精品解析：广东省阳江市第三中学2026-2027学年高三上学期开学综合练习（一）数学试题

2026—2027学年第一学期高三数学综合练习（一） 2026年9月3日 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】集合，，则 2. 设，则在复平面内对应的点在（     ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得， 则对应于复平面的点为，在第一象限. 3. 已知向量，，若与共线，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得， 因为与共线， 所以，所以. 4. 已知，表示两条不同直线，，为两个不同的平面，则错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】A 【解析】 【分析】结合空间中线线、线面、面面的平行与垂直的判定及性质定理，逐一验证各选项的正误. 【详解】对于A：由，，可得或，故A错误； 对于B：由知垂直于平面内的所有直线，因，故，故B正确； 对于C：由面面垂直的判定定理可得C正确； 对于D：由线面平行的性质定理，若一条直线平行于一个平面，且过该直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行可知D正确. 5. 4位家长带2个孩子，6人站成一排，要求排头排尾必须是家长，两个孩子必须相邻，则不同站法有（ ） A. 36种 B. 72种 C. 144种 D. 576种 【答案】C 【解析】 【分析】孩子必须相邻用捆绑，因为排头排尾必须是家长，就将捆绑之后的两个孩子插入除首、末位以外的其中一个空位中. 【详解】第一步将两个孩子捆绑在一起，因为他们之间有顺序，所以有种， 因为排头和排尾必须是家长，先将家长全排共有种，除掉首、末的空位，总共有3个空位，在3个空位中选一个给捆绑在一起的两个孩子，共种，所以总共有种. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用余弦和角公式展开，结合已知的​求出的值，再将变形为代入数值计算得到结果. 【详解】因为， 又，解得， 所以． 7. 已知奇函数的图象关于直线对称，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数性质以及图象关于直线对称将转化为已知来求解. 【详解】因为是奇函数，所以. 又因为的图象关于直线对称， 所以. 已知，故， 所以. 8. 过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】联立焦点直线与抛物线方程求出两交点的横坐标，再结合抛物线定义的焦半径公式，将线段长转化为横坐标的代数式直接计算比值. 【详解】由题意得焦点为，直线的斜率， 所以直线的方程为， 代入到抛物线方程得， 整理得，解得，， 由题意得，，， 所以. 二、多选题 9. 已知直线：，圆：，则（ ） A. 圆的半径为 B. 圆心坐标为 C. 当直线平分圆时， D. 当直线与圆相切时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】配方得圆标准方程后即可得圆心坐标和圆半径，可判断AB，圆心坐标代入直线方程求得参数值判断C，利用圆心到直线的距离等于半径求得参数值判断D. 【详解】由题意圆的标准方程是，所以圆心坐标是，半径是，AB均正确； 当直线平分圆时，直线过圆心，即，，C正确； 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即，解得，D错. 10. 已知数列为等差数列，为其前项和，若，，则下列结论正确的有（ ） A. 公差 B. C. D. 当时，最小 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式求出公差，再结合通项、前n项和公式以及数列单调性逐一验证四个选项的正误. 【详解】对于A：已知，，所以，即，解得，A错误； 对于B：，B正确； 对于C：，C正确； 对于D：公差，数列递增，， 令得，即，， 因此前项均为负，和最小，即时最小，D正确. 11. 已知是函数的极大值点，则（ ） A. B. C. 有两个零点 D. 是奇函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数，极值和零点定义，即可判断ABC，用奇函数的判断方法可判断D. 【详解】函数的导数为， 已知是函数的极大值点， 所以，解得或， A：当时， 若或时，，则在，上单调递增， 若时，，则在上单调递减， 显然是函数的极大值点，A正确； B：当时， 若或时，，则在，上单调递增， 若时，，则在上单调递减， 显然是函数的极小值点，B错误； C：令，解得或，显然有2个零点，C正确； D.：， 设，定义域为且 ，所以是奇函数，D正确. 三、填空题 12. 样本数据34，24，17，21，32，100，41，30，28，33的上四分位数为_________． 【答案】34 【解析】 【详解】把数据从小到大排序为：17，21，24，28，30，32，33，34，41，100，样本容量， ，所以该样本的上四分位数为34. 13. 在中，角所对的边分别为，若，，，则_______. 【答案】 【解析】 【详解】因为，由正弦定理可得， 因为，所以， 由余弦定理可得，即. 14. 已知奇函数（，）在上单调递增，若锐角满足，则________. 【答案】 【解析】 【详解】因为函数是奇函数，且，所以或者. 当时，，又，此时函数在上上单调递减， 与函数在上单调递增矛盾，舍去. 当时，，又，此时函数在上上单调递增， 因为函数在上单调递增，所以. 当时，，又锐角满足，由平方关系得， . 当时，. 所以. 四、解答题 15. 已知椭圆的两个焦点分别是，，并且其离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的焦点与离心率求出，即得椭圆方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立消元后，根据判别式为正，解不等式即得的取值范围. 【小问1详解】 依题意可得，，可得， 则， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 联立，消元整理得 由，解得或. 即实数的取值范围为. 16. 已知的内角，，所对的边分别为，，，． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据正弦定理角化边，再利用余弦定理求出角； （2）根据已知条件，结合余弦定理，化简即可求出，最后根据面积公式求出面积即可. 【小问1详解】 （1）因为，所以由正弦定理可得， 又由余弦定理可得，所以，又，所以． 【小问2详解】 由余弦定理可得，由（1）知， 所以，又，， 所以，，所以． 17. 小张从家到公司上班总共有三条路可以直达，如图所示，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于路的长短不同，选择每条路的概率如下：，，．每天上述三条路不拥堵的概率分别为：，，．假设遇到拥堵会迟到，不拥堵便不会迟到． （1）小张从家到公司不迟到的概率是多少？ （2）已知小张到达公司未迟，求他选择第一条路的概率是多少？（结果保留三位小数）已知 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）小张从家到公司不迟到会受到三条路的影响，因此这是一个全概率问题，根据全概率求解即可； （2）运用条件概率公式之后，再用概率的乘法公式计算即可. 【小问1详解】 设事件为到公司不迟到（说明选择的路不拥堵），事件为选择第条路． 由全概率公式，得 ． 所以小张从家到公司不迟到的概率是． 【小问2详解】 ． 所以他选择第一条路的概率约是． 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）因为平面 ，平面 ，所以， 由底面 是正方形，可得，又，且 平面 ， 根据线面垂直的判定定理，可得 平面  （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证明垂直于平面内的两条相交直线与，即可推得结论； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量公式计算角度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，以为原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为，则： ，即， 令，得，即平面的一个法向量为 ， 设直线与平面所成角为，则， 因为，​，， 所以，又，所以. 19. 已知数列的前项和（）． （1）证明：为等差数列； （2）设（），求． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)由即可证明数列为等差数列. (2)先利用错位相减求出解析式，再将代入即可求解的值. 【小问1详解】 证明：由题意,在数列中,， ∴,， 又满足 所以 ∴是以为首项，为公差的等差数列. 【小问2详解】 在中， ， ， 两式相减得， ， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期高三数学综合练习（一） 2026年9月3日 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则在复平面内对应的点在（     ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，，若与共线，则（ ） A. B. C. D. 3 4. 已知，表示两条不同直线，，为两个不同的平面，则错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 5. 4位家长带2个孩子，6人站成一排，要求排头排尾必须是家长，两个孩子必须相邻，则不同站法有（ ） A. 36种 B. 72种 C. 144种 D. 576种 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知奇函数的图象关于直线对称，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、多选题 9. 已知直线：，圆：，则（ ） A. 圆的半径为 B. 圆心坐标为 C. 当直线平分圆时， D. 当直线与圆相切时， 10. 已知数列为等差数列，为其前项和，若，，则下列结论正确的有（ ） A. 公差 B. C. D. 当时，最小 11. 已知是函数的极大值点，则（ ） A. B. C. 有两个零点 D. 是奇函数 三、填空题 12. 样本数据34，24，17，21，32，100，41，30，28，33的上四分位数为_________． 13. 在中，角所对的边分别为，若，，，则_______. 14. 已知奇函数（，）在上单调递增，若锐角满足，则________. 四、解答题 15. 已知椭圆的两个焦点分别是，，并且其离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围. 16. 已知的内角，，所对的边分别为，，，． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 17. 小张从家到公司上班总共有三条路可以直达，如图所示，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于路的长短不同，选择每条路的概率如下：，，．每天上述三条路不拥堵的概率分别为：，，．假设遇到拥堵会迟到，不拥堵便不会迟到． （1）小张从家到公司不迟到的概率是多少？ （2）已知小张到达公司未迟，求他选择第一条路的概率是多少？（结果保留三位小数）已知 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小． 19. 已知数列的前项和（）． （1）证明：为等差数列； （2）设（），求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $