精品解析：广西壮族自治区南宁市第三中学2026～2027学年度秋季学期随堂练习（一） 九年级数学

2026~2027学年度秋季学期随堂练习（一） 九年级数学 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一．单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 在给出的数、、中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵题干给出的数为，，， ∴不在给出的数范围内，排除A； ∵， ∴最小的数是． 2. 小明在支付时看到“超过元时，商品按原价打折后，再减少元”，若小明要购买商品的原价为元（），则购买该商品实际付款的金额（单位：元）是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵商品原价为元（），且按原价打折后，再减少元， ∴实际付款金额为元． 3. 如图，直线，相交于点，于点，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了余角的定义，补角的定义，由补角的定义得，由余角的定义得，即可求解；理解余角的定义，补角的定义是解题的关键． 【详解】解：因为， ， 所以， 因为， 所以， 所以 ． 故选B． 4. 科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表） 温度/ 声速/ 下列说法错误的是（ ） A. 声速随温度的增大而减小 B. 温度越高，声速越快 C. 当空气温度为时，声速为 D. 当空气温度为时，声速为 【答案】A 【解析】 【分析】先根据声速随温度的变化趋势判断A、B的正误，再验证对应温度下的声速判断C、D的正误． 【详解】解：∵由表格数据可知，温度升高时声速逐渐增大， ∴声速随温度的增大而增大，温度越高声速越快，A说法错误，符合题意；B说法正确，不符合题意． ∵由表格中对应数据可知，时声速为，声速为， ∴C、D说法均正确，不符合题意． 5. 如图的两个统计图，女生人数多的学校是（ ） A. 甲校 B. 乙校 C. 甲、乙两校女生人数一样多 D. 无法确定 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，一般不能直接从图中得到具体的数量， ∴甲校女生人数甲校总人数，乙校女生人数乙校总人数， ∵题目中未给出甲、乙两校的学生总人数， ∴无法计算并比较两校女生的具体人数. 6. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、，运算正确，故该选项正确； B、与不是同类项，无法合并，运算错误，故该选项错误； C、，运算错误，故该选项错误； D、，运算错误，故该选项错误． 7. 数学课上老师提出问题：在中，，用尺规作图法在边上确定一点，使．下面是四位同学的作图过程，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作的垂直平分线交于点D，则，再观察各选项即可得出答案． 【详解】解：要使，则作的垂直平分线交于点D即可，观察各选项，只有B选项符合． 8. 已知关于字母x的二次三项式是完全平方式，则常数k的值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将二次项、常数项化为平方形式，结合完全平方式的一次项特征列等式求解. 【详解】解：【法一】∵是完全平方式且，， ∴原式可写为， 对比系数有解得， 故D选项正确． 【法二】∵是完全平方式， ∴令， 对比系数可得解得． 故D选项正确． 9. 如图，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：D 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键． 10. 若分式的值为零，则x的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意得且， 解得或， 解得， ∴． 11. 下列关于的函数中，是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A、不符合的形式，不是正比例函数，不符合题意； B、，符合的形式，是正比例函数，符合题意； C、不符合的形式，不是正比例函数，不符合题意； D、不符合的形式，不是正比例函数，不符合题意． 12. 如图，小明把长为，宽为的两个长方形沿对角线剪开，围成如图所示的一个大正方形，则空白部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得小长方形的面积和大正方形的面积即可求解． 【详解】解：由题意，小长方形的面积为，大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴空白部分的面积是． 二．填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 比较大小：______1．（填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】通过变形将问题转化为比较和的大小，利用算术平方根的性质估算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 14. “高铁站对乘坐高铁的旅客进行安检”适合采用的调查方式是___________．（填“全面调查”或“抽样调查”） 【答案】全面调查 【解析】 【分析】需要根据这两种调查方式的特点以及安检的实际需求来进行分析，高铁站安检需要保障所有旅客的乘车安全，不允许遗漏任何潜在风险，据此可判断调查方式． 【详解】解：全面调查是对考察的全部对象都进行调查的方式， 抽样调查只抽取部分对象进行调查． 如果采用抽样调查，即只对部分旅客进行安检， 那么未被抽检的旅客中如果携带了危险品，将会给高铁运行带来极大的安全隐患． 所以高铁站安检为保障公共安全，需要检查每一位旅客携带的物品， 必须对全部旅客进行检查，因此适合采用全面调查． 15. 已知点，都在直线上，若，则________．（填，或） 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，表示出与，结合列出关于的不等式，解不等式得到与的大小关系． 【详解】解： 点，都在直线上． ，． 又． ． 移项，得 ． 合并同类项，得 ． 系数化为，得 ． 16. 如图，一块矩形纸片，长，宽，将这块矩形纸片沿对角线对折（折痕与折叠后得到的图形用虚线表示），得到，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用矩形性质和折叠性质，证明得到，，设，在中，利用勾股定理求得x值即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， 由折叠性质得，， ∴，，又， ∴， ∴，， 设，则， 在中，由得， 解得，故． 三．解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算及化简 （1）计算：； （2）化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 为了培养学生动手劳动能力，某校拟开设A（电子制作）、B（插花）、C（茶艺茶道）、D（剪纸）4个综合实践课程，规定每个学生必须参加且只能报名一个课程．为了解学生参加综合实践课程的意愿，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制作了如图所示的两个不完整的统计图： 请根据信息，解决下列问题： （1）参加这次调查的学生总人数为多少?将条形统计图补充完整； （2）请计算扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角； （3）若该校共有2700名学生，请根据调查结果，估计该校选择A课程的学生人数． 【答案】（1）180人；补全条形统计图如图： （2） （3）750人 【解析】 【分析】（1）先利用选择C课程的人数和其占比，求出调查的总人数；再用总人数减去选择A，C，D三个课程的人数，得到选择B课程的人数，进而补全条形统计图即可； （2）用乘以选择D课程的占比，即可求解； （3）用2700乘以选择A课程的占比，即可求解． 【小问1详解】 解：（1）参加这次调查的学生总人数为（人），则选择B课程人数为（人）， 补全条形统计图略． 【小问2详解】 解：扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角为． 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计该校选择A课程的学生人数约为750人． 19. 如图，在四边形中，，，连接对角线． （1）用尺规完成基本作图：作线段的垂直平分线分别交、、于点、、，连接、． （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1） （2）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的定义作图即可； （2）证明，得到，证明，得到，进而得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于x轴对称的； （2）请画出绕点B逆时针旋转后的； （3）求出（2）中点C所经过的路径长． 【答案】（1）解：如图所示即为所作， （2）解：如图所示即为所作， （3） 【解析】 【分析】（1）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，则可得点的坐标，据此作图即可； （2）根据旋转的特点作图即可； （3）利用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得，． 点C所经过的路径长为． 21. 综合与实践 【问题背景】为了对校园四人组装智能小车项目的比赛成绩进行分析优化，同学们对参赛班级的成绩数据进行了统计分析． 在四人组装智能小车竞赛中，队伍依次完成零件分拣、车体搭建、电路焊接、程序调试四个环节，后三个环节的选手可在前一环节推进时提前准备物料与工具，从而减少环节切换的准备时间损耗．因此四人流水线组装的总用时通常小于四名选手各自单独完成对应环节的用时之和 在赛前训练过程中，同学们发现平均每个衔接环节节约时间（单位：分钟）与衔接配合训练时长（单位：小时）满足一次函数关系，并且比赛用时满足：智能小车组装总用时四人单独完成各环节时间总和-三处衔接环节总节约时间 （1）已知八（3）班四名选手单独完成各环节的用时总和为分钟，求八（3）班组装总用时（单位：分钟）与衔接配合训练时长（单位：小时）之间的函数表达式； （2）八（2）班选手单独完成各环节的总用时比八（4）班快3分钟，但组装比赛比八（4）班慢分钟，且两班的衔接配合训练时间之和为小时．求八（4）班的训练时长． 【答案】（1） （2）八（4）班的训练时长为小时． 【解析】 【分析】（1）根据平均每个衔接环节节约时间与衔接配合训练时长的函数关系，得出三处衔接总节约时间，再结合“智能小车组装总用时四人单独完成各环节时间总和-三处衔接环节总节约时间”，即可得到函数关系式； （2）设八（4）班的训练时间为小时，单独完成各环节的总用时为分钟，则八（2）班的训练时间为小时，单独完成各环节的总用时为分钟，再根据题意表示出两班的组装比赛总用时，进而列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，平均每个衔接环节节约时间满足， 三处衔接总节约时间为， 组装总用时， 即组装总用时与衔接配合训练时长之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设八（4）班的训练时间为小时，单独完成各环节的总用时为分钟， 则八（2）班的训练时间为小时，单独完成各环节的总用时为分钟， 平均每个衔接环节节约时间与衔接配合训练时长满足一次函数关系， 八（4）班平均每个衔接环节节约时间为分钟，八（2）班为分钟， 八（4）班的组装比赛总用时为分钟， 八（2）班的组装比赛总用时为分钟， 八（2）班组装比赛总用时比八（4）班慢分钟， ， 解得：， 即八（4）班的训练时长为小时． 22. 【问题情境】 如图，已知四边形为正方形，E为对角线上一动点（不与点A，C重合），连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． 【基础探究】 （1）如图1，求证：四边形是正方形； 【拓展迁移】 （2）如图2，已知正方形的边长为，当时，求的长． 【答案】（1）证明：如图所示，过E作于点M，过E作于点N， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． （2） 【解析】 【分析】（1）过E作于点M，过E作于点N，得到，推导出，四边形为正方形，得到，，进而推导出，得到，则四边形是正方形，即可解答； （2）作于点H，推导出，得到，，进而推导出是等腰直角三角形，设，得到，，根据勾股定理，求出，得到，求出，再根据勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作于点H， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 23. 阅读理解： 【新定义】对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”． 【解决问题】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． （1）已知个点：、、、，以上这四个点中______是线段的“等距点”，______是线段的“完美等距点”（填写大写字母）； （2）若点在第三象限，且，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； （3）若点是线段的“完美等距点”，则称为的“完美等距三角形”．点在第一象限，是轴上一个动点，是否存在这样的点，使点在的“完美等距三角形”上且为线段的“完美等距点”．若存在，请直接写出点横坐标的取值范围______． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（）先根据等距点定义，得出线段的等距点在的垂直平分线上，筛选出横坐标为的；再根据完美等距点需满足 的要求，用勾股定理逆定理验证，做出判断； （）先根据点在直线上且在第三象限、的条件，代入直线方程和两点间距离公式求出点坐标；再根据在轴上且为线段的等距点，利用列方程，解出点的纵坐标，得到其坐标； （）根据“完美等距点”定义，先设出直线上点的坐标，再结合同时为线段 的“完美等距点”的条件，利用垂直平分线的几何关系利用数形结合可得． 【小问1详解】 解：线段端点、，“等距点”满足 ， 因此等距点在的垂直平分线上， 四个点中横坐标为的是、 、 ， ∴这三个是等距点， “完美等距点”还需要满足 ， 由勾股定理逆定理：点： ，，，，符合； 同理可得： ： ，不符合； ： ，不符合； ∴完美等距点只有； 【小问2详解】 解：∵在上， ∴， ∵在第三象限， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ， 解得：， ∴ ，即 ， 设 ，是的等距点， ∴，即：，  整理，得 ， 解得：， ∴坐标为； 【小问3详解】 解：∵点是直线上， ∴ （，第一象限）， ∵点是线段的“完美等距点”， ∴满足，， 此时四边形为正方形， ∵是轴上一个动点，使点在的“完美等距三角形”上且为线段的“完美等距点”． 如图：是的垂直平分线，是的垂直平分线，交于点， ∴点在过且与轴成的两条互相垂直的直线上， 当点与点重合时， ∵，点的坐标为， ∴，， ∴ ∴, ∴， ∴当正方形与过且与轴成的两条互相垂直的直线有交点时， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度秋季学期随堂练习（一） 九年级数学 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一．单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 在给出的数、、中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 小明在支付时看到“超过元时，商品按原价打折后，再减少元”，若小明要购买商品的原价为元（），则购买该商品实际付款的金额（单位：元）是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，相交于点，于点，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 4. 科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表） 温度/ 声速/ 下列说法错误的是（ ） A. 声速随温度的增大而减小 B. 温度越高，声速越快 C. 当空气温度为时，声速为 D. 当空气温度为时，声速为 5. 如图的两个统计图，女生人数多的学校是（ ） A. 甲校 B. 乙校 C. 甲、乙两校女生人数一样多 D. 无法确定 6. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 数学课上老师提出问题：在中，，用尺规作图法在边上确定一点，使．下面是四位同学的作图过程，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于字母x的二次三项式是完全平方式，则常数k的值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 9. 如图，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 若分式的值为零，则x的值是（ ） A. B. C. D. 11. 下列关于的函数中，是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，小明把长为，宽为的两个长方形沿对角线剪开，围成如图所示的一个大正方形，则空白部分的面积是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 比较大小：______1．（填“”或“”） 14. “高铁站对乘坐高铁的旅客进行安检”适合采用的调查方式是___________．（填“全面调查”或“抽样调查”） 15. 已知点，都在直线上，若，则________．（填，或） 16. 如图，一块矩形纸片，长，宽，将这块矩形纸片沿对角线对折（折痕与折叠后得到的图形用虚线表示），得到，则___________． 三．解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算及化简 （1）计算：； （2）化简： 18. 为了培养学生动手劳动能力，某校拟开设A（电子制作）、B（插花）、C（茶艺茶道）、D（剪纸）4个综合实践课程，规定每个学生必须参加且只能报名一个课程．为了解学生参加综合实践课程的意愿，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果制作了如图所示的两个不完整的统计图： 请根据信息，解决下列问题： （1）参加这次调查的学生总人数为多少?将条形统计图补充完整； （2）请计算扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角； （3）若该校共有2700名学生，请根据调查结果，估计该校选择A课程的学生人数． 19. 如图，在四边形中，，，连接对角线． （1）用尺规完成基本作图：作线段的垂直平分线分别交、、于点、、，连接、． （2）求证：四边形是菱形． 20. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于x轴对称的； （2）请画出绕点B逆时针旋转后的； （3）求出（2）中点C所经过的路径长． 21. 综合与实践 【问题背景】为了对校园四人组装智能小车项目的比赛成绩进行分析优化，同学们对参赛班级的成绩数据进行了统计分析． 在四人组装智能小车竞赛中，队伍依次完成零件分拣、车体搭建、电路焊接、程序调试四个环节，后三个环节的选手可在前一环节推进时提前准备物料与工具，从而减少环节切换的准备时间损耗．因此四人流水线组装的总用时通常小于四名选手各自单独完成对应环节的用时之和 在赛前训练过程中，同学们发现平均每个衔接环节节约时间（单位：分钟）与衔接配合训练时长（单位：小时）满足一次函数关系，并且比赛用时满足：智能小车组装总用时四人单独完成各环节时间总和-三处衔接环节总节约时间 （1）已知八（3）班四名选手单独完成各环节的用时总和为分钟，求八（3）班组装总用时（单位：分钟）与衔接配合训练时长（单位：小时）之间的函数表达式； （2）八（2）班选手单独完成各环节的总用时比八（4）班快3分钟，但组装比赛比八（4）班慢分钟，且两班的衔接配合训练时间之和为小时．求八（4）班的训练时长． 22. 【问题情境】 如图，已知四边形为正方形，E为对角线上一动点（不与点A，C重合），连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． 【基础探究】 （1）如图1，求证：四边形是正方形； 【拓展迁移】 （2）如图2，已知正方形的边长为，当时，求的长． 23. 阅读理解： 【新定义】对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”． 【解决问题】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． （1）已知个点：、、、，以上这四个点中______是线段的“等距点”，______是线段的“完美等距点”（填写大写字母）； （2）若点在第三象限，且，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； （3）若点是线段的“完美等距点”，则称为的“完美等距三角形”．点在第一象限，是轴上一个动点，是否存在这样的点，使点在的“完美等距三角形”上且为线段的“完美等距点”．若存在，请直接写出点横坐标的取值范围______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $