专题三 相反数与绝对值【（挑战压轴题）导图知识卡片+九大考点讲练+优选题训练 共42题】-2026-2027学年人教版数学七年级上册典型题培优系列

本讲义聚焦初中数学七年级上册“相反数与绝对值”核心知识点，系统梳理相反数的定义、多重符号化简及应用，绝对值的几何意义、求法、非负性及应用，有理数大小比较及实际应用等九大考点，构建从基础概念到综合应用的递进式学习支架。 资料以思维导图统领知识体系，结合典例精讲与分层练习，通过数轴问题、实际生活情境题（如巡护车辆耗油、促销方案比较）培养学生抽象能力、运算能力与模型意识。课中辅助教师突破教学难点，课后助力学生巩固提升，查漏补缺，提升压轴题解题能力。

null 2026-2027学年人教版数学七年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题三 相反数与绝对值 【思维导图+九大考点讲练+优选题训练 共42题〔原卷版〕】 目 录 【压轴考点01】相反数的定义 2 【压轴考点02】化简多重符号 3 【压轴考点03】相反数的应用 5 【压轴考点04】绝对值的几何意义 6 【压轴考点05】求一个数的绝对值 8 【压轴考点06】绝对值非负性 10 【压轴考点07】绝对值的其他应用 11 【压轴考点08】有理数大小比较 12 【压轴考点09】有理数大小比较的实际应用 14 16 【压轴考点01】相反数的定义 【典例精讲】（26-27七年级·上海·暑假作业）该数轴的原点为，向右为正方向．若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 【对应练习1】（26-27七年级·浙江·暑假作业）在数轴上，表示有理数a，b的点如图所示． (1)在数轴上标出表示的点． (2)把a，b，0，这五个数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接． 【对应练习2】（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）把正整数1，2，3，4…按如图1所示的方式排列，从上到下分别称为第1行，第2行，…，用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A，B，C，D，设． (1)在图1中，2025排在第________行第________列； (2)的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； (3)将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变．此时的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由． 【压轴考点02】化简多重符号 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）按要求完成下列各题。 (1)化简下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥． (2)若前面有2026个负号，则化简后的结果是多少？若前面有2025个负号，则化简后的结果是多少？你能总结出什么规律？ 【对应练习1】（25-26七年级上·湖南邵阳·阶段检测）计算 (1) (2) (3)； (4)． 【对应练习2】（25-26七年级上·山东日照·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是 ． (2)在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为 ． (3)在数轴上表示下列各数，并用“<”号把这些数按从小到大连接起来． 2.5，，，，， (4)请将下列十个数填在相应的位置：2.5，，，，，，0，，，11． 【压轴考点03】相反数的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·福建泉州·期中）关于x的代数式，当x取任意一组相反数a与时，若代数式的值相等，则称之为“偶代数式”；若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代数式”，例如代数式是“偶代数式”，是“奇代数式”． (1)以下代数式中，是“偶代数式”的有_______，是“奇代数式”的有_______；（将正确选项的序号填写在横线上．①；②；③ (2)某个奇代数式，当x取2时，代数式的值为3，问：当x取时，代数式的值为多少？ (3)对于整式，当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和是_______． 【对应练习1】（25-26七年级上·云南昭通·期中）如图，在数轴上，点与点表示的数互为相反数，点和点分别在点的两侧，且这两个点到点的距离相等，点，和互不重合． (1)若点表示的数为，求点表示的数； (2)若点表示的数为，点表示的数为6，求点到点的距离； (3)若点表示的数为，点表示的数为5．当的值改变时，点到点的距离是否会发生改变?若不变，求出点到点的距离，若改变，请说明理由． 【对应练习2】若互为相反数，互为倒数，并且的立方等于它本身． (1)若，且，，试求 的值． (2)若，试讨论：为有理数时，是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【压轴考点04】绝对值的几何意义 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）某地加强高铁沿线环境整治，进行巡回检查维护．境内高铁线路呈东西走向，全长近．某天，巡护车辆从护路联防站出发，按向东为正方向行驶，当天的行驶记录如下（单位：km）：．如果车辆行驶每千米的耗油量为0.08L，问：当天巡护车辆耗油多少升？ 【对应练习1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图1，数轴上点A为，点B为13，点P是数轴上的一个动点． (1)若点P到A的距离为a，点P到B的距离为b．①当时，求点P所表示的数．②当时，求点P所表示的数． (2)如图2，数轴上动点Q在动点P右侧，并且始终与动点P保持1个单位长度的距离，A，B，P，Q四个点中，记其中两个点的距离为x，剩余两个点的距离为y，当P，Q在点A、B之间运动时，若，求点P所表示的数． 【对应练习2】（25-26七年级上·四川巴中·期末）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 【压轴考点05】求一个数的绝对值 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）某种食品包装袋上标注质量为，对6袋该种食品的实际质量进行检测，检测结果如下（用正号表示超过标注质量，用负号表示低于标注质量）： ， 哪袋食品的实际质量更接近标注质量？为什么？ 【对应练习1】（25-26六年级上·上海·期中）如图： (1)点A表示的数的相反数是___________，点B表示的数的绝对值是___________． (2)在数轴上标出数，所对应的点C，点D； (3)C，D两点之间的距离是___________； (4)与点C距离个单位长度的点表示的数是___________． 【对应练习2】（25-26七年级上·河南安阳·期中）阅读材料，解决下列问题：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．结合数轴与绝对值的知识可知：在数轴上点，分别表示数，，则，两点之间的距离． 已知点，在数轴上，是线段上一点，多项式的次数为，项数为，当时，此多项式的值为． (1)_____，______，______； (2)如图1，数轴上的点，，表示的数分别是，，，则______； (3)在（2）的条件下，如图2，点在线段上，点在线段上，若点，分别从，出发以，（一个单位长度表示）的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示． ①当点，运动了时，求的值． ②设点，的运动时间为．当时，求的值． 【压轴考点06】绝对值非负性 【典例精讲】（25-26七年级上·河北沧州·期中）如图，数轴上的点，分别表示有理数，，且，．    (1)求，的值； (2)，两点相距多少个单位长度？ (3)若点在数轴上，且点到点的距离是点到点的距离的，求点表示的数； (4)点从点出发，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，，依次操作次后，求点表示的数． 【对应练习1】（25-26七年级上·甘肃定西·阶段检测）已知a是最大的负整数，b、c满足，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数． (1)点A表示的数为_____，点B表示的数为_____，点C表示的数为______． (2)若动点P以每秒3个单位长度从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q以每秒1个单位长度同时从点B出发沿数轴负方向运动．设运动时间为t秒时，点P，点Q之间的距离为3，求点P、C两点之间的距离． 【对应练习2】（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）如图，点A，B是数轴上的两点，点A对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足 (1)____，____； (2)点P从A出发以每秒2个单位向右运动，运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)C，D为数轴上两个动点（点C在点D的左侧），它们的运动方向相同，速度相同，且，若为定值的时长为3秒，为定值的时长为8秒，求点C的速度． 【压轴考点07】绝对值的其他应用 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·期末）某仓库一周进出货物的吨数记录如下（“+”表示进库，“-”表示出库）：． (1)经过这一周，仓库里的货物是增多了还是减少了？增多或减少了多少吨？ (2)如果进出货物的装卸费都是每吨10元，那么这一周要付多少元装卸费？ 【对应练习1】（25-26七年级上·河南·期末）数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若代数式的最小值是3，则 ______． 【对应练习2】（2025七年级上·全国·专题练习）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 【压轴考点08】有理数大小比较 【典例精讲】（25-26七年级上·四川泸州·期中）泸县二中学校附近某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格（元） 售出斤数 20 35 10 30 5 15 50 (1)这一周超市售出的百香果单价最高的是星期_____； (2)超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式： 方式一：购买不超过5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打8折； 方式二：每斤售价10元． ①顾客买a斤百香果，则按照方式一购买需要多少元？按照方式二购买需要多少元？（请用含a的代数式表示）． ②于老师决定买40斤百香果，通过计算说明用哪种方式购买更省钱． 【对应练习1】（25-26七年级上·江苏镇江·期中）若，，且，则________． 【对应练习2】（25-26七年级上·北京·期中）对于数轴上的点和线段，给出如下定义：若点与线段上点的距离等于线段的长，则称点是线段的“强关联点”． （1）点表示的数分别是，2． ①在，0，4中，线段的“强关联点”所表示的数有______； ②线段的“强关联点”所表示的数最大为______，最小为______； （2）线段的长为． ①线段的“强关联点”所表示的数中，最大数与最小数的差为______； ②线段的长为，若存在点，使得点既是线段的“强关联点”，也是线段的“强关联点”．将线段的“强关联点”所表示的数中的最大数与线段的“强关联点”所表示的数中的最小数的差记为，则的最大值为______（用含的式子表示）． 【压轴考点09】有理数大小比较的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·期末）某超市新购草莓的进价为20元．为合理定价，前五天试行调价，以28元为标准售价，超出与不足的部分分别用正、负数表示．售价与销量记录如下表： 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 售价与标准售价的差/(元) 销量 10 40 20 30 65 (1)这五天中，该超市第 天售出的草莓价格最高，为 元． (2)该超市这五天售出此种草莓共获利多少元? (3)超市最终将草莓的售价定为30元，同时为了避免草莓腐烂，推出以下两种促销方式： 方式一：当购买草莓不超过时，无优惠;当超过时，超出部分按售价的八折销售． 方式二：按售价的九折销售． 当购买多少千克草莓时，两种方式所花钱数相同? 【对应练习1】（24-25七年级上·河南安阳·期中）重庆文德中学为适应新的中考要求，决定添置一批体育器材，学校准备在网上订购一批某品牌铅球和跳绳，在查阅天猫网店后发现铅球每个定价160元，跳绳每条定价30元．现有、两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．网店：买一个铅球送一条跳绳，网店：铅球和跳绳都按定价的付款，已知要购买跳绳60条，铅球个． (1)若在网店购买，需付款__________元（用含的代数式表示）；若在网店购买需付款__________元（用含的代数式表示） (2)当时，通过计算说明此时在哪一家网店购买较为合算？ 【对应练习2】（24-25七年级上·福建福州·期末）枇杷是福清市一都镇传统特产，具有皮薄，汁多，味清甜，吃后沁心润喉，是老少皆宜的美味佳品．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：某批发市场计划准备从福清市一都镇运输一批枇杷到甲地出售，为保证枇杷新鲜需用带冷柜的货车运输或空运．货车运输的平均速度为80千米/时，飞机的平均速度为800千米/时， 方案一：从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地； 方案二：从福清市一都镇先用带冷柜的货车运输到机场用时1小时后用飞机空运到甲地； 方案二比方案一少用11小时，且路程少160千米． 材料二：已知有一批枇杷用带冷柜的货车每辆运8吨，则刚好运完，若每辆运7吨，则还剩2吨枇杷没有装上车． 材料三：在材料一与材料二的条件下，运这批枇杷从福清市一都镇到甲地 陆运单价 冷柜车 空运单价 7000元/吨 400元/（小时·辆） 10000元/吨 注意：如选方案二空运，则陆运时间段只收冷柜使用费，且在飞行途中不收冷柜使用费． 参考公式：冷柜使用费冷柜使用单价使用时间车辆数目；总费用路费冷柜使用费． 请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成3个任务： (1)请求出从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地的时间； (2)这批枇杷共有_______吨． (3)本次从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地，冷柜车一次运8吨，应选用那种方案使得总费用较少？ 1.数轴上点P表示的数为，则与点P关于原点对称的点表示的数是（    ） A．2028 B． C． D． 2．（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）如图所示的是一个正方体的展开图，折成正方体后，，与其相对面上的数字互为相反数，则的值为（   ） A．9 B． C． D．6 3．（26-27七年级·浙江·暑假作业）若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）已知，则，，三者大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·四川达州·阶段检测）下列结论：①若 ，那么一定是 2；②两个数比较大小，绝对值大的反而小；③，则或；④若互为相反数，则，正确的说法的个数是（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 6．（25-26七年级上·山东德州·期中）已知a，b为有理数，，，且，将a，，b，从小到大排列，用“”连接：___________ 7．（22-23七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，图中数轴的单位长度为1．若点表示数的绝对值恰是点表示数的绝对值的3倍，那么图中点所表示的数是______． 8．有下列各数：0.01，10，，，0，，，，，其中属于非负整数的共有______个． 9．（25-26七年级上·北京·期中）已知a，b为有理数，下列说法： ①若a，b互为相反数，则； ②若，则； ③若，且，则； ④若，，则； ⑤若，则． 其中正确的有_______（请填序号）． 10．（25-26六年级上·上海·期末）的最小值为______． 11．（26-27七年级上·河南新乡·开学考试）阅读：表示4与1的差的绝对值，也可以理解为4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与的差的绝对值，也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)_________，_________； (2)利用数轴找出所有符合条件的整数，使得； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数，使得． 12．（24-25七年级上·山西大同·阶段检测）在1.2有理数（2）中，一只蚂蚁从数轴的原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C． (1)在数轴上点A所表示的数的相反数是多少？是哪一个点？ (2)如果蚂蚁从点C出发要爬到点D，且点D和点B所表示的两数互为相反数，那么它应该往哪个方向爬几个单位长度？ (3)如果蚂蚁从点C出发要爬到点E，且点E到原点的距离为5个单位长度，那么它应该怎样爬到点E？ 13．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，数轴上每个刻度为个单位长度． (1)请指出点、点所表示的数分别为 、 ． (2)在数轴上有一点，它与点的距离为 个单位长度，那么点表示的数为 ； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，，． 14．（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，数轴上点，对应的数分别为，． (1)填空： ①用“”“”或“”表示：________0；________0； ②把，，，按照从小到大的顺序用“”连接起来是________． (2)已知，，若点为数轴上一点，且，求点表示的数． 15．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）根据数学研究对象本质属性的共同点和差异点，将事物分类，然后对划分的每一类进行研究的方法叫做“分类讨论”方法． (1)比较下列各式的大小（用“”、“”、“”连接） ① ；② ； ③ ；④ ． (2)、为有理数，通过比较、分析，归纳与的大小关系为 ． （用“”、“”、“”、“”、“”连接） (3)根据（2）中得出的结论，当时，x的取值范围是 ；整数，，，满足，，则 ． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null 2026-2027学年人教版数学七年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题三 相反数与绝对值 【思维导图+九大考点讲练+优选题训练 共42题〔解析版〕】 目 录 【压轴考点01】相反数的定义 2 【压轴考点02】化简多重符号 4 【压轴考点03】相反数的应用 8 【压轴考点04】绝对值的几何意义 12 【压轴考点05】求一个数的绝对值 16 【压轴考点06】绝对值非负性 20 【压轴考点07】绝对值的其他应用 24 【压轴考点08】有理数大小比较 26 【压轴考点09】有理数大小比较的实际应用 30 33 【压轴考点01】相反数的定义 【典例精讲】（26-27七年级·上海·暑假作业）该数轴的原点为，向右为正方向．若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 【答案】6 【思路引导】先求出点A、C在直尺上的距离，再根据点、C表示的数互为相反数，得到点O是线段的中点，进而可解答． 【规范解答】解：∵直尺上点对应刻度2，点C对应刻度10， ∴点A、C在直尺上的距离为， ∵点、C表示的数互为相反数， ∴原点是线段的中点，即到原点的距离为， 又∵数轴向右为正方向， ∴原点对应直尺上的刻度为． 【对应练习1】（26-27七年级·浙江·暑假作业）在数轴上，表示有理数a，b的点如图所示． (1)在数轴上标出表示的点． (2)把a，b，0，这五个数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接． 【答案】(1)如图所示： (2) 【规范解答】（1）解：略 （2）解：由数轴知． 【对应练习2】（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）把正整数1，2，3，4…按如图1所示的方式排列，从上到下分别称为第1行，第2行，…，用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A，B，C，D，设． (1)在图1中，2025排在第________行第________列； (2)的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； (3)将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变．此时的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)254，1 (2)的值为定值，这个定值为0 (3) 不是定值．理由： 当x是奇数时， ； 当x是偶数时， . 【思路引导】本题考查规律型问题，需要用代数式表示出一般规律，并能构建等式通过解简易方程求值，解题的关键是理解题意，探究规律、利用规律解决问题，探究复杂问题中的等量关系． （1）由题意知8个数为一行，每一行的第一个数是行数，后面的数依次加1，由此规律可判断2025所在的位置； （2）根据图表，用含有x的代数式分别表示A、B、C、D，即可得出结论； （3）分A表示的数为奇数或偶数两种情况进行讨论即可求解． 【规范解答】（1）解：， 故2025在第254行，第1列； 故答案为：254，1； （2）解：是定值． 由题知， ， ∴的值为定值，这个定值为0． （3）略 【压轴考点02】化简多重符号 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）按要求完成下列各题。 (1)化简下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥． (2)若前面有2026个负号，则化简后的结果是多少？若前面有2025个负号，则化简后的结果是多少？你能总结出什么规律？ 【答案】(1)①2；②；③；④3.5；⑤5；⑥． (2)当前面有2026个负号时，化简后的结果是5．当前面有2025个负号时，化简后的结果是5． 总结规律：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数，有偶数个负号时，化简后的结果等于它本身． 【思路引导】（1）根据多重符号化简规则，数负号个数，偶数个负号结果为原数，奇数个负号结果为原数相反数； （2）用奇偶判断多负号化简结果，归纳通用规律． 【规范解答】（1）解：①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥ （2）解：当前面有2026个负号时，化简后的结果是5．当前面有2025个负号时，化简后的结果是5． 总结规律略 【对应练习1】（25-26七年级上·湖南邵阳·阶段检测）计算 (1) (2) (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2) (3) (4)1 【思路引导】（1）先写成省略加号的和式，再将同号的先相加即可； （2）先化去多重符号、求出绝对值，再计算加减； （3）先将除法转化为乘法，再用分配律计算； （4）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减． 【规范解答】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【考点剖析】本题考查了化简多重符号，有理数的加减混合运算，有理数四则混合运算，含乘方的有理数混合运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 【对应练习2】（25-26七年级上·山东日照·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是 ． (2)在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为 ． (3)在数轴上表示下列各数，并用“<”号把这些数按从小到大连接起来． 2.5，，，，， (4)请将下列十个数填在相应的位置：2.5，，，，，，0，，，11． 【答案】(1) 如图所示， (2)点C表示的数为2或6 (3) 如图所示， ； (4) 填图如下， 【思路引导】本题主要考查数轴上的点表示有理数，两点之间的距离，有理数的分类，掌握以上知识是关键． （1）根据数轴特点求解即可； （2）根据两点之间距离的计算求解即可； （3）把点表示在数轴上即可； （4）根据题意，结合有理数的分类求解即可． 【规范解答】（1）解：∵点A表示的数是， ∴点A右边第三个点为原点， ∴点B所表示的数是4； （2）解：点B所表示的数是4，点C与点B的距离为2个单位长度， ∴或， 故点C表示的数为2或6； （3）解：略． （4）解：略． 【压轴考点03】相反数的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·福建泉州·期中）关于x的代数式，当x取任意一组相反数a与时，若代数式的值相等，则称之为“偶代数式”；若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代数式”，例如代数式是“偶代数式”，是“奇代数式”． (1)以下代数式中，是“偶代数式”的有_______，是“奇代数式”的有_______；（将正确选项的序号填写在横线上．①；②；③ (2)某个奇代数式，当x取2时，代数式的值为3，问：当x取时，代数式的值为多少？ (3)对于整式，当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和是_______． 【答案】(1)①③；②； (2) (3) 【思路引导】此题主要考查代数式求值，涉及新定义，解题的关键是理解“偶代数式”、 “奇代数式”的定义并运用． （1）根据定义即可判定； （2）根据“偶代数式”和“奇代数式”的定义即可得到答案； （3）先证明是“奇代数式”，则当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，它们的和为0，再证明是“偶代数式”，则当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，它们的和是，即可得到对于，当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴“偶代数式”有①③，“奇代数式”有② 故答案为：①③；②； （2）∵当x取任意一组相反数a与时，若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代数式”， ∴某个奇代数式，当x取2时，代数式的值为3，当x取时，代数式的值为； （3）∵ ∴是“奇代数式”， ∴x分别取，，，，0，1，2，3，4时，它们的和为0， ∵， ∴是“偶代数式” ∴x分别取，，，，0，1，2，3，4时，九个整式的值之和是， ∴对于，当x分别取，，，，0，1，2，3，4时，这九个整式的值之和是， 故答案为：． 【对应练习1】（25-26七年级上·云南昭通·期中）如图，在数轴上，点与点表示的数互为相反数，点和点分别在点的两侧，且这两个点到点的距离相等，点，和互不重合． (1)若点表示的数为，求点表示的数； (2)若点表示的数为，点表示的数为6，求点到点的距离； (3)若点表示的数为，点表示的数为5．当的值改变时，点到点的距离是否会发生改变?若不变，求出点到点的距离，若改变，请说明理由． 【答案】(1)表示的数为2 (2)12 (3)点到点的距离不会发生改变，恒为10 【思路引导】本题考查数轴上两点间的距离，解题的关键是掌握数轴上两点间的距离的计算方法． （1）根据点与点表示的数互为相反数求解即可； （2）先根据点与点表示的数互为相反数求出点表示的数，再根据点和点分别在点的两侧，且这两个点到点的距离相等，求出点表示的数，即可求解； （3）先求出点、表示的数，再将点到点的距离表示出来即可． 【规范解答】（1）解：因为点表示的数为，点与点表示的数互为相反数， 所以点表示的数为2． （2）解：由题知，点与点表示的数互为相反数，点表示的数为， 所以点表示的数为1． 因为点表示的数为6，所以点到点的距离为． 因为点和分别在点的两侧，且这两个点到点的距离相等， 所以点到点的距离为5． 因为点在点的右边， 所以点表示的数为． 所以点到点的距离为． （3）解：点到点的距离不会发生改变，理由如下： 因为点表示的数为，由题意可得，点表示的数为． 当点在点的右侧时，如图， 点到点的距离，所以点表示的数为． 所以点到点的距离为． 当点在点的左侧时，如图， 点到点的距离，所以点表示的数为． 所以点到点的距离为． 综上所述，点到点的距离不会发生改变，恒为10． 【对应练习2】若互为相反数，互为倒数，并且的立方等于它本身． (1)若，且，，试求 的值． (2)若，试讨论：为有理数时，是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在最大值，2 【思路引导】本题主要考查同学们对相反数，绝对值，倒数等考点的理解以及分类讨论思想的应用.熟知相关知识点是正确解答此题的关键． (1)首先根据题意得出绝对值里面的数的正负性，然后进行去绝对值计算求出的值，从而得出的值，最后将所求的式子进行化简得出答案； (2)首先根据题意得出，当时，分别根据，和三种情况分别将绝对值进行化简得出答案，从而求出最值；根据同样的方法得出时的最值，从而得出答案． 【规范解答】（1）解： ，互为相反数， ， ，， 的立方等于它本身，且， ，， ， ， ； （2）解：若，此时， ①若，则， 当时，， 当时， 当时。 当为有理数时，存在最大值为2； ②若，同理可得，当为有理数时，存在最大值为2， 综上所述，当，为有理数时，存在最大值为2． 【压轴考点04】绝对值的几何意义 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）某地加强高铁沿线环境整治，进行巡回检查维护．境内高铁线路呈东西走向，全长近．某天，巡护车辆从护路联防站出发，按向东为正方向行驶，当天的行驶记录如下（单位：km）：．如果车辆行驶每千米的耗油量为0.08L，问：当天巡护车辆耗油多少升？ 【答案】当天巡护车辆耗油升． 【思路引导】车辆行驶的总路程决定了耗油量，而不仅仅是最终的位移．因此，需要将所有行驶记录的绝对值相加得到总行驶距离，再乘以单位油耗． 【规范解答】解：将每个行驶记录的绝对值相加： 总耗油量总路程单位油耗：． 【对应练习1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图1，数轴上点A为，点B为13，点P是数轴上的一个动点． (1)若点P到A的距离为a，点P到B的距离为b．①当时，求点P所表示的数．②当时，求点P所表示的数． (2)如图2，数轴上动点Q在动点P右侧，并且始终与动点P保持1个单位长度的距离，A，B，P，Q四个点中，记其中两个点的距离为x，剩余两个点的距离为y，当P，Q在点A、B之间运动时，若，求点P所表示的数． 【答案】(1)①4；②或1； (2)点P所表示的数为或或或 【思路引导】（1）①根据可得到点P是的中点，据此求出的值，从而求出点P所表示的数； ②分两种情况讨论：若P在点A左侧，则；若P在之间时，利用结合求出的值，从而求出点P所表示的数； （2）根据点P、Q与A、B的位置关系进行讨论：分别表示出所有两点距离、，利用进行求解即可． 【规范解答】（1）解：①， 当时，点P是的中点， ， 点P所表示的数：； ②当时，分两种情况讨论： 若P在点A左侧，则， 点P所表示的数：； 若P在之间，， 点P所表示的数：， 点P所表示的数为或1； （2）解：分情况讨论： ①如图，设、， ， ， ， 点P所表示的数为：； ②如图，设、， ， ， ， 点P所表示的数为：； ③如图，设、， ， ， ， 点P所表示的数为：； ④如图，设、， ， ， ， 点P所表示的数为：； 综上所述，点P所表示的数为或或或． 【对应练习2】（25-26七年级上·四川巴中·期末）【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 （1）①数轴上表示数的点与表示数3的点的距离为______； ②若，则______； 【深入探究】 （2）求的最小值．以下是小明的解答过程： 解：记点P，A，B分别表示数x，，3，点P、点A的距离，点P、点B的距离． 当点P在点A的左边，即时，如图①，此时，． ∴，即． 当点P在线段上，即时，如图②，此时． 即， 当点P在点B的右边时，即时，如图③，此时，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子的最小值． 【解决问题】 （3）某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1，2，1，2，3，3．由于电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 【答案】（1）①5；②2或8；（2）5；（3）会议地点应设在第4或5层 【思路引导】本题主要考查有理数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）①直接利用A、B两点间的距离公式进行计算即可得到答案； ②根据绝对值几何意义解答即可； （2）根据绝对值几何意义分类讨论即可； （3）将所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和转化为绝对值的表示形式，再利用绝对值的几何意义解答即可． 【规范解答】解：（1）①由条件可知距离是． 故答案为：5． ②表示数轴上表示a的点到5的距离为3， ∴或， 解得：或， 故答案为：8或2． （2）记点P，A，B，C分别表示数x，，，2，点P、点A的距离，点P、点B的距离，点P、点C的距离． 当点P在点A的左边，即时，此时，，． ∴，即； 当点P与点A重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点B重合时，，即； 当点P在线段上，即时，此时，． ∴，即； 当点P与点C重合时，，即； 当点P在点C的右边时，即时，此时，，． ∴，即． ∴当时，有最小值，最小值为5． 故答案为：5． （3）设会议地点应设在第x层， 由题意可得所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和为， 可以拆分为，即x到这个数的距离和最小，这个数正中间的两个数为4和5， ∴当时，有最小， 又∵x为正整数， ∴当或时有最小． 故答案为：会议地点应设在第4或5层． 【压轴考点05】求一个数的绝对值 【典例精讲】（26-27七年级上·全国·课后作业）某种食品包装袋上标注质量为，对6袋该种食品的实际质量进行检测，检测结果如下（用正号表示超过标注质量，用负号表示低于标注质量）： ， 哪袋食品的实际质量更接近标注质量？为什么？ 【答案】 解：检测结果为的那袋食品实际质量更接近标注质量，理由如下： ，，，，，， ∵偏差的绝对值表示实际质量与标注质量的相差程度，绝对值越小，实际质量越接近标注质量， ， ∴最小， ∴检测结果为的那袋食品实际质量更接近标注质量． 【思路引导】偏差的绝对值表示实际质量与标注质量的相差程度，绝对值越小，实际质量越接近标注质量，据此求解即可． 【对应练习1】（25-26六年级上·上海·期中）如图： (1)点A表示的数的相反数是___________，点B表示的数的绝对值是___________． (2)在数轴上标出数，所对应的点C，点D； (3)C，D两点之间的距离是___________； (4)与点C距离个单位长度的点表示的数是___________． 【答案】(1)； (2)点C在数轴上2和3的正中间位置； 点D在和之间，将到的线段平均分为3份，从出发向正方向数1份的位置即为点D． (3) (4)和 【思路引导】（1）先根据数轴刻度确定点A、点B表示的数，再依据相反数、绝对值的定义分别计算对应结果． （2）根据数的正负和大小，确定2.5和在数轴上的位置，标出对应点C、D． （3）依据数轴上两点间距离公式，即两点所表示数的差的绝对值，计算C、D两点的距离． （4）与点C距离为个单位长度的点有两个，分别在点C的左侧和右侧，用点C表示的数分别加减即可得到对应数值． 【规范解答】（1）解：从数轴可知：点A表示的数是1， 根据相反数定义，1的相反数是； 点B表示的数是， 根据绝对值定义，负数的绝对值是它的相反数， ∴的绝对值是2． ∴点A表示的数的相反数是，点B表示的数的绝对值是2． （2）略． （3）解：数轴上两点距离等于两数差的绝对值：． （4）解：与点C（表示2.5）相距个单位的点有两个： 在C左侧时为； 在C右侧时为． ∴与点C距离个单位长度的点表示的数是和． 【对应练习2】（25-26七年级上·河南安阳·期中）阅读材料，解决下列问题：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．结合数轴与绝对值的知识可知：在数轴上点，分别表示数，，则，两点之间的距离． 已知点，在数轴上，是线段上一点，多项式的次数为，项数为，当时，此多项式的值为． (1)_____，______，______； (2)如图1，数轴上的点，，表示的数分别是，，，则______； (3)在（2）的条件下，如图2，点在线段上，点在线段上，若点，分别从，出发以，（一个单位长度表示）的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示． ①当点，运动了时，求的值． ②设点，的运动时间为．当时，求的值． 【答案】(1)3，3，6 (2) (3)①2；② 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值以及多项式，解题的关键是掌握多项式的定义，数轴上两点间的距离公式，找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用多项式的定义，可求出，的值，将代入原式，可求出的值； （2）结合（1），可得出点，，表示的数，利用数轴上两点间的距离公式，可求出，的长，再将其代入中，即可求出结论； （3）①找出运动时间为时，点，表示的数，利用数轴上两点间的距离公式，可求出，的长，再将其代入中，即可求出结论； ②当运动时间为秒时，点表示的数是，点表示的数是，利用数轴上两点间的距离公式，可用含的代数式表示出，，的长，结合，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【规范解答】（1）解：∵多项式的次数为，项数为， ∴，． 当时，， ． 故答案为：3，3，6． （2）根据题意得：点表示的数是， 点表示的数是， 点表示的数是， ，． ． 故答案为：． （3）①当点，运动了时， 点表示的数是， 点表示的数是， ，． ． ②当运动时间为秒时，点表示的数是，点表示的数是， ， ， ． ， ，解得． 当时， 的值为． 【压轴考点06】绝对值非负性 【典例精讲】（25-26七年级上·河北沧州·期中）如图，数轴上的点，分别表示有理数，，且，．    (1)求，的值； (2)，两点相距多少个单位长度？ (3)若点在数轴上，且点到点的距离是点到点的距离的，求点表示的数； (4)点从点出发，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，，依次操作次后，求点表示的数． 【答案】(1)，； (2)； (3)或； (4)． 【思路引导】本题主要考查绝对值和数轴及两点间的距离公式，根据题意分类讨论思想的运用是解题的关键． （）根据绝对值的定义结合由数轴得出的符号即可得； （）根据数轴上两点间的距离公式即可得； （）设点表示的数为，则，，根据题意得，然后求出的值即可； （）根据移动的方向和距离，列出算式进行计算即可． 【规范解答】（1）解：∵，，且由数轴可知，， ∴，； （2）解：， ∴，两点相距个单位长度； （3）解：设点表示的数为， ∴，， ∵点到点的距离是点到点的距离的， ∴， ∴或， 解得：或， ∴点表示的数为或； （4）解： ， 所以操作次后，点表示的数为． 【对应练习1】（25-26七年级上·甘肃定西·阶段检测）已知a是最大的负整数，b、c满足，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数． (1)点A表示的数为_____，点B表示的数为_____，点C表示的数为______． (2)若动点P以每秒3个单位长度从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q以每秒1个单位长度同时从点B出发沿数轴负方向运动．设运动时间为t秒时，点P，点Q之间的距离为3，求点P、C两点之间的距离． 【答案】(1)；3； (2)或 【思路引导】本题考查负整数，绝对值和平方的非负性，两点间的距离． （1）由最大负整数的定义求出a，根据绝对值和平方的非负性求出b，c，即可解答； （2）当运动t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据点P与点Q的距离为3得到，求解得到t的值，从而得到点P所表示的数，再根据两点间距离公式即可求解． 【规范解答】（1）解：∵a是最大的负整数， ∴． ∵，，且， ∴，， ∴，， ∴点A表示的数为，点B表示的数为3，点C表示的数为． 故答案为：；3；． （2）解：当运动t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵点P，点Q之间的距离为3， ∴， 解得或， 当时，点P表示的数， ∴点P、C两点之间的距离为； 当时，点P表示的数， ∴点P、C两点之间的距离为； 综上所述，点P、C两点之间的距离为或． 【对应练习2】（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）如图，点A，B是数轴上的两点，点A对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足 (1)____，____； (2)点P从A出发以每秒2个单位向右运动，运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)C，D为数轴上两个动点（点C在点D的左侧），它们的运动方向相同，速度相同，且，若为定值的时长为3秒，为定值的时长为8秒，求点C的速度． 【答案】(1)，4 (2)4.5或9 (3)每秒个单位 【思路引导】（1）根据非负数的性质即可求解； （2）由题意得，点P表示的数为，分别表示出、的长，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （3）利用两点间的距离求出，设，动点C，D运动的速度为，要使为定值，只有当时，才为定值，此时需要满足、分别在两侧，分析可得；要使为定值，只有当时，才为定值，此时、在之间，分析可得，联立方程即可求出的值，即可解答． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，4； （2）解：由题意得，点P表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得或， ∴t的值为4.5或9； （3）解：， C，D为数轴上两个动点（点在点的左侧），它们的运动方向相同，速度相同， 长为定值， 设，动点C，D运动的速度为， 如图，要使为定值，只有当时，才为定值，此时需要满足、分别在两侧， ， 令点从出发向右运动，直到运动到时，都为定值，此时点运动的距离为的长，即， 为定值的时长为3秒， ， 如图，要使为定值，只有当时，才为定值，此时、在之间， ， 令点从出发向右运动，直到运动到时，都为定值，此时点运动的距离为的长，即， 为定值的时长为8秒， ， 即， 解得， 点的速度为每秒个单位． 【考点剖析】本题考查了非负数的性质、数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用、线段的和与差，熟练掌握以上知识点并灵活运用，运用分类讨论的思想是解题的关键． 【压轴考点07】绝对值的其他应用 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·期末）某仓库一周进出货物的吨数记录如下（“+”表示进库，“-”表示出库）：． (1)经过这一周，仓库里的货物是增多了还是减少了？增多或减少了多少吨？ (2)如果进出货物的装卸费都是每吨10元，那么这一周要付多少元装卸费？ 【答案】(1)仓库的货物减少了，减少了32吨 (2)这一周要付1340元装卸费 【思路引导】此题考查了有理数的运算的应用，正负数的应用，理解题意是解题关键． （1）把记录的结果相加求和，根据结果的符号求解即可； （2）用这7天货物进出库的总吨数乘以每吨装卸费10元进行求解． 【规范解答】（1）解： 因此，仓库的货物减少了，减少了32吨； （2）解： ， （元）， 因此，这一周要付1340元装卸费． 【对应练习1】（25-26七年级上·河南·期末）数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若代数式的最小值是3，则 ______． 【答案】或1/1或 【思路引导】本题考查数轴、绝对值，理解绝对值的定义，掌握数轴上两点距离的计算方法是正确解答的关键；利用绝对值的几何意义，将代数式转化为数轴上两点之间的距离问题，通过距离最小值的条件建立方程求解． 【规范解答】解：代数式表示数轴上点x到点2和点的距离之和，其最小值等于点2与点之间的距离，即． 已知最小值为3，因此， 即或， 解得或． 故答案为或1． 【对应练习2】（2025七年级上·全国·专题练习）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 【答案】(1)5 (2)5 (3)到之间（包括，两点） 【思路引导】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的几何意义，解题的关键是采用数形结合的思想． （1）根据题意，直接列式计算即可； （2）根据的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和，即可得到答案； （3）当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小．当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小．依次类推，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：5． （2）解：∵的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和， 数轴如下， ∴当时，式子取得最小值，最小值为． （3）解：当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小． 当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小． 那么由题意可知，2014户居民，，，，，中， 点P选在到之间（包括，两点），才能使这2014户居民到点P的距离总和最小． 故答案为：到之间（包括，两点）． 【压轴考点08】有理数大小比较 【典例精讲】（25-26七年级上·四川泸州·期中）泸县二中学校附近某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格（元） 售出斤数 20 35 10 30 5 15 50 (1)这一周超市售出的百香果单价最高的是星期_____； (2)超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式： 方式一：购买不超过5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打8折； 方式二：每斤售价10元． ①顾客买a斤百香果，则按照方式一购买需要多少元？按照方式二购买需要多少元？（请用含a的代数式表示）． ②于老师决定买40斤百香果，通过计算说明用哪种方式购买更省钱． 【答案】(1)五 (2)①方式一：当时，费用为12a元；当时，费用为元．方式二：费用为元． ②用方式一购买更省钱． 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算及代数式的表示与求值，解题的关键是根据价格相对标准值确定单价，分情况表示促销方式的费用并计算比较． （1）计算每天的实际单价，比较得出单价最高的星期； （2）①分和两种情况表示方式一的费用，方式二直接按单价表示； ②代入计算两种方式的费用，比较大小． 【规范解答】（1）解：每天实际单价： 周一：（元），周二：（元），周三：（元）， 周四：（元），周五：（元），周六：（元）， 周日：（元）， 单价最高的是星期五， 故答案为：五． （2）①解：方式一 当时，费用为元； 当时，费用为元； 方式二：费用为元． ②解：当时， 方式一费用：（元）， 方式二费用：（元）， ∵， ∴用方式一购买更省钱． 答：用方式一购买更省钱． 【对应练习1】（25-26七年级上·江苏镇江·期中）若，，且，则________． 【答案】或 【思路引导】本题考查绝对值的性质、有理数的大小比较、有理数的加法．先由绝对值确定字母的可能值，再结合不等式筛选符合条件的组合，最后计算和．关键：通过筛选出b的有效取值，再匹配对应的a．易错点：忽略b的负取值验证，或误选不满足的组合． 根据绝对值的定义，a可能为2或，b可能为5或．结合条件（即），分析可能情况，排除不满足条件的组合，得到b必须为5，a可能为2或，从而计算的值． 【规范解答】解：由，得或；由，得或． 根据，即，逐一验证组合： 当时： ：，满足，此时； ：，满足，此时； 当时： ：，不满足； ：，不满足． 因此，的值为3或7． 故答案为：3或7． 【对应练习2】（25-26七年级上·北京·期中）对于数轴上的点和线段，给出如下定义：若点与线段上点的距离等于线段的长，则称点是线段的“强关联点”． （1）点表示的数分别是，2． ①在，0，4中，线段的“强关联点”所表示的数有______； ②线段的“强关联点”所表示的数最大为______，最小为______； （2）线段的长为． ①线段的“强关联点”所表示的数中，最大数与最小数的差为______； ②线段的长为，若存在点，使得点既是线段的“强关联点”，也是线段的“强关联点”．将线段的“强关联点”所表示的数中的最大数与线段的“强关联点”所表示的数中的最小数的差记为，则的最大值为______（用含的式子表示）． 【答案】 ，4 5 【思路引导】本题主要考查了有理数和数轴，两点之间的距离，有理数的加减运算，解题的关键是理解题意，并掌握数学结合的思想． （1）①假设线段上的点为，则，根据定义逐项进行判断即可； ②根据题意，列出算式求最值即可； （2）①根据定义，两个最值点的距离为线段长度的3倍； ②根据题意画出图形，借助数轴求出最值即可． 【规范解答】解：（1）①， 假设线段上的点为，则， 若， 解得，符合题意； 若， 解得或，均不符合题意； 若， 解得，符合题意； ∴线段的“强关联点”所表示的数有，4， 故答案为：，4； ②根据题意得， 线段的“强关联点”所表示的数最大为； 线段的“强关联点”所表示的数最小为； 故答案为：5，； （2）①根据题意得， 线段的“强关联点”所表示的数中，最大数与最小数的差为， 故答案为：； ②如图所示，当点为时，既是线段的“强关联点”，也是线段的“强关联点”， ∴的最大值为， 故答案为：． 【压轴考点09】有理数大小比较的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·期末）某超市新购草莓的进价为20元．为合理定价，前五天试行调价，以28元为标准售价，超出与不足的部分分别用正、负数表示．售价与销量记录如下表： 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 售价与标准售价的差/(元) 销量 10 40 20 30 65 (1)这五天中，该超市第 天售出的草莓价格最高，为 元． (2)该超市这五天售出此种草莓共获利多少元? (3)超市最终将草莓的售价定为30元，同时为了避免草莓腐烂，推出以下两种促销方式： 方式一：当购买草莓不超过时，无优惠;当超过时，超出部分按售价的八折销售． 方式二：按售价的九折销售． 当购买多少千克草莓时，两种方式所花钱数相同? 【答案】(1)一，31 (2)1250元 (3)6千克 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数的计算，正负数意义，找好标准“0”、找出列方程的等量关系是解题的关键． （1）通过看图表的每千克价格相对于标准价格，可直接得结论； （2）分别计算出每天的利润，然后相加即可； （3）设当购买千克草莓时，两种方式所花钱数相同，可分别表示出两种方式的花费，然后根据题意列出方程求解． 【规范解答】（1）解： ， 这五天中，该超市第一天售出的草莓价格最高，最高单价是：（元）． 第一天单价最高，最高价为31元； 故答案为：一，31； （2）解： （元）， 所以这五天超市出售此种草莓盈利1250元； （3）解：设当购买x千克草莓时，通过两种方式购买所花钱数一样， 由题意知，， 方式一：（元）， 方式二：（元）， ， 解得 当购买6千克草莓时，通过两种方式购买所花钱数一样． 【对应练习1】（24-25七年级上·河南安阳·期中）重庆文德中学为适应新的中考要求，决定添置一批体育器材，学校准备在网上订购一批某品牌铅球和跳绳，在查阅天猫网店后发现铅球每个定价160元，跳绳每条定价30元．现有、两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．网店：买一个铅球送一条跳绳，网店：铅球和跳绳都按定价的付款，已知要购买跳绳60条，铅球个． (1)若在网店购买，需付款__________元（用含的代数式表示）；若在网店购买需付款__________元（用含的代数式表示） (2)当时，通过计算说明此时在哪一家网店购买较为合算？ 【答案】(1)；． (2)在A网店购买较为合算 【思路引导】本题考查了列代数式及代数式求值，解题的关键是根据优惠方案列出对应的表达式． （1）A网店：买x个铅球,送了条跳绳，付款为元，化简得；B网店：铅球和跳绳都按定价90%付款，付款为元，化简得元． （2）将分别代入A、B网店的表达式，计算后比较大小． 【规范解答】（1）解： A网店：元， B网店： 元， 故答案为：；． （2）解：当时， A网店付款：（元）， B网店付款：（ 元）， 因为， 答：在A网店购买较为合算． 【对应练习2】（24-25七年级上·福建福州·期末）枇杷是福清市一都镇传统特产，具有皮薄，汁多，味清甜，吃后沁心润喉，是老少皆宜的美味佳品．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：某批发市场计划准备从福清市一都镇运输一批枇杷到甲地出售，为保证枇杷新鲜需用带冷柜的货车运输或空运．货车运输的平均速度为80千米/时，飞机的平均速度为800千米/时， 方案一：从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地； 方案二：从福清市一都镇先用带冷柜的货车运输到机场用时1小时后用飞机空运到甲地； 方案二比方案一少用11小时，且路程少160千米． 材料二：已知有一批枇杷用带冷柜的货车每辆运8吨，则刚好运完，若每辆运7吨，则还剩2吨枇杷没有装上车． 材料三：在材料一与材料二的条件下，运这批枇杷从福清市一都镇到甲地 陆运单价 冷柜车 空运单价 7000元/吨 400元/（小时·辆） 10000元/吨 注意：如选方案二空运，则陆运时间段只收冷柜使用费，且在飞行途中不收冷柜使用费． 参考公式：冷柜使用费冷柜使用单价使用时间车辆数目；总费用路费冷柜使用费． 请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成3个任务： (1)请求出从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地的时间； (2)这批枇杷共有_______吨． (3)本次从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地，冷柜车一次运8吨，应选用那种方案使得总费用较少？ 【答案】(1)小时 (2) (3)方案一 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的应用（行程问题，其他问题），有理数四则混合运算的实际应用，有理数大小比较的实际应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程和算式是解题的关键． （1）根据“方案二比方案一少用11小时，且路程少160千米”列方程求解即可； （2）根据“每辆运8吨，则刚好运完，若每辆运7吨，则还剩2吨枇杷没有装上车” 列方程求解即可； （3）先分别求出两种方案的总费用，再比较大小即可． 【规范解答】（1）解：设从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地的时间为小时，则用飞机空运到甲地的时间为小时， 由题意得： ， 解得：， 从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地的时间为小时； （2）解：设这批枇杷共有吨， 由题意得： ， 解得：， 故答案为：； （3）解：方案一： （元）， 方案二： （元）， ， 应选方案一， 答：应选用方案一使得总费用较少． 1．（2026·河南周口·二模）数轴上点P表示的数为，则与点P关于原点对称的点表示的数是（    ） A．2028 B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据关于原点对称的两点所表示的数互为相反数解答即可． 【规范解答】解：∵数轴上点P表示的数是， ∴点P关于原点对称的点表示的数是． 2．（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）如图所示的是一个正方体的展开图，折成正方体后，，与其相对面上的数字互为相反数，则的值为（   ） A．9 B． C． D．6 【答案】A 【思路引导】本题考查正方体相对两个面上的数字，相反数定义，代数式求值，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提． 根据正方体表面展开图的特征判断“相对”的面，再结合相反数定义求出相应的，的值，最后代入中计算，即可解题． 【规范解答】解：由正方体的展开图可知，相对面上的数字为，相对面上的数字为， 因为，与其相对面上的数字互为相反数， 所以， 所以； 故选：A． 3．（26-27七年级·浙江·暑假作业）若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【规范解答】解：如图所示， ∴ ． 4．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）已知，则，，三者大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据可判断出和的范围，进而即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∴． 5．（25-26七年级上·四川达州·阶段检测）下列结论：①若 ，那么一定是 2；②两个数比较大小，绝对值大的反而小；③，则或；④若互为相反数，则，正确的说法的个数是（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】A 【思路引导】本题考查了有理数大小比较，求一个数的绝对值，相反数的关系等，熟练掌握以上定义和性质是解题的关键． 利用有理数大小比较，求一个数的绝对值，相反数的关系等定义和性质，进行逐项判断即可． 【规范解答】解：①若 ，则，该选项错误，不符合题意； ②两个负数比较大小，绝对值大的反而小，该选项错误，不符合题意； ③由可知，若，则，此时； 若，则，此时，该选项正确，符合题意； ④当时，不成立，该选项错误，不符合题意； 故选：A． 6．（25-26七年级上·山东德州·期中）已知a，b为有理数，，，且，将a，，b，从小到大排列，用“”连接：___________ 【答案】 【思路引导】先区分四个数的正负，再根据绝对值比较同号数的大小，结合负数小于所有正数得到排序结果． 【规范解答】解：由题意得，，， 因此可得，， 比较两个负数：， 因此， 比较两个正数：， 因此， 综上所述，． 7．（22-23七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，图中数轴的单位长度为1．若点表示数的绝对值恰是点表示数的绝对值的3倍，那么图中点所表示的数是______． 【答案】5或2 【思路引导】利用数轴得出两点之间的距离，然后分两种情况进行讨论，即当原点位于点和点之间时和当原点位于点右侧时，最后根据线段的数量关系求出点的坐标． 【规范解答】解：由数轴得， ①当原点位于点和点之间时， ∵点表示数的绝对值恰是点表示数的绝对值的3倍， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵， ∴点所表示的数是； ②当原点位于点右侧时， ∵点表示数的绝对值恰是点表示数的绝对值的3倍， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵， ∴点所表示的数是； 综上，点所表示的数是5或2． 8．（21-22七年级上·浙江宁波·期中）有下列各数：0.01，10，，，0，，，，，其中属于非负整数的共有______个． 【答案】4 【思路引导】先根据有理数运算法则化简每个数，再根据非负整数的定义，即和正整数，找出符合条件的数，统计个数即可． 【规范解答】解：，，， 因此符合条件的数有：，，，，共个． 9．（25-26七年级上·北京·期中）已知a，b为有理数，下列说法： ①若a，b互为相反数，则； ②若，则； ③若，且，则； ④若，，则； ⑤若，则． 其中正确的有_______（请填序号）． 【答案】②③ 【思路引导】对于①，当时，分式无意义，即可判断答案； 对于②，化简得，根据绝对值的非负性即可判断答案； 对于③，分别判断a，b的符号即可； 对于④，先判断a，b的符号，得出，即可判断答案； 对于⑤，分四种情况讨论a，b的符号及a，b的大小，即可判断答案． 【规范解答】解：对于①，若a，b互为相反数，则，当时，，但b可能为0，此时分式无意义，故①错误； 对于②，由，得，根据绝对值的非负性，有，即，故②正确； 对于③，由知a，b异号，又且，则a为负，b为正，且，故③正确； 对于④，由知a，b同号，又，则a，b均为负，所以，故，故④错误； 对于⑤，由，分四种情况讨论， 当时，，，所以， 当时，，，所以， 当时，，，所以， 当时，，，所以， 综上说述，若，则，故⑤错误； 所以正确的有②③． 故答案为：②③． 【考点剖析】本题考查了相反数的定义，带有字母的绝对值化简，有理数的加减运算,有理数的乘法运算,用分类讨论的方法来接绝对值的问题是解本题的关键． 10．（25-26六年级上·上海·期末）的最小值为______． 【答案】 【思路引导】此题考查了绝对值的几何意义． 根据绝对值的几何意义，多个绝对值之和的最小值出现在中间的数值处．由于点从1到2026共2026个，是偶数，中间的数值为第1013个点和第1014个点的平均值，即． 【规范解答】解：设．当时，取得最小值． ． 故答案为． 11．（26-27七年级上·河南新乡·开学考试）阅读：表示4与1的差的绝对值，也可以理解为4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与的差的绝对值，也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)_________，_________； (2)利用数轴找出所有符合条件的整数，使得； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数，使得． 【答案】(1)5；7 (2)2或 (3)，，，，， 【思路引导】结合数轴，利用绝对值的几何含义求解各小问即可． 【规范解答】（1）解：，； （2）因为， 所以表示在数轴上表示数与的两点之间的距离等于5， 因此整数的值为2或； （3）因为， 所以表示在数轴上表示数的点分别与表示数，的两点之间的距离之和， 因此所有符合条件的整数的值为，，，，，． 12．（24-25七年级上·山西大同·阶段检测）在1.2有理数（2）中，一只蚂蚁从数轴的原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C． (1)在数轴上点A所表示的数的相反数是多少？是哪一个点？ (2)如果蚂蚁从点C出发要爬到点D，且点D和点B所表示的两数互为相反数，那么它应该往哪个方向爬几个单位长度？ (3)如果蚂蚁从点C出发要爬到点E，且点E到原点的距离为5个单位长度，那么它应该怎样爬到点E？ 【答案】(1)在数轴上点A所表示的数的相反数是，是点C (2)它应该往左爬2个单位长度 (3)当E在C的右侧时，C应该向右爬行9个单位，当E在C的左侧时，C应该向左爬行1个单位 【思路引导】（1）先根据运动方向和单位长度依次确定A、B、C三点所表示的数，再找出点A表示数的相反数对应的点即可； （2）由相反数定义确定点D表示的数，再比较点C与点D在数轴上的左右位置及距离，判断爬行方向与长度即可； （3）根据点E到原点距离为5个单位长度，分点E在原点左侧和右侧两种情况，分别确定点E表示的数，再计算其与点C的距离和相对位置，得出爬行方案． 【规范解答】（1）解：因为蚂蚁从数轴的原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A， 所以点A表示的数为， 从点A向右爬了2个单位长度到达点B，所以点B表示的数为， 又从点B向左爬了10个单位长度到达点C，所以点C表示的数为， 所以数轴上点A所表示的数的相反数是，即点C． （2）解：因为点D和点B所表示的两数互为相反数，所以点D表示的数为， 在左边，距离两个单位，所以蚂蚁从点C出发要爬到点D，它应该往左爬2个单位长度． （3）点E到原点的距离为5个单位长度，当E在原点的右侧时，点E表示的数为，在C的右侧，与点C距离为个单位，所以C应该向右爬行9个单位； 当E在原点的左侧时，点E表示的数为，在C的左侧，与点C距离为个单位，所以C应该向左爬行个单位； 13．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，数轴上每个刻度为个单位长度． (1)请指出点、点所表示的数分别为 、 ． (2)在数轴上有一点，它与点的距离为 个单位长度，那么点表示的数为 ； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，，． 【答案】(1)，； (2)或； (3)；． 【规范解答】（1）解：点、点所表示的数分别为，， （2）解：∵点C与点B的距离为3个单位长度，点B表示的数为， ∴点C表示的数为或， （3）解：图略， ，， ∴． 14．（25-26七年级上·广东广州·期末）如图，数轴上点，对应的数分别为，． (1)填空： ①用“”“”或“”表示：________0；________0； ②把，，，按照从小到大的顺序用“”连接起来是________． (2)已知，，若点为数轴上一点，且，求点表示的数． 【答案】(1)①，；② (2)表示数为8或 【思路引导】本题考查了用数轴表示有理数，用数轴比较有理数的大小等知识点． （1）①根据数轴可得，即可求解； ②将，表示在数轴上，即可利用数轴比较大小； （2）先求出点B表示的数，然后结合求解即可． 【规范解答】（1）解：①根据数轴知：， ∴，， 故答案为：，； ②把，在数轴上表示为： ， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴点表示的数为或． 15．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）根据数学研究对象本质属性的共同点和差异点，将事物分类，然后对划分的每一类进行研究的方法叫做“分类讨论”方法． (1)比较下列各式的大小（用“”、“”、“”连接） ① ；② ； ③ ；④ ． (2)、为有理数，通过比较、分析，归纳与的大小关系为 ． （用“”、“”、“”、“”、“”连接） (3)根据（2）中得出的结论，当时，x的取值范围是 ；整数，，，满足，，则 ． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) (3)；或． 【思路引导】本题考查了绝对值，有理数的大小比较，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据绝对值的定义和有理数的加法，将各式计算出结果，再进行比较即可； （2）根据（1）中的结果，总结得出结论即可； （3）根据题意，结合（2）的结论推出x与同号或等于0，进而得出结论；根据（2）的结论得出与异号，然后分两种情况化简绝对值求得的值，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：①∵， ∴； ②∵，， ∴； ③∵，，， ∴； ④∵，， ∴． 故答案为：①；②；③；④． （2）解：由（1）可得： 当a与b同号或a、b中至少有一个为0，则； 当a与b异号，则， ∴、为有理数时，． 故答案为：． （3）解：∵， ∴， ∴x与同号，或者， ∴． ∵，，， ∴与异号， 令，，则，，且与异号， ①当，时，， ∴， ∴， 解得或2； ②当，时，， ∴， ∴， 解得或； ∴或． 故答案为：；或． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版数学七年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题三相反数与绝对值 【思维导图+九大考点讲练+优选题训练共42题〔原卷版)】 目录 【压轴考向一相反数的定义、多重复号化简、应用】 【压轴考点01】相反数的定义★★★ …2 ②怎【压轴考点O2】化简多重符号★★女★ .3 二【压轴考点03】相反数的应用★★★女 ..5 【压轴考向二笔对值的几何意义、非负性与应用】 二【压拍考点4】绝对值的几何意义★★★★ 0.6 二【压轴考点5】求一个数的绝对恒★★★女 .8 二【压轴考点06】绝对值非负性★★★★ .10 【压轴考点07】绝对值的其他应用★★★..11 【压轴考向三有理数的大小比较】 【压轴考点08】有理数大小比较★★★★ ….12 【压轴考点09】有理数大小比较的实际应用★★★ ….14 【压轴题专项训练优选题15题思维拓展练习】 0.16 第1页共19页 【专题复习思维导图指引】 一、相反数 二、绝对值 1.定义 1.定义 只有符号不的两个数互为相反数， 在数轴上对应点与原点的距 0的相反数是0， ★檬用结论 叫作遮个数的绝对值，记作引 2,性质 与一夏为相反 2.性质 ①a与一a置为期反数 (a,a>0 ★几何意义 2若4、b互为相反数，则a+b=0: 互为相反数的离个数为 al={,a=0 |al表示数轴上数a的点 于相反数的相反数是它本身： 0着4，则a0若a■=a 【-a,a<0 与原点的距离。 -(-a)=a 若1a=0期=0 a<0 g=0 a>0 即lal-线段OA的长度 -d 0 (0为原点，A为数a的点) 它们表示的数是：和一a:与原点的距离 相反数的实际雅义 【口决】正数的绝对值是它本身 是号的点有两个，它们表示的数是三和一方 相反致表示章义相反的量， 负数的绝对值是它的相反数： 如：收入与支出。上升与下腾 0的绝对值是0， -a 向素与向西等， 3.绝对值的化简技巧 0 ①先刺断a的符号，再化简a: 挑战压轴题专题三 ②利用性质：1al≥0.且1a=0的a=0 含化镜会有绝对值的式子时 四、相反数与绝对值的关系 相反数与绝对值 注意去掉绝对值符号后 要根据整体符号改变成不改变原数的符号】 ★特珠结论 D若a>0.则lal=a: 2若a=0.则al=0 人 三、有理数的大小比较 ★数抽法示例 3若-4。0 3带a<0,则1al=-a 4-3-2-1012 3着al■0.则a=0 ④I-al=lal: 之墙计情法，离个角数墙对塘大的反而小 有着al=b,则a=b成a=-k. 5若a、b互为相反数，则1e=b. 五、压轴题考点与技巧】 3正数>0>负数：正数>任意负戴 两个负数比较大小，先看艳对值： 1求相反数的技巧 2.化简绝对值的接巧 3.比较大小的枝巧 4.综合常用思路 合雷题小酷士 ①直接改号：a的相反数是一 ①先到断式子内数的符号： ①数地法直现港确： ①明确蓝意，找出关健量： D任数的绝对值都≥0 2负数比较大小，先比绝对 家相反数 ⑦着含字：注意分类时论安 ②适当漏数轴，借助数形越合 2绝当值大，点离原点越 ①利用数形结合理解更直现， ③含绝对值的先化蔺再比较。 ③分类讨论，避免透漏情况 例求一(+3,5)的相反数 解：-(+35)=-35， 【酬1化简1x-2.当x<2时， 【侧】比较一3与-15的大小 ④检查答案是否符合定义。 -3=3 其相反数是35， x-2=2-x:当x>2时 z-21=x-2:当x=2时.k-21=0. 因为3>15，所以-3<-15 压轴题★考点1：相反数的应用 ★考点2：绝对值的化滴与求值 ★考点3：数轴与距离问性 ★考点4：最值问题 ★考点5：综合应用题 白常见考点利用相反数表示意义相反的量。 含绝对值的式子化简求值。常需分奥 在数轴上，利用两点之间的距离 利用绝对值的几何意义，求最 综合相反数，绝对值及大小比较， 解决实际问题，如温度变化、盈亏等。 对论或结合数轴判断。 解题，如a一b川表示两点间距离。 大值或最小值.知x一的最小值， 解决较复杂的实际或数学问里。 △ ①忽略0的相反数是0： ②化简绝对值时。未判断符号导致去掉 ③两个负数比较大小时，直接比较数字大小， ④忽等修对值的几何意义，导收距离问是 分讨论不全面，漏掉临界值情况 绝对值行号后符号错误： 未考虑负号的影响： 解答错误： 【压轴考向一相反数的定义、多重复号化简、应用】 【压轴考点01】相反数的定义★★★ 【典例精讲】(26-27七年级·上海·暑假作业)该数轴的原点为0，向右为正方向.若点A,C所表示的 数互为相反数，则该数轴的原点0对应直尺上的刻度为 A B mmmmmpmmmmmmmmpmmmpmpmjmpimmmmy 0 1 234.5678910 【对应练习1】(26-27七年级·浙江·暑假作业)在数轴上，表示有理数a,b的点如图所示. a 0b (1)在数轴上标出表示-a,一b的点. (2)把a,b,0,-a,-b这五个数按从小到大的顺序排列，并用“<”连接. 第2页共19页 【对应练习2】(25-26七年级上·河南周口·阶段检测)把正整数1,2,3,4…按如图1所示的方式排 列，从上到下分别称为第1行，第2行，…，用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影 覆盖的四个数分别记为A,BC,D,设A=x. 12345678 0 910111213141516 1718192021222324 2526272829303132 … C 图1 图2 (1)在图1中，2025排在第 行第 列： (2)A一B+C-D的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由： (3)将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变.此时A+B-C-D的值是否为定值？如果是，请求出 它的值：如果不是，请说明理由 二【压轴考点2】化简多重符号★★★女 【典例精讲】(26-27七年级上·全国·课后作业)按要求完成下列各题。 (1)化简下列各式：①-(-2)：②+(-)：③-[-(-4]：④-[-(+3.5：⑤-{-[-(-5}：⑥-{-【-(+5}. (2)若+5前面有2026个负号，则化简后的结果是多少？若-5前面有2025个负号，则化简后的结果是多少？ 你能总结出什么规律？ 第3页共19页 【对应练习1】(25-26七年级上·湖南邵阳·阶段检测)计算 (1)12-(-18)+(-7)-20 ②)-2+1-1-引-（-) 3(号+)÷a (4)-14-（-)×(-3)3-(-102. 【对应练习2】(25-26七年级上·山东日照·期中)如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示 的数是-3. A B (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是_ (2)在数轴上找一点C使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为_· (3)在数轴上表示下列各数，并用“<”号把这些数按从小到大连接起来. 2.5,-4,53-221-1.51,-(+1.6) (4)请将下列十个数填在相应的位置：25，-4,5号-2分，-1.5，-(+1.6)，0，-0.314,25%，11. 。。 正数 整数 负数 第4页共19页 怎【压轴考点3】相反数的应用★★女★ 【典例精讲】(25-26七年级上·福建泉州·期中)关于x的代数式，当x取任意一组相反数a与-a时， 若代数式的值相等，则称之为“偶代数式”；若代数式的值互为相反数，则称之为“奇代数式”，例如代 数式x2是“偶代数式”，x3是“奇代数式”. (1)以下代数式中，是“偶代数式”的有，是“奇代数式”的有一-一； (将正确选项的序号填写 在横线上.①x+1;②x3-x:③2x2-4 (2)某个奇代数式，当x取2时，代数式的值为3，问：当x取-2时，代数式的值为多少？ (3)对于整式x5-x3+x2+x+1,当x分别取-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4时，这九个整式的值之 和是 【对应练习1】(25-26七年级上·云南昭通·期中)如图，在数轴上，点A与点A1表示的数互为相反数， 点A1和点A2分别在点M的两侧，且这两个点到点M的距离相等，点A1,A2和M互不重合. A M A2 a 0-a (1)若点A表示的数为-2，求点A1表示的数： (2)若点A表示的数为-1，点M表示的数为6，求点A到点A2的距离； (3)若点A表示的数为a(a<0),点M表示的数为5.当a的值改变时，点A到点A2的距离是否会发生改变？若 不变，求出点A到点A2的距离，若改变，请说明理由. 第5页共19页 【对应练习2】若a,b互为相反数，b,c互为倒数，并且m的立方等于它本身. (1)若a>1,且m<0,S=|2a-3b1-2b-m-b+引，试求4(2a-S)+2(2a-S)-(2a-5S)的值. (2)若m≠0，试讨论：x为有理数时，x+m-x一m是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不 存在，请说明理由. 【压轴考向二绝对值的几何意义、非负性与应用】 【压轴考点04】绝对值的几何意义★★★★ 【典例精讲】(26-27七年级上·全国·课后作业)某地加强高铁沿线环境整治，进行巡回检查维护.境 内高铁线路呈东西走向，全长近250.某天，巡护车辆从护路联防站出发，按向东为正方向行驶，当天 的行驶记录如下（单位：km):+75,-90,-38,+20,-70,+120,+100,-117.如果车辆行驶每千米的 耗油量为0.08L,问：当天巡护车辆耗油多少升？ 【对应练习1】(26-27七年级·全国·小升初衔接)如图1，数轴上点A为-5，点B为13，点P是数轴 上的一个动点. 第6页共19页 夕 》 图1 A PO 图2 A B 备用图 (1)若点P到A的距离为a,点P到B的距离为b.①当a=b时，求点P所表示的数.②当a:b=1:2时， 求点P所表示的数 (2)如图2，数轴上动点Q在动点P右侧，并且始终与动点P保持1个单位长度的距离，A,B,P,Q四个点 中，记其中两个点的距离为x,剩余两个点的距离为y,当P,Q在点AB之间运动时，若x:y=1:2,求点 P所表示的数 【对应练习2】(25-26七年级上·四川巴中·期末)【背景知识】数轴上表示数a的点与原点的距离叫 做数a的绝对值，记作a,数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作|a-b,如数轴上表示数5的 点与表示数7的点的距离为5-7引=2,5+7八=|5-(-7)川表示数轴上表示数5的点与表示数-7的点的 距离，|a-5引表示数轴上表示数a的点与表示数5的点的距离.根据以上材料回答下列问题： 【初步应用】 (1)①数轴上表示数-2的点与表示数3的点的距离为一： ②若|a-5引=3，则a=一一一： 【深入探究】 (2)求x+2引+x-3引的最小值.以下是小明的解答过程： 解：记点P,A,B分别表示数x,-2,3,点P点A的距离PA=x+2,点R点B的距离PB=|x-3 当点P在点A的左边，即x<-2时，如图①，此时PA>0,PB>5. 第7页共19页 ∴.PA+PB>5,即川x+2+|x-3>5. 当点P在线段AB上，即-2≤x≤3时，如图②，此时PA+PB=5, 即x+2+x-3=5, 当点P在点B的右边时，即x>3时，如图③，此时PA>5,PB>0. ∴.PA+PB>5,即Ix+2+x-3>5 ∴.当-2≤x≤3时，x+2+x-3有最小值，最小值为5. P A B P B P -2 3 -2x 3 ① ② ③ 请根据小明的解答过程，完成下列问题： 求式子x+3引+x+1+x-2的最小值. 【解决问题】 (3)某公司办公楼有6层，公司要召开会议，从1层到6层每层参会人数分别为1,2,1,2,3,3.由于 电梯出了故障，要使所有参会人员到会议地点走楼梯的距离和最短，请你直接写出会议地点应设在第几层？ 二【压轴考点5】求一个数的绝对值★★★女 【典例精讲】(26-27七年级上·全国·课后作业)某种食品包装袋上标注质量为450g,对6袋该种食 品的实际质量进行检测，检测结果如下（用正号表示超过标注质量，用负号表示低于标注质量）： -25,+10,-20,+30,+15,-40, 哪袋食品的实际质量更接近标注质量？为什么？ 第8页共19页 【对应练习1】(25-26六年级上·上海·期中)如图： 2 5-4-321012345→ (1)点A表示的数的相反数是 一一，点B表示的数的绝对值是 (2)在数轴上标出数2.5，-1所对应的点C,点D: (3)C,D两点之间的距离是 (④与点C距离个单位长度的点表示的数是 【对应练习2】(25-26七年级上·河南安阳·期中)阅读材料，解决下列问题：数轴是一个非常重要的 数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基 础.结合数轴与绝对值的知识可知：在数轴上点A,B分别表示数a,b,则A,B两点之间的距离AB=|a一bl= Ib-al. 已知点A,B在数轴上，M是线段AB上一点，多项式m-m3+3m2的次数为a,项数为b,当m=2时，此多 项式的值为c. ←一 A M B A CM B 图1 图2 (1)a=, b= (2)如图1，数轴上的点A,M,B表示的数分别是a-2,b+1,c+5,则AM-BM=一一-： (3)在(2)的条件下，如图2，点C在线段AM上，点D在线段BM上，若点C,D分别从M,B出发以1cm/s, 3cm/s(一个单位长度表示1cm)的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示. ①当点C,D运动了2s时，求AC+MD的值， ②设点C,D的运动时间为ts.当AD一BD=CD时，求t的值. 第9页共19页 s 【压轴考点06】绝对值非负性★★★★ 【典例精讲】(25-26七年级上·河北沧州·期中)如图，数轴上的点A,B分别表示有理数a,b,且Ial=5, bl=2. a b0 (1)求a,b的值： (2)A,B两点相距多少个单位长度？ (3)若点C在数轴上，且点C到点B的距离是点C到点A的距离的，求点C表示的数： (4)点P从点A出发，第1次向左移动1个单位长度，第2次向右移动2个单位长度，第3次向左移动3个 单位长度，第4次向右移动4个单位长度，…，依次操作2025次后，求点P表示的数. 【对应练习1】(25-26七年级上甘肃定西阶段检测)已知a是最大的负整数，bc满足(b-3)2+|c+4= 0,且ab、c分别是点AB、C在数轴上对应的数， (1)点A表示的数为一一，点B表示的数为一一一，点C表示的数为一 (2)若动点P以每秒3个单位长度从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q以每秒1个单位长度同时从点B出 发沿数轴负方向运动.设运动时间为t秒时，点P,点Q之间的距离为3，求点PC两点之间的距离. 第10页共19页 【对应练习2】(25-26七年级上·江苏南通·阶段检测)如图，点A,B是数轴上的两点，点A对应的 数为a,点B对应的数为b,且a,b满足a+8+(b-4)2=0 A 0 B (1)a=-,b=-: (2)点P从A出发以每秒2个单位向右运动，运动时间为t秒，当PA=3PB时，求t的值： (3)C,D为数轴上两个动点（点C在点D的左侧），它们的运动方向相同，速度相同，且CD<AB,若AC+AD 为定值的时长为3秒，AC+BD为定值的时长为8秒，求点C的速度， 【压轴考点07】绝对值的其他应用★★★ 【典例精讲】(25-26七年级上·全国·期末)某仓库一周进出货物的吨数记录如下(“+”表示进库， “-”表示出库)：+25，-18，+14，-30，+12，-20，-15 (1)经过这一周，仓库里的货物是增多了还是减少了？增多或减少了多少吨？ (2)如果进出货物的装卸费都是每吨10元，那么这一周要付多少元装卸费？ 【对应练习1】(25-26七年级上·河南·期末)数轴上的两个点A,B,分别用数a,b表示，那么A,B 两点之间的距离为AB|=|a-bl,反过来，式子|a-b的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的 点之间的距离.若代数式x-2引+x+a的最小值是3，则a=一一一 第11页共19页 【对应练习2】(2025七年级上·全国·专题练习)阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个 有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意 义.若在数轴上有理数a对应的点为A,有理数b对应的点为B,则A,B两点之间的距离可表示为a-bl或b一 a,记为AB|=Ia-bl=b-a.如式子x-3的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点 之间的距离， 543202345→ 根据上述材料，回答下列问题： (1)-2与3的距离是 (2)式子x+2+x-3的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：A1,A2,A3,A4,A5,…A2014,某餐 饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P,点P选在 -,才能使这2014户 居民到点P的距离总和最小. 【压轴考向三有理数的大小比较】 【压轴考点08】有理数大小比较★★★★ 【典例精讲】(25-26七年级上·四川泸州·期中)泸县二中学校附近某水果超市最近新进了一批百香果， 每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正， 不足10元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况： 第12页共19页 星期 二 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格（元） +1 -2 +3 -1 +5 +2 -4 售出斤数 20 35 10 30 5 15 50 (1)这一周超市售出的百香果单价最高的是星期 (2)超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式： 方式一：购买不超过5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打8折： 方式二：每斤售价10元. ①顾客买a斤百香果，则按照方式一购买需要多少元？按照方式二购买需要多少元？（请用含a的代数式 表示). ②于老师决定买40斤百香果，通过计算说明用哪种方式购买更省钱. 【对应练习1】(25-26七年级上江苏镇江·期中)若a=2,Ibl=5,且a-b<0,则a+b= 【对应练习2】(25-26七年级上·北京·期中)对于数轴上的点P和线段MN,给出如下定义：若点P 与线段MN上点的距离等于线段MN的长，则称点P是线段MN的“强关联点”. (1)点M,N表示的数分别是-1,2. ①在-3,0,4中，线段MN的“强关联点”所表示的数有： ②线段MW的“强关联点”所表示的数最大为一一一，最小为一一一： (2)线段MN的长为a. ①线段MN的“强关联点”所表示的数中，最大数与最小数的差为 ②线段EF的长为b,若存在点P,使得点P既是线段MN的“强关联点”，也是线段EF的“强关联点”.将线 段MN的“强关联点”所表示的数中的最大数与线段EF的“强关联点”所表示的数中的最小数的差记为， 则d的最大值为。 (用含a,b的式子表示) 第13页共19页 【压轴考点09】有理数大小比较的实际应用★★★ 【典例精讲】(25-26七年级上·全国·期末)某超市新购草莓的进价为20元/kg.为合理定价，前五天 试行调价，以28元kg为标准售价，超出与不足的部分分别用正、负数表示.售价与销量记录如下表： 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 售价与标准售价的差/（元kg) +3 -1 +2 +1 2 销量/kg 10 40 20 30 65 (1)这五天中，该超市第天售出的草莓价格最高，为_元/kg (2)该超市这五天售出此种草莓共获利多少元？ (3)超市最终将草莓的售价定为30元/kg,同时为了避免草莓腐烂，推出以下两种促销方式： 方式一：当购买草莓不超过3kg时，无优惠；当超过3kg时，超出部分按售价的八折销售. 方式二：按售价的九折销售 当购买多少千克草莓时，两种方式所花钱数相同？ 【对应练习1】(24-25七年级上·河南安阳·期中)重庆文德中学为适应新的中考要求，决定添置一批 体育器材，学校准备在网上订购一批某品牌铅球和跳绳，在查阅天猫网店后发现铅球每个定价160元，跳 绳每条定价30元.现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案.A网店：买一个铅球送 一条跳绳，B网店：铅球和跳绳都按定价的90%付款，己知要购买跳绳60条，铅球x个(0<x<60) (1)若在A网店购买，需付款 元（用含x的代数式表示）；若在B网店购买需付款 元（用 含x的代数式表示) (2)当x=200时，通过计算说明此时在哪一家网店购买较为合算？ 第14页共19页 【对应练习2】(24-25七年级上·福建福州·期末)枇杷是福清市一都镇传统特产，具有皮薄，汁多， 味清甜，吃后沁心润喉，是老少皆宜的美味佳品.请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：某批发市场计划准备从福清市一都镇运输一批枇杷到甲地出售，为保证枇杷新鲜需用带冷柜的货 车运输或空运.货车运输的平均速度为80千米/时，飞机的平均速度为800千米/时， 方案一：从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地： 方案二：从福清市一都镇先用带冷柜的货车运输到机场用时1小时后用飞机空运到甲地： 方案二比方案一少用11小时，且路程少160千米. 材料二：己知有一批枇杷用带冷柜的货车每辆运8吨，则刚好运完，若每辆运7吨，则还剩2吨枇杷没有 装上车 材料三：在材料一与材料二的条件下，运这批枇杷从福清市一都镇到甲地 陆运单价 冷柜车 空运单价 7000元/吨 400元/（小时·辆） 10000元/吨 注意：如选方案二空运，则陆运时间段只收冷柜使用费，且在飞行途中不收冷柜使用费， 参考公式：冷柜使用费=冷柜使用单价×使用时间×车辆数目；总费用=路费+冷柜使用费. 请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成3个任务： (1)请求出从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地的时间； (2)这批枇杷共有吨. (3)本次从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批批杷到甲地，冷柜车一次运8吨，应选用那种方案使 得总费用较少？ 第15页共19页 【压轴题专项训练优选题15题思维拓展练习】 1.数轴上点P表示的数为-2028，则与点P关于原点对称的点表示的数是( ) A.2028 B.-2028 c.0a8 D.08 2.(25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测)如图所示的是一个正方体的展开图，折成正方体后，x,y与 其相对面上的数字互为相反数，则y的值为( 2 -2 3 -3 A.9 B.-6 C.-9 D.6 3.(26-27七年级·浙江·暑假作业)若m,n为有理数，n<0,m>0,且m<n,那么m,,-m, 一n的大小关系是( J A.-n<m<n<-m B.n<-n<m<-m C.n<-m <m<-n D.m<n<-n<-m 4.(26-27七年级上·浙江杭州·开学考试)已知a<-1,则a,-a,三者大小关系正确的是( ) a A.a<1<-a B.a<-a< c.1<a<-a D.-a<a<i 5.(25-26七年级上·四川达州·阶段检测)下列结论：①若x=2,那么x一定是2：②两个数比较大 小，绝对值大的反而小：③la+b=a-b,则a≥0、b=0或a=0、b≤0：④若a、b互为相反数，则=-1， 正确的说法的个数是( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.(25-26七年级上·山东德州·期中)已知a,b为有理数，a<0,b>0,且Ia>|bl,将a,-a,b, 一b从小到大排列，用“<”连接： 7.(22-23七年级上·浙江温州·阶段检测)如图，图中数轴的单位长度为1.若点E表示数的绝对值恰是 点C表示数的绝对值的3倍，那么图中点B所表示的数是 B 第16页共19页 8.有下列各数：0.01,10，-6.67，-30，-90，-(-3)，--2引，-(-4)，其中属于非负整数的共有 个 9.(25-26七年级上·北京·期中)已知a,b为有理数，下列说法： ①若a,b互为相反数，则岭=-1： ②若a-b1+a-b=0,则a-b≤0； ③若a<b,ab<0且al<|bl,则a+b>0: ④若a+b<0,ab>0,则-3a-4b|=3a+4b: ⑤若lal>lbl,则(a+b)(a-b)<0. 其中正确的有。一（请填序号）. 10.（25-26六年级上·上海·期末)x-1+x-2引+…+x-2025引+x-2026的最小值为 11.(26-27七年级上·河南新乡·开学考试)阅读：4-1表示4与1的差的绝对值，也可以理解为4与 1两数在数轴上所对应的两点之间的距离：|4+1可以看作|4一(-1)儿，表示4与-1的差的绝对值，也可以 理解为4与-1两数在数轴上所对应的两点之间的距离. -5-4-3-2-寸012345→ (1)14-(-1)川=__，15+2=-： (2)利用数轴找出所有符合条件的整数x,使得引x+3引=5； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数x,使得引x+3+x-2=5. 12.（24-25七年级上·山西大同·阶段检测)在1.2有理数(2)中，一只蚂蚁从数轴的原点出发，它先 向右爬了4个单位长度到达点A,再向右爬了2个单位长度到达点B,然后又向左爬了10个单位长度到达 点C. 01 (1)在数轴上点A所表示的数的相反数是多少？是哪一个点？ (②)如果蚂蚁从点C出发要爬到点D,且点D和点B所表示的两数互为相反数，那么它应该往哪个方向爬几 个单位长度？ (3)如果蚂蚁从点C出发要爬到点，且点E到原点的距离为5个单位长度，那么它应该怎样爬到点？ 第17页共19页 13.(25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中)如图，数轴上每个刻度为1个单位长度. (1)请指出点A、点B所表示的数分别为_、- (2)在数轴上有一点C,它与点B的距离为3个单位长度，那么点C表示的数为_： (3)在数轴上表示下列各数，并用“<”号把这些数按从小到大的顺序连接起来. -6,-23-（-3.5),2. 14.(25-26七年级上·广东广州·期末)如图，数轴上点A,B对应的数分别为a,b. B a -4 0b4 (1)填空： ①用“>”“<”或“=”表示：a+b_一0：a-b 0: ②把a,-a,b,-b按照从小到大的顺序用“<”连接起来是 (2)已知a=一6，AB=9,若点C为数轴上一点，且BC=5,求点C表示的数， 第18页共19页 15.(25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测)根据数学研究对象本质属性的共同点和差异点，将事物分类， 然后对划分的每一类进行研究的方法叫做“分类讨论”方法， (1)比较下列各式的大小（用“<”、“>”、“=”连接） ①12+13L_I2+31:②-2|+-31_-2-31： ③2+|-3LI2-3引：④12+10LI2+01. (2)a、b为有理数，通过比较、分析，归纳a+b与引a+b的大小关系为 |a+bl-|a+b.（用“<”、“>”、“=”、“≥”、“≤”连接) (3)根据(2)中得出的结论，当|x+2025=x-2025时，x的取值范围是_：整数a1,a2,a3,a4满足|a1+a2|+ la3+a4=5,la1+a2+a3+a4=1,则a1+a2=- 第19页共19页