1.4正方形的性质与判定 同步练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册1.4正方形同步练习，以“基础夯实·思维提升”分层，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖性质判定及综合应用，适配新授课巩固与思维发展。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础夯实|正方形性质（对角线、边角关系）、判定（矩形/菱形特征）的基础概念与计算|选择1-7、填空9-13、解答15-17，直接考查定义与公式应用，强化抽象能力| |思维提升|正方形与全等、动点结合的综合推理及探究应用|选择8、填空14、解答18-19，含折叠、动点等情境，培养推理能力与创新意识|

1.4 正方形的性质与判定 · 同步练习 北师大版 · 九年级数学上册 第1章 · 特殊平行四边形 1.4 正方形的性质与判定 同 步 练 习 · 满分：86分 | 建议用时：45分钟 | 基础夯实 · 思维提升 一、选择题（共8题，每题3分，共24分） 1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角 2．如图，在正方形ABCD中，连接对角线AC，则∠BAC的度数为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若OA＝3，则正方形ABCD的边长和面积分别为（ ） A．3，9 B．，18 C．6，36 D．，72 4．下列关于平行四边形、矩形、菱形、正方形的说法中，正确的是（ ） A．菱形的对角线一定相等 B．矩形的对角线一定互相垂直 C．正方形既是矩形又是菱形 D．平行四边形的对角线一定相等 5．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O。下列条件能判定四边形ABCD一定是正方形的是（ ） A．AB＝BC＝CD＝DA B．∠A＝∠B＝∠C＝90° C．AC＝BD，AC⊥BD，且OA＝OC，OB＝OD D．AB∥CD，AB＝CD 6．下列关于正方形对角线的说法中，不正确的是（ ） A．两条对角线相等 B．两条对角线互相垂直 C．每条对角线平分一组对角 D．对角线交点到四个顶点的距离不相等 7．下列判定中，错误的是（ ） A．对角线相等的菱形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．有一个角是直角的菱形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 8．如图，P是正方形ABCD内一点，连接AP，BP，CP。若△APB是等边三角形，则∠BPC的度数为（ ） A．30° B．60° C．75° D．90° 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 9．正方形的边长为5，则它的周长为________，面积为________，对角线长为________。 10．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则∠BAC＝________，∠AOB＝________。 11．在矩形ABCD中，补充条件“________________”可判定它是正方形；在菱形ABCD中，补充条件“________________”可判定它是正方形。（各写一个即可） 12．正方形ABCD的对角线AC＝8，则边长AB＝________。 13．一个正方形的边长由5增加到7，则它的面积增加了________。 14．如图，正方形ABCD的边长为8，E是CD的中点。将△ADE沿AE折叠，点D落在点D′处，则ED′＝________。 三、解答题（共5题，共44分） 15．（6分） 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O。 （1）求证：OA＝OB；（3分） （2）求证：∠OAB＝∠OCB。（3分） 16．（8分） 如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC平分∠DAB。 求证：四边形ABCD是正方形。 17．（8分） 如图，正方形ABCD的对角线AC＝10。 （1）求正方形ABCD的边长和周长；（4分） （2）求正方形ABCD的面积。（4分） 18．（10分） 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且CE＝BF，连接AF，BE，相交于点G。 （1）求证：AF＝BE；（5分） （2）求证：AF⊥BE。（5分） 19．（12分） 综合探究：如图，正方形ABCD的边长为8，点P是对角线BD上的动点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，连接AP，EF。 （1）求∠PBC的度数，并证明四边形PECF是矩形；（4分） （2）猜想AP与EF的数量关系，并证明；（4分） （3）当点P在线段BD上运动时，求EF的最小值。（4分） 参考答案与详细解答 逐题复核 · 步骤完整 · 易错点明确 一、选择题（详细解析） 答案速查：1．B 2．B 3．B 4．C 5．C 6．D 7．D 8．C 1．答案：B 解析：矩形、菱形、正方形都是平行四边形，所以它们的对角线都互相平分。对角线相等是矩形、正方形的性质；对角线互相垂直、平分对角是菱形、正方形的性质。故选B。 易错提醒：比较特殊平行四边形的性质时，要先找“共同的平行四边形性质”。 2．答案：B 解析：正方形的每个内角都是90°，且对角线平分一组对角，所以∠BAC＝90°÷2＝45°。 3．答案：B 解析：由OA＝3，得AC＝2OA＝6。设正方形边长为a，则＝6，所以a＝；面积S＝a²＝＝18。故选B。 4．答案：C 解析：正方形同时具有矩形和菱形的一切性质，因此正方形既是矩形又是菱形。菱形的对角线不一定相等，矩形的对角线不一定垂直，一般平行四边形的对角线不一定相等。 5．答案：C 解析：由OA＝OC，OB＝OD可知两条对角线互相平分，四边形ABCD是平行四边形；再由AC＝BD可判定其为矩形，由AC⊥BD可判定其为菱形，因此它既是矩形又是菱形，即为正方形。 6．答案：D 解析：正方形的两条对角线相等、互相垂直、互相平分并平分一组对角，而且对角线交点到四个顶点的距离相等。因此A、B、C正确，D错误。 7．答案：D 解析：A中菱形若对角线相等，则又是矩形，因此是正方形；B中矩形若对角线垂直，则又是菱形；C中菱形若有一个直角，则又是矩形。D中一般四边形只有“对角线相等且垂直”还不能保证对角线互相平分，因此不能判定正方形。 8．答案：C 解析：△APB是等边三角形，所以PB＝AB，∠PBA＝60°。正方形ABCD中AB＝BC，∠ABC＝90°，因此PB＝BC，且∠PBC＝90°－60°＝30°。所以△PBC是等腰三角形，∠BPC＝（180°－30°）÷2＝75°。故选C。 二、填空题（详细解析） 9．答案：20，25， 解析：周长＝4×5＝20；面积＝5²＝25；由勾股定理得对角线长＝。 10．答案：45°，90° 解析：正方形的对角线平分内角，因此∠BAC＝45°；两条对角线互相垂直，因此∠AOB＝90°。 11．答案：AB＝BC；AC＝BD（答案不唯一） 解析：矩形已有四个直角，补充一组邻边相等即可成为正方形；菱形已有四边相等，补充对角线相等（或一个角为直角）即可成为正方形。 12．答案： 解析：设边长为a，则正方形对角线长为。由＝8，得a＝。 13．答案：24 解析：面积增加量为7²－5²＝49－25＝24。 14．答案：4 解析：E是CD的中点，CD＝8，所以ED＝4。折叠是轴对称，点D与D′关于折痕AE对称，因此ED′＝ED＝4。 三、解答题（详细解答） 15．解： （1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝BD，且OA＝OC＝AC/2，OB＝OD＝BD/2。 ∴OA＝OB。 （2）∵正方形的对角线AC平分∠DAB，∴∠OAB＝45°；对角线AC也平分∠BCD，∴∠OCB＝45°。 ∴∠OAB＝∠OCB。 方法点拨：正方形的对角线“相等、垂直、互相平分、平分对角”是本课最核心的四组性质。 16．解： ∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠ABC＝90°。 又∵AC平分∠DAB，∴∠CAB＝45°。 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠CAB＝45°，∴∠ACB＝45°，∴AB＝BC。 ∵矩形ABCD有一组邻边相等，∴四边形ABCD是正方形。 判定要点：先保留题目给出的“矩形”身份，再补出“一组邻边相等”这一正方形判定条件。 17．解： （1）设正方形边长为a。由正方形对角线与边的关系，＝10，∴a＝。 ∴周长C＝4a＝。 （2）面积S＝a²＝＝50。 答：边长为，周长为，面积为50。 18．解： （1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABF＝∠BCE＝90°。又∵BF＝CE， ∴Rt△ABF≌Rt△BCE（SAS），∴AF＝BE。 （2）由△ABF≌△BCE，得∠BAF＝∠CBE。又AB⊥BC， ∴在△ABG中，∠BAG＝∠BAF，且∠ABG＋∠CBE＝90°。由∠BAF＝∠CBE，得∠BAG＋∠ABG＝90°，所以∠AGB＝90°。∴AF⊥BE。 方法点拨：正方形内“等边＋直角”常为构造全等三角形提供条件；得到一组对应角相等后，再结合直角可证明垂直。 19．解： （1）∵BD是正方形ABCD的对角线，∴BD平分∠ABC，∴∠PBC＝45°。 又∵PE⊥BC，PF⊥CD，且BC⊥CD，∴PE∥CD，PF∥BC。∴四边形PECF是平行四边形；又∠ECF＝90°，∴四边形PECF是矩形。 （2）猜想：AP＝EF。由（1）知四边形PECF是矩形，∴EF＝PC。又∵正方形ABCD的对角线BD垂直平分AC，且P在BD上，∴PA＝PC。∴AP＝EF。 （3）由（2）知EF＝PC。当PC⊥BD时，PC最小。正方形的两条对角线互相垂直，交于点O，因此当P与O重合时，PC取得最小值CO。 ∵正方形边长为8，∴AC＝，CO＝AC÷2＝。 ∴EF的最小值为。 易错提醒：求线段最小值时，应先把EF转化为PC，再利用“点到直线的距离，垂线段最短”确定最小值。 九年级数学同步练习 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $