第三、四章 代数式、整式的加减 单元复习讲义 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学单元复习讲义以思维导图为核心构建代数式与整式加减的知识体系，系统梳理用字母表示数、代数式概念、整式分类、同类项合并等基础要点，通过层级框架图呈现知识内在逻辑，突出列代数式、整式化简等重难点。 讲义亮点在于分层练习设计与核心素养培养，基础题巩固代数式书写规范等基础技能，中等题通过月历规律探究培养推理意识，优质题如新定义运算发展创新意识。配备整体代入法等技巧指导，助力不同层次学生提升，教师可依托覆盖题实施精准复习。

第三、四章 代数式、整式的加减 思维导图 第三章 代数式 3.1 列代数式表示数量关系 1. 用字母表示数 核心规则： · 数与字母、字母与字母相乘时，乘号通常省略不写，或写成“·”，且数字要写在字母的前面，例如3×a写作3a或3·a； · 字母系数是1或-1时，1省略不写，例如1×a写作a，-1×a写作-a； · 带分数与字母相乘时，要先把带分数化成假分数，例如写作； · 除法运算一般写成分数形式，例如a÷b写作； · 结果是加减运算，若后面带单位，需要把式子整体加括号，例如(3a+2b)米。 用字母表示数的意义：可以简明地表达数量关系、运算律和计算公式，具有一般性，能够代表任意满足条件的数。 2. 代数式的概念 用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式；单独的一个数或一个字母也叫做代数式。 注意：代数式中不包含等号（=）、不等号（>、<、≠、≥、≤等），等式和不等式都不是代数式。 3. 列代数式 列代数式就是把问题中与数量有关的语句，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，要点： · 抓住关键词，明确运算顺序，例如“a与b的差的平方”是(a-b)2，“a与b的平方差”是； · 复杂问题可以分段梳理，逐步表示出每一部分的数量，再组合得到完整代数式； · 实际问题中要先确定各个量之间的关系，再用字母表示未知量，列出代数式。 3.2 代数式的值 1. 代数式的值的概念 用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中指明的运算计算得出的结果，叫做代数式的值。 2. 求代数式的值的步骤 1. 代入：指明字母的取值，把数值代入代数式，替换对应字母； 注意：代入负数或分数时，如果需要计算乘方、乘法，要适当添加括号；省略乘号的地方代入后要补上乘号。 2. 计算：按照代数式规定的运算顺序和运算法则计算，得出最终结果。 3. 求代数式值的常用技巧 · 整体代入法：当无法求出每个字母的具体取值，或整体替换计算更简便时，可以把已知条件看作一个整体，代入要求的代数式化简计算，例如已知，求的值，可变形为，代入得； · 化简后代入：先化简代数式，再代入字母取值计算，减少运算量，避免错误。 第四章 整式的加减 4.1 整式 1. 单项式 · 定义：都是数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 · 系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，需要注意：系数包含符号，例如的系数是-2；系数是1或-1时，1通常省略不写。 · 次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，例如的次数是，它是五次单项式；单独一个非零数的次数是0。 2. 多项式 · 定义：几个单项式的和叫做多项式。 · 项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包含它前面的符号。 · 次数：多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数，例如中最高次项是，次数为4，因此该多项式是四次三项式。 3. 整式 单项式与多项式统称为整式，注意：分母中含有字母的式子不是整式。 4.2 整式的加法与减法 1. 同类项 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；几个常数项也是同类项。 判断同类项的两个条件：（1）所含字母完全相同；（2）相同字母的指数分别相同，两个条件缺一不可；同类项与系数大小无关，与字母的排列顺序无关。 2. 合并同类项 · 定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 · 法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项系数的和，字母连同它的指数不变。 · 步骤：①找出多项式中的同类项，做好标记；②利用加法交换律和结合律，将同类项集中在一起；③合并系数，字母和指数保持不变，写出结果。 3. 去括号法则 · 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同，例如； · 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反，例如； 注意：去括号时要把括号和括号前面的符号一起去掉，括号内原有几项，去括号后仍有几项，不能漏乘括号内任意一项。 4. 整式的加减运算法则 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项，最终结果一般要求按某个字母的降幂或升幂排列。 5. 整式加减的应用 利用整式加减解决实际问题时，先根据题意列出代数式，再通过去括号、合并同类项化简，最后代入数值计算得到结果，解决求值、方案比较等实际问题。 【类型一】代数式的定义 1．下列选项中，不是代数式的是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式的定义，需依据代数式的概念判断各选项，代数式是不含等号、不等号等关系符号的式子． 【详解】解：∵代数式是由数、字母和运算符号组成的式子，且不包含等号、不等号等关系符号， ∴选项A是等式，含有等号，不属于代数式， 选项B是单独的数，属于代数式， 选项C、D是由数、字母和运算符号组成的式子，属于代数式， ∴不是代数式的是A选项， 故选：A． 2．下列各式中，是代数式的有（     ） ，0，，， ， A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【详解】解：根据定义，用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子是代数式，单独的一个数或字母也是代数式，含等号，含不等号的都不是代数式． 逐个判断： ∵ 是等式， 是不等式，二者都不属于代数式， ∴ 符合代数式定义的式子为，，， ，共个． 3．下列是代数式的有：_______．（写序号） （1）；（2）；    （3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）0． 【答案】（1）（2）（3）（6）（8） 【分析】本题考查了代数式的概念：用运算符号把数与表示数的字母连接而成的式子叫做代数式，根据此概念判断即可． 【详解】解：；；；； 0是代数式，其它都不是代数式； 即（1）（2）（3）（6）（8）是代数式； 故答案为：（1）（2）（3）（6）（8）． 【类型二】列代数式 1．小亮比小强大岁，比小花小岁，如果小强是岁，小花是（     ）岁． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵小亮比小强大岁，小强是岁， ∴小亮是岁， ∵小亮比小花小岁， ∴小花是岁． 2．近期，铁路部门推出老年人专属出行福利：60周岁及以上老年旅客，购买带有“敬”字列车的车票，可享受9折优惠．如果一张车票原售价为元，那么优惠后的票价为（  　  ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【详解】解：∵原票价为元， ∴优惠后的票价为元． 3．李白在《将进酒》中写道“陈王昔时宴平乐，斗酒十千恣欢谑”．唐时，某酒坊每斗酒售价8贯钱，每碟花生米3贯钱．若买斗酒，碟花生米一共需要______贯钱． 【答案】/ 【详解】解：由题意，得买斗酒，碟花生米一共需要贯钱． 【类型三】代数式的实际意义 1．代数式的意义可以是（     ） A．与的和 B．与的差 C．个相加 D．个相乘 【答案】C 【分析】只需根据各选项描述写出对应代数式，与对比即可得到答案. 【详解】解：A选项：与的和对应代数式为，故A选项错误； B选项：与的差对应代数式为，故B选项错误； C选项：个相加对应代数式为，故C选项正确； D选项：个相乘对应代数式为，故D选项错误. 2．国庆假期期间，某景点第一天预约的游客为人，第二天预约的游客人数比第一天的2倍少200人．则代数式“”表示的意义是（   ） A．第一天比第二天多预约的人数 B．第二天比第一天多预约的人数 C．两天一共预约的人数 D．第二天预约的人数 【答案】B 【分析】本题考查代数式的实际意义，核心是列代数式并分析数量关系．解题的关键是根据题意准确列出第二天的游客人数代数式，再通过计算比较两天人数的差值． 先根据题意表示出第二天预约的游客人数，再计算各选项对应的代数式，与“”对比得出答案． 【详解】解：第一天预约游客为人，第二天预约的游客人数比第一天的2倍少200人 第二天预约游客人数为 第二天比第一天多预约的人数=第二天人数-第一天人数 代数式“”表示第二天比第一天多预约的人数 故选：B． 3．对代数式“”，我们可以这样来解释：某人以3米/秒的速度走了x秒，他一共走的路程是米．请你对“”再给出另一个实际生活方面的解释：____________． 【答案】香蕉每千克3元，某人买了x千克，共付款元（答案不唯一，合理即可） 【分析】结合常见的数量关系构造实际场景，只要符合的倍数关系即可，答案不唯一． 【详解】解：香蕉每千克3元，某人买了x千克，共付款元． 【类型四】成反比例关系 1．下列每组的两个量中，成反比例关系的是（    ） A．购买练习本的总价一定，练习本的数量和单价 B．圆柱的底面积一定，它的体积和高 C．长方形的周长一定，长和宽 D．汽车行驶的速度一定，行驶的路程和时间 【答案】A 【分析】本题考查反比例关系的判断，两种相关联的量若乘积为定值，则成反比例关系，若比值为定值，则成正比例关系，根据各选项的数量关系逐一判断即可． 【详解】解：判断两个量是否成反比例，核心看两个量的乘积是否为定值． ∵A选项中，总价一定，即数量与单价的乘积为定值，∴数量和单价成反比例； ∵B选项中，底面积为定值，体积和高比值一定，成正比例，不成反比例； ∵C选项中，长方形周长长宽，周长一定，仅长与宽的和为定值，乘积不是定值，∴长和宽不成反比例； ∵D选项中，速度一定，即路程与时间的比值为定值，路程和时间成正比例，不成反比例． 2．下列问题中两个变量之间的关系不是反比例的是（   ） A．某人参加赛跑时，时间t与跑步平均速度v之间的关系 B．长方形的面积一定，它的两条邻边的长y与x之间的关系 C．圆的面积S与它的半径r之间的关系 D．三角形的面积一定时，它的一边长y与这条边上的高x之间的关系 【答案】C 【分析】根据两个变量乘积为定值时，二者成反比例关系，据此逐一判定各选项即可． 【详解】解：选项A，路程为，可得，时间和平均速度乘积为定值，是反比例关系，不符合题意； 选项B，长方形面积一定，长方形面积满足，即，与乘积为定值，是反比例关系，不符合题意； 选项C，圆的面积公式为，与的乘积不是定值，因此与不是反比例关系，符合题意； 选项D，三角形面积一定，三角形面积满足，整理得，与乘积为定值，是反比例关系，不符合题意． 3．若下表中的和两个量成反比例关系，则的值为___________． 6 【答案】2 【分析】本题考查了反比例关系．根据反比例关系的定义，x与y的乘积为常数，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵x和y两个量成反比例关系 ∴根据反比例关系的定义，可得为定值 即， 解得． 故答案为：2 【类型五】代数式的书写方法 1．下列代数式书写规范的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵选项A、 不符合规范，应写为； 选项B、 不符合规范，应写为 ； 选项D、 不符合规范，带分数应化为假分数 ； 选项C、 符合所有书写规范， 故选C． 2．下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有（     ） ， ，， ， ， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据代数式的书写规范，逐一判断每个式子，统计符合要求的个数即可．代数式书写规则为：乘号通常省略不写或写为 ，数字需写在字母前方；除法运算写成分数形式；系数为 时省略不写；带分数需化为假分数． 【详解】解：逐个判断式子：∵ 保留乘号 ，不符合书写要求； 中系数的未省略，不符合书写要求； 未将除法写为分数形式，不符合书写要求； 中数字未写在字母前方，不符合书写要求； 未将带分数化为假分数，不符合书写要求； 只有符合所有书写要求，共个符合要求． 3．有下列各式：下列代数式中，（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7），符合代数式书写要求的有______个 【答案】2 【分析】本题考查代数书写方法，解题的关键是掌握代数式的书写规范：（1）数与字母，字母与字母相乘，乘号可以省略，数字与数字相乘，乘号不能省略，数字要写在前面；（2）带分数与字母相乘一定要写成假分数；（3）在含有字母的除法中，一般不用“÷”号，而写成分数的形式；（4）式子后面有单位时，和差形式的代数式要在单位前把代数式括起来．据此依次分析进行判断． 【详解】解：（1）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （2）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （3）书写形式规范，符合题意； （4）书写形式规范，符合题意； （5）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （6）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （7）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； ∴符合书写要求的有2个． 故答案为：． 【类型六】已知字母值求代数式的值 1．已知，则的值为（     ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】直接将a，b的值代入代数式，再计算求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴． 2．当时，代数式的值为，当时，这个代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先代入求出的值，再将代入代数式并把作为整体代入求值． 【详解】解：当时，代数式的值为， 则，即， 当时，． 3．当时，代数式的值为____________． 【答案】 【分析】将代入代数式，再按照含乘方有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解∶ 将代入 ，得 ． 【类型七】代数式表示图形的周长与面积 1．如图，阴影部分的面积是（     ）                                                    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图形可知，阴影部分的面积等于长方形的面积减去空白半圆的面积． 长方形的长为，宽为，空白半圆的直径为． 【详解】解：∵长方形的长为，宽为 ， ∴长方形的面积为 ． ∵空白部分是一个半圆，且直径为， ∴半圆的半径为 ∴半圆的面积为， ∴阴影部分的面积为． 2．如图，大长方形的长为 a，宽为 b，从右上角切去一个小长方形，剩余的阴影部分图形面积可通过多种方法表示．下列四个表达式中，不能表示该阴影部分面积的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：用大长方形面积减去长方形面积表示该阴影部分面积为， A选项表达式正确，不符合题意； 如图①，用上半部分的长方形面积加下半部分长方形的面积表示该阴影部分面积为，B选项表达式正确，不符合题意；C选项表达式错误，符合题意； 如图②，用两个梯形的面积表示该阴影部分面积为， D选项表达式正确，不符合题意． 3．一个长方形的长是宽的倍，设宽为，则这个长方形的周长为____．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】根据长是宽的倍，以及长方形的周长公式，列出代数式即可. 【详解】解：设宽为，则长为， ∴长方形的周长为. 【类型八】单项式与多项式的定义 1．在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查单项式的定义，解题思路为根据单项式定义逐个判断题干中的整式，统计单项式个数即可得到答案，单项式定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，几个单项式的和为多项式． 【详解】解：∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵，是两个单项式的差，属于多项式，不是单项式 ∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵是单独的一个字母，是单项式 ∵是单项式和单项式的和，属于多项式，不是单项式 综上，单项式共有个，因此选C． 2．在代数式、、、5、、中，多项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查多项式的判断，根据多项式的定义，几个单项式的和的形式，进行判断即可． 【详解】解：在代数式、、、5、、中，多项式有、、，共3个； 故选B． 3．下列式子：，，，，，，，其中属于单项式的是______，属于多项式的是______，属于整式的是______． 【答案】 【分析】本题考查单项式、多项式、整式的概念，解题的关键是准确理解并依据这些概念来对给定式子进行分类． ①依据单项式的定义找出单项式； ②依据多项式的定义找出多项式； ③根据整式包含单项式和多项式确定整式． 【详解】①单项式是数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式， 是单独的数，是数与字母的积，是单独的数，是数5与字母x，y的积，是数2与字母x，y的积，所以单项式是； ②几个单项式的和叫做多项式，是单项式与的和，所以多项式是，故（2）处填； ③整式为单项式和多项式的统称，所以整式是， 故答案为：① ② ③ 【类型九】单、多项式的系、次、项数 1．下列各代数式中，是五次单项式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】单项式是数与字母的积组成的代数式，单项式的次数为所有字母的指数和，根据定义计算各选项即可判断． 【详解】解：A、的次数为 ，是六次单项式，不符合要求； B、 的次数为 ，是三次单项式，不符合要求； C、的次数为 ，是五次单项式，符合要求； D、不是单项式，不符合要求． 2．下列关于单项式和多项式的结论正确的是（     ） A．单项式的系数是 B．单项式的次数是6 C．单项式没有系数 D．多项式是二次三项式 【答案】D 【分析】根据单项式的系数、次数定义，以及多项式的项数、次数定义逐一判断选项． 【详解】解：A、单项式的系数是，故本选项错误，不符合题意； B、单项式的次数是，故本选项错误，不符合题意； C、单项式的系数为，故本选项错误，不符合题意； D、多项式是二次三项式，故本选项正确，符合题意； 3．若关于x、y的多项式的次数是3，项数是2，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据多项式的次数和项数，列出方程求解和的值． 本题考查了多项式的项数和次数，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：由题可知次数为3， 则第一项的次数， 解得, 由项数为2，且第一项系数3和第三项系数1均不为零， 故第二项系数， 解得, 因此, 故答案为． 【类型十】同类项 1．下列选项中，与是同类项的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数分别相同的单项式为同类项，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、与中字母的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意； B、符合同类项的定义，故选项符合题意； C、与中字母的指数不相同，不是同类项，故选项不符合题意； D、与中字母的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意． 2．已知单项式与的和是单项式，那么的值是（     ） A．6 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】两个单项式的和是单项式，说明这两个单项式是同类项，根据同类项定义“所含字母相同，相同字母的指数相同”，即可求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵单项式与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴，， ∴． 3．已知整式与的和是一个单项式，则_____，_________． 【答案】 3 2 【分析】两个整式的和为单项式，说明两个整式是同类项，根据同类项定义列出关于，n的方程，求解即可得到结果． 【详解】∵整式与的和是一个单项式， ∴这两个整式是同类项， ∴，， 解得，． 【类型十一】合并同类项(含去括号) 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）合并同类项即可得出结果； （2）先去括号，再合并同类项即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，解题的关键是去括号和合并同类项． （1）先去括号，再合并同类项； （2）先去括号，再合并同类项． 【详解】（1）解： （2）解： 3．整式化简． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式化简，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变． （1）根据合并同类项法则进行计算即可； （2）先去括号，再合并同类项即可； （3）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【类型十二】整式的化简求值 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 把代入得： 原式 ． 2．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】先去括号，再合并同类项，最后代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 3．先化简，再求值：已知， 求的值． 【答案】，450 【分析】由非负数的性质可求得x与y的值，再将A和B代入中，去括号，合并同类项进行化简，再将x与y的值代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ， 把代入，原式． 【类型一】整体代入求值 1．已知：，则的值为（    ） A．9 B．10 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把代入中计算即可． 【详解】解：∵， 当时，得：， ∴， ∴． 3．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是3，则=_____． 【答案】 或 【分析】先根据相反数、倒数、绝对值的定义求出，，的值，再分情况代入代数式计算即可． 【详解】解：、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是， ，，， 当时，； 当时，； 综上，或． 【类型二】降、升幂排列 1．多项式按字母a的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式按某一字母降幂排列的定义，即把多项式各项按该字母的指数从大到小的顺序排列，不含该字母的项放在最后． 【详解】解：∵多项式按字母a的降幂排列是指将各项按a的指数从大到小排列，不含a的项排在末尾， 又∵各项中a的指数分别为：中不含字母a，中a的指数为3，中a的指数为2，中a的指数为1， ∴按a的降幂排列为：， 故选：D． 2．将多项式按的升幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列． 按x的升幂排列，即按照x的指数从小到大排列多项式各项，即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：D． 3．把多项式按字母的降幂排列是：_____． 【答案】 【分析】先确定多项式各项中字母的指数，再按照的指数从大到小的顺序重新排列各项即可. 【详解】解：原多项式的各项分别为，，，， 各项中的指数依次为，，，， 按字母的降幂排列得： 【类型三】不含某项、与某项无关 1．若式子的值与字母x的取值无关，则m的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】代数式的值与某个字母的取值无关，说明该字母对应所有项的系数为0，据此即可求出m的值． 【详解】解：∵式子的值与的取值无关， ∴， ∴． 2．多项式的值与x，y的取值无关、则的值为（    ） A．1 B．－1 C．2026 D．－2026 【答案】A 【分析】先合并同类项，再根据多项式的值与x、y取值无关得出对应项系数为0，求出m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解：， ∵多项式的值与x、y的取值无关， ∴，， 解得：，， ∴． 3．已知关于x，y的多项式与的差不含二次项，则______． 【答案】 【分析】先计算，然后根据关于x，y的多项式与的差不含二次项，即可得到m、n的值，再计算即可． 【详解】解：由题意可得， ， 关于x，y的多项式与的差不含二次项， ，， 解得，， ， 故答案为： 【类型四】程序流程图 1．在计算机上设置运算程序，输入数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”，下面是一个“数值转换机”，下列输入的数据中，输出的结果为33的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据程序求解即可． 【详解】解：当输入，，，此时， ，两个结果不相等，无法输出，不符合要求； 当输入，，不满足，此时无法计算，无法输出，不符合要求； 当输入，，，此时， ，两个结果相等，可以输出，符合要求； 当输入，，，此时， ，两个结果不相等，无法输出，不符合要求． 2．如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为4，则第2025次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查规律探究，根据程序逐次运算，找准规律是解决问题的关键．按照题中运算程序逐次运算，找准规律为每6个循环，由，结合规律求解即可得到答案． 【详解】解：第一次：，为偶数，则； 第二次：，为偶数，则； 第三次：，为奇数，则； 第四次：，为偶数，则； 第五次：，为偶数，则； 第六次：，为奇数，则； 第七次：，为偶数，则； 第八次：，为奇数，则； 第九次：，为偶数，则； 第十次：，为偶数，则； 第十一次：，为偶数，则； 第十二次：，为奇数，则； 第十三次：，为偶数，则； 第十四次：，为奇数，则； 综上所述，程序运算满足规律是：每6个循环， ， 则第2025次输出的结果是， 故选：B． 3．信息时代确保信息的安全很重要，于是在传输信息的时候需要加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则如图所示，当发送方发出，时，解密后__________． 【答案】 【分析】先分别将、代入、求得m、n的值，最后求的值即可． 【详解】解：∵、， ∴，， ∴． 【类型五】绝对值在数轴中的化简 1．已知：a，b，c在数轴上的位置如图所示，则等于（     ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据数轴可推出，据此化简绝对值，再根据整式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可得，且， ∴， ∴ ． 2．有理数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由数轴可得，，，，根据负数的绝对值等于它的相反数去绝对值符号，合并同类项即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，，， ∴ ． 3．有理数、、在数轴上的位置如图，则的化简结果为___________． 【答案】 【分析】由数轴可知，，进而可得，，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴，，， ∴ ． 【类型六】月历问题 1．如图是年月的月历，小李同学用图2形框在图1的月历上框出四个数字，将该图形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期．若其中两个日期如图3所示，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数形结合与代数推理的知识点，通过观察月历，月历横排相邻两个数相差，竖排相邻两个数相差，从而可以推出与的数量关系． 【详解】解：月历横排相邻两个数相差，竖排相邻两个数相差， 第一排的两个数字为，，第二排的两个数字为，， ， ， 故选． 2．在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．如图，这是某年1月份的月历，我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，不难发现，结果都是7．如果将每个方框的左上角数字设为，请用含的等式表示你发现的规律：_____________________． 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，掌握多项式乘多项式，单项式乘多项式法则是解题的关键，设左上角数字为，再根据右上角乘以左下角减去左上角乘以右下角，由此即可得到答案． 【详解】解： 设左上角数字为，右上角的数字为：，左下角的数字为：，右下角的数字为：， ∵，， ∴． 故答案为：． 3．数学活动——探究月历中的数字规律． 如图1是某月的月历，小乐在其中画出一个的方框，框住九个数，计算如图2表示位置的四个数的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为_______；将图2中的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为________； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，________． 所以，________． (3)拓广探究：请利用小乐的方法，借助图1中的月历．继续进行如下探究： 如图3，在月历中用“Z型框”框住位置的四个数，请探究的值的规律．要求写出结论并说明理由． 【答案】(1)0；0 (2)； (3)，理由见解析 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的运算，正确找到规律是解题的关键． （1）结合月历，通过计算，可得到结果； （2）根据题意，填写出空缺的部分，即可； （3）根据图3中的位置，设，依次表示出，即可得到的值． 【详解】（1）解：， 将的方框移动到图1中的其他位置，的值均为0； 故答案为：0；0； （2）解：设，则，，． 所以，． 故答案为：；； （3）解：，理由如下： 设，则，，． 所以，． 【类型七】数与图形的规律 1．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第n个代数式是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别分析第n个代数式的系数，a的次数，b的符号三部分的规律，再对应选项得到答案。 【详解】解：按顺序拆分观察规律： ∵第1个代数式： 第2个代数式： 第3个代数式： 第4个代数式： …… ∴归纳可得，第个代数式中，系数为，的次数为，的系数为，整理得第个代数式是． 2．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物．如图是这类物质前三种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1个图形中有4个氢原子，第2个图形中有6个氢原子，第3个图形中有8个氢原子，…，依此规律，第5个图形中有________________个氢原子． 【答案】12 【分析】观察前三个图形中氢原子的个数，发现后一个图形比前一个图形多2个氢原子，归纳出第n个图形中氢原子个数的代数式，将代入计算即可． 【详解】解：根据题意，第1个图形中有个氢原子， 第2个图形中有个氢原子， 第3个图形中有个氢原子， ⋯⋯ 由此规律可得，第n个图形中有个氢原子， 当时，氢原子的个数为． 3．【观察思考】如下图所示． 【规律发现】请用含n的式子填空： (1)第n个图案中“◎”的个数为________ (2)第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，……，则第n个图案中“★”的个数可表示为________． (3)【规律应用】结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和的结果等于第n个图案中“◎”的个数的． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了图形的变化类，列代数式，找出变化规律是解题的关键． （1）先计算前个图中◎的个数，找出规律求解； （2）先计算前个图中★的个数，找出规律求解； （3）根据（2）中的规律进行求解即可. 【详解】（1）解：第个图案中“◎”的个数为； 第个图案中“◎”的个数为； 第个图案中“◎”的个数为； 第个图案中“◎”的个数为； ……， 第个图案中“◎”的个数为； 故答案为：； （2）第个图案中“★”的个数可表示为个， 第个图案中“★”的个数可表示为个， 第个图案中“★”的个数可表示为个， …， 按照这个规律，则第个图案中“★”的个数可表示为. 故答案为：. （3）由题意，得， 即， 解得． 【类型一】新定义运算 1．对于任意实数，定义，则对于实数的化简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查整式的加减运算，理解新定义运算法则是解题关键． 根据新定义法则化简，然后计算整式的加减法即可． 【详解】解：根据题意得： 故选：D． 2．定义一种新运算“”，规定：，例如：．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算的理解和应用，以及整体代入思想．根据新运算“”的定义，将转化为常规的代数运算，再结合已知条件进行计算即可． 【详解】解：由题意可得，， ， 原式， 故选：． 3．新定义一种运算符号“☆”，规定：，例如：，若，在数轴上的位置如图所示，化简：______． 【答案】 【分析】本题考查数轴与数的性质，绝对值的化简，整式的加减运算，理解新定义运算的规则是解题关键． 先根据数轴判断与的大小关系，选择对应的新定义公式进行计算，化简绝对值并进行整式加减运算，得到最终结果． 【详解】解：据图可知，，，且， 则，，即， 可得 ． 故答案为：． 【类型二】操作问题 1．已知，从、、、中随机取两个字母作差，记为；将剩下两个字母作差后取绝对值，记为；再对进行化简运算，称此为“和差操作”．例如：为一次“和差操作”，为“和差操作”的一种运算结果．下列说法正确的是（   ） A．不存在一种“和差操作”运算结果为； B．存在两种“和差操作”运算结果的和为； C．不存在两种“和差操作”运算结果的差为； D．所有的“和差操作”共有种不同运算结果． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的加减，列举出所有可能结果，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：，从，，，中选两个作差记为，剩下两个作差取绝对值记为，计算． 列举所有种情况，化简后得到种不同结果：①②③④⑤ 对于选项A：④即为，故存在，错误． 对于选项B：①和⑤的和为，故存在两种结果和为，正确， 当①和⑤都为时，只存在4种不同运算结果，故D错误； 对于选项C：取，，，，③为，④为，差为，故存在，错误． 故选：B． 2．有依次排列的2个整式：x，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：x，3，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推，通过下列实际操作： ①第二次操作后整式串为：x，，3，x，； ②第四次操作后整式串共有19个整式； ③第n个整式串比第整式串多个整式； ④第2025次操作后，所有的整式的和为，其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减，整式的乘法，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“＋”号，去掉“＋”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“－”号，去掉“－”号和括号，括号里的各项都变号）和平方差公式是解题关键． 先根据前面几次操作后整式串的整式个数，所有整式的和，得出规律，即可完成全部判断． 【详解】解：∵ 初始整式：x，，和为． 第一次操作：插入，得整式串：x，3，，个数为3，和为． 第二次操作：对相邻对操作，插入和x，得整式串：x，，3，x，，个数为 5，和为． ∴ ①正确． ∵ 第n次操作后整式个数为（），第四次数为， ∴ ②错误． ∵ 第n次操作后整式个数比第次多个（由操作规律：每次插入差的数量等于相邻对数，即前一次整式个数减1，且相邻对数呈倍数增长）， ∴ ③正确． ∵ 第n次操作后所有整式的和为， 时，和为 ， ∴ ④错误． 综上，正确个数为2个． 故选：B． 3．对于多项式：，，，，我们用任意两个多项式求差后所得的结果，再与剩余两个多项式的差作减法运算，并算出结果，称之为“双减操作”，例如：，，， 给出下列说法： ①为任意整数时，所有“双减操作”的结果都能被2整除； ②所有的“双减操作”共有5种不同的结果； ③至少存在一种“双减操作”，使其结果为． 以上说法中正确的有______（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】①② 【分析】本题考查新定义运算，整式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．新运算的实质是给四个多项式分配两个负号和两个正号后求和，再根据结果判断各项即可． 【详解】解：令 ，，，， 所有“双减操作”的结果即为从 、、、 中选取两个分配给负号，其余两个分配给正号，然后求和，共有 种情况： 1． ； 2． ； 3． ； 4． ； 5． ； 6． ； ∴所有“双减操作”的结果有 5 种不同的值： 、、、、， 对于说法①：当 为任意整数时，上述结果的值均为偶数，都能被 2 整除，故原说法正确； 对于说法②：所有操作共有 5 种不同结果，故原说法正确； 对于说法③：所有结果中无 ，故原说法错误； 故答案为：①②． 【类型三】行列排序问题 1．将正偶数按下表排成5列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 2 4 6 8 第二行 16 14 12 10 第三行 18 20 22 24 第四行 32 30 28 26 …… 根据上面规律，应在（ ） A．行，列 B．行，列 C．行，列 D．行，列 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字变化类的一些规律问题，能够找出其内在规律，从而熟练求解．根据正偶数依次排列，2024是第1012个数，每个循环是8个数字，则， 则第1012个数（即2024）是完成126个循环后，再往后数4个数的位置一个循环是2行，故126个循环是第252行再往后4个数字，故是253行，第5列数字（第一个数字空缺）． 【详解】解：正偶数依次排列，2024是第1012个数 根据分析中的规律，每个循环是8个数字，则， 因此，第1012个数（即2024）是完成126个循环后，再往后数4个数的位置 一个循环是2行，故126个循环是第252行 再往后4个数字，故是253行，第5列数字（第一个数字空缺）， 故选：C 2．将正整数按下表规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 ．．． 第一行 1 4 5 16 17 第二行 2 3 6 15 ．．． 第三行 9 8 7 14 ．．． 第四行 10 11 12 13 ．．． 第五行 ．．． ．．． 表中数2在第二行、第一列，与有序数对对应； 数5与对应； 数14与对应； 根据这一规律，数2021对应的有序数对为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是数字的规律，得出第一列的奇数行的数的规律与第一行的偶数列的数的规律是解决问题的关键； 首先根据已知数据可得出第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方； 然后同理可得出第一行的偶数列的数的规律，从而得出2021所在的位置，即可． 【详解】解：由表格可知：第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方， 第一行的偶数列的数的规律，与奇数行规律相同； ∵，2021在第45行，向右依次减小， ∴2021所在的位置是第45行，第5列， 故2021对应的有序数对为； 故选D． 3．将正整数按以下规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第一行 1 2 3 4 第二行 8 7 6 5 第三行 9 10 11 12 第四行 16 15 14 13 …… 则数字2024位于第______行，第______列． 【答案】 506 1 【分析】此题考查的是探索规律题，找出表格中的数字规律是解决此题的关键． 根据表格中数字规律计算即可． 【详解】解：观察发现，每两行构成一个“蛇形”循环单元，每个单元有8个数． ，正好整除．所以2024是第253个循环单元（即第行）的最后一个数． 根据表格规律，每个循环单元的最大数（如8、16等）均位于偶数行的第1列， 因此，2024应位于第行，第1列． 故答案为： 506，1． 【类型四】整除问题 1．综合与实践 【问题背景】 一般的，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．验证方法如下：以两位数为例，一个两位数的十位、个位上的数字分别为，，通常记这个两位数为，于是，显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 【类比探究】 已知一个三位数，百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c． （1）请用含a，b，c的代数式表示三位数_____； （2）请仿照【问题背景】中的代数推理方法验证：若可以被3整除，则这个数可以被3整除． 【拓展探究】 判断一个三位整数能否被7整除，只需看去掉这个数的末位数字后，所得到的两位数与此末尾数字5倍的和能否被7整除，如果这个和能被7整除，则原数就能被7整除． （3）请用代数推理方法验证：如果一个三位数，百位、十位、个位上的数字分别为、、，若“能被7整除，则就能被7整除”这个结论． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】本题考查了整式加减与数的整除，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意可得出三位数为百位数字十位数字个位数字，可得出答案； （2）先将三位数字变形，然后分析各项与的整除关系得，即可得出结论； （3）对三位数变形，利用已知条件替换，最后化简式子并判断整除性即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2） ， ， 能被3整除，能被3整除， 又∵可以被3整除， 就能被3整除，即就能被3整除； （3）， ， ∵“能被7整除，能被7整除， 就能被7整除，即就能被7整除． 2．材料1．我们知道像12，27，36，45，108……这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除． 材料2．若一个两位数的十位、个位上的数字分别为 a ， b ，则通常记这个两位数为 ．于是 ．显然9a能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即 能被3整除． 材料3．设三位数n的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c（a，b，c 均为整数，且），记，数字和 解决问题： (1)如果能被3整除，那么 （填“能”或“不能”）被3整除． (2)求证： 一定能被3整除； (3)若三位数n是能被3整除的偶数，且满足 ，请直接写出3个符合条件的三位数n． 【答案】(1)能 (2)证明见解析 (3)108，306，504（答案不唯一） 【分析】（1）根据，能被3整除，得到能被3整除，进而得到能被3整除； （2）求出，即可得出结论； （3）易得能被3整除，结合，且为偶数，作答即可． 【详解】（1）解：∵，且能被3整除， ∴能被3整除， ∵，都能被3整除， ∴能被3整除； （2）证明：∵，， ∴， ∵均能被3整除， ∴ 一定能被3整除； （3）解：∵能被3整除， ∴能被3整除， 又∵，且为偶数， ∴可以为：108，306，504． 3．阅读与思考 阅读下面的材料，并解决问题． 代数推理的魅力 一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．若一个三位数百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，则通常记这个三位数为．于是：． 显然能被3整除，因此如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 问题解决： (1)下列三位数中，不能被3整除的是______； A．123    B．235    C．357    D．555 (2)参照材料中的方法，说明一个四位数，若它的所有数位上的数字之和能被3整除，则这个四位数能被3整除； (3)拓展：若表示一个四位数，当时，这个四位数能被11整除．请你直接写出k的值．（至少写出1个） 【答案】(1)B (2)见解析 (3)0，11（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理数的运算，整式的加减运算，解题的关键是掌握材料给出的推理方法． （1）根据材料给出的方法，逐项进行判断即可； （2）设一个四位数千位、百位、十位、个位上的数字分别为，，，，将这个四位数表示为，根据整式的加减进行整理即可； （3）根据材料给出的方法进行求解即可． 【详解】（1）解：A、∵，∴123能被3整除； B、∵，不是整数，∴235不能被3整除； C、∵，∴357能被3整除； D、∵，∴555能被3整除； 故选：B； （2）解：设一个四位数千位、百位、十位、个位上的数字分别为，，，，将这个四位数表示为． 于是： ． 显然能被3整除，因此如果能被3整除， 那么能被3整除，即能被3整除； （3）解： ． 显然能被11整除，因此如果能被11整除， 那么能被11整除，即能被11整除， ∴的值为11的倍数， ∴的值可取11或0（答案不唯一）． 【类型五】整体思想问题 1．整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求出某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)把看成一个整体，合并的结果是_____； (2)如果，求的值； (3)当时，代数式的值为m，当时，求代数式的值；（用含m的代数式表示） 【答案】(1) (2)2019 (3) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的加减的计算法则，理解题意根据题目要求用整体思想解题是关键． （1）把看成一个整体，进行计算即可； （2）根据题意可得，再将其整体代入求解即可； （3）根据当时，代数式的值为m，求出，再将代入式子进行变形求值即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 由题意得， ； （3）解：当时， ， ∴， 当时， ． 2．阅读理解，并解决问题．“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，比如整体代入，整体换元，整体约减，整体求和，整体构造等．有些问题若从局部求解，采取各个击破的方式，很难解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也能迎刃而解．因而“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： 例：当整式的值为7时，求整式的值． 解：因为，所以． 所以． 请根据阅读材料，解决下列问题： (1)把看成一个整体，计算的结果是______； (2)设，则______；（用含y的整式表示） (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整体思想在多项式化简与求值中的应用，将式子中的某一部分看成一个整体进行运算是解题的关键． （1）把看成一个整体，合并同类项即可求解； （2）设，逆用分配律将化为，代入化简即可求解； （3）根据得到，再逆用分配律即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：设，则； 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∴ ． 3．【阅读理解】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理，它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用：某问题按常规不容易直接求某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如：，求的值． 我们将作为一个整体代入，则原式． 类似的，若我们把看成一个整体，则有． 这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”． 【方法运用】 （1）把看成一个整体，求的值； 【拓展应用】 （2）将一块长方形纸片剪成如图所示的①、②、③、④四个正方形和⑤一个小长方形，设①号正方形的边长为x，②号正方形的边长为y．若图中⑤号小长方形的周长为10，试求③号正方形的周长． （3）若，求代数式的值． 提示：我们知道，反之也成立．这种解决问题的方法渗透了数学中的“逆向思维”，它是解决问题的一种重要思维方式．例如：． 【答案】（1），（2），（3）3． 【分析】本题考查了整式的加减法、整体思想。解题关键是利用整体思想化繁为简， （1）把看成一个整体，直接合并同类项即可； （2）根据图形，把③、④号正方形和⑤号小长方形的边长用关于，的代数式表示，由此可得③号正方形的边长，而⑤号小长方形的周长，由此即可得出结论， （3）把看作一个整体，利用添项法，待求式变形出，然后求值，达到逐步降次化简的目的，从而得出结果. ， 【详解】解：（1） ， （2）将一块长方形纸片剪成如图所示的①、②、③、④四个正方形和⑤一个小长方形，设①号正方形的边长为x，②号正方形的边长为y．若图中⑤号小长方形的周长为10，试求③号正方形的周长． 设①号正方形的边长为x，②号正方形的边长为y． 由图可知： ③号正方形的边长=①号正方形的边长+②号正方形的边长， ④号正方形的边长=③号正方形的边长+①号正方形的边长， ⑤小长方形的长=③号正方形的边长+④号正方形的边长-②号正方形的边长为 ⑤小长方形的宽=②号正方形的边长-①号正方形的边长 ⑤号小长方形的周长， ∴③号正方形的周长． （3）∵， ∴， ∴ ， ， ． 【类型六】代数式的变化趋势 1．代数式是表示数量变化规律的重要形式．一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格： x … 0 1 2 … … 0 1 2 3 a … … 6 4 b 0 … … 3 1 … (1)【初步感知】根据表中信息可知：_____，____． (2)【归纳规律】表中的值随着x的变化而变化的规律是：x的值每增加1，的值就增加1．类似地，的值随着x的变化而变化的规律是：____． (3)观察表格，下列说法正确的有_____（填序号）． ①当时，                 ②当时， ③当时，                 ④当时， (4)【应用迁移】若代数式与代数式（为常数且，），若无论x取何值，的值始终小于的值，分别写出a与m，b与n的关系：____，___ 【答案】(1)4，2 (2)x的值每增加1，的值就减少2 (3)① (4)， 【分析】（1）根据表中的规律进行求解即可； （2）根据的变化规律进行描述即可； （3）结合表格进行分析即可得出结果； （4）两式相减，分析即可． 【详解】（1）解：当时，， 故； 当时，， 故， 故答案为：4，2； （2）的值随着x的变化而变化的规律是：x的值每增加1，的值就减少2； 故答案为：x的值每增加1，的值就减少2； （3）①当时，，故①说法正确； ②当时，，故②说法错误； ③当时，，故③说法错误； ④当 时，，故④说法错误； 故答案为：①； （4）由题意可得：， 整理得， ∵若无论x取何值，的值始终小于的值， ∴， ∴，， 故答案为：，. 【点睛】本题主要考查了列代数式，代数式求值，分析清楚所给的数列之间的关系是关键． 2．代数式是表示数量变化规律的重要形式．一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格： … 0 1 2 3 … … 0 2 … … 8 7 6 5 4 3 2 … … 10 7 4 1 4 7 10 … (1)根据表中信息可知：______；______； (2)观察表格，下列结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中所有正确结论的序号是______； (3)已知，，是三个连续偶数；当时，；当时，；时， ；且．求的值． 【答案】(1) (2)②④ (3)1050或 【分析】本题考查代数式求值，代数式的值的变化规律探究，从表格中有效地获取信息是解题的关键： （1）求出时，的值，根据时，的值为1，即可求出； （2）根据表格数据，逐一进行判断即可； （3）分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，，故； 当时，； 故答案为：； （2）由表格可知：当时，；故①错误； 当时，；故②正确； 当时，或；故③错误； 当时，；故④正确； 故答案为：②④； （3）∵，，是三个连续偶数， 不妨设， 当时，， 即：， 解得； 当时，， 即：， 解得； 综上：或    ． 3．综合与实践：请同学们用数学的眼光认真观察下面表格中两个代数式及其相应的值，通过数学的思维进行思考，并用数学的语言表达下列问题． x … 0 1 2 … … m 2 5 … … 8 5 2 n … (1)【初步感知】根据表中信息可知：_________，_________； (2)【归纳规律】表中代数式的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就增加3．类似地，代数式的值的变化规律是什么？ (3)【拓展应用】当x的值每增加2时，猜想代数式的值会怎样变化，并说明理由． 【答案】(1) (2)x的值每增加1，值就减少3 (3)当x的值每增加2时，代数式的值减少10 【分析】（1）根据求代数式的值的基本步骤计算解答即可； （2）根据整式的加减，计算解答即可． （3）根据整式的加减，计算解答即可． 本题考查了求代数式的值，整式的加减，熟练掌握计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，，此时； 当时，，此时； 故答案为：． （2）解： ， 故变化规律是：x的值每增加1，值就减少3． （3）解：当x的值每增加2时，代数式的值会减少10； 理由如下：当时，； 当时，； ， 当x的值每增加2时，代数式的值减少10． 【类型七】代数式的归纳 1．通过问题解决策略“归纳”的学习，你能用归纳策略比较两个数和的大小吗？ 为了解决这个问题，我们先研究它的一般形式，即比较和的大小（n是正整数），然后我们从分析，2，3，…这些简单的情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论． (1)通过计算，比较下列各组中两个数的大小（填“”“”或“”） ①______            ②______            ③______ ④______            ⑤______            ⑥______ (2)从（1）中的结果经过归纳，猜想出和的大小关系； (3)试根据上面的归纳猜想得到的一般结论，试比较下面两个数的大小：______ 【答案】(1)；；；；；； (2)当正整数时，；当正整数时，； (3) 【分析】（1）①根据有理数的乘方计算出结果，然后比较大小即可； ②根据有理数的乘方计算出结果，然后比较大小即可； ③根据有理数的乘方计算出结果，然后比较大小即可； ④根据有理数的乘方计算出结果，然后比较大小即可； ⑤根据有理数的乘方计算出结果，然后比较大小即可； ⑥根据有理数的乘方计算出结果，然后比较大小即可； （2）根据（1）归纳总结即可得出结论； （3）根据（2）所得结论即可比较大小． 【详解】（1）解∶①∵，，， ∴； ②∵，，， ∴； ③∵，， ∴； ④∵，，， ∴； ⑤，，， ∴； ⑥∵，，， ∴， 故答案为：；；；；；； （2）解：由（1）可知：当正整数时，； 当正整数时，； （3）解：∵， ∴， 故答案为：． 2．归纳是数学中发现规律的常用方法，我们可以通过具体的例子来发现一般的规律．在某次综合与实践活动中，学校数学兴趣小组研究如下“点阵”表（其中表示行数，表示列数），每个位置（第行和第列）对应一个独立的“点阵”，我们把该“点阵”中点的总个数记为．例如，观察第2行第3列的“点阵”，其点的总个数． 【观察与思考】 （1）观察第1，2行的“点阵”规律，按要求填写： ①__________； ②__________； ③__________（用含的代数式表示）； 【猜想与应用】 （2）基于（1）中发现的规律，兴趣小组的学生进一步发现： ， ， ， …… 据此归纳： 对任意正整数，有． 设（且为正整数），若，求的值； 【拓展与归纳】 （3）兴趣小组继续探究，尝试归纳“点阵”的一般规律： __________（用含的代数式表示）；__________（用含，的代数式表示）． 【答案】（1）①15；②；③；（2）10；（3）， 【分析】本题主要考查有理数的运算，数字的规律探索，掌握加法交换律是解题的关键． （1）①根据规律直接计算即可； ②根据规律及加法交换律得，，则即可求解；③同②的方法计算即可； （2）由可得，，再作差计算即可； （3）同（1）的计算方法计算，再根据规律求解． 【详解】（1）①； ②， ， ， ； ③， ， ， ； 故答案为：①15；②；③； （2）由（1）知，，， 则，， ， 所以的值为10； （3）， ， ， ； 由，，， 根据规律知． 3．归纳是数学中发现规律的常用方法，我们可以通过具体的例子来发现一般的规律．小明利用“归纳”的策略对以下问题进行了探究． 【问题提出】 连接五边形的五个顶点和它内部的1000个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得多少个三角形？（不计被分割的三角形） 【问题探究】 为了解决上面的问题，小明运用归纳的策略，先在若干简单情形中寻找相应的规律． 如图1，当五边形内有1个点时，可分得5个三角形． 如图2，当五边形内有2个点时，可分得7个三角形． 当五边形内有3个点时，可分得___________个三角形．（可借助备用图分析） 归纳得出当五边形内有个点，可分得___________个三角形． 【问题解决】 连接五边形的五个顶点和它内部的1000个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得___________个三角形． 【拓展延伸】 若连接边形的个顶点和它内部的个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到边形内所有区域都变成三角形，可分得___________个三角形． 【答案】问题探究：，；问题解决：；拓展延伸： 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索． 问题探究：仿照题意先画出对应的图形，再数出三角形个数即可；由前面的探究可知连接五边形的五个顶点和它内部的n个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，三角形的个数是五边形的顶点数加上内部点的个数的2倍最后减去2，据此求解即可； 问题解决：由前面的探究可知连接五边形的五个顶点和它内部的n个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，三角形的个数是五边形的顶点数加上内部点的个数的2倍最后减去2，据此求解即可； 拓展延伸：根据问题探究及问题解决得到的规律即可解答． 【详解】解：问题探究： 如图1，当五边形内有1个点时，可分得个三角形； 如图2，当五边形内有2个点时，可分得个三角形； 如图3，当五边形内有3个点时，可分得个三角形； 以此类推，连接五边形的五个顶点和它内部的点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，三角形的个数是五边形的顶点数加上内部点的个数的2倍最后减去2， 则当五边形内有个点，可分得个三角形， 故答案为：，； 问题解决： 由问题探究可得，连接五边形的五个顶点和它内部的1000个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得个三角形， 故答案为：； 拓展延伸： 由问题探究和问题解决可得，连接边形的个顶点和它内部的个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到边形内所有区域都变成三角形，三角形的个数是边形的顶点数加上内部点的个数的2倍最后减去2， 则可分得个三角形， 故答案为：． 【类型八】代数式的新定义应用 1．阅读理解：我们把只含有一个字母，且字母的指数都是1，系数之和为0，常数项之和也为0的两个整式称为互为零和整式．例如：整式与整式，它们都只含一个字母x，x的指数都是1，且系数，常数项，因此这两个整式互为零和整式．根据以上定义，解答下列问题： (1)下列各组整式中，互为零和整式的是____________． A．与 B．与 C．与 D．与 (2)若整式与整式互为零和整式，求的值． (3)现有两个互为零和整式M和N，其中；先化简整式M，再根据零和整式的定义直接写出整式N． 【答案】(1)B (2)1 (3)化简为； 【分析】本题考查新定义运算，整式加减，理解题意熟练进行运算是解题的关键； （1）根据零和整式定义计算即可； （2）根据题意得，求出a，b即可解答； （3）将M去括号，合并同类项，再根据零和整式定义即可解答． 【详解】（1）解：选项A：，不符合题意； 选项B：，，符合题意； 选项C：，不符合题意； 选项D：，，不符合题意； 故选B． （2）解：与互为零和整式， ， ，， ； （3）解：， 所以 2．定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“雅系多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“雅系和”．例如：多项式的系数和为．所以多项式是“雅系多项式”，它的“雅系和”为28．请根据这个定义解答下列问题： (1)下列多项式属于“雅系多项式”的是________（填序号） ①；②；③； (2)若关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7，且a、b均为正整数，求的值； (3)若多项式是关于x，y的“雅系多项式”，则多项式也是关于x，y的“雅系多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【答案】(1)① (2) (3)不一定是，理由见解析 【分析】本题考查了多项式的系数，整数倍的分析，读懂题意，理解题目所给出的定义进行解答是关键． （1）根据“雅系多项式”的定义进行解答即可； （2）根据题意可得，整理为，因为均为正整数，则也为正整数，则分和进行讨论即可； （3）根据题意可得（为整数），即，将之代入中分析即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴属于雅系多项式”； ∵（为整数）， ∴不属于雅系多项式”； ∵（为整数）， ∴不属于雅系多项式”； 故属于“雅系多项式”的是①， 故答案为：①； （2）解：∵关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7， ∴，即， ∵均为正整数， ∴也为正整数， 当时，则，即，则； 当时，则，即，则； 综上：的值为； （3）解：不是，理由如下： ∵多项式是关于x，y的“雅系多项式”， ∴（为整数）， ∴， ∴， 当，时，， 此时， 则，不是整数， ∴不一定是的整数倍， ∴多项式不一定是关于x，y的“雅系多项式”． 3．定义：若一个多项式的各项系数之和为的整数倍，则称这个多项式为“卓越多项式”． 例如：多项式的系数和为，所以多项式是“卓越多项式”． 请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“卓越多项式”的是________．（在横线上填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于，的“卓越多项式”（其中，均为整数），则多项式也是关于，的“卓越多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【答案】(1)①③ (2)是， 理由如下：多项式是关于，的“卓越多项式”， 为的整数倍， 设（为整数，），则， 多项式的系数和为， ， ， 是的整数倍，即是的整数倍， 多项式是关于，的“卓越多项式”（其中，均为整数）， 则多项式也是关于，的“卓越多项式”． 【分析】本题考查了新定义“卓越多项式”，理解定义是解题的关键． （1）根据“卓越多项式”的定义求解即可； （2）根据多项式是关于，的“卓越多项式”，可设（为整数，），则，多项式的系数和为，得到，即可求解． 【详解】（1）解：①多项式的系数和为， 该多项式是“卓越多项式”， ②多项式的系数和为， 该多项式不是“卓越多项式”， ③多项式的系数和为， 该多项式是“卓越多项式”， 故答案为：①③； （2）略 【类型九】分数裂项 1．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)写出第5个等式； (2)用含n的式子表示第n个等式； (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察已知等式，找到等式和序号的对应关系即可求解； （2）根据已知等式，找出规律即可； （3）先代入，再利用裂项相消的方法求解即可． 【详解】（1）解：观察等式可知，第5个等式：． （2）解：观察等式可知，第个等式：． （3）解：由题意得： ． 2．观察下列等式： ，，． 将以上三个等式两边分别相加得． (1)猜想并写出：=______． (2)直接写出计算结果：=______． (3)探究并计算，请写出计算过程： ①； ②． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）观察第一行等式，可得答案； （2）仿照第二行等式的运算结合（1）中等式计算即可； （3）仿照（2）求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴； （2）解： ； （3）解：① ； ② ． 3．【观察思考】观察下列等式， 将以上三个等式两边分别相加得： ． 【探索规律】 （1）猜想并写出： ； （2）直接写出下列各式的计算结果： ； 【迁移运用】 （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题主要考查有理数的运算： （1）根据题干即可求得答案； （2）把每个分数裂开为两个分数的差，进而即可求解； （3）提取，再把每个分数裂开为两个分数的差，进而即可求解 【详解】（1）根据题意可知． 故答案为： （2）原式． 故答案为： （3）原式 故答案为： 1．（25-26八年级下·四川自贡·阶段检测）甲种食品每袋元，9折出售；乙种食品每袋元，8折出售．小明两种食品各买了1袋，那么他一共需要支付（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】根据题意列代数式即可． 【详解】解：一共需要支付元． 2．（25-26七年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A．不是单项式 B．的系数是，次数是 C．不是整式 D．的系数是，次数是 【答案】B 【分析】本题根据单项式、整式的定义，以及单项式系数、次数的计算方法，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵单独的一个数是单项式，∴是单项式，A选项错误； ∵的数字因数为，所有字母的指数和为，∴它的系数是，次数是，B选项正确； ∵是单项式，单项式属于整式，∴是整式，C选项错误； ∵的数字因数是，∴它的系数是，不是，D选项错误． 3．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）已知，，则的值是（   ） A．8 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】将所求代数式整理为已知两个等式的组合形式，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 4．（25-26七年级下·广西桂林·阶段检测）用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第8个图形需要的火柴棒根数为（   ） A．54 B．55 C．56 D．57 【答案】A 【分析】先根据图形可得搭第1个图形需要火柴棒12根，后边的每一个图形总比前边的图形多6根，据此规律，即可求得答案． 【详解】解：搭第1个图形需要火柴棒12根， 搭第2个图形需要火柴棒（根）， 搭第3个图形需要火柴棒（根）， 依次类推，搭第n个图形需要火柴棒（根）， 当时，搭第8个图形需要火柴棒（根）． 5．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）数轴上动点从表示的位置出发，每秒 2 个单位向正方向运动，秒后点表示的数为______________． 【答案】 【分析】解题思路为：先确定点的初始位置，再计算秒内点运动的单位长度，根据向正方向运动的规则，在初始位置的基础上加上运动长度即可得到结果． 【详解】解：由题意得，点的初始位置对应的数为. 点运动速度为每秒个单位，运动时间为秒，根据路程等于速度乘时间，可得秒内点运动的路程为个单位， 因为点向数轴正方向运动，因此秒后点表示的数为初始位置的数加上运动的路程，即． 6．（25-26六年级上·上海·阶段检测）合并同类项：__________． 【答案】 【详解】解：原式 ． 7．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）已知a，b，c三个数在数轴上对应的点的位置如图所示，则代数式的化简结果为______． 【答案】 【详解】解：根据图示可知，，， ∴， ∴ ． 8．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）已知，，且，求的值． 【答案】或 【分析】根据绝对值意义，结合，先确定x、y的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ， ，只能， 当时，； 当时，； 综上，的值为或． 9．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义新运算：． (1)计算的值； (2)已知有理数在数轴上满足，化简． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）先判断的范围，再根据新定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：∵， ∴， ∴ ． 10．（25-26七年级下·湖南邵阳·阶段检测）已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）把原多项式去括号后合并同类项，再仿照题意求解即可； （2）根据整式的加减运算法则求出的结果，再根据的值与x无关得到的结果中含x的项的系数为0，据此列式求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵代数式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ， ∵的值与x无关， ∴， ∴． 1．（25-26六年级下·黑龙江大庆·期中）当时，代数式的值为2026，当时，这个代数式的值为（     ） A． B． C． D．2019 【答案】B 【分析】先将代入代数式求出的值，再将代入代数式，利用整体代入法计算求值． 【详解】解：当时，代数式的值为， ， 当时，， 把代入，则， ∴当时，这个代数式的值为． 2．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，某民族服饰的花边均是由若干个基本图形组成的有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成，第3个图案由10个基本图形组成，…按照这一规律，第7个图案中基本图形的个数为（　　） A．22 B．25 C．28 D．31 【答案】A 【分析】根据前三个图形中基本图形的个数得出第n个图案中基本图形的个数即可解答． 【详解】解：观察图形可知：第1个图案由个基本图形组成，； 第2个图案由个基本图形组成，； 第3个图案由个基本图形组成，； ∴第个图案中基本图形的个数为； 当时，基本图形的个数为． 3．（25-26九年级下·云南昭通·期中）观察下列式子：，则第（为正整数）个式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别从式子的符号、系数、字母的指数三个部分寻找规律，归纳得到第个式子的表达式即可． 【详解】解：符号规律：第1个式子为正，第2个为负，第3个为正，第4个为负 ∴可得符号为 ； 系数规律：第1个式子系数为1，第2个为2，第3个为3，第4个为4 ∴可得系数为； 的指数规律，第1个式子为，第2个为4，第3个为6，第4个为8 ∴可得第个式子中的指数为， ∴第（为正整数）个式子是． 4．（25-26七年级下·重庆·期中）对于两个整式A，B，其中，对这两个整式进行如下操作：第一次操作记：；第二次操作记：；第三次操作记：；第四次操作记：；第五次操作记：……对于以下说法，其中正确的有（   ）个 ①；②若，则 ；③若 ，则 ． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据题意计算即可判断①，根据题意得到，据此进行判断②即可；根据题意可得，利用即可得到结论． 【详解】解：， ， ，故①准确； 由题意可得，， 当时，， ∴， ∴， 故②正确； 根据题意可得， 由得到， 解得，故③准确； 综上可知，正确的是①②③，共3个． 5．（25-26七年级下·西藏林芝·期中）数列，，，，，，第个数是______． 【答案】 【分析】观察数列中各项的数值与对应项数的关系，通过归纳总结得出第个数的表达式． 【详解】解：由题干可得，第个数为，第个数为，第个数为，第个数为， 依此类推，归纳可得第个数为． 6．（25-26七年级上·上海·期中）整式按a降幂排列的结果是________________________． 【答案】 【分析】本题考查多项式的降幂排列，解题思路是先确定多项式中每一项的指数，再按照的指数从高到低排列各项，排列时保留各项原有的符号，不要遗漏项． 【详解】解：确定多项式中各项的指数分别为，按照的降幂排列，即按的指数从大到小排列各项， 可得 7．（25-26六年级下·山东济宁·期中）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则________． 6 1 8 7 5 3 2 9 4 图① 2 图② 【答案】6 【分析】本题考查了三阶幻方的核心性质（每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，即幻和相等）以及有理数的加法运算．解题的关键是通过设定幻和为S，用字母表示未知格子的数字，再利用幻和相等的性质建立方程，进而求解出字母x、y的值． 【详解】解：设三阶幻方的幻和为S（即每行、每列、每条对角线的数字之和均为S）． 设三阶幻方的9个数字分别为： 2 a b 根据“每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，和均为S”， 可得： ， 解①得， 解②得， 则， 再代入①得． 8．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）已知有理数，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是4，是最小的正整数，求的值． 【答案】 【分析】根据相反数、倒数、绝对值、最小的正整数的定义，先求出相关量的值，再代入代数式计算即可求解． 【详解】解：由题意得 ，互为相反数，因此 ，互为倒数，因此 ． 的绝对值是，因此 ． 是最小的正整数，因此 ． 所以． 9．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）解答下列各题． (1)已知，求的值； (2)已知a，b，c是不为0的有理数，求的值． 【答案】(1)，见详解 (2)或，见详解 【分析】（1）由条件可知a、b异号，根据绝对值的性质求解即可； （2）由于a，b，c的符号未知，所以分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：，a、b异号， ， ； （2）解：当a，b，c都是正数时，， 当a，b，c中有两个正数，一个负数时，不妨设a、b为正数，， 当a，b，c中有一个正数，两个负数时，不妨设b、c为负数，， 当a，b，c都是负数时，， 综上，的值为或． 10．（25-26七年级下·辽宁·期中）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是___________（填序号）； ①与；②与；③与； (2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”． 【答案】(1)②③ (2) 【分析】（1）判断和是否为常数即可得到结果； （2）根据和为常数，可知所有含未知数项的系数均为0，求出的值后计算常数项即可得到对消值. 【详解】（1）解：，和不是常数，故①不是“对消多项式”； ，和为常数，故②是“对消多项式”； ，和为常数，故③是“对消多项式”； （2）解：∵ ； ∵与互为“对消多项式”，和为常数， ∴， ∴ 解得， ∴，即它们的对消值为. 1．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）设A种糖果的单价为每千克a元，B种糖果的单价为每千克6元，则2千克A种糖果和b千克B种糖果混合而成的什锦糖果的单价为每千克（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题考查列代数式的实际应用，先求出混合什锦糖果的总价和总重量，再根据单价=总价÷总重量列出代数式即可得到答案． 【详解】解：∵ 2千克A种糖果的总价为元，千克B种糖果的总价为元， ∴ 混合后什锦糖果的总价格为元，总重量为千克， ∴ 什锦糖果的单价为每千克元． 2．（25-26七年级下·江西赣州·期末）如图所示是“奋进小组”设计的一个运算程序，若第一次输入的数是256，则第2026次输出的结果是（     ）　　　　　　 A．1 B．4 C．16 D．64 【答案】A 【分析】根据流程图正确计算是解题关键．根据流程图依次计算，根据结果发现从第三次开始，输出的结果按4、1循环出现，即可得到答案． 【详解】解：第一次输入的数是256，输出的数是， 第二次输入的数是64，输出的数是， 第三次输入的数是16，输出的数是， 第四次输入的数是4，输出的数是， 第五次输入的数是1，输出的数是， 第六次输入的数是4，输出的数是， 第七次输入的数是1，输出的数是， …… 观察发现，从第三次开始，输出的结果按4、1循环出现， ∵， 第2026次输出的结果是1． 3．（25-26七年级上·福建福州·期末）下列说法正确的是（     ） A．是三次二项式 B．单项式的系数和次数分别是 C．0是单项式 D．一次项的系数为2 【答案】C 【详解】解：选项A，中最高次项的次数为2，共有2个单项式，因此它是二次二项式，A错误； 选项B，单项式中，是常数，因此系数为，次数为，B错误； 选项C，单独的一个数是单项式，因此0是单项式，C正确； 选项D，的一次项为，因此一次项的系数为，D错误． 4．（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）如图，将一张长方形纸片分割成六个互不重叠的小长方形（长方形，长方形，长方形，长方形，长方形，长方形），若已知长方形的面积，则要得到阴影部分的面积，还需知道下列哪个图形的面积（     ） A．长方形 B．长方形 C．长方形 D．长方形 【答案】A 【分析】设大长方形的长和宽分别为，利用割补法表示出阴影部分面积，再结合选项中长方形的面积公式进行比对即可． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴， 由图知：，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵已知， ∴要得到阴影部分的面积，还需知道． 5．（25-26七年级下·福建福州·期末）已知，则____________． 【答案】8 【详解】解：∵， ∴． 6．（25-26七年级下·云南昭通·期末）若与是同类项，则的值为________． 【答案】 【分析】所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴相同字母的指数相等，即，， 解得，， ∴． 7．（25-26七年级下·福建南平·期末）某同学设计了一个数字游戏，他准备了50张相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，…，49，50．游戏规则如下：①将卡片顺序打乱后参与者从中随机抽取五张卡片，正面向下放置，按顺序依次记为A，B，C，D，E（如图）．②该同学依次将相邻两张卡片上数字的和告诉参与者，然后由参与者判断这五张卡片中哪一张卡片上的数字最大． 某位参与者抽到的五张卡片，其相邻两数之和如下表所示， 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 67 50 62 44 55 根据以上信息，参与者猜出这五张卡片上数字最大的那张卡片_______．（填A，B，C，D，E） 【答案】A 【分析】利用表格数据列出算式进行比较即可得出结论． 【详解】解：由题意得：①， ②， ③， ④， ⑤， ∴由①④可知：， ∴， 由②知：，由⑤知：，由③⑤得,即， ∴， ∴他所抽取的这五张卡牌上数字最大的是A． 8．（25-26七年级下·江西吉安·期末）观察下列各式，解答问题： ； ； ； …… (1)【发现规律】填空：（     ）（     ）（     ）（     ）； (2)【总结规律】猜想填空：（     ）（     ）（     ）； (3)【应用规律】求的值． 【答案】(1)30；4；5；9； (2)n；；； (3) 【分析】（1）根据规律直接求解即可； （2）根据规律直接求解即可； （3）根据题意变形得，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：根据题意得： ； ； ； … 由此发现，； （3） ． 9．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）现有甲、乙、丙三种规格的卡片各若干张．已知甲卡片是边长为a的正方形，乙卡片是宽为2，长为a的长方形，丙卡片是边长为2的正方形，如图1所示．嘉嘉分别用6张卡片拼出了两个长方形（不重叠，无缝隙），如图2和图3，其面积分别为，． (1)请用含a的式子分别表示________，________； (2)当时，分别求，的值； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)解： 理由： ， ． 【分析】（1）根据矩形的面积公式求解； （2）把代入（1）式即可； （3）根据作差法比较大小． 【详解】（1）解：， ； （2）解：当时 ， ； （3）略 10．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）如果一个三位数是985，即百位数字为9，十位数字为8，个位数字为5，那么这个三位数可以表示为． 设是一个四位数， (1)四位数可以表示为 （用含a、b、c、d的代数式表示）； (2)若可以被9整除，请说明这个四位数可以被9整除． 【答案】(1) (2) ， ∵ ，可以被3整除，         又可以被9整除，9可以被3整除， ∴可以被3整除， ∴可以被3整除. 【分析】（1）根据四位数字的表示方法列出代数式即可； （2）根据，结合可以被9整除，进行说明即可. 【详解】（1）略 （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三、四章 代数式、整式的加减 思维导图 第三章 代数式 3.1 列代数式表示数量关系 1. 用字母表示数 核心规则： · 数与字母、字母与字母相乘时，乘号通常省略不写，或写成“·”，且数字要写在字母的前面，例如3×a写作3a或3·a； · 字母系数是1或-1时，1省略不写，例如1×a写作a，-1×a写作-a； · 带分数与字母相乘时，要先把带分数化成假分数，例如写作； · 除法运算一般写成分数形式，例如a÷b写作； · 结果是加减运算，若后面带单位，需要把式子整体加括号，例如(3a+2b)米。 用字母表示数的意义：可以简明地表达数量关系、运算律和计算公式，具有一般性，能够代表任意满足条件的数。 2. 代数式的概念 用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式；单独的一个数或一个字母也叫做代数式。 注意：代数式中不包含等号（=）、不等号（>、<、≠、≥、≤等），等式和不等式都不是代数式。 3. 列代数式 列代数式就是把问题中与数量有关的语句，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，要点： · 抓住关键词，明确运算顺序，例如“a与b的差的平方”是(a-b)2，“a与b的平方差”是； · 复杂问题可以分段梳理，逐步表示出每一部分的数量，再组合得到完整代数式； · 实际问题中要先确定各个量之间的关系，再用字母表示未知量，列出代数式。 3.2 代数式的值 1. 代数式的值的概念 用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中指明的运算计算得出的结果，叫做代数式的值。 2. 求代数式的值的步骤 1. 代入：指明字母的取值，把数值代入代数式，替换对应字母； 注意：代入负数或分数时，如果需要计算乘方、乘法，要适当添加括号；省略乘号的地方代入后要补上乘号。 2. 计算：按照代数式规定的运算顺序和运算法则计算，得出最终结果。 3. 求代数式值的常用技巧 · 整体代入法：当无法求出每个字母的具体取值，或整体替换计算更简便时，可以把已知条件看作一个整体，代入要求的代数式化简计算，例如已知，求的值，可变形为，代入得； · 化简后代入：先化简代数式，再代入字母取值计算，减少运算量，避免错误。 第四章 整式的加减 4.1 整式 1. 单项式 · 定义：都是数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 · 系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，需要注意：系数包含符号，例如的系数是-2；系数是1或-1时，1通常省略不写。 · 次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，例如的次数是，它是五次单项式；单独一个非零数的次数是0。 2. 多项式 · 定义：几个单项式的和叫做多项式。 · 项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包含它前面的符号。 · 次数：多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数，例如中最高次项是，次数为4，因此该多项式是四次三项式。 3. 整式 单项式与多项式统称为整式，注意：分母中含有字母的式子不是整式。 4.2 整式的加法与减法 1. 同类项 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；几个常数项也是同类项。 判断同类项的两个条件：（1）所含字母完全相同；（2）相同字母的指数分别相同，两个条件缺一不可；同类项与系数大小无关，与字母的排列顺序无关。 2. 合并同类项 · 定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 · 法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项系数的和，字母连同它的指数不变。 · 步骤：①找出多项式中的同类项，做好标记；②利用加法交换律和结合律，将同类项集中在一起；③合并系数，字母和指数保持不变，写出结果。 3. 去括号法则 · 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同，例如； · 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反，例如； 注意：去括号时要把括号和括号前面的符号一起去掉，括号内原有几项，去括号后仍有几项，不能漏乘括号内任意一项。 4. 整式的加减运算法则 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项，最终结果一般要求按某个字母的降幂或升幂排列。 5. 整式加减的应用 利用整式加减解决实际问题时，先根据题意列出代数式，再通过去括号、合并同类项化简，最后代入数值计算得到结果，解决求值、方案比较等实际问题。 【类型一】代数式的定义 1．下列选项中，不是代数式的是（   ） A． B．5 C． D． 2．下列各式中，是代数式的有（     ） ，0，，， ， A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．下列是代数式的有：_______．（写序号） （1）；（2）；    （3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）0． 【类型二】列代数式 1．小亮比小强大岁，比小花小岁，如果小强是岁，小花是（     ）岁． A． B． C． D． 2．近期，铁路部门推出老年人专属出行福利：60周岁及以上老年旅客，购买带有“敬”字列车的车票，可享受9折优惠．如果一张车票原售价为元，那么优惠后的票价为（  　  ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．李白在《将进酒》中写道“陈王昔时宴平乐，斗酒十千恣欢谑”．唐时，某酒坊每斗酒售价8贯钱，每碟花生米3贯钱．若买斗酒，碟花生米一共需要______贯钱． 【类型三】代数式的实际意义 1．代数式的意义可以是（     ） A．与的和 B．与的差 C．个相加 D．个相乘 2．国庆假期期间，某景点第一天预约的游客为人，第二天预约的游客人数比第一天的2倍少200人．则代数式“”表示的意义是（   ） A．第一天比第二天多预约的人数 B．第二天比第一天多预约的人数 C．两天一共预约的人数 D．第二天预约的人数 3．对代数式“”，我们可以这样来解释：某人以3米/秒的速度走了x秒，他一共走的路程是米．请你对“”再给出另一个实际生活方面的解释：____________． 【类型四】成反比例关系 1．下列每组的两个量中，成反比例关系的是（    ） A．购买练习本的总价一定，练习本的数量和单价 B．圆柱的底面积一定，它的体积和高 C．长方形的周长一定，长和宽 D．汽车行驶的速度一定，行驶的路程和时间 2．下列问题中两个变量之间的关系不是反比例的是（   ） A．某人参加赛跑时，时间t与跑步平均速度v之间的关系 B．长方形的面积一定，它的两条邻边的长y与x之间的关系 C．圆的面积S与它的半径r之间的关系 D．三角形的面积一定时，它的一边长y与这条边上的高x之间的关系 3．若下表中的和两个量成反比例关系，则的值为___________． 6 【类型五】代数式的书写方法 1．下列代数式书写规范的是（     ） A． B． C． D． 2．下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有（     ） ， ，， ， ， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．有下列各式：下列代数式中，（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7），符合代数式书写要求的有______个 【类型六】已知字母值求代数式的值 1．已知，则的值为（     ） A．1 B． C．7 D． 2．当时，代数式的值为，当时，这个代数式的值为（   ） A． B． C． D． 3．当时，代数式的值为____________． 【类型七】代数式表示图形的周长与面积 1．如图，阴影部分的面积是（     ）                                                    A． B． C． D． 2．如图，大长方形的长为 a，宽为 b，从右上角切去一个小长方形，剩余的阴影部分图形面积可通过多种方法表示．下列四个表达式中，不能表示该阴影部分面积的是（     ） A． B． C． D． 3．一个长方形的长是宽的倍，设宽为，则这个长方形的周长为____．（用含的式子表示） 【类型八】单项式与多项式的定义 1．在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在代数式、、、5、、中，多项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下列式子：，，，，，，，其中属于单项式的是______，属于多项式的是______，属于整式的是______． 【类型九】单、多项式的系、次、项数 1．下列各代数式中，是五次单项式的是（ ） A． B． C． D． 2．下列关于单项式和多项式的结论正确的是（     ） A．单项式的系数是 B．单项式的次数是6 C．单项式没有系数 D．多项式是二次三项式 3．若关于x、y的多项式的次数是3，项数是2，则的值为_______． 【类型十】同类项 1．下列选项中，与是同类项的是（     ） A． B． C． D． 2．已知单项式与的和是单项式，那么的值是（     ） A．6 B．5 C． D． 3．已知整式与的和是一个单项式，则_____，_________． 【类型十一】合并同类项(含去括号) 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)． 3．整式化简． (1)； (2)； (3)． 【类型十二】整式的化简求值 1．先化简，再求值：，其中． 2．先化简，再求值：，其中，． 3．先化简，再求值：已知， 求的值． 【类型一】整体代入求值 1．已知：，则的值为（    ） A．9 B．10 C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是3，则=_____． 【类型二】降、升幂排列 1．多项式按字母a的降幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．将多项式按的升幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．把多项式按字母的降幂排列是：_____． 【类型三】不含某项、与某项无关 1．若式子的值与字母x的取值无关，则m的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 2．多项式的值与x，y的取值无关、则的值为（    ） A．1 B．－1 C．2026 D．－2026 3．已知关于x，y的多项式与的差不含二次项，则______． 【类型四】程序流程图 1．在计算机上设置运算程序，输入数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”，下面是一个“数值转换机”，下列输入的数据中，输出的结果为33的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为4，则第2025次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 3．信息时代确保信息的安全很重要，于是在传输信息的时候需要加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则如图所示，当发送方发出，时，解密后__________． 【类型五】绝对值在数轴中的化简 1．已知：a，b，c在数轴上的位置如图所示，则等于（     ） A． B． C． D．0 2．有理数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A．1 B． C． D． 3．有理数、、在数轴上的位置如图，则的化简结果为___________． 【类型六】月历问题 1．如图是年月的月历，小李同学用图2形框在图1的月历上框出四个数字，将该图形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期．若其中两个日期如图3所示，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 2．在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．如图，这是某年1月份的月历，我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，不难发现，结果都是7．如果将每个方框的左上角数字设为，请用含的等式表示你发现的规律：_____________________． 3．数学活动——探究月历中的数字规律． 如图1是某月的月历，小乐在其中画出一个的方框，框住九个数，计算如图2表示位置的四个数的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为_______；将图2中的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为________； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，________． 所以，________． (3)拓广探究：请利用小乐的方法，借助图1中的月历．继续进行如下探究： 如图3，在月历中用“Z型框”框住位置的四个数，请探究的值的规律．要求写出结论并说明理由． 【类型七】数与图形的规律 1．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第n个代数式是（） A． B． C． D． 2．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物．如图是这类物质前三种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1个图形中有4个氢原子，第2个图形中有6个氢原子，第3个图形中有8个氢原子，…，依此规律，第5个图形中有________________个氢原子． 3．【观察思考】如下图所示． 【规律发现】请用含n的式子填空： (1)第n个图案中“◎”的个数为________ (2)第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，……，则第n个图案中“★”的个数可表示为________． (3)【规律应用】结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和的结果等于第n个图案中“◎”的个数的． 【类型一】新定义运算 1．对于任意实数，定义，则对于实数的化简结果为（   ） A． B． C． D． 2．定义一种新运算“”，规定：，例如：．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．新定义一种运算符号“☆”，规定：，例如：，若，在数轴上的位置如图所示，化简：______． 【类型二】操作问题 1．已知，从、、、中随机取两个字母作差，记为；将剩下两个字母作差后取绝对值，记为；再对进行化简运算，称此为“和差操作”．例如：为一次“和差操作”，为“和差操作”的一种运算结果．下列说法正确的是（   ） A．不存在一种“和差操作”运算结果为； B．存在两种“和差操作”运算结果的和为； C．不存在两种“和差操作”运算结果的差为； D．所有的“和差操作”共有种不同运算结果． 2．有依次排列的2个整式：x，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：x，3，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推，通过下列实际操作： ①第二次操作后整式串为：x，，3，x，； ②第四次操作后整式串共有19个整式； ③第n个整式串比第整式串多个整式； ④第2025次操作后，所有的整式的和为，其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．对于多项式：，，，，我们用任意两个多项式求差后所得的结果，再与剩余两个多项式的差作减法运算，并算出结果，称之为“双减操作”，例如：，，， 给出下列说法： ①为任意整数时，所有“双减操作”的结果都能被2整除； ②所有的“双减操作”共有5种不同的结果； ③至少存在一种“双减操作”，使其结果为． 以上说法中正确的有______（把你认为正确结论的序号都填上） 【类型三】行列排序问题 1．将正偶数按下表排成5列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 2 4 6 8 第二行 16 14 12 10 第三行 18 20 22 24 第四行 32 30 28 26 …… 根据上面规律，应在（ ） A．行，列 B．行，列 C．行，列 D．行，列 2．将正整数按下表规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 ．．． 第一行 1 4 5 16 17 第二行 2 3 6 15 ．．． 第三行 9 8 7 14 ．．． 第四行 10 11 12 13 ．．． 第五行 ．．． ．．． 表中数2在第二行、第一列，与有序数对对应； 数5与对应； 数14与对应； 根据这一规律，数2021对应的有序数对为（  ） A． B． C． D． 3．将正整数按以下规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第一行 1 2 3 4 第二行 8 7 6 5 第三行 9 10 11 12 第四行 16 15 14 13 …… 则数字2024位于第______行，第______列． 【类型四】整除问题 1．综合与实践 【问题背景】 一般的，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．验证方法如下：以两位数为例，一个两位数的十位、个位上的数字分别为，，通常记这个两位数为，于是，显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 【类比探究】 已知一个三位数，百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c． （1）请用含a，b，c的代数式表示三位数_____； （2）请仿照【问题背景】中的代数推理方法验证：若可以被3整除，则这个数可以被3整除． 【拓展探究】 判断一个三位整数能否被7整除，只需看去掉这个数的末位数字后，所得到的两位数与此末尾数字5倍的和能否被7整除，如果这个和能被7整除，则原数就能被7整除． （3）请用代数推理方法验证：如果一个三位数，百位、十位、个位上的数字分别为、、，若“能被7整除，则就能被7整除”这个结论． 2．材料1．我们知道像12，27，36，45，108……这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除． 材料2．若一个两位数的十位、个位上的数字分别为 a ， b ，则通常记这个两位数为 ．于是 ．显然9a能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即 能被3整除． 材料3．设三位数n的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c（a，b，c 均为整数，且），记，数字和 解决问题： (1)如果能被3整除，那么 （填“能”或“不能”）被3整除． (2)求证： 一定能被3整除； (3)若三位数n是能被3整除的偶数，且满足 ，请直接写出3个符合条件的三位数n． 3．阅读与思考 阅读下面的材料，并解决问题． 代数推理的魅力 一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．若一个三位数百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，则通常记这个三位数为．于是：． 显然能被3整除，因此如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 问题解决： (1)下列三位数中，不能被3整除的是______； A．123    B．235    C．357    D．555 (2)参照材料中的方法，说明一个四位数，若它的所有数位上的数字之和能被3整除，则这个四位数能被3整除； (3)拓展：若表示一个四位数，当时，这个四位数能被11整除．请你直接写出k的值．（至少写出1个） 【类型五】整体思想问题 1．整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求出某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)把看成一个整体，合并的结果是_____； (2)如果，求的值； (3)当时，代数式的值为m，当时，求代数式的值；（用含m的代数式表示） 2．阅读理解，并解决问题．“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，比如整体代入，整体换元，整体约减，整体求和，整体构造等．有些问题若从局部求解，采取各个击破的方式，很难解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也能迎刃而解．因而“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： 例：当整式的值为7时，求整式的值． 解：因为，所以． 所以． 请根据阅读材料，解决下列问题： (1)把看成一个整体，计算的结果是______； (2)设，则______；（用含y的整式表示） (3)已知，求的值． 3．【阅读理解】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理，它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用：某问题按常规不容易直接求某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如：，求的值． 我们将作为一个整体代入，则原式． 类似的，若我们把看成一个整体，则有． 这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”． 【方法运用】 （1）把看成一个整体，求的值； 【拓展应用】 （2）将一块长方形纸片剪成如图所示的①、②、③、④四个正方形和⑤一个小长方形，设①号正方形的边长为x，②号正方形的边长为y．若图中⑤号小长方形的周长为10，试求③号正方形的周长． （3）若，求代数式的值． 提示：我们知道，反之也成立．这种解决问题的方法渗透了数学中的“逆向思维”，它是解决问题的一种重要思维方式．例如：． 【类型六】代数式的变化趋势 1．代数式是表示数量变化规律的重要形式．一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格： x … 0 1 2 … … 0 1 2 3 a … … 6 4 b 0 … … 3 1 … (1)【初步感知】根据表中信息可知：_____，____． (2)【归纳规律】表中的值随着x的变化而变化的规律是：x的值每增加1，的值就增加1．类似地，的值随着x的变化而变化的规律是：____． (3)观察表格，下列说法正确的有_____（填序号）． ①当时，                 ②当时， ③当时，                 ④当时， (4)【应用迁移】若代数式与代数式（为常数且，），若无论x取何值，的值始终小于的值，分别写出a与m，b与n的关系：____，___ 2．代数式是表示数量变化规律的重要形式．一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化，观察表格： … 0 1 2 3 … … 0 2 … … 8 7 6 5 4 3 2 … … 10 7 4 1 4 7 10 … (1)根据表中信息可知：______；______； (2)观察表格，下列结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中所有正确结论的序号是______； (3)已知，，是三个连续偶数；当时，；当时，；时， ；且．求的值． 3．综合与实践：请同学们用数学的眼光认真观察下面表格中两个代数式及其相应的值，通过数学的思维进行思考，并用数学的语言表达下列问题． x … 0 1 2 … … m 2 5 … … 8 5 2 n … (1)【初步感知】根据表中信息可知：_________，_________； (2)【归纳规律】表中代数式的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就增加3．类似地，代数式的值的变化规律是什么？ (3)【拓展应用】当x的值每增加2时，猜想代数式的值会怎样变化，并说明理由． 【类型七】代数式的归纳 1．通过问题解决策略“归纳”的学习，你能用归纳策略比较两个数和的大小吗？ 为了解决这个问题，我们先研究它的一般形式，即比较和的大小（n是正整数），然后我们从分析，2，3，…这些简单的情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论． (1)通过计算，比较下列各组中两个数的大小（填“”“”或“”） ①______            ②______            ③______ ④______            ⑤______            ⑥______ (2)从（1）中的结果经过归纳，猜想出和的大小关系； (3)试根据上面的归纳猜想得到的一般结论，试比较下面两个数的大小：______ 2．归纳是数学中发现规律的常用方法，我们可以通过具体的例子来发现一般的规律．在某次综合与实践活动中，学校数学兴趣小组研究如下“点阵”表（其中表示行数，表示列数），每个位置（第行和第列）对应一个独立的“点阵”，我们把该“点阵”中点的总个数记为．例如，观察第2行第3列的“点阵”，其点的总个数． 【观察与思考】 （1）观察第1，2行的“点阵”规律，按要求填写： ①__________； ②__________； ③__________（用含的代数式表示）； 【猜想与应用】 （2）基于（1）中发现的规律，兴趣小组的学生进一步发现： ， ， ， …… 据此归纳： 对任意正整数，有． 设（且为正整数），若，求的值； 【拓展与归纳】 （3）兴趣小组继续探究，尝试归纳“点阵”的一般规律： __________（用含的代数式表示）；__________（用含，的代数式表示）． 3．归纳是数学中发现规律的常用方法，我们可以通过具体的例子来发现一般的规律．小明利用“归纳”的策略对以下问题进行了探究． 【问题提出】 连接五边形的五个顶点和它内部的1000个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得多少个三角形？（不计被分割的三角形） 【问题探究】 为了解决上面的问题，小明运用归纳的策略，先在若干简单情形中寻找相应的规律． 如图1，当五边形内有1个点时，可分得5个三角形． 如图2，当五边形内有2个点时，可分得7个三角形． 当五边形内有3个点时，可分得___________个三角形．（可借助备用图分析） 归纳得出当五边形内有个点，可分得___________个三角形． 【问题解决】 连接五边形的五个顶点和它内部的1000个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得___________个三角形． 【拓展延伸】 若连接边形的个顶点和它内部的个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到边形内所有区域都变成三角形，可分得___________个三角形． 【类型八】代数式的新定义应用 1．阅读理解：我们把只含有一个字母，且字母的指数都是1，系数之和为0，常数项之和也为0的两个整式称为互为零和整式．例如：整式与整式，它们都只含一个字母x，x的指数都是1，且系数，常数项，因此这两个整式互为零和整式．根据以上定义，解答下列问题： (1)下列各组整式中，互为零和整式的是____________． A．与 B．与 C．与 D．与 (2)若整式与整式互为零和整式，求的值． (3)现有两个互为零和整式M和N，其中；先化简整式M，再根据零和整式的定义直接写出整式N． 2．定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“雅系多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“雅系和”．例如：多项式的系数和为．所以多项式是“雅系多项式”，它的“雅系和”为28．请根据这个定义解答下列问题： (1)下列多项式属于“雅系多项式”的是________（填序号） ①；②；③； (2)若关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7，且a、b均为正整数，求的值； (3)若多项式是关于x，y的“雅系多项式”，则多项式也是关于x，y的“雅系多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 3．定义：若一个多项式的各项系数之和为的整数倍，则称这个多项式为“卓越多项式”． 例如：多项式的系数和为，所以多项式是“卓越多项式”． 请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“卓越多项式”的是________．（在横线上填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于，的“卓越多项式”（其中，均为整数），则多项式也是关于，的“卓越多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【类型九】分数裂项 1．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)写出第5个等式； (2)用含n的式子表示第n个等式； (3)计算． 2．观察下列等式： ，，． 将以上三个等式两边分别相加得． (1)猜想并写出：=______． (2)直接写出计算结果：=______． (3)探究并计算，请写出计算过程： ①； ②． 3．【观察思考】观察下列等式， 将以上三个等式两边分别相加得： ． 【探索规律】 （1）猜想并写出： ； （2）直接写出下列各式的计算结果： ； 【迁移运用】 （3）计算：． 1．（25-26八年级下·四川自贡·阶段检测）甲种食品每袋元，9折出售；乙种食品每袋元，8折出售．小明两种食品各买了1袋，那么他一共需要支付（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（25-26七年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A．不是单项式 B．的系数是，次数是 C．不是整式 D．的系数是，次数是 3．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）已知，，则的值是（   ） A．8 B．2 C． D． 4．（25-26七年级下·广西桂林·阶段检测）用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第8个图形需要的火柴棒根数为（   ） A．54 B．55 C．56 D．57 5．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）数轴上动点从表示的位置出发，每秒 2 个单位向正方向运动，秒后点表示的数为______________． 6．（25-26六年级上·上海·阶段检测）合并同类项：__________． 7．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）已知a，b，c三个数在数轴上对应的点的位置如图所示，则代数式的化简结果为______． 8．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）已知，，且，求的值． 9．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义新运算：． (1)计算的值； (2)已知有理数在数轴上满足，化简． 10．（25-26七年级下·湖南邵阳·阶段检测）已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值 1．（25-26六年级下·黑龙江大庆·期中）当时，代数式的值为2026，当时，这个代数式的值为（     ） A． B． C． D．2019 2．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，某民族服饰的花边均是由若干个基本图形组成的有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成，第3个图案由10个基本图形组成，…按照这一规律，第7个图案中基本图形的个数为（　　） A．22 B．25 C．28 D．31 3．（25-26九年级下·云南昭通·期中）观察下列式子：，则第（为正整数）个式子是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·重庆·期中）对于两个整式A，B，其中，对这两个整式进行如下操作：第一次操作记：；第二次操作记：；第三次操作记：；第四次操作记：；第五次操作记：……对于以下说法，其中正确的有（   ）个 ①；②若，则 ；③若 ，则 ． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（25-26七年级下·西藏林芝·期中）数列，，，，，，第个数是______． 6．（25-26七年级上·上海·期中）整式按a降幂排列的结果是________________________． 7．（25-26六年级下·山东济宁·期中）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则________． 6 1 8 7 5 3 2 9 4 图① 2 图② 8．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）已知有理数，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是4，是最小的正整数，求的值． 9．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）解答下列各题． (1)已知，求的值； (2)已知a，b，c是不为0的有理数，求的值． 10．（25-26七年级下·辽宁·期中）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是___________（填序号）； ①与；②与；③与； (2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”． 1．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）设A种糖果的单价为每千克a元，B种糖果的单价为每千克6元，则2千克A种糖果和b千克B种糖果混合而成的什锦糖果的单价为每千克（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（25-26七年级下·江西赣州·期末）如图所示是“奋进小组”设计的一个运算程序，若第一次输入的数是256，则第2026次输出的结果是（     ）　　　　　　 A．1 B．4 C．16 D．64 3．（25-26七年级上·福建福州·期末）下列说法正确的是（     ） A．是三次二项式 B．单项式的系数和次数分别是 C．0是单项式 D．一次项的系数为2 4．（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）如图，将一张长方形纸片分割成六个互不重叠的小长方形（长方形，长方形，长方形，长方形，长方形，长方形），若已知长方形的面积，则要得到阴影部分的面积，还需知道下列哪个图形的面积（     ） A．长方形 B．长方形 C．长方形 D．长方形 5．（25-26七年级下·福建福州·期末）已知，则____________． 6．（25-26七年级下·云南昭通·期末）若与是同类项，则的值为________． 7．（25-26七年级下·福建南平·期末）某同学设计了一个数字游戏，他准备了50张相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，…，49，50．游戏规则如下：①将卡片顺序打乱后参与者从中随机抽取五张卡片，正面向下放置，按顺序依次记为A，B，C，D，E（如图）．②该同学依次将相邻两张卡片上数字的和告诉参与者，然后由参与者判断这五张卡片中哪一张卡片上的数字最大． 某位参与者抽到的五张卡片，其相邻两数之和如下表所示， 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 67 50 62 44 55 根据以上信息，参与者猜出这五张卡片上数字最大的那张卡片_______．（填A，B，C，D，E） 8．（25-26七年级下·江西吉安·期末）观察下列各式，解答问题： ； ； ； …… (1)【发现规律】填空：（     ）（     ）（     ）（     ）； (2)【总结规律】猜想填空：（     ）（     ）（     ）； (3)【应用规律】求的值． 9．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）现有甲、乙、丙三种规格的卡片各若干张．已知甲卡片是边长为a的正方形，乙卡片是宽为2，长为a的长方形，丙卡片是边长为2的正方形，如图1所示．嘉嘉分别用6张卡片拼出了两个长方形（不重叠，无缝隙），如图2和图3，其面积分别为，． (1)请用含a的式子分别表示________，________； (2)当时，分别求，的值； (3)比较与的大小，并说明理由． 10．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）如果一个三位数是985，即百位数字为9，十位数字为8，个位数字为5，那么这个三位数可以表示为． 设是一个四位数， (1)四位数可以表示为 （用含a、b、c、d的代数式表示）； (2)若可以被9整除，请说明这个四位数可以被9整除． 学科网（北京）股份有限公司 $