3.2 探索三角形相似的条件 第3课时教学课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“利用三边成比例判定三角形相似”，通过复习回顾相似三角形定义及AA、SAS判定方法，以“能否仅从边的关系判定相似”的猜想搭建学习支架，衔接新旧知识脉络。 其亮点在于采用“观察—猜想—动手操作—验证—归纳”的探究路径，学生通过绘制、测量三角形验证三边比例与角度关系，发展几何直观与推理能力。例题解析总结“四步法”，随堂练习规范书写，帮助学生形成模型意识，教师可依托此资料提升教学效率，促进学生逻辑思维与应用能力的培养。

第三章 图形的相似 2. 探索三角形相似的条件 第3课时：利用三边成比例判定三角形相似 北师大新版数学九年级上册 1.7.2013 同学们好，今天我们继续学习第三章《图形的相似》中的第二节《探索三角形相似的条件》。在前两节课中，我们已经掌握了两种判定三角形相似的方法：“两角分别相等的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。那么，除了角和角夹边，还有没有其他方法可以判定两个三角形相似呢？这节课，我们将一起探索第三种判定方法——利用三边成比例来判定三角形相似。 ‹#› 课程目录 01. 教学目标 02. 复习回顾 03. 新知探究 04. 例题解析 05. 随堂练习 06. 课后总结 07. 课后巩固 1.7.2013 本节课我们将按照以下流程进行：首先明确本节课的教学目标，然后复习回顾已经学过的相似三角形判定方法，接着进入核心环节——新知探究，我们将通过动手操作和推理来发现新的判定定理。之后，我们会通过例题解析来巩固新知识，并进行随堂练习。最后，进行课堂总结和布置课后巩固作业。 ‹#› 01教学目标 目标1： 经历探索“三边成比例的两个三角形相似”的过程，掌握定理并运用其解决简单问题。（重点） 目标2： 通过动手操作、观察比较与合作交流，亲历定理的探究过程，培养逻辑推理能力、几何直观与探究精神。（重点） 目标3： 感受几何图形的结构美，体会数学推理的严谨性与实际应用价值。（难点） 学习建议：紧扣“三边成比例”这一核心条件理解判定定理；通过画图对比直观辨析定理的应用；多动手操作验证，结合典型例题巩固应用，注重推理过程的规范书写与逻辑表达。 1.7.2013 本节课我们的学习目标主要有三个。首先，我们要掌握“三边成比例的两个三角形相似”这一重要定理，并能用它来解决问题。其次，在探究过程中，我们要积极动手、动脑，培养自己的逻辑推理能力和几何直观能力。最后，希望大家能感受到数学的严谨与美感。为了更好地达成目标，建议大家在学习过程中，紧扣“三边成比例”这个核心，多画图、多思考、多练习。 ‹#› 02复习回顾 温故知新：相似三角形的定义与判定 核心知识点梳理 01 相似三角形的定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形，这是相似图形最本质的特征描述，揭示了相似的核心属性。 02 已学判定方法：① AA判定：两角分别相等的两个三角形相似，是最常用的判定依据；② SAS判定：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，关键是必须为两组对应边的“夹角”。 03 符号语言规范：在△ABC和△A'B'C'中，∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴ △ABC ∽ △A'B'C'。注意对应顶点字母需按顺序书写，严格体现对应关系。 1.7.2013 在学习新知识之前，我们先来快速回顾一下已经学过的内容。相似三角形的定义是三角分别相等，三边成比例。我们已经掌握了两种判定方法：第一种是“两角分别相等”，简称AA；第二种是“两边成比例且夹角相等”，简称SAS。大家一定要记住，在使用SAS判定时，那个角必须是两条成比例边的夹角。这些都是我们接下来学习新知识的基础。 ‹#› 02复习回顾：方法对比 思考探究：我们还能从哪些方面判定相似？ 我们已经掌握了“两角分别相等”和“两边成比例且夹角相等”的相似判定方法。那么，能否仅从“边”的数量关系出发，找到新的判定依据？这是本节课要探究的核心问题。 01 已学判定方法回顾 我们已经学习了两种核心判定方法： ①两角分别相等：两角对应相等的两个三角形相似； ②两边成比例且夹角相等：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 它们分别从“角”和“边角结合”的角度锁定了三角形的形状。 02 新的猜想：从“边”出发 如果两个三角形的三边对应成比例，它们的形状是否完全相同？这能否成为新的相似判定依据？ 本节课核心任务：验证“三边成比例的两个三角形相似”这一猜想是否成立。 1.7.2013 回顾完旧知识，我们来思考一个新问题。我们已经从“角”和“边与角”的组合找到了判定方法，那么，如果只考虑“边”的关系，是否也能判定两个三角形相似呢？也就是说，如果两个三角形的三条边对应成比例，它们是否一定相似？这就是我们这节课要探究的核心问题。 ‹#› 02复习回顾：快速判断 01. 两角分别相等判定法 已知△ABC中，∠A=45°, ∠B=55°；△DEF中，∠D=45°, ∠F=80°。请通过角度计算分析两角关系，判断两个三角形是否相似并阐述依据。 02. 两边成比例且夹角相等判定法 已知△ABC中，AB=4, AC=6, ∠A=60°；△DEF中，DE=2, DF=3, ∠D=60°。结合边的比例关系与夹角大小，判断两个三角形是否相似并说明理由。 1.7.2013 好，我们来做几道快速判断题，检验一下大家对旧知识的掌握情况。请大家快速思考这三组三角形是否相似，并说明你的理由。第一题，三边都成比例；第二题，给出了两个角的度数；第三题，给出了两边和它们的夹角。大家可以回忆一下我们学过的判定方法。 ‹#› 03 新知探究：提出猜想 思考交流：最少需要几个条件？ 今天，我们从“边”的角度开启三角形相似的探索之旅。边是决定三角形大小的核心要素，那么究竟需要几条边对应成比例，才能判定两个三角形相似呢？带着这个问题，我们一起深入分析。 核心问题：如果两个三角形的三边对应成比例，它们一定相似吗？ 1.7.2013 现在，我们正式进入新知探究环节。我们的核心问题是：如果两个三角形的三条边对应成比例，它们是否一定相似？大家可以大胆猜想一下。这个猜想是否正确呢？我们需要通过动手操作来验证。 ‹#› 03新知探究：动手操作 活动：绘制与比较 请同学们拿出直尺和圆规，按照指定的边长要求绘制两个三角形，完成后仔细观察它们的形状特征，探索边长比例与形状之间的联系。 活动步骤：动手绘制与观察 01 绘制△ABC：使用直尺和圆规，画出边长为 AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm 的三角形。 02 绘制△A'B'C'：同样方法，画出边长为 A'B'=3cm，B'C'=4cm，A'C'=5cm 的三角形。 1.7.2013 接下来，请同学们拿出直尺和圆规，我们一起来动手画一画。请大家按照屏幕上的要求，画出两个三角形，△ABC和△A'B'C'。画好之后，仔细观察这两个三角形，它们的形状看起来一样吗？ ‹#› 03新知探究：画图步骤 动手实践：探索三角形的构成 活动要求：同桌合作，动手实践 01 绘制△ABC：先画线段BC=8cm；再分别以B、C为圆心，6cm、10cm为半径画弧，两弧交于点C；最后连接AB、AC，完成△ABC的绘制。 02 绘制△A'B'C'：先画线段B'C'=4cm；再分别以B'、C'为圆心，3cm、5cm为半径画弧，两弧交于点C'；最后连接A'B'、A'C'，完成△A'B'C'的绘制。 1.7.2013 这里是详细的画图步骤，大家可以参考一下。首先画第一条边，然后以这条边的两个端点为圆心，以另外两条边的长度为半径画弧，找到交点，最后连接成三角形。请同桌之间互相检查，确保画图的准确性。 ‹#› 03新知探究：测量与计算 动手实践：探索相似的判定条件 活动任务：同桌协作，完成三项探究 01 计算边长比值 分别计算对应边 、、的比值，观察这些比值之间存在怎样的数量关系？ 02 测量对应角度 用量角器测量∠A与∠A'、∠B与∠B'、∠C与∠C'的度数，对比各组角的度数是否完全相等？ 03 归纳相似结论 结合上述边长比值与角度测量的结果，尝试判断这两个三角形是否相似，并说明你的判定依据。 1.7.2013 画好之后，我们来进行下一步操作：测量与计算。请大家用量角器测量两个三角形的各个内角的度数，看看它们是否对应相等。同时，计算一下对应边的比值，看看有什么规律。然后根据你的发现，判断这两个三角形是否相似。 ‹#› 03新知探究 新知探究：观察与发现 探究任务：观察△ABC 与 △A'B'C' 1. 边长探索：测量两个三角形的三组对应边长度，分别计算比值 、 、 ，观察比值是否为恒定值； 2. 角度探索：使用量角器测量对应角（∠A与∠A'、∠B与∠B'、∠C与∠C'）的度数，对比并判断对应角是否相等。 💡 探究小提示 测量边长时保留一位小数，减少读数误差； 量角时确保量角器中心与角的顶点重合； 计算比值时，务必确认边的对应关系准确。 📏 角度测量结论 实测结果：∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'； 结论：两个三角形的对应角完全相等，满足相似的角度条件。 🔍 边长比值发现 计算得：=2，=2，=2； 结论：对应边成比例，相似比为2:1，满足相似的边长条件。 1.7.2013 通过刚才的测量和计算，大家应该都有了自己的发现。我们可以看到，这两个三角形的对应边的比值都是2，也就是说它们的三边成比例。同时，它们的对应角也都是相等的。根据相似三角形的定义，三角分别相等且三边成比例的两个三角形相似，所以我们可以得出结论，这两个三角形是相似的。 ‹#› 核心问题：三边成比例的三角形相似吗？ 一定相似！因为如果两个三角形的三边成比例，通过几何变换（放大或缩小）可使其一与另一个重合，形状完全相同，仅大小不同，满足相似三角形的定义。 03 新知探究：得出结论 三边成比例的三角形相似吗？ 1.7.2013 通过刚才的动手实践，我们验证了我们的猜想。当两个三角形的三边对应成比例时，它们确实是相似的。这是一个非常重要的结论，它揭示了三角形相似的又一个判定方法。 ‹#› 03新知探究：定理总结 相似三角形的判定定理3 定理核心：三边成比例判定相似 定理内容：三边成比例的两个三角形相似。即若两个三角形的三组对应边长度的比相等，则这两个三角形相似，无需验证角度即可直接判定。 定理解读与应用价值 解读：该定理与全等三角形“SSS”判定相呼应，是通过边的比例关系判定相似的核心依据。应用：在已知边长比例或无法测量角度时，可快速判定相似，为求解几何问题（如边长计算、面积比例）提供了高效方法，是解决相似三角形问题的重要工具。 1.7.2013 现在，我们可以正式总结出今天学习的新知识了。这就是相似三角形的第三个判定定理：三边成比例的两个三角形相似。这个定理非常有用，因为它只涉及到边的长度，在很多情况下使用起来非常方便。 ‹#› 03新知探究：定理辨析 三边成比例判定相似的核心逻辑 一般性验证 固定三角形的三边比例，仅改变边长的实际大小，画出的三角形形状始终保持一致。这证明了“三边成比例”是三角形形状唯一的决定条件，即满足该条件的两个三角形必然相似。 与全等判定的类比 此判定与全等三角形的“SSS”（边边边）判定一脉相承：全等要求三边“分别相等”，相似要求三边“成比例”。从“相等”到“成比例”，体现了从全等特例到相似一般的推广，是对图形相似本质的深刻诠释。 1.7.2013 我们来深入理解一下这个定理。大家可以思考一下，这个定理和我们之前学过的全等三角形判定定理“SSS”是不是很像？是的，它们非常相似。全等是要求三边分别相等，而相似只要求三边成比例。一个是“相等”，一个是“成比例”，这体现了从“全等”到“相似”的推广。 ‹#› 03新知探究 新知探究：相似判定的符号语言 核心知识点解析 01 定理的符号语言：在△ABC和△A'B'C'中，∵ ，∴ △ABC ∽ △A'B'C'。这是三边成比例判定相似的标准书写形式。 02 比例式的书写逻辑：比例式需严格遵循“对应边成比例”原则，分子分母分别对应两个三角形的边，保持顺序一致，直观体现边的对应关系。 03 关键书写规范：书写时务必注意对应顶点的字母顺序，这是相似三角形表示的核心要求，确保对应顶点、对应边、对应角的关系准确无误。 1.7.2013 我们学习了定理，还要掌握它的符号语言。在书写证明过程时，我们可以这样写：在△ABC和△A'B'C'中，因为AB比A'B'等于BC比B'C'等于AC比A'C'，所以△ABC相似于△A'B'C'。大家一定要注意对应顶点的字母要写在对应的位置上。 ‹#› 04 例题解析：例1 利用相似三角形判定定理3 例1：根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由。 已知：AB = 4cm，BC = 6cm，AC = 8cm； A'B' = 12cm，B'C' = 18cm，A'C' = 24cm。 1.7.2013 接下来，我们通过例题来看看如何运用这个新定理。请看例1，题目给出了两个三角形的三条边的长度，让我们判断它们是否相似。大家思考一下，应该如何运用我们刚刚学过的“三边成比例”定理来解决这个问题。 ‹#› 04 例题解析：思路分析 如何将已知条件与判定定理建立联系？ 解决此类问题的核心在于紧扣“三边成比例”的判定定理。先通过计算得到三组对应边的比值，再验证比值是否一致，最后依据定理完成相似判定，形成完整的逻辑推导链。 步骤1：计算三组对应边的比值 计算结果： 。通过逐一计算，明确三组对应边的比例关系，这是判定相似的基础数据支撑。 步骤2：验证比例并得出结论 验证发现三组比值均为，满足“三边成比例”条件。依据判定定理，可直接得出结论：△ABC ∽ △A'B'C'，完成相似性的证明。 1.7.2013 解决这个问题的思路非常清晰。首先，我们需要计算出三组对应边的比值。然后，检查这三个比值是否相等。如果相等，我们就可以根据判定定理得出两个三角形相似的结论。在这个例子中，三组边的比值都是1/3，所以它们是相似的。 ‹#› 04 例题解析：例1 解题过程 例1：利用“三边成比例”判定三角形相似 💡 解题核心思路 1.计算比值：分别求出三组对应边的比值； 2.验证关系：确认三组比值是否完全相等； 3.得出结论：依据“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理下结论。 解：∵AB = 4cm，BC = 6cm，AC = 8cm； A'B' = 12cm，B'C' = 18cm，A'C' = 24cm。 ∴ ， 在△ABC和△A'B'C'中， ∵ ∴ △ABC ∽ △A'B'C'（三边成比例的两个三角形相似）。 1.7.2013 这是例1的完整解题过程。大家可以看到，我们先写出比例式，然后得出比值相等的结论，最后根据判定定理写出相似的结论。整个过程逻辑清晰，步骤完整。 ‹#› 04 例题解析：例2 综合应用：中位线与相似判定 如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点。求证：△DEF ∽ △ABC。 1.7.2013 我们再来看一个稍微复杂一点的例子。例2告诉我们，三角形三边中点连接起来形成的三角形，与原三角形是相似的。我们需要证明这个结论。大家可以思考一下，如何利用我们学过的知识，特别是中位线定理和今天学的相似判定定理来证明。 ‹#› 04例题解析：例2 解题过程 证明：∵ 点D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点， ∴ DE、EF、FD是△ABC的中位线。 ∴ DE = AC，EF = AB，FD = BC（三角形中位线定理）。 ∴ = = = 。 ∴ △DEF ∽ △ABC（三边成比例的两个三角形相似）。 1.7.2013 证明过程是这样的。首先，根据中点的定义，我们知道DE、EF、FD都是三角形的中位线。根据中位线定理，中位线的长度等于第三边的一半。这样我们就得到了DE/AC = EF/AB = FD/BC = 1/2。因为三边成比例，所以根据我们今天学的判定定理，△DEF相似于△ABC。 ‹#› 04 例题解析：方法总结 相似三角形判定与求解的核心方法归纳 01 判定相似四步法 ①找边：锁定两个三角形的三组对应边； ②算比：分别计算每组对应边的长度比值； ③判比例：验证三组比值是否完全相等； ④下结论：若三边成比例，则判定两三角形相似。 02 解题关键策略 ①定模型：识别平行线、相交线等相似模型； ②巧转化：将未知边转化为比例式中的未知数； ③精计算：比值化简至最简，减少计算误差； ④验结果：代入原比例式验证，确保逻辑自洽。 03 核心易错点警示 ①顺序混乱：对应边错位，导致比例关系错误； ②单位不一：未统一长度单位，计算结果失真； ③条件缺失：仅验证两组边，忽略第三组边比对； ④计算失误：比值化简出错，需仔细核对运算。 提示：找准对应边是判定相似的核心前提，严谨的计算与验证是解题的保障；课后请通过课本习题强化训练，熟练掌握三边成比例判定定理的应用。 1.7.2013 通过这两个例题，我们总结一下使用“三边成比例”判定定理的方法。首先要找准对应边，然后计算比值，再判断比值是否相等，最后得出结论。在解题过程中，大家要特别注意对应边的顺序和单位的统一，避免出现错误。同时，要学会识别常见的相似模型，将复杂图形拆解为基础三角形，这样能更高效地解决问题。 ‹#› 05 随堂练习： 判断下列各组中的两个三角形是否相似，并说明理由： 1. △ABC中，AB=2，BC=3，AC=4；△DEF中，DE=4，EF=6，DF=8。 2. △ABC中，AB=5，BC=12，AC=13；△DEF中，DE=10，EF=24，DF=25。 （1）结论：相似 理由：∵，，，∴ 三边对应成比例。根据“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理，可得 △ABC ∽ △DEF。 方法点睛：三边判定的核心技巧 在利用“三边成比例”判定相似时，建议先将两个三角形的三边分别按从小到大（或从大到小）的顺序排列，再依次计算对应边的比值。只要有一组比值不相等，即可直接判定两个三角形不相似；只有三组比值完全相等，才能判定相似。 1.7.2013 好了，理论学习和例题分析都结束了，现在是大家大显身手的时候。我们来做几道随堂练习。请看第一题，判断这两组三角形是否相似。请大家独立思考，写出解题过程。 ‹#› 05 随堂练习： （1）证明：∵ AB=2，BC=3，AC=4，DE=4，EF=6，DF=8 ∴ 。 ∴ = = 。 ∴ △ABC ∽ △DEF（三边成比例的两个三角形相似）。 1.7.2013 这是练习2的解答。我们首先计算出AB和AC的长度，然后发现AD/AB和AE/AC的比值都是1/3，又因为它们有一个公共角∠A，所以根据我们第二课时学的“SAS”判定定理，就可以证明这两个三角形相似了。大家可以思考一下，这道题能不能用我们今天学的“三边成比例”来证明呢？其实也是可以的，不过需要先求出DE和BC的长度关系，会稍微复杂一些。 ‹#› 05 随堂练习： （2）证明：∵ AB=5，BC=12，AC=13，DE=10，EF=24，DF=25 ∴ 。 ∴ = ≠ 。 ∴ △ABC 与 △DEF不相似。 1.7.2013 这是练习2的解答。我们首先计算出AB和AC的长度，然后发现AD/AB和AE/AC的比值都是1/3，又因为它们有一个公共角∠A，所以根据我们第二课时学的“SAS”判定定理，就可以证明这两个三角形相似了。大家可以思考一下，这道题能不能用我们今天学的“三边成比例”来证明呢？其实也是可以的，不过需要先求出DE和BC的长度关系，会稍微复杂一些。 ‹#› 06 课堂小结：知识梳理 三角形相似判定要点回顾 01. 核心判定定理 牢记三大判定：AA（两角相等）、SAS（两边成比例且夹角等）、SSS（三边成比例），是判定相似的核心依据。 02. 常见判定误区 警惕“两边成比例且其中一边的对角相等”（SSA）的陷阱，此条件无法判定三角形相似，是考试常见易错点。 03. 判定应用技巧 优先观察角的关系（AA）快速判定，再结合边的比例条件；根据题干信息灵活选择最优判定方法解题。 04. 知识体系整合 对比全等判定加深理解，构建“角-边-比例”的逻辑关联，形成系统的几何推理思维框架。 牢记判定条件，规避相似误区，灵活运用定理解决几何证明与计算问题！ 1.7.2013 好了，今天的课程内容就到这里。我们来总结一下。本节课我们学习了相似三角形的第三个判定定理：三边成比例的两个三角形相似。至此，我们已经掌握了三种判定方法：AA、SAS和SSS。大家一定要牢记这三种方法的条件和适用场景，特别是要注意SAS中的“夹角”和SSA不能判定相似这两个易错点。 ‹#› 06 课堂小结：方法总结 核心提炼：思想、方法与技巧的深度回顾 01 数学思想：类比迁移 运用类比思想，从“全等三角形”的判定（SSS）出发，迁移推导“相似三角形”的判定（SSS）。理解从“全等”到“相似”是从特殊到一般的思维跨越，实现知识的正向迁移，构建图形关系的知识网络。 02 研究方法：科学探究 遵循“观察—猜想—验证—归纳”的科学路径：先观察图形特征提出相似猜想，再通过推理或测量验证，最后归纳出判定定理，培养严谨的逻辑推理与科学探究能力。 03 解题技巧：灵活选择 根据题目条件灵活选择判定方法：已知角的关系优先用AA；已知边和角的关系优先用SAS；已知三边关系优先用SSS。合理选择方法能简化证明，提升解题效率。 总结：类比迁移是思想内核，科学探究是方法支撑，灵活判定是解题关键，三者融合是学好相似图形的核心！ 1.7.2013 从思想方法上看，我们今天学习的SSS判定定理，是通过类比全等三角形的SSS判定得到的，这体现了类比迁移的数学思想。我们的探究过程也遵循了科学探究的一般步骤。在解题时，大家要学会根据题目的条件，灵活选择最简便的判定方法，提高解题效率。 ‹#› 07 课后作业 分层作业设计——进阶式巩固与探索 完成教材习题3.4的第3、4题。通过练习，巩固相似三角形判定定理，加深对“三边成比例”等核心条件的理解，夯实本节课知识基础，规范解题步骤书写。 提示：基础题请独立完成并规范书写；中档题结合课堂笔记分析条件，尝试多角度思考；拓展题探索相似模型规律，完成后对照判定定理梳理解题思路。 1.7.2013 课后请大家完成教材上的基础作业，主要是为了巩固今天所学的“三边成比例”判定定理。请大家独立完成，认真书写解题过程。 ‹#› 谢谢指导！ THANKS 课后小任务：请同学们课后及时复习本节课核心知识点，完成练习册对应习题巩固基础，并尝试梳理解题思路框架。 1.7.2013 今天的课就到这里，感谢同学们的积极参与和认真思考。希望大家课后能及时复习，完成相关练习，把今天所学的知识真正掌握。谢谢大家！ ‹#› $