3.1.1成比例线段和相似多边形-课件-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦图形相似的基础内容，涵盖线段的比、成比例线段、比例基本性质及相似多边形的定义与性质，通过“形状相同大小不同的图形”导入，衔接“全等”知识，搭建从基础到进阶的学习支架。 其亮点在于以问题驱动探究，结合地图比例尺、等高线计算等实例，培养数学眼光中的抽象能力与几何直观，通过分层练习和逻辑推理训练数学思维。课堂小结结构化梳理知识，助力学生构建体系，教师可借此突出重难点，提升教学效率。

北师大版（新教材）数学九年级上册 第三章 图形的相似 3.1.1成比例线段和相似多边形 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/6 3.1.1 成比例线段和相似多边形 专项练习 本章开启图形相似的核心内容，是几何图形从“全等”到“相似”的进阶，也是后续三角形相似、位似图形、几何计算与证明的基础。本节课重点掌握线段的比、成比例线段的定义与判定，理解相似多边形的概念、性质与判定条件，是几何计算的入门重难点。 一、核心知识梳理 1. 线段的比 在同一长度单位下，两条线段长度的比值叫做这两条线段的比。若线段$$a$$、$$b$$的长度分别为$$m、n$$，则线段比为$$a:b=m:n$$（或$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{m}{n}$$）。 关键注意：线段的比是无单位的正数；计算前必须统一长度单位；线段比有顺序，$$a:b eq b:a$$。 2. 成比例线段（比例线段） 四条线段$$a、b、c、d$$中，如果$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$$，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 相关概念：$$a、d$$为比例外项，$$b、c$$为比例内项；若$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}$$，则$$b$$叫做$$a、c$$的比例中项，满足$$b^2=ac$$。 基本性质：交叉相乘，若$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$$，则$$ad=bc(b eq0,d eq0)$$。 3. 相似多边形的定义 各角分别相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形的判定必须同时满足两个条件：对应角相等，对应边成比例，缺一不可。 相似符号：用“∽”表示，书写时必须保证对应顶点顺序一致，避免对应边、对应角出错。 4. 相似多边形的性质 ① 对应角相等，对应边成比例；② 相似多边形对应边的比叫做相似比；③ 相似比有顺序，多边形A与多边形B的相似比，和B与A的相似比互为倒数。 5. 核心易错点 1. 求线段比未统一单位，导致计算错误；2. 判定成比例线段忽略顺序，随意调换线段位置；3. 判定多边形相似只看角相等或只看边成比例，条件不完整；4. 相似书写时顶点对应顺序混乱。 二、专项练习题 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 已知线段$$a=2\mathrm{cm}$$，$$b=4\mathrm{mm}$$，则$$a:b$$的值为（） A. 1:2 B. 2:1 C. 5:1 D. 1:5 2. 下列四条线段中，能构成成比例线段的是（） A. 1、2、3、4 B. 2、4、6、8 C. 1、2、2、4 D. 1、3、5、7 3. 若$$\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{4}$$，则下列等式正确的是（） A. $$4a=3b$$ B. $$3a=4b$$ C. $$a=12b$$ D. $$ab=12$$ 4. 判定两个多边形相似的必备条件是（） A. 对应角相等 B. 对应边成比例 C. 对应角相等且对应边成比例 D. 形状相同即可 5. 已知两个相似五边形的对应边之比为2:3，则它们的相似比为（） A. 2:3 B. 3:2 C. 4:9 D. 9:4 （二）填空题（每题4分，共20分） 1. 线段的比是________的比值，没有单位。 2. 若$$\dfrac{x}{6}=\dfrac{2}{3}$$，则$$x=$$________。 3. 已知线段$$b$$是$$2$$和$$8$$的比例中项，则$$b=$$________。 4. 相似多边形的对应角________，对应边________。 5. 若四边形$$ABCD∽$$四边形$$A'B'C'D'$$，对应边$$AB:A'B'=3:4$$，则相似比为________。 （三）解答题（共60分） 1.（12分）求下列线段的比：（1）$$a=3\mathrm{cm}$$，$$b=6\mathrm{cm}$$；（2）$$m=5\mathrm{mm}$$，$$n=2\mathrm{cm}$$。 2.（12分）判断下列各组线段是否成比例线段：（1）4cm、8cm、2cm、4cm；（2）3cm、6cm、5cm、10cm。 3.（18分）已知$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{5}$$，求下列代数式的值：（1）$$\dfrac{a+b}{b}$$；（2）$$\dfrac{a-b}{a+b}$$。 4.（18分）综合应用题：已知矩形$$ABCD$$长为8，宽为4，矩形$$A'B'C'D'$$长为6，宽为3，判断两个矩形是否相似，并说明理由。 三、参考答案与解析 选择题：1.C 2.C 3.A 4.C 5.A 解析：1.统一单位$$a=20\mathrm{mm}$$，$$a:b=20:4=5:1$$；2. $$\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4}$$，成比例；3.比例基本性质交叉相乘得$$4a=3b$$；4.多边形相似需同时满足对应角相等、对应边成比例；5.相似比为原图形与新图形对应边的比。 填空题：1. 两条线段长度 2. 4 3. 4 4. 相等、成比例 5. 3:4 解析：3. 比例中项$$b^2=2\times8=16$$，线段为正，故$$b=4$$。 解答题 1. 解：（1）$$a:b=3:6=1:2$$；（2）统一单位$$n=20\mathrm{mm}$$，$$m:n=5:20=1:4$$。 2. 解：（1）从小到大排序：2、4、4、8，$$\dfrac{2}{4}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$$，是成比例线段；（2）从小到大排序：3、5、6、10，$$\dfrac{3}{6}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$$，是成比例线段。 3. 解：设$$a=3k，b=5k(k eq0)$$。（1）原式$$=\dfrac{3k+5k}{5k}=\dfrac{8k}{5k}=\dfrac{8}{5}$$；（2）原式$$=\dfrac{3k-5k}{3k+5k}=\dfrac{-2k}{8k}=-\dfrac{1}{4}$$。 4. 解：两个矩形四个角均为直角，对应角全部相等。对应边之比：$$\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}$$，$$\dfrac{4}{3}=\dfrac{4}{3}$$，对应边成比例。满足相似多边形两个条件，故两个矩形相似。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的图形可以看成是由较小的图 形“放大”得到的，较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的。 知识点1 两条线段的比 思考：它们的线段长度会有怎样的关系？ 对应线段的长度可能存在固定的比例关系 对于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系。 探究新知 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即 AB﹕CD=m﹕n，或写成。 其中，线段AB，CD分别叫作这个线段比的前项和后项。 知识点1 两条线段的比 注意：计算时必须统一长度单位。 思考：线段的比的本质是什么? 线段的比，本质是两个数的比。 探究新知 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即 AB﹕CD=m﹕n，或写成。 其中，线段AB，CD分别叫作这个线段比的前项和后项。 知识点1 两条线段的比 如果把表示成比值k，那么=k或AB=k·CD。 探究新知 如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′形状相同，AB=5cm，A′B′=3cm， AB﹕A′B′=5﹕3，就是线段AB与线段A′B′的比，这个比值刻画了这两个五 边形的大小关系。 A B E A′ B′ E′ C D C′ D′ 知识点1 两条线段的比 探究新知 在地图或工程图纸上，图上距离与它所表示的实际距离的比通常称为比例尺。比例尺也是两条线段比的一种。 知识点1 两条线段的比 探究新知 知识点1 两条线段的比 1.[西安西咸新区模拟] 如图，是线段上的一点， ，则 等于( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 7 2.某市，两地的实际距离，画在地图上的距离为 ， 则， 两地在地图上的距离与实际距离的比是__________。 返回 举一反三 8 图中的曲线是地形图中等高线(同一条曲线上的海拔相同)，如果量得两地点A，B的图上距离是3cm，那么A，B间的实际距离为 m。 解析：∵3cm=0.03m，比例尺为1׃50 000， ∴A，B间的实际水平距离为0.03÷ =1 500(m)。 ∵A，B间的垂直距离为900-100=800(m)， ∴由勾股定理知A，B间的实际距离为=1 700(m)。 例1 1 700 知识点1 两条线段的比 探究新知 如图，已知方格纸中每个小方格的边长均为1，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的顶点都在格点上。 (1)AB，BC，A′B′，B′C′的长度分别是多少? 解：(1)AB=2，BC=2，A′B′=1，B′C′=。 知识点2 成比例线段 E A E′ A′ B D B′ D′ C′ C 探究新知 如图，已知方格纸中每个小方格的边长均为1，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的顶点都在格点上。 (2)分别计算，，的值，你发现了什么? (2)=2=2，= ，= 发现=2 = =。 知识点2 成比例线段 E A E′ A′ B D B′ D′ C′ C 探究新知 在四条线段a，b，c，d 中，如果a与b的比等于c与d的比， 即=，那么这四条线段a，b，c，d叫作成比例线段， 简称比例线段。 AB，A′B′，BC，B′C′是成比例线段， AB，BC，A′B′， B′C′也是成比例线段。 知识点2 成比例线段 探究新知 判断四条线段是不是成比例线段的步骤： 一化：将四条线段的长度单位化统一； 二排：将四条线段按从小到大(或从大到小)的顺序排列； 三算：计算前两条线段长度的比和后两条线段长度的比； 四判断：若比值相同，则四条线段是成比例线段； 否则，不是成比例线段。 知识点2 成比例线段 探究新知 下列各组线段中，能构成成比例线段的是( ) A.3 cm，7 cm，6 cm，9 cm B.2 cm，5 cm，0.6 dm，8 cm C.3 cm，9 cm，18 cm，6 cm D.1 cm，2 cm，3 dm，4 dm 解析：一化；二排；三算；四判断。 例2 C 知识点2 成比例线段 探究新知 如果a，b，c，d四个数成比例，即=，那么ad=bc吗？ 反过来，如果ad=bc，那么a，b，c，d四个数成比例吗? 由于且0，两边同乘(等式性质) 得，化简后ad=bc； 反过来，由于，且0，利用等式的性质， 等式两边同时除以cd，即可得=，即a，b，c，d四个数成比例。 知识点3 比例的基本性质 探究新知 比例的基本性质： 如果=，那么ad=bc。 如果ad=bc(a，b，c，d都不等于0)，那么=。 知识点3 比例的基本性质 外项积=内项积 探究新知 知识点2 成比例线段 3.下列长度的四组线段中，是成比例线段的是( ) A A.，，， B.，，， C.，，， D.，，， 返回 举一反三 17 4.［教材随堂练习变式］ 已知线段，，， 是成比例线段，其 中，，，则线段 的长为___。 6 返回 举一反三 18 已知4x=3y(x，y都不等于0)，那么下列各式正确的是( ) A. = B. C. = D. = 例3 C 知识点3 比例的基本性质 探究新知 观察下图，你认为五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的形状相同吗? (1)在这两个五边形中，是否有对应相等的内角?你是怎么知道的? (2)在这两个五边形中，夹相等内角的两边是否成比例? 解：图中的五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是形状相同的多边形。 (1)∠A与∠A′，∠B与∠B′，∠C与∠C′，∠D 与∠D′，∠E与∠E′分别相等，称为对应角。 (2)AB与A′B′，BC与B′C′，CD与C′D′， DE与D′E′，EA与E′A′的比都相等， 称为对应边。 知识点4 相似多边形 E A E′ A′ B D B′ D′ C′ C 探究新知 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫作相似多边形。 例如，在图中，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′相似，记作五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，“∽”读作“相似于”。 在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的 字母写在对应的位置上。 知识点4 相似多边形 探究新知 相似多边形对应边的比叫作相似比。 例如，六边形ABCDEF∽六边形A′B′C′D′E′F′， 对应边的比 = = = = =。 则六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′的相似比k1=， 六边形A′B′C′D′E′F′与六边形ABCDEF的相似比k2= 注意：两个全等三角形相似比为1。 知识点4 相似多边形 探究新知 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 相似多边形的判定(定义法)：若两个多边形的各角分别相等，各边成比例，则这两个多边形相似。 知识点4 相似多边形 探究新知 知识点3 比例的基本性质 5.若，则 的值为( ) A A.12 B. C.1 D. 返回 举一反三 24 6. 请将 写成一个比例式：__________ _______________。 （答案不唯一） 返回 举一反三 25 知识点4 相似多边形 如图，已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求x，y，α的值。 解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴=，∠C′=∠C=83°。 ∵AB=6，A′B′=4，D′C′=5，B′C′=6， ∴ ，解得x=7.5， y= 9。 在四边形A′B′C′D′中，α=360°-∠A′-∠B′-∠C′ =360°-134°-60°-83°=83°。 例4 探究新知 知识点4 相似多边形的定义及性质 7.下列四组图形中，是相似多边形的是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 27 8.如图，四边形 四边形 。 （1）若 ， ， ，则____ ； （2）若四边形与四边形的相似比是， ， ，则____， ____。 69 18 4.8 返回 举一反三 28 9.一个多边形的边长依次为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形 的最长边的长为24，则另一个多边形的最短边的长为___。 8 返回 举一反三 29 10.如图，已知等腰梯形与等腰梯形相似， , ,，,,则等腰梯形 与 等腰梯形的相似比是_____，等腰梯形 的周长是_______。 返回 举一反三 30 知识点5 相似多边形的判定 11.下列说法正确的是( ) A A.各角分别相等、各边成比例的两个多边形一定是相似多边形 B.各角相等的两个多边形是相似多边形 C.边数相同的两个多边形是相似多边形 D.有一组角对应相等的两个平行四边形相似 返回 举一反三 31 两条线段长度的比 形状相同的图形 两条线段的比 比例的性质 线段a与b的比等于线段c与d的比，即= = ad=bc a，b，c，d都不等于0 成比例线段 各角分别相等、 各边成比例的两个多边形叫作相似多边形 相似多边形 概念 性质 相似多边形对应边的比 对应角相等、对应边成比例 相似比 课堂小结 谢谢观看 THANKS $