（暑假预习）4.1 整式 讲义 2026-2027学年人教版数学七年级上册

初中数学预备课（7上） （预习）第20天 整式 知识点1 单项式及其相关概念 思考：我们来看92t和前面遇到过的一些代数式 a², 0.9p,a²h, 这些代数式有什么共同特点？ 这些代数式都是数或字母的积，像这样的代数式叫作单项式（mono- mial）．单独的一个数或一个字母也是单项式，例如，−6，x 都是单项式． 单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数．例如，单项式 92t，a²，0.9p， a²h 的系数分别是 92，1，0.9，．单项式表示数与字母相乘时，通常把数写在前面，如 92t．单项式的系数是 1 或 −1 时，1 通常省略不写，如a³，−x．单项式的系数包括它前面的符号的系数为 −1． 一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数。如果一个单项式的次数是n，那么称这个单项式是n次单项式。例如，在单项式92t中，字母t的指数是1，92t的次数就是1，它是一次单项式；在单项式中，字母a与h的指数的和是3，的次数就是3，它是三次单项式。例如，常数一2的次数为0. 对于一个非零的数，规定它的次数为0. 【例1】用单项式填空，并指出它们的系数和次数 （1)若三角形的一条边长为a，这条边上的高为h，则这个三角形的面积为 . （2）一个长方体包装盒的长、宽、高分别为x cm，y cm，z cm，则这个长方体包装盒的体积为 cm3. (3)有理数 n 的相反数是____. (4)《中华人民共和国国旗法》规定，国旗旗面为红色长方形，其长与高之比为 3 : 2，有五种通用尺度（尺寸规格）. 若一种尺度的国旗的长为 a cm，则这种尺度的国旗旗面的面积为____ cm². 解 : (1) ah，它的系数是，次数是2． (2) xyz，它的系数是1，次数是3． (3) -n，它的系数是-1，次数是1． (4)，它的系数是，次数是2． 练一练 1、下列代数式中，属于单项式的是（ ） A. B. C. D. 2、填表： 知识点 2 多项式及整式的相关概念 思考： 在前面，我们还遇到一些代数式 2n−10, x²+2x+8, 2a+3b, ab−πr², 这些式子与单项式有什么区别和联系？它们有什么共同的特点？ 这些式子都可以看作几个单项式的和.例如,2n−10可以看作单项式2n与−10的和,x²+2x+8可以看作单项式x²,2x与8的和. 像这样,几个单项式的和叫作多项式(polynomial).其中,每个单项式叫作多项式的项,不含字母的项叫作常数项.例如,多项式2n−10的项是2n与−10,其中−10是常数项. 多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数。例如，多项式 2n－10 有2 项，次数最高的项是一次项 2n，这个多项式的次数是 1；多项式 x²＋2x＋8 有 3 项，次数最高的项是二次项 x²，这个多项式的次数是 2。 单项式与多项式统称整式（integral expression）.例如，前面学习的单项式 92t, a², 0.9p, a²h，以及多项式 2n−10, x²+2x+8, 2a+3b,ab−πr² 等都是整式. 【例2】用多项式填空，并指出它们的项和次数。 (1)一个长方形相邻两条边的长分别为 a, b，则这个长方形的周长为______。 (2)m 为一个有理数，m 的立方与 2 的差为______。 (3)某公司向某地投放共享单车，前两年每年投放 a 辆，为环保和安全起见，从第三年年初起不再投放，且每个月回收 b 辆。第三年年底，该地区共有这家公司的共享单车的辆数为______。 解 ： 注意多项式中的每一项都包含它前面的正负号。 (1)2a＋2b，它的项分别为2a,2b，次数是1． (2)m³－2，它的项分别为m³，－2，次数是3． (3)2a－12b，它的项分别为2a，－12b，次数是1． 练一练 3. 指出下列多项式的项和次数： (1)a³−a²b+ab²−b³; (2)3n⁴−2n²+1. 思考·交流 如图，某学校操场最内侧的跑道由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为 a，半圆形弯道的直径为 b。则两个半圆的面积为，操场的面积为 + ab。这两个式子都是代数式，那么不同的代数式之间有哪些区别和联系呢？ 同单项式必须具备两个特征： (1) 式子中不含运算符号“＋”或“－”； (2) 分母中不含有字母 单项式的次数只与字母 的指数有关，且是所有字母的指数和．如3²a²b³c 的次数为字母a，b，c的指数的和，是6与常数3的指数无关． 确定单项式系数的方法： 把式的字母及其指数去掉，剩余的为其系数。 确定单项式次数的注意事项： ①不要将系数的指数计算到单项式的次数内。 ②圆周率π是常数，是系数的组成部分，在计算单项式的次数时，不要加上π的指数。如－3πa² 的系数是－3π，次数是2。 判断单项式的方法： 若一个式子是数或字母 的积，则其为单项式；若式子含有加、减运算或分母中含有字母，则其不是单项式。 多项式必须同时具备两个条件: ①式子中含有运算符号“+”或“−”;②分母中不含字母. 多项式中的每一项都是单项式且每一项都包括它前面的符号. 注意！ 如果一个式子既不是单项式，也不是多项式，那么它一定不是整式 多项式的次数求法： (1)算：计算多项式中的每一项的次数； (2)比：比较各项次数的大小； (3)定：将次数最高的次数定为多项式的次数。 课堂总结 1. 都是数或字母的乘积 的代数式叫作单项式；单项式中的数字因数 叫作这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数。 2. 这个单项式的和叫作多项式；在多项式中，每个单项式叫作多项式 的项，其中，不含字母 的项，叫作常数项；多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。 3. 单项式与多项式统称整式。 同步练习 1．下列代数式中，不是单项式的是（　　） A． B． C． D． 2．一个单项式的系数是2，次数是3，则下列符合条件的单项式是（　　） A． B． C． D． 3．在多项式中，一次项是（　　） A．3 B． C． D． 4．下列说法错误的是（　　） A．是二次三项式 B．的次数是6 C．的系数是 D．是多项式 5．按照一定规律排列的式子：，，，，第9个式子为　　 ． 6．如图是一位同学数学笔记可见的一部分．若要补充文中这个不完整的代数式，你补充的内容是：　　． 7．鲁班锁是我国古代传统建筑的固定结合器，也是一种广泛流传的益智玩具（图（1），其中六根鲁班锁中一个构件的一个面的尺寸如图（2）所示，这个面的面积为 　　 ． 8．已知多项式的次数是5，是单项式的系数，求的值． 9．用多项式填空，并指出它们的项和次数． （1）一个长方形相邻两条边的长分别为，，则这个长方形的周长为 　　． （2）为一个有理数，的立方与2的差为 　　． （3）某公司向某地投放共享单车，前两年每年投放辆，为环保和安全起见，从第三年年初起不再投放，且每个月回收辆．第三年年底，该地区共有这家公司的共享单车的辆数为 　　． （4）现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图所示，它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成．如果其中正方形和等边三角形的边长都为，等边三角形的高为，那么这个印章的表面积为 　　． 10．甲和乙一起制作了六张卡片．两人规定：做出一张单项式卡片给甲加1分，做出一张多项式卡片给乙加1分．如图是他们做的卡片． （1）甲得了　　 分； （2）请找出单项式和多项式，分别写在下面的框里； （3）上面的多项式中，次数最高的是　　 次． 参考答案 练一练 1、A 2、 3、3.多项式 a3-a2b+ab2}-b3的项分别为 $a3,-a²b,ab²,-b3，次数是 3； (2)多项式 3n4-2n²+1 的项分别为 3n4,-2n²,1，次数是 4. 同步练习 1．解：．是单项式； ．是单项式； ．是单项式； ．是多项式．不是单项式 故选：． 2．解：、选项单项式系数为，次数为3，不符合系数为2的要求，不符合题意； 、选项单项式系数为2，次数为2，不符合次数为3的要求，不符合题意； 、选项单项式系数为2，次数为3，符合题意； 、选项单项式系数为，次数为2，均不符合要求，不符合题意． 故选：． 3．解：在多项式中，一次项是． 故选：． 4．解：、是二次三项式，故正确； 、的次数是4，故错误； 、的系数是，故正确； 、是多项式，故正确； 故选：． 5．解：根据题意可知，第个式子为， 第9个式子为． 故答案为：． 6．解：可以写成：， 故答案为：． 7．解：由图（2）可得， 这个面的面积为， 故答案为：． 8．解：多项式的次数是5， ， ， 是单项式的系数， ， ． 9．解：（1）； 答：这个长方形的周长为． （2）的立方与2的差为； （3）（辆； 答：该地区共有这家公司的共享单车的辆数为． （4） ； 答：那么这个印章的表面积为． 故答案为：（1）；项为：，，次数为1； （2）；项为：，，次数为3； （3）；项为：，，次数为1； （4）；项为：，，次数为2． 10．解：（1）单项式有， 甲得3分． 故答案为：3； （2）找出单项式和多项式，分别写在下面的框里： （3）是三次二项式； 是一次二项式； 是四次二项式； 所以，上面的多项式中，次数最高是4次． 故答案为：4． 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $