广东省江门市新会区第一中学2026-2027学年高三第一学期初学情诊断练习数学试题

**基本信息** 2026-2027学年高三期初数学诊断卷，覆盖三角函数、向量、导数等核心知识，通过基础题（如弧度制转换）与创新题（如“拐点”新定义）结合，诊断学情并培养数学抽象与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|弧度制、向量关系、解三角形|基础概念辨析，如第2题结合向量考查充分必要条件| |多选题|3/18|三角形性质、函数图象|多选项推理，如第9题通过正弦定理判断三角形类型| |填空题|3/15|三角函数定义、数列最值、函数新定义|创新情境，如第14题以“性质P”考查函数奇偶性与单调性| |解答题|5/77|解三角形、导数应用、新定义证明|综合应用，如第19题结合导数与“性质P”新定义，考查数学思维与表达|

2026-2027学年高三第一学期期初学情诊断练习——数学 班级：___________考号：___________姓名：___________ 一、单选题:本大题共8小题，共40分. 1．将化为弧度制，正确的是（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．在中，，则的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知，则（ ） A． B． C． D． 5．函数在区间的图象大致为（ ） A． B． C． D． 6．已知，则（ ） A． B． C． D． 7．已知方程有两个不同的解，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ） A．8 B．6 C．4 D．3 二、多选题:本大题共3小题，共18分. 9．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下列叙述正确的有（ ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则为钝角三角形 C．若，，，则有两解 D．若为锐角三角形，则 10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） A． B．的图象关于直线对称 C．不等式的解集为 D．的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 11．定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数的对称中心为．则下列说法中正确的有（ ） A．， B．的值是 C．函数只有唯一零点 D．过可以作三条直线与图象相切 三、填空题:本大题共3小题，共15分. 12．已知角终边上一点，则=___________． 13．在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为____________． 14．若定义在上的函数同时满足： ①为奇函数； ②对任意的、，且，都有， 则称函数具有性质. 已知函数具有性质，则不等式的解集为_________________. 四、解答题:本大题共5小题，共77分 15．(本小题13分) 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若且. (1)求角； (2)求面积的最大值. 16．(本小题15分) 已知函数． (1)求的对称中心坐标； (2)将的图象上的各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位得到的图象，当时，方程有解，求实数m的取值范围． 17．(本小题15分) 的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 18．(本小题17分) 已知函数． (1)设． （i）求的最小值，并求出当取得最小值时的值； （ii）求的单调递减区间． (2)对任意、，恒成立，求的取值范围． 19．(本小题17分) 若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质． ①在上的导数存在； ②在上的导数存在，且（其中）恒成立． (1)判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由． (2)设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 第1页（共3页） 第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 1．B【详解】. 2．A【详解】因为，所以，， 所以，所以，故充分性成立； 因为，所以，又，， 所以，所以， 解得，故必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 3．C【详解】在中，， 即，化简得， 解得或（不合题意，舍去）， 。 4．B【详解】因为， 所以，， 所以。 5．A【详解】令， 则， 所以为奇函数，排除BD； 又当时，，所以，排除C. 6．C【详解】因为，所以， 即，所以， 所以. 7．A【详解】由知，，令，， 令，可得， 当，即时，在上单调递增； 当，即时，在上单调递减； 故，又当，，当，， 因为方程有两个不同的解， 所以的图象有两个不同的交点， 所以． 8．C【详解】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即； 综上，的最小值为4. 9．BD【详解】对于选项A：因为，由正弦定理可得，即， 例如，，则，， 满足，但为直角三角形，故A错误； 对于选项B：若，由正弦定理可得， 设，，，，且角为最大角， 则， 且，可知角为钝角，所以为钝角三角形，故B正确； 对于选项C：由正弦定理可得， 且，则，，所以有且仅有一个解，故C错误； 对于选项D：若为锐角三角形，则，， 可得，，所以，故D正确. 10．ACD【详解】对于A，由图可得，而， 所以， 当时，取最小值，所以， 因为，所以，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，， 解得， 所以不等式的解集为，故C正确； 对于D，的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，故D正确. 11．ABC【详解】由，所以，， 令，得，由函数的对称中心为， 所以且，解得，故A正确； 因为的对称中心为， 即， 令， 则， 所以 ， 所以， 即，故B正确； 因为，则， 所以当或时，，当时，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 因此函数的极大值为，极小值为； 又，即，所以在上存在唯一零点， 所以函数有且仅有一个零点， 故C正确； 显然，若是切点，则，切线方程为； 若不是切点，设过点 的直线与图象相切于点，， 由，解得，即切点，切线方程为， 过 只可以作两条直线与图象相切，故D错误. 12．【详解】由角终边上一点，根据三角函数定义得： 点到原点的距离：， 因此，，所以， 因为，， ，， 所以 分子分母同除以（齐次式弦化切），并把代入得： 原式， 13．【详解】因为在公差不为0的等差数列中，是与的等差中项， 所以，所以， 因此， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 14．【详解】构造函数，则该函数的定义域为， 因为函数为奇函数，则， 所以，故函数为偶函数， 对任意的、，且，都有， 不妨设，则，即， 所以函数在上为减函数， 由，得，即， 所以，即，整理得，解得， 故原不等式的解集为。 15．(1) (2) 【详解】（1）由， 根据正弦定理，得， 在中，，则，即， 因为，所以. （2）由余弦定理，得，而，， 则，当且仅当时取等号， 所以，则， 故面积的最大值为. 16．(1) (2) 【详解】（1）解：（1）因为． 由，得． 故的对称中心坐标为． （2）由（1）知， 那么将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，得到． 当时，，， 由方程有解，可得实数m的取值范围为 17．(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 故， 在中，，，所以，，则， 可得，所以，所以. （2）由正弦定理可得（为外接圆的半径）， 所以，， 因为，则，， 所以， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，，故. 18．(1)（i）最小值为，；（ii） (2) 【详解】（1）（i）当时，， 的定义域为， 令，，则， 当，即当时，即时，取得最小值，最小值为. （ii）在上单调递增， 在上单调递减，令，解得， 所以的单调递减区间为. （2）当时，令， 可化为． 记函数在上的最大值为，最小值为， 由对任意、，恒成立，得恒成立． ，其图象开口向上且对称轴为直线． ①当时，在上单调递增， 可得，， 由，得，解得，不符合题意； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 当时，由，可得，所以， 解得，此时； 当时，由，可得，解得，此时； ③当时，， 由，可得，解得，不符合题意． 综上，的取值范围为. 19．(1)函数在区间上具有性质； (2)存在实数，使得在区间上具有性质，的取值范围是； (3)的最大值为. 【详解】（1）令，， 则，， ，， 当时，恒成立， ∴函数在区间上具有性质； （2）∵， ∴， ∵在处取得极值，且为奇函数， ∴在处也取得极值， ∴，解得， ∴， ， 当时，令，解得；令，解得； 故在单调递减，在单调递增，满足在处取得极值， ∴， 当时，恒成立， ∴存在实数，使在区间上恒成立， ∴存在实数，使得在区间上具有性质，的取值范围是； （3）∵， ∴ ， 令， 则， 令， 则， 当时，，在区间上单调递增， 又∵，， ∴存在，使， ∴当时，，，在区间上单调递减， 当时，，，在区间上单调递增， ∴当时，的最小值为， 由，有， ∴， ∵，∴， 又∵恒成立， ∴， ∵且， ∴的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题中存在无法求解零点，使用了虚设零点的方法，设，再通过的代换，求得的最小值，这种方法，是解决“隐零点”的常用方法之一. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $