第二十六章二次函数单元练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 人教版九年级上册数学第二十六章二次函数单元练习，覆盖二次函数图像性质、实际应用等核心知识点，题型梯度分明，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|顶点坐标、图像平移、命题判断等|结合水火箭运动考最值，体现数学眼光| |填空题|5|函数值比较、面积计算、实际应用|羽毛球飞行路径考二次函数应用，培养模型观念| |解答题|7|配方、实际问题、综合探究|新定义“k阶点”及翻折图像交点，发展创新意识|

人教版九年级上册数学第二十六章二次函数单元练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（     ） A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2 2．水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 3．将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 4．命题：“二次函数，当时必与轴有交点”，要说明这个命题是假命题，可以举的反例是（     ） A． B． C． D． 5．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 6．已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 7．已知二次函数（m是常数），若自变量x取任意实数，函数值y始终为正数，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 9．已知抛物线（、、为常数，且）与轴交于，两点，且点在直线的下方，则下列说法正确的是（     ） A．抛物线的顶点不可能在第四象限 B．抛物线的开口一定向上 C．抛物线与直线一定有两个交点 D．抛物线的对称轴可能在y轴右侧 10．如图，抛物线y11与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知，则以下结论： ①两抛物线的顶点关于原点对称； ②； ③； ④． 其中正确结论是（     ） A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 二、填空题 11．已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是_________． 12．已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，则的面积为___________． 13．如图，羽毛球的运动路线可以看作是一条抛物线，若不考虑外力因素，羽毛球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系：，则羽毛球飞出的水平距离为______米． 14．已知二次函数的部分图象如图所示，顶点坐标为，由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是，______． 15．已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________． 三、解答题 16．已知抛物线． (1)用配方法求顶点坐标、对称轴． (2)直接写出取何值时，随的增大而减小． (3)直接写出取何值时，；取何值时，；取何值时，． 17．在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个矩形花园．设． (1)若围成花园的面积为，求的值． (2)已知在点处有一棵树，且与墙体的距离为，与墙体的距离为．如果在围建花园时，要将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？ 18．学校科学社团成员制作了一个物体发射器，可使用该发射器从地面竖直向上发射出物体，已知发射出的物体离地面的高度h（单位：m）满足关系式，其中t（单位：s）是物体运动的时间，用发射器（发射器的高度忽略不计）将一个小球以初速度从地面竖直向上发射．小球的高度能否达到？若能，请求出运动时间；若不能，请说明理由． 19．如图，抛物线（为常数）经过坐标原点和点，点在轴上． (1)求抛物线顶点的坐标； (2)连接，，若点在轴下方的抛物线上，且，求点的坐标． 20．定义：平面直角坐标系中，点、若满足，其中为常数，且，则称点与点互为“阶点”，例如点与点互为“阶点”． (1)若抛物线的顶点与点互为“阶点”，求的值； (2)对于动点（），若抛物线上只存在一个点与点互为“阶点”，求的值． 21．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 22．某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)商贸公司要想获利2090元，同时让顾客得到更大的实惠，则这种干果每千克应降价多少元？ (3)该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《人教版九年级上册数学第二十六章二次函数单元练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B A D C A A A B 11．/ 12．28 13．5 14． 15． 16．（1）解：由得：顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小； （3）解：令，即，，． 即当或时，； ∵抛物线的开口向上， ∴当或时，； 当时，． 17．（1）解：由题意，得， 解得， 即x的值是12或16； （2）解：设矩形花园的面积为，则， ， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 由题意，得解得． 当时，取得最大值，． 答：能围成的花园的最大面积是． 18．小球的高度不能达到，理由如下： ， ． 根据题意，把代入，得， ． ， 方程无实数根， 小球的高度不能达到． 19．（1）解：将点代入，得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； （2）解： ∵，， 又∵， ∴， 解得， 将代入，得， 解得或， ∴点的坐标为或． 20（1）解：∵， ∴顶点坐标为，                 由题意，得：， 解得：； （2）解：设与点互为“阶点”的这一点为， 根据“阶点”的定义可得：， 整理得：，                                 ∵只存在一个点与点互为“阶点”， ∴， 解得或． 21．（1）解：把和代入得： ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为，即； （2）解：存在， 当时，设交轴于点， ∵点A的坐标是，点C的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 联立，解得或， ∴； 当时，则， ∴的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或. 22．（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 把和代入得， 解得， 所以与之间的函数关系式为； （2）根据题意得：， 解得或， 为了让顾客得到更大的实惠，所以， 因此，这种干果每千克应降价9元； （3）设利润为元， 根据题意得， 配方得， 抛物线开口向下，当时，w取得最大值2250． 故该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $