广东江门市第一中学2026-2027学年第一学期开学考高三年级数学试卷

江门一中2026-2027学年度第一学期开学考试 高三级数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， 1.已知集合A=《-1,0,12},B={x2-x≤0，则AnB=() A.[0,] B.{-1,0} C.{01,2} D.{0,} 2.下列正确的选项是（) A.残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高 B.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数”的值越接近于1 C.若x与y线性相关越强，则(x,y)在线性回归直线上的点越多 D.甲、乙两个模型的R2分别约为0.95和0.90，则模型甲的拟合效果更好 3.现将某市一热门饮品店1-5月份销售的“柠檬水”的利润额统计如下表所示，且根据表中数据，通过 最小二乘法求得y与x的经验回归方程为y=0.8x+0.2,则当x=1时，利润额的残差为() 月份x 22 4 利润额y（万元) 1.9 2.3 2.6 2.9 3.3 A.0.9 B.0.1 C.0.9 D.1.1 4.小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据 分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4，假 设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则() A.P(X≤30)<P(Y≤34) B.P(X≤34)<P(Y≤34) C.P(X≤38)<P(Y≤38) D.P(X≥24)>P(Y≥32) 5.已蜘a=(,e-( ,则() A.c>b>a B.b>a>c C.b>c>a D.a>b>c 第1页，共4项 6.已知8,6，是夹角为120°的两个单位向量，ā=g+e,万=2g-g,则ā.6=（) A.-1 B.分 c 7、下列各组函数是同一函数的是() A.f(x)=VR与g(x)=x B.f(x)=1与g(x)=x° C.f(x)=F与g()=x D.f(倒=x+1与g()- x-1 8.1号箱子中有2个红球和1个黑球，2号箱子中有1个红球和4个黑球甲先随机选1个箱子，再随机 从选出的箱子中取出1个球，已知取出的球是红球，则选择1号箱子的概率为() A音 c D.9 二、选择题：本题共3小题，每小题6.分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.一个袋子中有10个大小相同的球，其中4个黄球，6个白球，从中随机有放回的取4次，每次取1 球，记取到黄球的个数为X,则下述正确的是（) 216 A.X~B00,0.4) B.P(X=2)= 625 C.E(X)=1.6 D.D(2X-1)=9.6 10.已知函数f(x)=2cos0x-1（ω>0)的最小正周期为兀，则下列说法正确的是( A.直线x=无是f(x)图象的一条对称轴 B.()的单调递减区间为k,牙+kπ，(k∈2习 2 C.f(x)在(0，)内有2个零点 D.f(x)的最大值为2 11.已知函数f(x)的定义域为R,f()和f(x+)均为偶函数，且当x∈[0，时，f(x)=-x2+2x+1, 则() A.f(2026)=2 B.函数f(x)的图象关于直线x=2对称 C.函数f()在(-2，-)上单调递增 D.函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称 第2页，共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知多项式(x+2)(x-)°=a+ax+a,x2+a,x2+a,x+a,x,则a+a+a+4+a+a,=_ 13.直线y=2x+3a与曲线y=x+lnx相切，则a=_一 14.已知函数f(=-22+mx+1,若函数在区间L,上存在单调递减区间，则实数m的范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且(a+c+b)(a+c-b)=3C. (1)求角B的大小： (2)若A=45,b=√6，求△4BC的面积.… 16.(15分)已知数列{a,}的前n项和为Sn,且满足Sn=2a。-2(neN) (I)求{a}的通项公式： 1 (2i设，=1084,1o824m -,求数列{b}的前n项和T,· 第3页，共4页 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,APAD为等边三角形， AD⊥AB,AD∥BC,AD=4,AB=BC=2,点M为线段PA的中点. D (I)证明：DM⊥平面PAB: (②)求直线PB与平面MCD所成角的正切值. 18.(17分)已知函数f(x)=a(e+a-x. (1)讨论f(x)的单调性： 2②证明：当a>0时，f()>2na+2: 19.(17分)已知函数f问=血x+a. (I)诺f(x)有两个零点，求a的取值范围； 2设g(x)=fx)+二，若对任意的x∈(0，+∞)，都有g(x)≤e恒成立，求a的取值范围。 第4页，共4页 江门一中2026-2027学年度第一学期开学考试 高三级数学试卷答案 1.【答案】D 【详解】由x2-xs0,得(x-1)s0,解得0sxs1,所以B={x0≤x≤1 又因为A={-1,0,1,2},所以AnB={0,1. 2.D 【详解】选项A,残差图带状区域越宽，代表残差波动越大，模型预测误差越大，预报精确 度越低，A错误； 选项B,线性相关性越强，相关系数越接近1：正相关强：→1，负相关强：→-1，B 错误； 选项C,线性相关强弱描述的是点整体贴近直线的程度，不是落在直线上点的数量，相关 强只代表点离直线近，不代表直线上点更多，C错误： 选项D决定系数R2∈[0,1，R2越接近1，模型拟合效果越好；0.95>0.90，故甲模型拟合更 好，D正确 3.C 【详解】当x=1时，少=0.8+0.2=1， 所以x=1时，利润额的残差为1.9-1=0.9 4.C 【详解】由题意知，坐公交用时X~N(4,σ)，其中片=30，=6： 骑自行车用时Y~N(42,02),其中42=34,02=2； 对于A,P(X≤30)=0.5，P(Y≤34)=0.5，则P(X≤30)=P(Y≤34)，A错误 对于B,P(Y≤34)=0.5，根据正态曲线的对称性P(X≤34)>P(X≤30)=0.5， 所以P(X≤34)>P(Y≤34)，B错误. 对于C,对于X,38=30+8=4+后0， 8 根据正态分布性质：P(K≤38=PX54+受0小-05+ 48。 2 对于Y,38=34+4=4+202, 根据正态分布性质，P(W≤38)=P(Y≤h+2a,)=0.5+P4-2a,≤Y≤4+20 根据3如原则，P气4-0≤X≤4+0小上P4-2a≤7≤4+20，) 所以P(X≤38)<P(Y≤38)，C正确. 对于D,对于X,24=30-6=4-C1, P(x≥24)=PX≥30)+P-G≤X≤4+=05+P4-g≤X≤4+o 2 对于y,32=34-2=42-02, Py≥32)=pW≥34)+P-5,Y≤4+o=0.5+Ph-,≤Y≤4+al 2 2 根据3o原则，P(4-≤X≤片+G)=P(h-a2≤Y≤h+a2), 所以P(X224)=P(Y232),.D错误. 答案第1页 5.【答案】D 【详解】因为对数函数y=oeg产在0+回上单调进减，所以g1影子-1，所以>： (-([- 因为带最数=在@)上单调透增，且君号所以1>（名份>0 即1>b>c>0;所以a>b>c. 6.B 【详解】因为日，三是夹角为120°的两个单位向量，则-日=1x1xcos120°=宁 又a=+6,5=2运-，则a5-6+国-可-2g+G-G=2分1=片 2 7.C 【详解】选项A:f()=√反=以与g(x)=x的定义域均为R,但对应法则不同，故不是同一函数. 选项B:f(x)=1的定义域为R,g(x)=x°的定义域为{xk≠0，x∈R},二者定义域不同，故不是同一 函数。 选项C:(x)=F与g()=x的定义域均为R,对应法则也完全一致，故是同一函数， 选项D:=x+1的定义城为R,8钊-岩的定义城为(Lxe叫，二者定义城不同，放不是 同一函数 8.D 【详解】设事件A(1=1,2)表示选中i号箱子，事件B表示从选出的箱子中取出1个球是红球， 则0=P4)-克P@4=子，P@4-5, 12,11=13 所以P(B)=P4)P(BA)+P(4)P(B到4)=2X等+2×写301 1.2 则P41B)=P4)P842.2X3_10 P(B) 1313 30 9.BC 【详解】对于A,有放回的取4次，每次取到黄球的概率为4=04，每次取球相互独立，因此取到黄 10 球的个数X服从n=4,p=0.4的二项分布，即X~B(4,0.4),故A错误： 对于B,由二项分布概率公式得P(X=2)=Cp2.(-p)=6x0,4x0.62=21 S故B正确： 对于C,E(X)=p=4×0.4=1.6,故C正确； 对于D,D(X)=p(1-p)=4×0.4×0.6=0.96,D(2X-1)=22×D(X)=4×0.96=3.84≠9.6，故D错 误。 10.ABC 【详解】由T=元，0>0，.0-2，则f(x)=2cos2x-1, 对A选项，由侣 =2C0sπ-1=-3为最小值，÷x=花是对称轴，所以A选项正确， 答案第2页 对B选项，令2≤2x≤+2k血≤x≤登+抓，所以B选项正确， 对c选项。令f网=0，co2x=分则2x=号+2x写培+， 在0，)内x=工严共2个零点，所以C选项正确， 6’6 对D选项，由-1≤cos2x≤1，-2≤2cos2x≤2，则-3≤f(x)≤1， 所以f()的最大值为1，所以D选项错误。 11.BC 【详解】f(x)是偶函数，故f(-)=f(x),图象关于x=0对称： f(x+)是偶函数，故f(1-x)=f(1+x),图象关于x=1对称： 所以f(x+2)=f1+(x+1)=f1-(x+1》=f(-x)=f(x), 故f(x)是周期为2的周期函数， 选项A:f(2026)=f(0)=-02+2×0+1=1≠2，错误； 选项B:对任意x,f(2+x)=f(x),f(2-)=fx-2)=f(x),故f(2+x为=f(2-x),图象关于直线 x=2对称，正确； 选项C:当x∈(-2，-1)时，x+2∈(0,1)，故f(x)=f(x+2)=-(x+2)2+2(x+2)+1=(x+1)2+2,该二次 函数开口向下，对称轴为x=-1,在(-2，-1)上单调递增，正确： 选项D:若fx)关于(L,0)中心对称，则f(1+)+f1-x)=0,又f1+x)=f1-x),所以 f(1+x)=f(1-x)=0,令x=0,得f()=0,但f(四)=2≠0，矛盾，错误. 12.0 【详解】令x=1,即0=a。+4+a2+4+a4+a5· 1.月 【详解】直线y=2x+3a的斜率为k=2, 因为y=x+nx,则y=1+, x 令y=1+上=2，解得x=1, 当x=1时，则y=1+lnl=1,即切点坐标为(1，)， 托(0代入y=2x+3a可得1=2+3a,解得a=号 14.（-0,4) 【详解】因为f冈=写式-2x+mx+1,所以了倒=2-4红+m, 因为函数在区间山，3]上存在单调递减区间， 即在区间[山，3]上存在x使得f"()<0, 即2-4x+m<0在1,3]有解，即m<-x2+4x, 令g(x)=-x+4x,即m<8()' 因为8问对称轴为x2x -4 =2,所以g(x)=-2+4×2=4, 所以m<4,所以实数m的范围是(-o,4), 答案第3页 15.【详解】(1)由已知(a+c+b)(a+c-b)=3ac,整理得a2+c2-b2=ac,2分 由余弦定理c0sB=g2+c2-b2=ac=1 2a0.2a2’…3分 又B为锐角，i4分 所以B=60° 5分 (2)因为A=45°，b=√6，由(1)知B=60°，则C=180°-A-B=75°，6分 由正弦定理。 b sinA sin B… 7分 得a=si-6sin45V6. sin B sin60° 2=2, 9分 s如75=sin(45+30)=sin45cos30+c0s45si如30°-6+巨 …11分 所以S.x=)absinC=x2x6xsin75°3+E 13分 2 21 2 16.【详解】(1)由Sn=2a,-2,当n=1时4=S.=2a-2,得a=2; 2分 当n≥2时an=Sn-Sn1=(2a,-2)-(2an1-2)=2a,-2an-1,… 3分 整理得an=2a。,5分 故{an}为首项是2、公比是2的等比数列，…7分 通项an=2”(neN)…8分 1 1 111 （2）6-iog,4.-iog,aiog,2rlog,2r“n0i+0分n72.mml1分 11、 nn+l 13分 =1-1= n+1n+1 l5分 答案第4页 17.(I)证明：因为平面PAD⊥平面ABCD,交线为AD,ABC平面ABCD且AB⊥AD,1分 所以AB⊥平面PAD,2分 又DMC平面PAD,所以DM⊥AB3分 因为△PAD为等边三角形，且M为PA的中点，所以DM⊥PA,4分 因为ABOPA=A,且AB,PAC平面PAB,DM⊥AB,DM⊥PA, 所以DM⊥平面PAB6分 (2)取AD的中点O,连接PO,CO,由等边三角形性质知PO⊥AD, 因为平面PAD⊥平面ABCD,由面面垂直性质可得PO⊥平面ABCD.7分 因为A0=AD=2=BC且AOIIBC, 所以四边形ABCO为平行四边形，得OC∥AB,即OC⊥AD. 以O为原点，分别以OC,OD,OP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图：8分 ZA D 则各点坐标为：P0,025),B(2,-2,0),C(2,0,0),D(02,0),A(0,-2,0).9分 因为M为PA的中点，所以M0,-1,W5),PB=(2,-2,-2月)，DC=(2,-2,0),DM=0,-3,V) 10分 设平面MCD的法向量为i=(x,y,z), 由 Dm=0程-3y+5z=0,2=y,取y=1,则x=l,z=5。 (Dc=0'得 2x-2y=01 x=y 所以平面MCD的法向量方=山，1V）12分 则cos(PB,月= PB.n 2×1+(-2)×1+(-25)×V5 P兩 e+r+2xP4255=号 -6 …14分 设直线PB与平面MCD所成角为0，且90，] 由同角三角函数关系式得cs-一-n0=an0-8-} 44l6分 3 因此直线PB与平面MCD所成角的正切值为 17分 4 答案第5页 18.【详解】(1)因为f()=ae+a)-x,定义域为R,所以f'(x)=ae-l, 】分 当a≤0时，由于e>0,则ae≤0，故f"(=ae*-1<0恒成立，…2分 所以f(x)在R上单调递减； 3分 当a>0时，令f'(x)=ae*-l=0,解得x=-lna, 4分 当x<-lna时，f'()<0,则f(x)在(-o,-lna)上单调递减； 当x>-lna时，f'(x)>0,则f(x)在(-lna,o)上单调递增； 6分 综上：当as0时，f(x)在R上单调递减； 当a>0时，f(x)在(-o∞，-lha)上单调递减，f()在(-lna,+o)上单调递增. 7分 (2)方法一： 由(1)得，f(x)=f(lna)=a(eba+a+lna=l+a2+lna, 9分 要证/>2na+号，即证1+a+ha>2na+号，即证G-分ha>0恒成立， …10分 令8（回=-号-Ia(a>0),则g(a=2a-日24 11分 aa 令g问-0得a-号a=9(合去) …12分 2 当0ca<9时，g回<0，gl回09） 上单调递减 2 当a>号时，g回)>0，g回在（三上单调遥地 14分 16分 则g(a)>0恒成立， 所以当a>0时，f)>2na+恒成立，证毕 17分 方法二： 令h(x)=e-x-1,则H(x)=e-l, 由于y=e在R上单调递增，所以h(x)=e-l在R上单调递增， 又H(0)=e°-1=0， 所以当x<0时，H(x)<0;当x>0时，H()>0: 所以h(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+o)上单调递增， 故h(x)之h(0)=0,则e≥x+1,当且仅当x=0时，等号成立， 8分 f(x)=a(e"+a)-x=ae'+a2-x=e*na+a2-x2x+Ina+1+a2-x, 当且仅当x+na=0,即x=-na时，等号成立， 9分 所以要证f>2na+号，即证x+na+1+。-x>2na+号，即证a-分na>0, 3 2 10分 令8（回=a-克na(a>0),则g'a)=2a-=24, 11分 a·a 令g回=0得a=2或=-马（会去） …12分 2 2 答案第6页 当0<ac9,go)<0,8回在09 上单调递减 2 当a> 三时，ga回>0，g(a在受+w上单调递啪 l4分 ()w.i.0. 16分 则g(a)>0恒成立， 所以当a>0时，y>21a+号恒成立，证毕， 17分 19r详解】令f()=0,则-a=血x（1分】 令g的=血x,则g网=1-hx,一2分) x2 当0<x<e时，g(x)>0;当x>e时，g(x)<0, 所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+o∞)上单调递减，-(4分) 8()mm-g(e)=1 …(5分) 且当x→0时，g(x)→-0：当x→+∞时，g(x)→0，--(6分) 要使得函数f(x)有两个零点，即g)=血与y=-口的图象有两个交点，如图所示，(7分) 可得0<-a<,即-1<a<0,此时f(x)有两个零点， 所以f(x)有两个零点时，a的范围是 --(8分 (2)因为对任意的x>0,不等式g()se恒成立，即血￥+a+上≤e x x 即a≤e-血x-1在(0，+w)上恒成立，---(9分) 令F的=心-ax-x>0,则F=C+n,(0分) x2 令()=e+nx,则(=(+2x)e+>0,所以h()在(0，+o)上为增函数。 答案第7页 又因为h)=e>0, 所以头∈2，使得h()-0,即6e+lh6=0一-(12分) 当0<x<名时，h(x)<0,可得F'()<0,所以F()在(0)上单调递减： 当x>时，h(x)>0,可得F(x)>0,所以F(x)在(，+)上单调递增， 所以F(x)m=F()=e-h5- ,--(14分) Xo 由+ln%=0,可得e=血五=上n是=ne片 ,-(15分) ◆因=g,则(s)-a》又自r国=e+e30,所以因在包+o回)上单调送 所以6=血 --一-（16分) 可得n5=-名，所以e=,即6e*=1, 所以Fm=F(名)=-血--+-=1，所以a51, 踪上所述，满足条件的a的取值范围是(-0，]. -(17分) 答案第8页