第2章 有理数的运算 讲义-2026-2027学年人教版数学七年级上册

本初中数学讲义系统梳理有理数运算核心知识点，涵盖加减乘除法则、运算律、倒数、乘方、混合运算及科学记数法，构建从基本运算（如加法“先符号后绝对值”）到综合应用（如混合运算顺序）的递进式学习支架。 资料亮点为分层作业设计，基础闯关巩固运算能力（如科学记数法表示、数轴对应题），思维闯关通过规律探究（等式规律）和新定义运算培养推理意识与创新意识。课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，提升数学语言表达与问题解决能力。

第2章有理数的运算知识梳理与分层作业-2026-2027学年数学七年级上册人教版（新教材） 知识梳理 有理数的加法 （1）有理数加法法则： ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． （在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．） （2）相关运算律 交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）． 有理数的减法 （1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b） （2）方法指引： ①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）； 【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 有理数的加减混合运算 （1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． （2）方法指引： ①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化． 倒数 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 有理数的除法 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 基础闯关 1．中国设计并制造的“神威·太湖之光”是世界上首台峰值运算速度超过每秒十亿亿次的超级计算机，其核心是完全由中国自主研发的块高性能处理器，用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．下列运算结果为负数的是（   ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（   ） A．绝对值最小的正整数是 B．相反数与它本身相等的数是 C．倒数与它本身相等的数有，， D．一定不是正数 4．如图，将刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是)，刻度尺上和分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上对应数轴上的数为（  ） A． B． C． D． 5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 6．用四舍五入法对下列各数取近似值，其中结果错误的是（    ） A．（精确到个位） B．（精确到十分位） C．（精确到0.01） D．（精确到百位） 7．有理数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．我们常用的十进制，如，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1，如：二进制中，相当于十进制中的7，又如：，相当于十进制中的27，那么十进制中的26相当于二进制中的（    ） A．10011 B．11001 C．11010 D．11101 9．近似数精确到_____________位． 10．北京冬季某一天中午的气温为零上2摄氏度，记作，当天下午下大雪，气温骤然下降了7摄氏度，此时的气温记作______． 11．计算：_____． 12．2025年9月“湘超”如同一记力道千钧的“世界波”以不可阻挡之势嵌入湖南的“时代叙事”．“湘超”赛季中，永州队完成了一场“草根逆袭”的生动故事．据统计，在永州队和常德队之间进行冠亚军争夺赛时，决赛现场观众共有人，网络直播实时在线观看人数最高达到人，数据用科学记数法表示为_________． 13．若，，且，则_____． 14．观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果为___________． 15．计算 (1)； (2)； 16．2023年9月23日至10月8日，杭州成功举办第19届亚运会．在前期准备中，各个部门不断调试，某检修小组驾车从地出发，在东西方向的公路上检修线路．如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，某一天中行驶记录如下（单位：千米）：，，，，，． (1)检修小组最终停在距地多远的地方？ (2)若汽车每千米耗油升，当天从出发到收工回到地共耗油多少升？若油价为元/升，该检修小组这一天的油费是多少？ 17．已知：非零有理数，互为倒数，，互为相反数，，是最大的负整数，求代数式的值． 思维闯关 18．观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)运用你发现的规律求的值． 19．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法⋯ (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是______； (2)【迁移】将十进制数“2298”转化为八进制数； (3)【应用】在古代，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 20．【新定义】有理数的“加乘”运算，记作 有理数“加乘”法则 同号两数“加乘”，取相同的符号，并把绝对值相乘． 异号两数相“加乘”，绝对值相等时结果为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相乘． 一个数同0“加乘”，仍得0． 例如：；；；． 【观察入微】 （1）_____；_____； （2）计算：； 【见微知著】 （3）若，求的值； （4）若整数满足，求、的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第2章有理数的运算知识梳理与分层作业-2026-2027学年数学七年级上册人教版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B B D A C D C 1．B 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的定义“把一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法”进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 2．B 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，有理数乘方运算，相反数定义，根据绝对值、乘方、相反数的相关运算法则，分别计算各选项的结果，再判断结果是否为负数即可． 【详解】解：A．，结果为正数，故A不符合题意； B．，结果为负数，故B符合题意； C．，结果为正数，故C不符合题意； D．，结果为正数，故D不符合题意． 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了绝对值、相反数、倒数的定义，根据绝对值、相反数、倒数的定义，对每个选项逐一分析判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵正整数是大于的整数，不是正整数，绝对值最小的正整数是， ∴该选项错误，不符合题意； 、∵只有的相反数是它本身，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数， ∴该选项正确，符合题意； 、∵没有倒数，倒数与本身相等的数是和， ∴该选项错误，不符合题意； 、∵当为负数时，是正数，例如时，， ∴该选项错误，不符合题意； 故选：． 4．D 【分析】本题考查数轴上的点与刻度尺的位置对应关系，关键是找出刻度尺刻度与数轴上数的数量关系． 【详解】解：∵刻度尺上对应数轴上的3，对应数轴上的0，数轴的单位长度是， ∴刻度尺上的刻度值与数轴上对应的数的和为3， ∴刻度尺上对应数轴上的数为； 故选：D． 5．A 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则与积的乘方逆运算，将高次幂拆分为同指数幂，进行凑整计算是解题关键． 先把拆成，再把和合并为，最后算出结果． 【详解】解：原式 ， ． 故选：． 6．C 【分析】本题考查近似数的四舍五入取法，关键是明确精确到某一位时，需观察该位的下一位数字，小于5则舍去，大于等于5则向该位进1，据此判断各选项的正误． 【详解】解：A选项中，304.25精确到个位，十分位数字2，，舍去，∴，正确． B选项中，1.804精确到十分位，百分位数0，，舍去，∴，正确． C选项中，0.0158精确到0.01（百分位），千分位数字5，需向百分位进位，百分位1进1变为2，∴，而选项中结果为0.016，错误． D选项中，1205精确到百位，看十位数字0，，舍去，∴，正确． 故选C． 7．D 【分析】本题考查了数轴，有理数的加法，乘法，先根据数轴得出a，b的范围，再逐个判断即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，，． 故选：D． 8．C 【分析】本题考查有理数的乘方，理解二进制数的表示方法是解题关键，需将十进制数26拆分为2的幂次和的形式，再转化为二进制数． 【详解】解： ∵，， ∴ ∴十进制中的26相当于二进制中的11010， 故选：C． 9．千 【分析】本题主要考查了近似数的精确度，熟知相关知识点是正确解答此题的关键． 科学记数法的精确度由a的最后一位数字所在数位决定，的最后一位0位于百分位，乘以后精确度为，因此精确到千位． 【详解】解：近似数的有效数字为1.60，最后一位数字0表示精确到百分位，即，乘以后精确度为，故精确到千位． 故答案为千． 10． 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的减法．根据正负数的意义，有理数的减法计算即可． 【详解】解：根据题意，此时气温记作． 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、乘法分配律的应用以及分数的通分与计算，熟练掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键．先利用乘法分配律展开计算，或先计算括号内的加减运算，再与括号外的数相乘，最后根据有理数乘法法则得出结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，关键是掌握科学记数法的形式为(其中，为整数)，确定和的值是核心步骤：需满足，的绝对值等于把原数化为时小数点移动的位数，原数绝对值大于1时，为正数． 【详解】解：将表示为的形式，取，原数转化为时，小数点向左移动了6位，故， 因此用科学记数法表示为； 故答案为：． 13． 【分析】本题考查绝对值的性质、有理数的乘方及有理数的加法运算，关键是根据确定与的符号必须相同．先依据绝对值和有理数乘方的定义求出、的所有可能取值，再利用“同号得正”的符号法则筛选出符合的、组合，最后分别计算对应情况下的值． 【详解】解：， 或； ， 或； ， 与同号， 当时，，则； 当时，，则； 故答案为：． 14． 【分析】此题考查了有理数的加减运算． 根据前三个图形得到规律：左上角与右下角的两数之和减去右上角与左下角的两数之和，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 则． 故答案为：． 15．(1) (2) 【分析】根据有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 16．(1)检修小组最终停在距地2千米的地方 (2)当天从出发到收工回到地共耗油升，该检修小组这一天的油费是元 【分析】（1）根据正数和负数的实际意义，将各数相加并计算即可； （2）先将行驶记录的各数绝对值相加，再加上（1）中求得的回到地的路程求得总路程，然后将其与相乘并计算求得耗油量，最后把它与8相乘求得油费即可． 【详解】（1）解： （千米）， 答：检修小组最终停在距地2千米的地方. （2）解： （千米）， （千米）， （升）， （元）， 答：当天从出发到收工回到地共耗油6.3升，该检修小组这一天的油费是50.4元； 17．2 【分析】本题考查了代数式求值、含乘方的有理数混合运算、倒数等知识点，熟练掌握各定义和运算法则是解题关键．先根据倒数、相反数、最大负整数的定义得出对应结果，再根据有理数的乘方得，然后，代入含乘方的有理数的混合运算即可． 【详解】解：∵非零有理数，互为倒数，，互为相反数， ∴，． ∵， ∴或， ∴． ∵是最大的负整数， ∴， ∴原式． 18．(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得第5个等式：； （2）解： ． 19．(1)22； (2)； (3)孩子已经出生的天数为42天． 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列式计算，使结果为2298即可； （3）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解： ， 即将二进制数“10110”转化为十进制数是22， 故答案为：22； （2）解： ， 将十进制数“2298”转化为八进制数为； （3）解： （天）， 即孩子已经出生的天数为42天． 20．（1）0，；（2）；（3）；（4）或， 【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）根据定义的运算法则计算各式即可； （2）根据定义的运算法则计算即可； （3）根据定义的运算法则列得算式并整理，然后将原式变形后代入数值计算即可； （4）根据定义的运算法则列得算式并整理，然后确定a，b的值即可． 【详解】解：（1），， 故答案为：0；； （2） ． （3）， ， ． （4）整数、满足， 当与同号时， ，， ，， ，． 当与异号时， ，， ， ，， ，． 综上，或，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $