精品解析：广西 南宁市第二中学2025-2026学年上学期开学考试九年级数学试题

南宁二中2025年秋季学期开学考试九年级数学 一、单选题（共12小题，每小题3分，共36分．） 1. 的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 若x为正整数，要使有意义，则满足条件的x的值可能是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 3. 米斗是我国古代粮仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器．如图（1）是一种米斗的实物图，如图（2）是它的示意图（不计厚度），则其主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 南宁地铁2号线一期工程南起玉洞，北至西津，全长约米，那么这个数用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 跨学科试题·语文朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了________，把雨看成________，说明________，横线上应该填（ ） A. 点；面；点动成线 B. 点；线；点动成线 C. 线；面；线动成面 D. 线；面；面动成体 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数的图象经过点，每当增加1个单位时，就增加4个单位，则此函数表达式是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，长方体的底面边长为1 cm和3 cm，高为6 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要(　　) A. 12 cm B. 11 cm C. 10 cm D. 9 cm 10. 甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，甲车到B地后立即返回A地，若两车行驶时速度保持不变，如图是两车离A地的距离y与所用时间x的函数关系图象．下列说法错误的是（ ） A. 甲车从A地到B地时间为分钟 B. 甲车速度是乙车速度的倍 C. 甲车行驶路程是乙车的2倍 D. 甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为分钟 11. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则a的值为（ ） A. 2 B. C. 5 D. 6 12. 如图，直线，，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. __________． 14. 甲、乙两名同学近四次体育小测成绩的平均数都是80分，方差分别是，，则这两名学生的体育成绩最稳定的是__________． 15. 如图，在中，，为斜边上一动点，，垂足分别为，则线段的长度的最小值为__________． 16. 如图，四边形是菱形，，对角线，相交于点O，于H，连接，则＝______度． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．） 17. （1）计算； （2）化简． 18. 如图，已知弧上的三点、、，要把破残的圆片补充完整． （1）尺规作图，找出弧所在圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； （2）设是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径． 19. 2024年3月，全国两会在北京顺序召开，意义非凡．为了解学生对两会精神的知晓程度，某校从八年级两个班中各随机抽查了20名学生进行两会知识测试，分别对学生的测试成绩（满分为100分）进行收集、整理和分析（测试成绩用表示，都为整数，结果分为四个类型：为不了解；为比较了解；为了解；为非常了解） 【收集数据】抽取的班学生的测试成绩中对于两会精神“了解”的类型分数为84，86，86，87，88，89；抽取的班学生的测试成绩为66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 【整理数据】两班的数据整理如下： 【分析数据】两班的平均数、中位数和方差如表所示： 平均数 中位数 方差 班 88 104.8 班 88 87.5 106.1 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：班学生对两会精神知晓程度的扇形统计图中，“非常了解”所对应的圆心角度数为__________，__________，请补全条形统计图； （2）被抽取的学生中，哪个班的学生测试表现更好？请说明你的理由； （3）假设该校八年级学生有1200人，请估计该校八年级在这次测试中成绩为“了解”的学生人数． 20. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，求的长度． 21. 某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量（千克）与每千克售价（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示： 每千克售价（元） … 20 25 30 … 日销售量（千克） … 120 110 100 … （1）求与之间的函数关系式； （2）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 22. 数学兴趣小组在学习二次函数后，发现二次函数中字母系数与其图象有直接联系，他们借助学习函数的经验，对二次函数为常数）进行研究． 【特例分析】 （1）数学兴趣小组分别取三个特殊值进行特例研究． ①确定表达式： 当时，，当时，，当时，____________； ②画函数图象： 平面直角坐标系中已画出和的图象，请你在同一坐标系中画出的图象； 【性质探究】 （2）数学兴趣小组通过观察图象得到猜想：不论为何值，二次函数图象经过点．请问这个猜想是否正确？请说明理由． 【性质应用】 （3）已知点，若二次函数图象与线段有且只有一个交点，求的取值范围． 23. 综合与探究 问题情境： 在边长为10的正方形中，是对角线上一点，连接．过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两线交于点． 特别研究： （1）如图1，当点在对角线的中点处时，四边形的形状为______． 深入探究： （2）如图2，当点是对角线上任意一点时． ①试说明（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； ②求四边形面积的取值范围． （3）如图3，当时，点落在的延长线上，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁二中2025年秋季学期开学考试九年级数学 一、单选题（共12小题，每小题3分，共36分．） 1. 的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查绝对值和相反数，根据绝对值的定义，负数的绝对值是它的相反数求解即可． 【详解】解：∵ ∴， 故选：C． 2. 若x为正整数，要使有意义，则满足条件的x的值可能是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，结合为正整数，确定的可能值． 【详解】∵有意义， ∴， 解得． ∵为正整数： ∴的可能取值为1、2、3． 故选：D． 3. 米斗是我国古代粮仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器．如图（1）是一种米斗的实物图，如图（2）是它的示意图（不计厚度），则其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体三视图，正确识别几何体的三视图是解题的关键．根据米斗的示意图，即可得到米斗的主视图． 【详解】解：几何体的主视图为： 故选：． 4. 南宁地铁2号线一期工程南起玉洞，北至西津，全长约米，那么这个数用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故选B． 5. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先把原抛物线解析式化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为，即， 故选：A． 6. 跨学科试题·语文朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了________，把雨看成________，说明________，横线上应该填（ ） A. 点；面；点动成线 B. 点；线；点动成线 C. 线；面；线动成面 D. 线；面；面动成体 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点动成线，解题关键在于掌握从运动的观点来看：点动成线，线动成面，面动成体. 【详解】解：由题意可得，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了点，把雨看成线，说明点动成线. 故选：B． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方及积的乘方依次对各选项进行分析即可得出结论． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：C． 8. 一次函数的图象经过点，每当增加1个单位时，就增加4个单位，则此函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，理解题意是解题的关键． 根据题意得出一次函数经过点，进而求出即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点，每当增加1个单位时，就增加4个单位， ∴一次函数的图象经过点，即点， 把点，点代入得： ， 解得：， ∴此函数表达式是． 故选：B 9. 如图，长方体的底面边长为1 cm和3 cm，高为6 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要(　　) A. 12 cm B. 11 cm C. 10 cm D. 9 cm 【答案】C 【解析】 【分析】将长方体展开，根据两点之间线段最短，可知所用细线最短长度． 【详解】解：将长方体展开，连接A、B， 根据两点之间线段最短，AB==10（cm）. 故选C. 【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可． 10. 甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，甲车到B地后立即返回A地，若两车行驶时速度保持不变，如图是两车离A地的距离y与所用时间x的函数关系图象．下列说法错误的是（ ） A. 甲车从A地到B地时间为分钟 B. 甲车速度是乙车速度的倍 C. 甲车行驶路程是乙车的2倍 D. 甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为分钟 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键．根据时间、速度和路程之间的关系结合函数图象逐一判断即可． 【详解】解：甲车从地到地时间为（分钟）， 故A选项不符合题意； 甲车从地到地时间为分钟，乙车从地到地时间为分钟， 行驶相等的路程甲、乙两车所用时间之比为， 甲、乙两车的速度之比为， 甲车速度是乙车速度的3倍， 故B选项符合题意； 甲车行驶路程是乙车的2倍， 故C选项不符合题意； 设乙车的速度为千米分钟，则甲车的速度为千米分钟，、两地之间的路程为 千米， 设甲、乙两车第一次相遇的时间为分钟，则 解得， 设甲、乙两车第二次相遇的时间为分钟，则， 解得， （分钟）， 甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为分钟， 故D选项不符合题意． 故选：B． 11. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则a的值为（ ） A. 2 B. C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式．先根据判别式的意义得到，再根据根与系数的关系得，，由变形得到，则，然后解一元一次方程． 【详解】解：根据题意得，解得， ，， ， ， ， ． 故选：C． 12. 如图，直线，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义及性质，由平行线的性质可得，再由三角形外角的定义及性质可得，，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘法，根据乘法法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为： 14. 甲、乙两名同学近四次体育小测成绩的平均数都是80分，方差分别是，，则这两名学生的体育成绩最稳定的是__________． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题主要考查了方差．根据方差的意义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴这两名学生的体育成绩最稳定的是甲． 故答案为：甲． 15. 如图，在中，，为斜边上一动点，，垂足分别为，则线段的长度的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，矩形的判定和性质，垂线段最短，连接，勾股定理求出的长，证明四边形为矩形，得到，进而得到当最小时，最小，根据垂线段最短，得到当时，最短，等积法求出的长即可． 【详解】解：∵在中，，由图可知：， ∴， 连接， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当最小时，最小， ∵为斜边上一动点， ∴当时，最短，此时最小， 此时：，即：， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 16. 如图，四边形是菱形，，对角线，相交于点O，于H，连接，则＝______度． 【答案】25 【解析】 【分析】先根据菱形的性质得，，再根据直角三角形的性质得，进而得出，根据平行线的性质得，然后根据直角三角形的两个锐角互余得出答案. 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，. ∵， ∴， ∴. 又∵， ∴. 在中，， 在中，， ∴. 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质等，弄清各角之间的数量关系是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．） 17. （1）计算； （2）化简． 【答案】（1）22（2） 【解析】 【分析】本题考查有理数的运算，整式的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）先乘法，再进行加法运算即可； （2）根据多项式乘以多项式的法则和完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式． 18. 如图，已知弧上的三点、、，要把破残的圆片补充完整． （1）尺规作图，找出弧所在圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； （2）设是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径． 【答案】（1）图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆的确定，中垂线的判定，勾股定理，熟练掌握圆的确定方法，是解题的关键： （1）分别作、的垂直平分线，设交点为，则为所求圆的圆心； （2）连接交于点，连接，推出垂直平分，勾股定理求出的长，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：分别作、的垂直平分线，设交点为，则为所求圆的圆心． 【小问2详解】 解：连接交于点，连接，则：， ∵是等腰三角形，底边，腰， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得：． 19. 2024年3月，全国两会在北京顺序召开，意义非凡．为了解学生对两会精神的知晓程度，某校从八年级两个班中各随机抽查了20名学生进行两会知识测试，分别对学生的测试成绩（满分为100分）进行收集、整理和分析（测试成绩用表示，都为整数，结果分为四个类型：为不了解；为比较了解；为了解；为非常了解） 【收集数据】抽取的班学生的测试成绩中对于两会精神“了解”的类型分数为84，86，86，87，88，89；抽取的班学生的测试成绩为66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 【整理数据】两班的数据整理如下： 【分析数据】两班的平均数、中位数和方差如表所示： 平均数 中位数 方差 班 88 104.8 班 88 87.5 106.1 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：班学生对两会精神知晓程度的扇形统计图中，“非常了解”所对应的圆心角度数为__________，__________，请补全条形统计图； （2）被抽取的学生中，哪个班的学生测试表现更好？请说明你的理由； （3）假设该校八年级学生有1200人，请估计该校八年级在这次测试中成绩为“了解”的学生人数． 【答案】（1），88.5，图见解析 （2）班学生测试表现更好，理由见解析 （3）估计该校八年级在这次测试中成绩为“了解”的学生有450人 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图，求中位数，利用样本估计总体，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用360度乘以非常了解的人数所占的比例求出圆心角的度数，根据中位数的定义，求出中位数，由组数据可知，比较了解的人数为0，非常了解的人数为8，不全条形图即可； （2）根据中位数和方差作决策即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可 【小问1详解】 解：抽取的A班学生对于两会精神“了解”的有6人， 非常了解： 圆心角度数： 组数据排序后，第10个和第11个数据为， 故：中位数； 由组数据可知，比较了解的人数为0，非常了解的人数为8，补全条形统计图如图： 【小问2详解】 班学生测试表现更好，理由如下： 从平均数看，A，B两班学生测试成绩的平均水平一样，但是班成绩的中位数高于班，且方差小于班，故班学生测试表现更好； 【小问3详解】 （人）． 答：估计该校八年级在这次测试中成绩为“了解”的学生有450人． 20. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，求的长度． 【答案】（1）是等腰直角三角形，证明见解析 （2）24 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得，由，得到，根据等弧对等弦可得，即可证明； （2）中由勾股定理可得，中由勾股定理求得即可 【小问1详解】 解：是等腰直角三角形，证明如下： 为的直径， ， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形． 【小问2详解】 解：是等腰直角三角形， ， ， 中，，，则， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧，弦，角之间的关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键． 21. 某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量（千克）与每千克售价（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示： 每千克售价（元） … 20 25 30 … 日销售量（千克） … 120 110 100 … （1）求与之间的函数关系式； （2）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当每千克樱桃的售价定为40元时，日销售利润最大，为1600元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设日销售利润为，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式，利用二次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：设， 把代入函数解析式，得， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：设日销售利润为， 由题意，得， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，的值随的增大而增大， ∵， ∴当时，最大为：（元）； ∴当每千克樱桃的售价定为40元时，日销售利润最大，为1600元． 22. 数学兴趣小组在学习二次函数后，发现二次函数中字母系数与其图象有直接联系，他们借助学习函数的经验，对二次函数为常数）进行研究． 【特例分析】 （1）数学兴趣小组分别取三个特殊值进行特例研究． ①确定表达式： 当时，，当时，，当时，____________； ②画函数图象： 平面直角坐标系中已画出和的图象，请你在同一坐标系中画出的图象； 【性质探究】 （2）数学兴趣小组通过观察图象得到猜想：不论为何值，二次函数图象经过点．请问这个猜想是否正确？请说明理由． 【性质应用】 （3）已知点，若二次函数图象与线段有且只有一个交点，求的取值范围． 【答案】（1）①， ②如图所示 （2）正确，理由如下： ， 当时，， 此时， 不论为何值，二次函数图象经过点． （3）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式，画二次函数的图像，二次函数与一元二次方程， （1）将数值代入可得答案；画出图像即可； （2）将点代入关系式，判断可得答案； （3）①当时，；当时，，可得不等式组，求出解集； ②当时，；当时，，再得出不等式组，求出解集； ③由得，进而得出一元二次方程，根据有两个相等的实数根可得m，再根据自变量取值范围判断即可． 【详解】（1）①当时，； 故答案为：； ②略 （2）略 （3）①当时，；当时，； 即， 解得：； ②当时，；当时，； 即， 解得：； ③由得， 则， ， 当，解得：； 当时，方程的解，即交点的横坐标不在范围内，即舍去． 综上，或或． 23. 综合与探究 问题情境： 在边长为10的正方形中，是对角线上一点，连接．过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两线交于点． 特别研究： （1）如图1，当点在对角线的中点处时，四边形的形状为______． 深入探究： （2）如图2，当点是对角线上任意一点时． ①试说明（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； ②求四边形面积的取值范围． （3）如图3，当时，点落在的延长线上，请直接写出线段的长． 【答案】（1）正方形； （2）①仍然成立，理由如下： 如图所示，过点P作交于点M，交于点N ∵过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线 ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∵四边形是正方形， ∴，且平分， ∴， ∴ ∴， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是正方形； ②；（3） 【解析】 【分析】（1）首先得到四边形是矩形，然后由即可证明； （2）①如图所示，过点P作交于点M，交于点N，首先证明出四边形是矩形，然后根据正方形的性质证明出，得到，即可证明四边形是正方形； ②首先求出，得到正方形面积然后根据当时，最短，当点P和点A或点C重合时，最长，进而求解即可； （3）由正方形得到，然后由得到，然后求出，即可得到． 【详解】（1）∵过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线 ∴四边形是矩形 ∵四边形是正方形，点在对角线的中点处 ∴ ∴四边形是正方形； （2）①略 ②∵在边长为10的正方形中 ∴ ∴ ∵四边形是正方形 ∴正方形面积 ∴当时，最短 ∴此时 ∴正方形面积的最小值为； 当点P和点A或点C重合时，最长 ∴此时 ∴正方形面积的最大值为； ∴四边形面积的取值范围为； （3）∵四边形是正方形，是对角线 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $