即， 在解法一中，将错误地运用了分配律，得到，所以解法一错误； 解法二：先求出原式的倒数，再根据倒数的性质求出原式的结果，计算过程正确． 故答案为：一． （2）解：原式的倒数为 ． 所以，原式． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版数学七年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题四有理数的运算 【思维导图+十大考点讲练+优选题训练共45题〔原卷版)】 目录 【压轴考向一有理数的加减运算】 【压轴考点01】有理数的加减混合运算★★★ .2 二【压轴考02】有理数加减中的筒便运约★★★ .4 出 【压轴考点03】有理数加减混合运算的应用★★★A .5 。 【压轴考点04】省略加法和括号的形式★★★ 【压轴考向二有理教的乘除运算与加减乘除混合运算】 ,【压轴考点05】有理数乘除混合运算★★★ 8 ”【压轴考点06】有理数乘除中的简便运算★★★★ ..9 【压轴考点07】有理数四则混合运算★★★★ .11 出 【压轴考点08】有理数四则混合运算的实际应用★★★ 12 【压轴考点09】根据点在数轴的位置判断式子的正负★★★★ 13 【压轴考点10】数轴上的翻折★★★★ 14 【压轴题专项列练优选题15题思维拓展练习】 .16 第1页共19页 【专题复习思维导图指引】 2.1有理数的加法与减法 2.2有理数的乘法与除法 核心思翅 1,有理数的加法法则 在有理数范围内，运算的 1.有理数的乘法法则 乘法交换律 ①同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于 例：计算 结果仍然是有理数，运算律与 ①两数相乘，同号得正，异号得负。 ②绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的 5+(-3)=2 运算法则相互结合，可化繁为 且积的绝对值等于乘数绝对值的积。 (abjc=a(be)乘法结合律 加数的符号，且和的绝对值等于较大地对值减去较 3+(-3)=0 简，解决实际问题， ②任何数与0相乘，都得0 a(b+e)=b+ac乘法分配律 绝对值的差 (-2)+3=1 ③几个不为0的数相乘，负因数的个数 ③一个数与0相加，仍得这个数。 是偶数时。积为正：是奇数时，积为负 2.有理数的减法法则 2.有理数的除法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 ①除以一个不等于0的数.。等于乘这个数的倒数 例：计算 例：3-(-5)=3+5=8 挑战压轴题专题四 a-b=a+(-b) a+b=a×5(b*0) (-20)÷(+5)=- 3-(+5)=3+(-5)=- 有理数的运算 (-12)+(-3)=4 ②两个有理数相除（除数不为0），商是一个有理数 3.有理数加减混合运算 ③0除以任何一个不等于0的数，都得0 (1)加减混合运算可以统一为加法运算： (2)有理数加减法运算律仍然适用。 例：计算3-(-3)+6-5 3.有理数乘除混合运算 例：计算 =3+3+6-5=7 a+b-c=a+b+(-c) 运算常用技巧（压轴题考点）】 先乘除，后加减：同级运算，从左到右进行 (-1253)+(-5 ★符号处理是关健：先确定符号，再计算绝对值 有理数运算律仍然适用。 25号÷(-5) 灵活运用运算 交换律 结合律分配律可简化运额 =-52 心挑雄压轴题考点 ★整体思想：把复杂式子看作一个整体，先求整体再求部分 ★逆向思维：除法转化为兼法，减法转化为加法。 ★分类讨论：注意0负，分数的特殊情况 1,复杂加减运算 ★检验结果：用估算。代入等方法检验答案是否合理 目实际应用举例 2。乘除湿合运算技巧：先柴除后加减。合理运用运算律。 有理数运算律与法则总结 1,温度变化问题 计算气温差：最高气温一最低气温 公式或法则 考法：分致。小数，雪分数参与的温合运算。 名称 加法交换礼 ath=bta 2收支盈亏问题 总盈余=收入一支出 3实际应用间题 正确列式 法 加法结合 (atb)+c=a+(b+c +司 3.质量差问题 超出质量=实际质量一标准质量 =ba 规律探索与指广技巧：从特酰到一粮。归纳总结凝律。 法 4.位置与距离问题距离=较大数一较小数（绝对值） 考法：数字空化规律，远幕提律，位置美系问题 +ac 除法法测 a+b=a×空(b0) 解题步骤：审题一列式一选择运算法则一计算 性质 0任何数得0：0除以任何不为0的数得0 一检验一答题 A易错点提醒 ×锥误1：减去一个数，直楼改变符号。 ×错误2符号判断错误。 ×错误3：远算顺序错议 ×错观4：忽略D的特裤性， ×错误5：结果未化简。 正确：a一b=a十(-b) 提示：先确定符号，再计草绝对值 正确：先莱除，后加减 提示：0不能作除数。 提示：注意分数、小数的化简 【压轴考向一有理数的加减运算】 【压轴考点01】有理数的加减混合运算★★★ 【典例精讲】(25-26七年级上·重庆铜梁·阶段检测)计算： (1)(-3)+(-4)-(+11)-(-19) ②)(-3)-（-5)+(-4)-(+4) 第2页共19页 【对应练习1】(2025七年级上·全国·专题练习)计算： (1)-7-(-10)+(-8)+1-2: 2)(-1)4-(-3)×(-)+(-6)÷2 2)[6-(层+-1)×24÷（22+2) 【对应练习2】(25-26七年级上·河南南阳·期中)阅读以下内容，完成下列题目. 小明说：“我定义了一种新的运算，叫米（加乘）运算.” 小明写出了一些按照※（加乘）运算法则进行运算的式子： (+2)(+4)=+6:(-3)※(-4)=+7：(-2)※(+3)=-5：(+5)(-6)=-11：0(+9)=+9：(-7)0=+ (1)归纳：类比有理数运算法则，归纳出※（加乘）运算的运算法则，请你把下面内容补充完整： 两数进行※（加乘)运算时，同号得一一一一，异号得一一一一，并把绝对值一一一一；特别是0和任何 数进行※（加乘）运算时都等于 (2)计算：一50※-3)】（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)拓展：若(4-2b)※(a-1)=0,直接写出a+b的值. 第3页共19页 。【压轴考点2】有理数加减中的筒便运算女女★ 【典例精讲】(25-26七年级上·贵州铜仁·期中)阅读下面的材料，并解答问题. 计算：(-5)+(9)+17+(-3) 解：因为-5=(-5)+()，-9号=(-9)+()，17=17+子①， 所以原式=【(-5)+()】+[(-9)+(】+(17+)+[【(-3)+() =-5)+(列+17+(3+[《)+()++（凯 =0+(1) =-1号 (1)上述材料中，序号①的内容为 (②)利用上述材料的方法计算：（-2025)+2026号-2024号+1 【对应练习1】(25-26七年级上·陕西延安·期中)阅读下面的文字，并回答问题： 对(-7分)+3进行计算，我们可以用下面的方法：(-7分)+3号=(-刀+()+3+=(-49+号=-3经这 种方法称为分离带分数法 请你运用上面的方法，计算： (1)（-19)-（-7) (②)2024号+(-2025)-2026号+4048号 第4页共19页 【对应练习2】(25-26七年级上·全国·单元复习)计算： (1)-26+43-24+13-46: (2(-5)+(-9)+17+(3) ②)-3+(-1)×（-4) ④(-62÷(++) (⑤)(-19)×(-8)： (6)(47.65)×2号+(-37.15)×(-2)+10.5×(-7) 【压轴考点03】有理数加减混合运算的应用★★★★ 【典例精讲】佳佳和琪琪用扑克牌做数学游戏，如图，两人手中各有四张扑克牌，并且都不知道对方手中 的牌 游戏规则是：将方块“◆”记为正分，如“5”记为+5分，将梅花“品”记为负分，如“2”记为-2 分：两人各自同时从对方手中任意抽取一张牌，与手中剩余的牌计算总分，得分高的人获胜. ”到 ◆◆到 曾曾 佳佳 6◆ 品品 ◆ ”到 ◆◆ 号到 琪琪 第5页共19页 (1)若佳佳从琪琪手中抽到“◆6”，同时琪琪从佳佳手中抽到“5”，分别计算此时佳佳和琪琪手中牌 的总分，并判断谁获胜； (2)若两人互相任意抽取一张牌后，佳佳手中牌的总分最高可能是多少？ (3)在两人互相任意抽取一张牌后，直接写出佳佳手中牌的总分与琪琪手中牌的总分具有什么特征. 【对应练习1】(25-26七年级上·广东广州·期末)如图是一种转盘型密码锁，共有40个小格.每次 开锁时需要先把表示“0”的刻度与固定盘上的标记线对齐，再顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘6 次.规定：逆时针旋转记为“+”，顺时针旋转记为“一”，例如“-5”表示顺时针旋转5小格，此时标记 线对准的数为35. 标记线 ±旋转盘 (1)若开锁密码为“+15，一20，+10，-8，+6，-12”（需旋转6次），请描述第一次的旋转过程，并求 锁打开时标记线对准的刻度线所表示的数： (2)若转盘逆时针旋转1小格损耗a单位零件寿命，顺时针旋转1小格损耗1.2a单位零件寿命，请计算第(1) 问打开锁的过程中零件寿命总损耗. 第6页共19页 【对应练习2】(25-26七年级上·北京·期末)纸箱中放有若干个小球，小明和小聪玩一个取球游戏， 游戏规则如下：游戏初始两人手中各有10个小球，每一回合通过猜拳方式决定胜负（无平局），胜者从纸 箱中取出1个小球，负者从手中拿1个小球放回纸箱.如果出现连胜情况，每回合胜者取球个数增加1个， 负者放回小球的个数保持不变.例如，在小明的3连胜中，他第一回合从纸箱中取出1个小球，第二回合 取出2个小球，第三回合取出3个小球，小聪每回合从手中拿1个小球放回纸箱.若两人一共进行10回合 的游戏，其中小明出现一次2连胜，小聪出现一次2连胜和一次3连胜，此外，两人均未出现其他连胜情 况，则在游戏结束时小聪手中小球数比小明手中小球数多一一个。 ，【压轴考点04】省略加法和括号的形式★★★ 【典例精讲】(1)把下列各式写成省略加号的和的形式，并写出它们的两种读法： (+3.7)-(-2.1)-1.8+（-2.6) (2)【我计算】请计算：(+2)+(-3) 【我排序】明明在做完上题之后，对“计算(+2)+(-3)”的思考过程进行了以下梳理. ①确定和的绝对值：3-2=1： ②确定和的符号：计算出加数+2和-3的绝对值，分别是2和3，通过比较它们的绝对值发现，加数-3的绝 对值较大，写出和的符号为“-”； ③写出计算结果； ④决定应用有理数加法法则中“异号的两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去 较小的绝对值”： ⑤判断出是两个有理数相加的问题： ⑥观察两个加数的符号，发现是异号两数相加， 明明同学不小心把顺序写乱了，请你仔细阅读他的思考过程，写出正确的顺序为（只写出对应的顺序号即 可)： 【我会算】请计算：-0.25÷() 第7页共19页 【对应练习1】(+8)+(+3)+(-2)一(-6)写成省略加号的和的形式为 【对应练习2】为计算简便，把(-1.4)-（-3.7）-(+0.5)+(+2.4)+(-3.5)写成省略加号的和的形式， 并按要求交换加数的位置正确的是( A.-1.4+2.4+3.7-0.5-3.5 B.-1.4+2.4+3.7+0.5-3.5 C.-1.4+2.4-3.7-0.5-3.5 D.-1.4+2.4-3.7-0.5+3.5 【压轴考向二有理数的乘除运算与加减乘除混合运算】 S 【压轴考点05】有理数乘除混合运算★★★ 【典例精讲】(26-27七年级·全国·小升初衔接)用简便方法计算： 1)(-9)×319-(-8)×（-318)-(-16)×31号 (2)292×(-12): 24 3)3.29-(-2.75)+(（-)+6.71: ④(-3.5)÷×() 【对应练习1】(25-26七年级上·全国·阶段检测)计算： (1)12-(-18)+(-7)-15: ②)(G后-4)×48： 第8页共19页 (2)(-3)×6÷(-2)×2 4)-52÷13-(1)×（-) 【对应练习2】(25-26七年级上·江苏盐城·期中)近年来，我国的新能源汽车越来越受消费者青睐， 小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程，以50km为标准，多于50km的 记为“+”，不足50km的记为“_”，刚好50km的记为“0”（如下表） 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 里程(km) -12 +33 -14 +24 +31 -16 +4 (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走 km; (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)己知这辆新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电为0.6元，请计算小明家新能源汽车这7天 的行驶用了多少元钱电费？ 【压轴考点06】有理数乘除中的简便运算★★★★ 【典例精讲】(25-26七年级上·江苏苏州·期中)计算 (1)1999199×1-18297 19991 41999 2)(2.8+1+1)÷(任+号+) 第9页共19页 3)+(6+到)+(++)+…+(0++…+) 5 25 (4)1x2x3+2x3x4+3xx5+…+12x13x14 【对应练习1】(25-26七年级上·甘肃临夏·期中)数学老师布置了一道思考题： “计算：（)-（任-），小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为( )-(司)=(G-)×(-12)=-4+10=6,所以()-（任）=请你运用小明的方法计算：（动）÷ (+号品) 【对应练习2】(25-26七年级上·重庆·期中)计算： (1)-7.46--2.54-(-2.5) (2)(-24-)×(-32) 第10页共19页 2)-99号÷1号 (④-12028÷×(-)+(-2)3+32| 【压轴考点07】有理数四则混合运算★★★★ 【典例精讲】(26-27七年级上·河南新乡·开学考试)沛沛做一道计算题的解题过程如下： 计算：12×好2÷（目引 解：原式=3-2÷+2÷ 3 ① =3-2X5+2X3… …② =3-10+6… ③ ④ (1)沛沛从第 步开始出现错误； (2)请你写出正确完整的解题过程； 【对应练习1】（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测)简便运算： (1)(-3.2)+12.5+(-16.8)-(-2.5). ②)（虎-4+）-(-)： (3)-1.25×(-5)×3×(-8). 第11页共19页 【对应练习2】计算. (1)(-3)+(-4)-(-11)-(-9) (2)-1.71-|-5.71+1-61 3)12×(到-（-15)×1号 (④4×()-（到-() 。【压轴考点8】有理数四则混合运算的实际应用★★★ 【典例精讲】(26-27七年级上·江苏宿迁·开学考试)学校篮球队要买50个篮球，张老师去了甲、乙、 丙三家专卖店，单价都是75元，但促销方式各不相同.甲专卖店：买十送二；乙专卖店：打八折：丙专卖 店：每满100元返现金20元.如果只在一家专卖店买，张老师选择哪家专卖店买最省钱？ 【对应练习1】(25-26七年级上·河南郑州·期中)某家商店购入一批苹果，在运输过程中花去100元 运费，后来决定将这些苹果的价格降到原定价的70%卖出，这样所得的总利润就只有原计划的子己知这 批苹果的进价是每千克6元4角，原计划可获得利润2700元.这批苹果一共有多少千克？ 第12页共19页 【对应练习2】(25-26七年级上·河北廊坊·阶段检测)如图，已知点A,B,C从左到右依次在数轴上， 所表示的数分别为x,-10,200,现将一把最小刻度为1cm的刻度尺放到数轴上，测得点A与点B的距离 为5cm. A B x-10 200 023456789101121B451617 (1)若数轴的1个单位长度为1cm. ①x的值为一一；点A与点C的距离为一一个单位长度： ②求点A,B,C所表示的数的和： (2)若数轴的1个单位长度不是1cm,且刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的-14，一10. ①求x的值： ②点D在数轴上，且点A与点C的距离是点A与点D的距离的5倍，求点D所表示的数： ③若刻度尺的最大刻度为20cm,将数轴的单位长度变为原来的后，用刻度尺能一次性测量出数轴上点B 与点C的距离，直接写出k的最小整数值， 【压轴考点09】根据点在数轴的位置判断式子的正负★★★★ 【典例精讲】(25-26七年级上·广东东莞·期中)有理数a,b在数轴上的位置如图所示，则下列各式一 定成立的个数有( ①a-b>0:②lbl>a:③ab<0;④>1. b 0 a A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 第13页共19页 【对应练习1】(25-26七年级上·广东广州·期末)点A、B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分 别是a和b,对于以下结论： ①3-al=3-a:②la+bl=a+b:③a<lbl:④2>0.其中正确的是( → A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 【对应练习2】(25-26七年级上·重庆南川·期中)如图，点A,B,C在数轴上表示的数分别为a,b,c,则 下列结论中正确的个数有() ￡A0 B c a 0 ①abc>0:②lc>ll>lal:®a+b-2c>0:④g+=-1: ⑤若P是数轴上任一点，表示的数是x,且|x-a+lx-b+x-cl的最小值为17，则2a-bl+2la-c= 34 A.1个 B.2个 C.3 D.4个 S 【压轴考点10】数轴上的翻折★★★★ 【典例精讲】如图，A、B两点在数轴上，A表示的数为-10，B表示的数为14. A B -10 0 14 (1)A、B两点间的距离是 (2)若把点A先向右移动15个单位，再向左移动12个单位，然后又向左移动1.5个单位，此时点A表示的数 是一； (3)如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A和点B之间的距离是1，则C点表示的数是_ 第14页共19页 【对应练习1】(25-26七年级上·广东汕头·期末)操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）· 为4321012345→ 左右折叠纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点” 操作一： (1)左右折叠纸面，使2表示的点与-2表示的点重合，则-7表示的点与__表示的点重合： 操作二： (2)左右折叠纸面，使-1表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①对折中心点所表示的数为_一，对折后6表示的点与数表示的点重合： ②若数轴上A,B两点之间距离为12(A在B的左侧)，且A,B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是 多少？ 【对应练习2】(25-26七年级上·安徽阜阳·期中)数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上 的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础.一般地，点A,B在数轴上 分别表示数a,b,那么A,B之间的距离可表示为a-b 图1 图2 (1)如图1，在数轴上，点A,B,C分别对应有理数-1,1,4，则A,B之间的距离为一，B,C之间的距 离为一； (2)如图2，P为数轴上一动点，点P表示的有理数为p,现以P为折点，将图1的数轴向右对折.已知点P在 点A的右侧，与点B,C的相对位置不固定，且对折后点A,B的对应点分别为点A',B. ①若对折后点A与点C重合，求此时的值； ②若对折后A,B,C三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请求出此时的值， 第15页共19页 【压轴题专项训练优选题15题思维拓展练习】 1.(24-25七年级上·江苏南京·阶段检测)与绝对值等于的数的和等于( A.-月 B.1 C.-1 0.-域1 2.(26-27六年级上·上海·开学考试)停车场对小汽车的收费标准是这样的：半小时内（含半小时）免 费，半小时以上，每过1小时收费8元，不足1小时按1小时算.一辆小汽车付停车费24元，那么它的停 车时间段可能是( A.8:15-12:00 B.12:30-14:30 C.11:25-14:45 D.9:55-12:20 3.(25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中)已知ab是有理数，下列说法错误的是( A.若|a=b,则a=b B.若|a-bl=|a+|bl且ab均是非零数，则ab<0 C.若la-bl=b-a,则a≤b D.若数轴上a,b在原点的两侧，则9+合=0 4.(25-26八年级下·重庆长寿·期末)在一组互不相等的正整数a1,a2,a3,,an中任意提取m(1<m≤n) 个数，若这m个数的和与积相加正好等于这n个数的和，则称这样的提取为完美提取，例如：在1,2,3， 4,5中，因为1+2+3+4+5=15，(1+2+4)+1×2×4=15，所以提取1,2,4这三个数就是完 美提取（提取的数字相同，排序不同，属于同一种提取）.若要在1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这十 个数中实现完美提取，下列说法正确的个数是( ①6,7是这十个数中的一种完美提取： ②1,2,4,5是这十个数中的一种完美提取： ③这十个数的完美提取一共有4种. A.0 B.1 c.2 D.3 5.(25-26七年级上·天津河东·期末)己知a,b是有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列结论：① 6a+)<0:②b<-a:@+高-日=1：④若la-l=6,c是有理数，且满足b-d小=2，则a-d小- 8.其中正确的是（) a 0b A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ 第16页共19页 6.(25-26七年级下·辽宁盘锦·期末)通过“白昼时长规律的探究”一课的学习，小青学到了很多知识.① 白昼时长=（正午时刻-日出时刻）×2；②北京天安门广场上国旗升旗时刻每天都有变化，最早是4：45， 最晚是7：36；③同经度不同纬度不同地区二十四节气中，夏至日白昼时长最长，冬至日白昼时长最短；④ 同纬度不同经度地区二十四节气日同一天的白昼时长几乎完全相同，经度不影响白昼时长；⑤经度影响日 出、日落的时刻，越向东日出、日落时刻越早.你认为正确的有 (填序号即可) 7.(25-26七年级下·重庆·自主招生)公元2025年11月25日，长征二号F运载火箭在酒泉卫星发射中 心完成中国载人航天工程首次应急发射，为纪念其在航天的伟大进步，我们在小数2.0251128加两个循环 点，能得到最小循环小数，则这两个循环点的数字之和是 8.(25-26七年级上·福建泉州·开学考试)在体育课上，六（1)班男生进行一分钟仰卧起坐测试，李老 师以做45个为优秀的标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示.其中第一小队8名男生的成 绩记录如下：一2,4，-1,0,3，-3,6,1.该小队男生的平均成绩是( )个，优秀率为( )% 9.若有理数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中： b -5-4-3-2-1012345 ①b<4②-a>b③a+b<0④lal<lbl ⑤-ab<0 其中正确的说法有一（填序号）· 10.(25-26七年级上·河南郑州·阶段检测)有一条正方形赛车赛道ABCD,周长为4000米.两辆无人驾 驶赛车正在做练习测试.甲赛车从B出发，乙赛车从A出发，同时出发顺时针匀速行驶.甲每秒钟行驶100 米，乙每秒钟行驶88米.至少经过 秒钟后，两辆车在同一条边上行驶.（注：若出现两者恰 好都在顶角上的情况，不符合要求.) 甲 11.(26-27七年级上·浙江杭州·开学考试)计算（能简便的就简便计算）： (1)(-44)+71+(-27): (2)-7--9引-(-11)-23： 第17页共19页 (3)(+1125)+(+4纷+(-2)+(-3)：(4-1+-+片-引+居-+…+品-引 12.(26-27七年级上·河南新乡·开学考试)下面是小华同学计算(-5.5)-（-2)+(+3.75)-(+)的过 程，请仔细阅读并完成相应的任务 解：原式=（-5)+24+3- 第一步 =（-5)-+(24+3到 第二步 =-5+6 第三步 =1 第四步 任务： (1)计算过程中，为了简便，小华同学在进行第二步计算时，运用了加法的」 律和 律 (2)她从第 步开始出现错误。 (3)请你直接写出正确的运算结果，并就有理数的加减运算给出一条建议， 13.(25-26七年级上·山东德州·期中)某班在一次考试中抽查了10名同学的数学成绩，以80分为基准， 超出的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：+8，-3，+12，-7，-10，-4，-8，+1,0，+10： (1)这10名同学的数学成绩中最高分是多少？最低分是多少？ (2)10名同学中，数学成绩低于80分的占的百分比是多少？ (3)10名同学数学成绩的总分和平均分各是多少？ 第18页共19页 14.(26-27七年级上·上海·开学考试)介休103路内环公交车从起点站（火车站）开出，下面是它经过 几个停靠站时上下车人数的记录表.（上车人数记为正） 车站名 火车站北 定阳饭店 政务中心 介休三中 介纺社区 北坛公园东 上车人数 +9 +7 +6 0 +5 +1 下车人数 -3 0 -4 -3 -5 (1)从火车站北到北坛公园东站，途中无人上车的站是 无人下车的站是 (2)这辆公交车从介休三中站开出时，车上有( )名乘客，从北坛公园东站开出时，车上有( 名乘客 (3)介休103路所有乘客统一票价为1元，那么这趟公交车从北坛公园东站开出时，已经收入多少钱？ 15.(25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测)阅读下列材料，计算：4÷(G-+) 解法一：保式=年计好品 =4×3-4×4+×12 岩 解法二：原式的倒数为(-+)÷ -×24-×24+×24 1 =4. 所以，原式=寻 (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法错误. ②请你根据对上述材料的理解。使用上述正确的方法计算：一立÷(G+名4一》】 第19页共19页nullnull