28.2.1《中心对称》分层作业 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本练习以“基础巩固-思维进阶-中考衔接”分层设计，覆盖中心对称定义、性质、作图及应用，梯度清晰，适配新授课知识内化与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|中心对称定义、性质、对称点/中心识别、简单作图|以选择、填空为主，聚焦核心概念（如对称点连线被中心平分），培养空间观念| |进阶思维题|坐标变换、综合证明、图形旋转关联|含坐标计算与几何证明（如平行四边形中心对称性质），发展推理能力| |中考链接题|中考真题题型（对称图形判断、旋转综合题）|整合旋转与位似、动态几何，体现模型意识，衔接中考测评|

人教版九年级上册 第28章 旋转 28.2 中心对称 第1课时中心对称及其性质 本节知识点总结 1. 中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。 2. 中心对称的性质： （1）成中心对称的两个图形全等； （2）对称点所连线段经过对称中心，并且被对称中心平分（即对称中心是对称点连线的中点）； （3）对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等。 3. 画中心对称图形的方法： （1）找关键点（如线段端点、顶点）； （2）作关于对称中心的对称点：连接关键点与对称中心，延长至对称中心另一侧，截取等长线段； （3）依次连接各对称点，得到中心对称图形。 4. 中心对称与旋转的关系：中心对称是旋转角为180°的特殊旋转，因此具有旋转的一切性质。 分层作业 📅 二、基础过关题 题型01 中心对称的定义与识别 1．（2025秋·北京海淀·期中）下列各组图形中，关于某点成中心对称的是（ ） A．两个全等的三角形 B．两个能够完全重合的图形 C．一个图形绕某点旋转180°后能与另一个图形重合 D．两个轴对称图形 2．（2025秋·上海浦东·月考）下列说法正确的是（ ） A．全等的两个图形成中心对称 B．成中心对称的两个图形全等 C．两个图形关于某点对称，则这两个图形分别在该点两侧 D．中心对称图形就是中心对称 3．（2025秋·广东广州·单元测）数学之美藏于几何图形，对称之妙尽显平衡智慧．下列图形分别是“赵爽弦图”“双黄金螺旋”“科赫曲线”“斐波那契螺旋点”，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（        ） A. B. C. D. 题型02 找对称中心和对称点 4．（2025秋·江苏南京·期中）如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列说法错误的是（ ） A．点O是对称中心 B．点A与点A′是对称点 C．OA＝OA′ D．AB＝A′B′且AB∥A′B′ 5．（2025秋·浙江杭州·月考）已知点A（-2，3）与点B关于原点O成中心对称，则点B的坐标为（ ） A．（2，-3） B．（-2，-3） C．（2，3） D．（-2，3） 6．（2025秋·山东济南·期中）线段AB与线段A′B′关于点O成中心对称，若OA＝5cm，OB＝3cm，则AA′＝______cm，BB′＝______cm。 题型03 中心对称性质的应用（对称点连线被对称中心平分） 7．（2025秋·湖北武汉·月考）△ABC与△DEF关于点O成中心对称，若AB＝6，BC＝8，AC＝10，则△DEF的周长为（ ） A．24 B．22 C．20 D．18 8．（2025秋·湖南长沙·期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD与△ECD关于点D成中心对称。若AB＝5，AC＝7，则AD的取值范围是______。 9．（2025秋·河南郑州·月考）四边形ABCD与四边形EFGH关于点O成中心对称，若∠A＝110°，∠B＝80°，则∠E＋∠F＝（ ） A．190° B．180° C．170° D．160° 题型04 中心对称与旋转的关系 10．（2025秋·河北石家庄·期中）下列关于中心对称与旋转的关系，说法正确的是（ ） A．中心对称就是旋转 B．中心对称是旋转角为180°的特殊旋转 C．旋转就是中心对称 D．中心对称与旋转没有关系 11．（2025秋·陕西西安·月考）将△ABC绕点O旋转180°得到△A′B′C′，则下列说法正确的有（ ） ①△ABC≌△A′B′C′；②OA＝OA′；③∠AOA′＝180°；④AB∥A′B′。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（2025秋·辽宁沈阳·期中）将△ABC绕点O旋转180°得到△A′B′C′，若∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C′＝______°，点A、O、A′三点的位置关系是______。 题型05 画关于某点中心对称的图形 13．（2025秋·云南昆明·期中）如图，已知△ABC和点O，画出△ABC关于点O成中心对称的△A′B′C′。（要求：保留作图痕迹，不写作法） 14．（2025秋·广西南宁·期中）如图，已知四边形ABCD和点O，画出四边形ABCD关于点O成中心对称的四边形A′B′C′D′。 15．（2025秋·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，2）、B（3，1）、C（2，4）。画出△ABC关于原点O成中心对称的△A′B′C′，并写出A′、B′、C′的坐标。 题型06 中心对称性质的综合应用 16．（2025秋·北京朝阳·期中）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，则图中成中心对称的三角形共有（ ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 17．（2025秋·广东深圳·单元测）如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，下列结论：①OA＝OA′；②AB∥A′B′；③∠BAC＝∠B′A′C′；④S△ABC＝S△A′B′C′。其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型07 中心对称的实际应用 18.（2025秋·湖北武汉·月考）如图，有一块长方形的土地，要在其中修建两条互相垂直的道路，使道路把土地分成面积相等的四部分。请你设计一种方案，并说明理由。 19．（2025秋·湖南长沙·期中）如图，是一个中心对称图形的一部分，对称中心为点A，请你补全这个图形。 20．（2025秋·河南郑州·月考）如图，有两个全等的直角三角形纸片，如何利用中心对称的知识，将它们拼成一个平行四边形？请说明拼法和理由。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2025秋·天津和平·期中）下列图形中，△A′B′C′与△ABC关于点O成中心对称的是（ ） A. B. C. D. 2．（2025秋·重庆渝中·月考）在平面直角坐标系中，将△ABC绕点P旋转180°得到△A′B′C′，则点P的坐标为（ ） A．（0，0） B．（1，1） C．（-1，-1） D．（2，2） （已知A（0，0），A′（2，2）） 3．（2025秋·江苏南京·期中）如图，将矩形ABCD绕点O旋转180°得到矩形A′B′C′D′，若AB＝4，BC＝6，则四边形AB′A′B（ ） A菱形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形 5．（2025秋·浙江杭州·月考）已知点P（a，b）与点Q（2，-3）关于原点成中心对称，则a＋b的值为（ ） A．1 B．-1 C．5 D．-5 6．（2025秋·山东济南·期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C旋转180°得到△A′B′C，连接AA′、BB′，则四边形AB′A′B是（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 （二）填空题 7．（2025秋·湖北武汉·月考）已知点A（-3，2）与点B关于点P（1，0）成中心对称，则点B的坐标为______。 8．（2025秋·湖南长沙·期中）△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，若OA＝3，OB＝4，OC＝5，则OA′＋OB′＋OC′＝____。 9．（2025秋·河南郑州·月考）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若△AOB的面积为5，则平行四边形ABCD的面积为______。 10．（2025秋·河北石家庄·期中）将点A（2，3）绕原点旋转180°得到点A′，则点A′的坐标为______，线段AA′的长度为______。 11．（2025秋·陕西西安·月考）在△ABC中，D是BC的中点，△ABD绕点D旋转180°得到△ECD，若AB＝5，AC＝7，AD＝4，则△ACE的周长为______。 （三）解答题 12．（2025秋·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-2，3）、B（-4，1）、C（-1，2）。 （1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A₁B₁C₁，并写出A₁、B₁、C₁的坐标； （2）画出△ABC关于点P（1，1）成中心对称的△A₂B₂C₂，并写出的坐标。 13．（2025秋·云南昆明·期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线。 （1）画出△ADC关于点D成中心对称的△A′DB； （2）若AB＝6，AC＝4，求AD的取值范围。 14．（2025秋·广西南宁·期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，对角线AC、BD交于点O。 （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）图中有哪些三角形成中心对称？请找出所有成中心对称的三角形对，并指出对称中心。 15．（2025秋·四川成都·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点C旋转180°得到△A′B′C，连接AA′、BB′。 （1）求四边形AB′A′B的面积； （2）求AA′的长度。 三、中考链接题 1.（25-26·四川中考）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ） A. B. C. D.   2.（25-26·黑龙江中考）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，将绕点顺时针旋转后，得到，点，的对应点分别是点，，以原点为位似中心，将放大为原来的3倍后，得到，顶点在第一象限对应点的坐标是（        ） A. B. C. D. 3.（2026·四川中考）如图，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，与交于点，与交于点，则下列结论不一定正确的是（       ） A. B. C. D. 4.（25-26·广东中考）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则的周长为（        ） A. B. C. D. 5.（2026·四川中考）点关于原点的对称点坐标是________． 6.（2026·四川中考）如图，，，将绕点逆时针旋转得到．连接，则的最小值为________．   7.（2024-2025·宁夏中考）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，. （1）画出关于原点成中心对称的； （2）画出关于轴对称的．   8.（25-26·安徽中考）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点），点，，的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）将线段向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段，画出线段； （3）以点为旋转中心，将线段按顺时针方向旋转，得到线段，直接写出点的坐标． 9.（2025·湖南中考）已知：如图，中，，垂足为．将绕点逆时针旋转后，点落在上点处，点落在延长线上点处，与交于点． 求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版九年级上册 第28章 旋转 28.2 中心对称 第1课时中心对称及其性质 本节知识点总结 1. 中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。 2. 中心对称的性质： （1）成中心对称的两个图形全等； （2）对称点所连线段经过对称中心，并且被对称中心平分（即对称中心是对称点连线的中点）； （3）对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等。 3. 画中心对称图形的方法： （1）找关键点（如线段端点、顶点）； （2）作关于对称中心的对称点：连接关键点与对称中心，延长至对称中心另一侧，截取等长线段； （3）依次连接各对称点，得到中心对称图形。 4. 中心对称与旋转的关系：中心对称是旋转角为180°的特殊旋转，因此具有旋转的一切性质。 分层作业 📅 二、基础过关题 题型01 中心对称的定义与识别 1．（2025秋·北京海淀·期中）下列各组图形中，关于某点成中心对称的是（ ） A．两个全等的三角形 B．两个能够完全重合的图形 C．一个图形绕某点旋转180°后能与另一个图形重合 D．两个轴对称图形 【答案】C 【分析】本题考查中心对称的定义。根据中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。 【详解】解：根据中心对称的定义，一个图形绕某点旋转180°后能与另一个图形重合，则这两个图形成中心对称。 A选项，两个全等的三角形不一定成中心对称； B选项，两个能够完全重合的图形可能是平移或轴对称得到的，不一定是中心对称； C选项符合中心对称的定义； D选项，两个轴对称图形不一定成中心对称。 故选C。 2．（2025秋·上海浦东·月考）下列说法正确的是（ ） A．全等的两个图形成中心对称 B．成中心对称的两个图形全等 C．两个图形关于某点对称，则这两个图形分别在该点两侧 D．中心对称图形就是中心对称 【答案】B 【分析】本题考查中心对称的性质。成中心对称的两个图形一定全等，但全等的两个图形不一定成中心对称。 【详解】解：A选项，全等的两个图形不一定成中心对称，错误； B选项，成中心对称的两个图形全等，这是中心对称的性质，正确； C选项，两个图形关于某点对称，对称点连线经过对称中心，但图形不一定分别在该点两侧，错误； D选项，中心对称图形是指一个图形自身的性质，中心对称是指两个图形之间的关系，两者不同，错误。 故选B。 3．（2025秋·广东广州·单元测）数学之美藏于几何图形，对称之妙尽显平衡智慧．下列图形分别是“赵爽弦图”“双黄金螺旋”“科赫曲线”“斐波那契螺旋点”，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（        ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；据此逐一判断即可. 【解答】 解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意 D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意. 故选C。 题型02 找对称中心和对称点 4．（2025秋·江苏南京·期中）如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列说法错误的是（ ） A．点O是对称中心 B．点A与点A′是对称点 C．OA＝OA′ D．AB＝A′B′且AB∥A′B′ 【答案】D 【分析】本题考查中心对称的性质。成中心对称的两个图形，对称点连线经过对称中心且被平分，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 【详解】解：根据中心对称的性质： A选项，点O是对称中心，正确； B选项，点A与点A′是对称点，正确； C选项，对称点连线被对称中心平分，所以OA＝OA′，正确； D选项，AB＝A′B′正确，但AB与A′B′不一定平行，也可能在同一条直线上，错误。 故选D。 5．（2025秋·浙江杭州·月考）已知点A（-2，3）与点B关于原点O成中心对称，则点B的坐标为（ ） A．（2，-3） B．（-2，-3） C．（2，3） D．（-2，3） 【答案】A 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征。关于原点对称的两个点，横、纵坐标都互为相反数。 【详解】解：关于原点对称的两个点，横、纵坐标都互为相反数。 点A（-2，3）关于原点O的对称点B的坐标为（2，-3）。 故选A。 6．（2025秋·山东济南·期中）线段AB与线段A′B′关于点O成中心对称，若OA＝5cm，OB＝3cm，则AA′＝___10___cm，BB′＝__6____cm。 【答案】10；6 【分析】本题考查中心对称的性质。对称点连线经过对称中心且被对称中心平分，所以OA＝OA′，OB＝OB′。 【详解】解：∵线段AB与线段A′B′关于点O成中心对称， ∴OA＝OA′，OB＝OB′。 ∵OA＝5cm， ∴AA′＝OA＋OA′＝2OA＝10cm。 ∵OB＝3cm， ∴BB′＝OB＋OB′＝2OB＝6cm。 故答案为：10；6。 题型03 中心对称性质的应用（对称点连线被对称中心平分） 7．（2025秋·湖北武汉·月考）△ABC与△DEF关于点O成中心对称，若AB＝6，BC＝8，AC＝10，则△DEF的周长为（ ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】A 【分析】本题考查中心对称的性质。成中心对称的两个图形全等，所以对应边相等，周长相等。 【详解】解：∵△ABC与△DEF关于点O成中心对称， ∴△ABC≌△DEF。 ∴DE＝AB＝6，EF＝BC＝8，DF＝AC＝10。 ∴△DEF的周长＝DE＋EF＋DF＝6＋8＋10＝24。 故选A。 8．（2025秋·湖南长沙·期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD与△ECD关于点D成中心对称。若AB＝5，AC＝7，则AD的取值范围是__1＜AD＜6____。 【答案】1＜AD＜6 【分析】本题考查中心对称的性质和三角形三边关系。由中心对称可得△ABD≌△ECD，所以CE＝AB＝5，AD＝DE。在△ACE中利用三边关系求AE的范围，进而求AD的范围。 【详解】解：∵△ABD与△ECD关于点D成中心对称， ∴△ABD≌△ECD。 ∴CE＝AB＝5，AD＝DE。 ∴AE＝2AD。 在△ACE中，AC＝7，CE＝5， 根据三角形三边关系：AC－CE＜AE＜AC＋CE， 即7－5＜2AD＜7＋5， ∴2＜2AD＜12， ∴1＜AD＜6。 故答案为：1＜AD＜6。 9．（2025秋·河南郑州·月考）四边形ABCD与四边形EFGH关于点O成中心对称，若∠A＝110°，∠B＝80°，则∠E＋∠F＝（ ） A．190° B．180° C．170° D．160° 【答案】A 【分析】本题考查中心对称的性质。成中心对称的两个图形全等，对应角相等，所以∠E＝∠A，∠F＝∠B。 【详解】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH关于点O成中心对称， ∴四边形ABCD≌四边形EFGH。 ∴∠E＝∠A＝110°，∠F＝∠B＝80°。 ∴∠E＋∠F＝110°＋80°＝190°。 故选A。 题型04 中心对称与旋转的关系 10．（2025秋·河北石家庄·期中）下列关于中心对称与旋转的关系，说法正确的是（ ） A．中心对称就是旋转 B．中心对称是旋转角为180°的特殊旋转 C．旋转就是中心对称 D．中心对称与旋转没有关系 【答案】B 【分析】本题考查中心对称与旋转的关系。中心对称是旋转角为180°的特殊旋转，因此具有旋转的一切性质。 【详解】解：中心对称是指一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，它是旋转角为180°的特殊旋转。 A选项，中心对称是特殊的旋转，但旋转不一定是中心对称，错误； B选项，中心对称是旋转角为180°的特殊旋转，正确； C选项，旋转角不一定是180°，所以旋转不一定是中心对称，错误； D选项，中心对称是特殊的旋转，两者有关系，错误。 故选B。 11．（2025秋·陕西西安·月考）将△ABC绕点O旋转180°得到△A′B′C′，则下列说法正确的有（ ） ①△ABC≌△A′B′C′；②OA＝OA′；③∠AOA′＝180°；④AB∥A′B′。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质和中心对称的特征。旋转180°即为中心对称，具有旋转和中心对称的所有性质。 【详解】解：将△ABC绕点O旋转180°得到△A′B′C′，即△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称。 ①旋转前后图形全等，所以△ABC≌△A′B′C′，正确； ②对应点到旋转中心距离相等，所以OA＝OA′，正确； ③旋转角为180°，所以∠AOA′＝180°，正确； ④中心对称的对应线段平行（或在同一直线上），所以AB∥A′B′，正确。 因此4个说法都正确。 故选D。 12．（2025秋·辽宁沈阳·期中）将△ABC绕点O旋转180°得到△A′B′C′，若∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C′＝___40___°，点A、O、A′三点的位置关系是__在同一条直线上____。 【答案】40；在同一条直线上 【分析】本题考查旋转的性质。旋转180°后图形全等，对应角相等；对应点与旋转中心共线，且旋转角为180°。 【详解】解：∵将△ABC绕点O旋转180°得到△A′B′C′， ∴△ABC≌△A′B′C′。 ∴∠C′＝∠C。 在△ABC中，∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－80°＝40°， ∴∠C′＝40°。 ∵旋转角为180°， ∴点A、O、A′在同一条直线上（∠AOA′＝180°）。 故答案为：40；在同一条直线上。 题型05 画关于某点中心对称的图形 13．（2025秋·云南昆明·期中）如图，已知△ABC和点O，画出△ABC关于点O成中心对称的△A′B′C′。（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查中心对称图形的画法。关键是作出各顶点关于对称中心O的对称点，然后依次连接。 【详解】解：作图步骤： （1）连接AO并延长至A′，使OA′＝OA； （2）连接BO并延长至B′，使OB′＝OB； （3）连接CO并延长至C′，使OC′＝OC； （4）依次连接A′B′、B′C′、C′A′。 则△A′B′C′即为所求作的与△ABC关于点O成中心对称的图形。 14．（2025秋·广西南宁·期中）如图，已知四边形ABCD和点O，画出四边形ABCD关于点O成中心对称的四边形A′B′C′D′。 【答案】见解析 【分析】本题考查中心对称图形的画法。对于多边形，作出各顶点关于对称中心的对称点，然后依次连接即可。 【详解】解：作图步骤： （1）连接AO并延长至A′，使OA′＝OA； （2）连接BO并延长至B′，使OB′＝OB； （3）连接CO并延长至C′，使OC′＝OC； （4）连接DO并延长至D′，使OD′＝OD； （5）依次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′。 则四边形A′B′C′D′即为所求作的与四边形ABCD关于点O成中心对称的图形。 15．（2025秋·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，2）、B（3，1）、C（2，4）。画出△ABC关于原点O成中心对称的△A′B′C′，并写出A′、B′、C′的坐标。 【答案】A′（-1，-2），B′（-3，-1），C′（-2，-4） 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征和中心对称图形的画法。关于原点对称的两个点，横、纵坐标都互为相反数。 【详解】解：关于原点对称的两个点，横、纵坐标都互为相反数。 ∵A（1，2），∴A′（-1，-2）； ∵B（3，1），∴B′（-3，-1）； ∵C（2，4），∴C′（-2，-4）。 在坐标系中描出A′、B′、C′三点，依次连接A′B′、B′C′、C′A′，即得△A′B′C′。 故答案为：A′（-1，-2），B′（-3，-1），C′（-2，-4）。 题型06 中心对称性质的综合应用 16．（2025秋·北京朝阳·期中）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，则图中成中心对称的三角形共有（ ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【分析】本题考查中心对称的识别和平行四边形的性质。平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线交点O。 【详解】解：平行四边形ABCD是中心对称图形，对称中心是对角线交点O。 图中成中心对称的三角形有： ①△AOB与△COD； ②△AOD与△COB； ③△ABD与△CDB； ④△ABC与△CDA。 共4对。 故选C。 17．（2025秋·广东深圳·单元测）如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，下列结论：①OA＝OA′；②AB∥A′B′；③∠BAC＝∠B′A′C′；④S△ABC＝S△A′B′C′。其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查中心对称的性质。成中心对称的两个图形全等，对应点连线被对称中心平分，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，面积相等。 【详解】解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称， ∴△ABC≌△A′B′C′。 ①对称点连线被对称中心平分，所以OA＝OA′，正确； ②对应线段平行（或在同一直线上），所以AB∥A′B′，正确； ③全等三角形对应角相等，所以∠BAC＝∠B′A′C′，正确； ④全等三角形面积相等，所以S△ABC＝S△A′B′C′，正确。 因此4个结论都正确。 故选D。 题型07 中心对称的实际应用 18.（2025秋·湖北武汉·月考）如图，有一块长方形的土地，要在其中修建两条互相垂直的道路，使道路把土地分成面积相等的四部分。请你设计一种方案，并说明理由。 【答案】见解析 【分析】本题考查中心对称性质的实际应用。长方形是中心对称图形，对称中心是对角线交点。经过对称中心的任意直线都能把长方形分成面积相等的两部分。 【详解】解：设计方案： （1）连接长方形的两条对角线，交于点O（即长方形的中心）； （2）过点O作任意一条直线 （3）这两条直线就是所设计的道路。 理由： 长方形是中心对称图形，对称中心是对角线交点O。 经过对称中心O的任意一条直线都能把长方形分成面积相等的两部分。 因为l1和l2都经过点O，且互相垂直，所以它们把长方形分成四个部分，且相对的两部分关于点O成中心对称，面积相等。 因此这两条道路把土地分成面积相等的四部分。 19．（2025秋·湖南长沙·期中）如图，是一个中心对称图形的一部分，对称中心为点A，请你补全这个图形。 【答案】见解析 【分析】本题考查中心对称图形的补全。关键是作出已知部分各关键点关于对称中心O的对称点，然后连接。 【详解】解：补全步骤： （1）找出已知图形的关键点（如顶点、端点）； （2）分别连接各关键点与对称中心A，并延长至另一侧，截取等长线段，得到各对称点； （3）按照原图形的连接顺序，依次连接各对称点； （4）补全后的图形与原图形关于点A成中心对称。 20．（2025秋·河南郑州·月考）如图，有两个全等的直角三角形纸片，如何利用中心对称的知识，将它们拼成一个平行四边形？请说明拼法和理由。 【答案】见解析 【分析】本题考查中心对称性质的实际应用。将两个全等的直角三角形绕某一点旋转180°后重合，即可拼成平行四边形。 【详解】解：拼法： （1）将两个全等的直角三角形重合，将△A′B′C′绕着AC中点旋转180°，使点A与点C′重合，点C与点A′重合； （2）此时两个三角形关于斜边的中点成中心对称。 理由： △ABC与△A′B′C′，则AC与A′C′重合，中点为O。 因为两个三角形全等，且关于点O成中心对称，所以对应点连线经过点O且被平分。 因此，拼成的四边形的对角线互相平分，根据平行四边形的判定定理，这个四边形是平行四边形。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2025秋·天津和平·期中）下列图形中，△A′B′C′与△ABC关于点O成中心对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查中心对称的识别。成中心对称的两个图形，对应点连线都经过对称中心O，且被O平分。 【详解】解：根据中心对称的定义和性质，成中心对称的两个图形，对应点连线都经过同一点O，且被O平分。 A选项中，A与A′、B与B′、C与C′的连线都经过点O，且被O平分，符合中心对称的特征； B、C、D选项中，对应点连线不都经过同一点，或不被同一点平分，不符合中心对称的特征。 故选A。 2．（2025秋·重庆渝中·月考）在平面直角坐标系中，将△ABC绕点P旋转180°得到△A′B′C′，则点P的坐标为（ ） A．（0，0） B．（1，1） C．（-1，-1） D．（2，2） （已知A（0，0），A′（2，2）） 【答案】B 【分析】本题考查中心对称的性质和中点坐标公式。旋转180°即为中心对称，对称中心是对应点连线的中点。 【详解】解：将△ABC绕点P旋转180°得到△A′B′C′，即△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称。 ∴点P是对应点连线的中点。 ∵A（0，0），A′（2，2）， ∴点P的坐标为（， ）＝（1，1）。 故选B。 3．（2025秋·江苏南京·期中）如图，将矩形ABCD绕点O旋转180°得到矩形A′B′C′D′，若AB＝4，BC＝6，则四边形AB′A′B（ ） A菱形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】本题考查中心对称的性质和矩形面积计算。旋转180°后，A与A′、B与B′是对称点，四边形AA′B′B是平行四边形。 【详解】解：∵将矩形ABCD绕点O旋转180°得到矩形A′B′C′D′， ∴矩形ABCD≌矩形A′B′C′D′。 ∴A与A′、B与B′是对称点。 ∴AA′和BB′都经过点O，且被O平分。 ∴四边形AA′B′B是平行四边形。 故选D。 5．（2025秋·浙江杭州·月考）已知点P（a，b）与点Q（2，-3）关于原点成中心对称，则a＋b的值为（ ） A．1 B．-1 C．5 D．-5 【答案】A 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征。关于原点对称的两个点，横、纵坐标都互为相反数。 【详解】解：∵点P（a，b）与点Q（2，-3）关于原点成中心对称， ∴a＝-2，b＝3。 ∴a＋b＝-2＋3＝1。 故选A。 6．（2025秋·山东济南·期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C旋转180°得到△A′B′C，连接AA′、BB′，则四边形AB′A′B是（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】本题考查中心对称的性质和特殊四边形的判定。旋转180°后，对应点连线都经过C且被C平分，所以四边形AB′A′B的对角线互相平分，是平行四边形。又因为AB＝A′B′且∠ACB＝90°，可进一步判定为菱形。 【详解】解：∵将△ABC绕点C旋转180°得到△A′B′C， ∴CA＝CA′，CB＝CB′。 ∴四边形AB′A′B的对角线互相平分。 ∴四边形AB′A′B是平行四边形。 又∵∠ACB＝90°， ∴AA′⊥BB′。 ∴平行四边形AA′B′B是菱形。 故选C。 （二）填空题 7．（2025秋·湖北武汉·月考）已知点A（-3，2）与点B关于点P（1，0）成中心对称，则点B的坐标为___（5，-2）___。 【答案】（5，-2） 【分析】本题考查中心对称的性质和中点坐标公式。关于点P成中心对称的两个点，P是它们连线的中点。 【详解】解：设点B的坐标为（x，y）。 ∵点A（-3，2）与点B关于点P（1，0）成中心对称， ∴点P是线段AB的中点。 根据中点坐标公式： (-3+x)/2＝1，解得x＝5； (2+y)/2＝0，解得y＝-2。 ∴点B的坐标为（5，-2）。 故答案为：（5，-2）。 8．（2025秋·湖南长沙·期中）△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，若OA＝3，OB＝4，OC＝5，则OA′＋OB′＋OC′＝___12___。 【答案】12 【分析】本题考查中心对称的性质。对称点连线被对称中心平分，所以OA′＝OA，OB′＝OB，OC′＝OC。 【详解】解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称， ∴OA′＝OA＝3，OB′＝OB＝4，OC′＝OC＝5。 ∴OA′＋OB′＋OC′＝3＋4＋5＝12。 故答案为：12。 9．（2025秋·河南郑州·月考）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若△AOB的面积为5，则平行四边形ABCD的面积为___20___。 【答案】20 【分析】本题考查中心对称的性质和平行四边形的面积。平行四边形是中心对称图形，对角线把它分成四个面积相等的三角形。 【详解】解：∵平行四边形ABCD是中心对称图形，对称中心是对角线交点O， ∴△AOB、△BOC、△COD、△DOA这四个三角形关于点O成中心对称（两两对称）。 ∴这四个三角形面积相等。 ∵S△AOB＝5， ∴S平行四边形ABCD＝4×5＝20。 故答案为：20。 10．（2025秋·河北石家庄·期中）将点A（2，3）绕原点旋转180°得到点A′，则点A′的坐标为___（-2，-3）___，线段AA′的长度为__2____。 【答案】（-2，-3）；2 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征和两点间距离公式。绕原点旋转180°即关于原点对称，横、纵坐标都互为相反数。 【详解】解：将点A（2，3）绕原点旋转180°得到点A′，即点A与点A′关于原点对称。 ∴点A′的坐标为（-2，-3）。 线段AA′的长度为： ＝＝＝2。 故答案为：（-2，-3）；2。 11．（2025秋·陕西西安·月考）在△ABC中，D是BC的中点，△ABD绕点D旋转180°得到△ECD，若AB＝5，AC＝7，AD＝4，则△ACE的周长为__20____。 【答案】20 【分析】本题考查中心对称的性质和三角形周长计算。旋转180°后，△ABD≌△ECD，所以CE＝AB＝5，DE＝AD＝4，AE＝2AD＝8。 【详解】解：∵△ABD绕点D旋转180°得到△ECD， ∴△ABD≌△ECD。 ∴CE＝AB＝5，DE＝AD＝4。 ∴AE＝AD＋DE＝4＋4＝8。 ∴△ACE的周长＝AC＋CE＋AE＝7＋5＋8＝20。 故答案为：20。 （三）解答题 12．（2025秋·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-2，3）、B（-4，1）、C（-1，2）。 （1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A₁B₁C₁，并写出A₁、B₁、C₁的坐标； （2）画出△ABC关于点P（1，1）成中心对称的△A₂B₂C₂，并写出的坐标。 【答案】（1）A₁（2，-3），B₁（4，-1），C₁（1，-2）；（2）A₂（4，-1），B₂（6，1），C₂（3，0） 【分析】本题考查中心对称图形的画法和中点坐标公式。关于原点对称的点，横、纵坐标都互为相反数；关于点P对称的点，P是对应点连线的中点。 【详解】解：（1）关于原点O对称的点，横、纵坐标都互为相反数。 ∵A（-2，3），∴A₁（2，-3）； ∵B（-4，1），∴B₁（4，-1）； ∵C（-1，2），∴C₁（1，-2）。 在坐标系中描出A₁、B₁、C₁，依次连接即得△A₁B₁C₁。 （2）关于点P（1，1）对称的点，P是对应点连线的中点。 设A₂（x，y），则＝1，＝1，解得x＝4，y＝-1，∴A₂（4，-1）； 设B₂（x，y），则＝1，＝1，解得x＝6，y＝1，∴B₂（6，1）； 设C₂（x，y），则＝1，＝1，解得x＝3，y＝0，∴C₂（3，0）。 在坐标系中描出A₂、B₂、C₂，依次连接即得△A₂B₂C₂。 13．（2025秋·云南昆明·期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线。 （1）画出△ADC关于点D成中心对称的△A′DB； （2）若AB＝6，AC＝4，求AD的取值范围。 【答案】（1）见解析；（2）1＜AD＜5 【分析】本题考查中心对称图形的画法和三角形三边关系。作出△ADC关于点D的中心对称图形后，A′B＝AC＝4，AA′＝2AD，在△AA′B中利用三边关系求AD的范围。 【详解】解：（1）画法： ①延长AD至A′，使DA′＝DA； ②连接A′B。 则△A′DB即为△ADC关于点D成中心对称的图形。 （2）∵△A′DB与△ADC关于点D成中心对称， ∴△A′DB≌△ADC。 ∴A′B＝AC＝4。 ∵DA′＝DA， ∴AA′＝2AD。 在△AA′B中，AB＝6，A′B＝4， 根据三角形三边关系：AB－A′B＜AA′＜AB＋A′B， 即6－4＜2AD＜6＋4， ∴2＜2AD＜10， ∴1＜AD＜5。 14．（2025秋·广西南宁·期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，对角线AC、BD交于点O。 （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）图中有哪些三角形成中心对称？请找出所有成中心对称的三角形对，并指出对称中心。 【答案】（1）见解析；（2）△AOB与△COD，△AOD与△COB，△ABD与△CDB，△ABC与△CDA，对称中心都是点O 【分析】本题考查平行四边形的判定和中心对称的识别。先证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形的中心对称性找出成中心对称的三角形。 【详解】解：（1）证明： ∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。 （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是中心对称图形，对称中心是对角线交点O。 图中成中心对称的三角形有： ①△AOB与△COD，对称中心是点O； ②△AOD与△COB，对称中心是点O； ③△ABD与△CDB，对称中心是点O； ④△ABC与△CDA，对称中心是点O。 15．（2025秋·四川成都·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点C旋转180°得到△A′B′C，连接AA′、BB′。 （1）求四边形AB′A′B的面积； （2）求AA′的长度。 【答案】（1）48；（2）12 【分析】本题考查中心对称的性质、矩形的判定和勾股定理。旋转180°后，四边形AA′B′B是矩形，其面积等于2倍△ABC的面积；AA′＝2AC。 【详解】解：（1）∵将△ABC绕点C旋转180°得到△A′B′C， ∴CA＝CA′，CB＝CB′。 ∴四边形AA′B′B的对角线互相平分。 ∴四边形AA′B′B是平行四边形。 又∵∠ACB＝90°， ∴平行四边形AA′B′B是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。 ∴S四边形AA′B′B＝2×S△ABC＝2×(1/2)×AC×BC＝AC×BC＝6×8＝48。 （2）∵CA＝CA′， ∴AA′＝2AC＝2×6＝12。 三、中考链接题 1.（25-26·四川中考）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可。 【解答】 解：A选项，五角星是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B选项，太极图不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； C选项，奥运五环是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D选项，该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意.   2.（25-26·黑龙江中考）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，将绕点顺时针旋转后，得到，点，的对应点分别是点，，以原点为位似中心，将放大为原来的3倍后，得到，顶点在第一象限对应点的坐标是（        ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 由 是等腰直角三角形得到OA=AB， ，即可判断旋转后点A'在x轴上， 轴， ，OB ，通过解直角三角形得到O A ， ，得到点B的坐标，再根据位似图形的坐标变化求解即可. 【解答】 解：如图， 是等腰直角三角形， 与x轴的夹角为 绕点O顺时针旋转 后，得到 点 在x轴上， 轴， 以原点为位似中心，将 放大为原来的3倍后，得到 顶点B在第一象限对应点B”的坐标是（2×3，2×3），即（6，6）. 3.（2026·四川中考）如图，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，与交于点，与交于点，则下列结论不一定正确的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：由旋转的性质可得，，， 选项B与选项C不符合题意， ， ， 又， ，故选项D不符合题意， 在旋转的过程中，不一定成立，故A符合题意. 4.（25-26·广东中考）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则的周长为（        ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 先用勾股定理求 ，再由旋转性质得到 、，作 构造直角三角形求出 ，最后求周长． 【解答】 解：在 中，，，， 所以 ． 因为将 绕点 逆时针旋转 得 ， 所以 ，． 又因为 ， 所以 ． 过点 作 于点 ，则四边形 为矩形， 所以 ，， 所以 ． 在 中，． 所以 的周长为 ． 5.（2026·四川中考）点关于原点的对称点坐标是________． 【答案】 【解析】 根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，即可得到答案. 【解答】 解：根据关于原点对称的点的坐标特点，可知两个点关于原点对称时，横纵坐标符号相反， 因此点 关于原点的对称点 的坐标为 . 6.（2026·四川中考）如图，，，将绕点逆时针旋转得到．连接，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 首先构造辅助线与全等三角形，将BD转化为CE；再用代数表达式表示CE的长度；最后通过二次函数的性质求CE的最小值，即BD的最小值. 【解答】 解：过 作 ，使 ，连接CE、BE. 又 设 ，则 由旋转性质，得 又 (SAS) 在Rt 中， 在Rt 中，由勾股定理得， 代入 化简得： 抛物线开口向上， 故当 时， 取最小值 ，故 ，即   7.（2024-2025·宁夏中考）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，. （1）画出关于原点成中心对称的； （2）画出关于轴对称的． 【答案】 解：如图所示； 如图所示． 【解析】 （1）根据网格结构找出点、、关于原点对称的点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格结构找出点、、关于轴对称的点、、的位置，然后顺次连接即可． 【解答】 （1）解：如图所示； （2）如图所示．   8.（25-26·安徽中考）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点），点，，的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）将线段向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段，画出线段； （3）以点为旋转中心，将线段按顺时针方向旋转，得到线段，直接写出点的坐标． 【答案】 解：下图 为所求： 解：下图线段 为所求： 下图线段 为所求，点 的坐标为（3,1） 【解析】 （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据平移的性质作图即可； （3）根据旋转的性质作图即可，再结合图形写出点的坐标. 【解答】 解：下图 为所求： 解：下图线段 为所求： 下图线段 为所求，点 的坐标为（3,1）   9.（2025·湖南中考）已知：如图，中，，垂足为．将绕点逆时针旋转后，点落在上点处，点落在延长线上点处，与交于点． 求证：． 【答案】 证明：∵ 中，，， ∴ ，， ∵ 是由旋转而得， ∴ ，，． ∴ ，． ∴ ，即． ∵ 在和中， ， ∴   ． 【解析】 根据等腰三角形性质得出，，根据旋转的性质得出，，．求出，，，根据证出即可． 【解答】 证明：∵ 中，，， ∴ ，， ∵ 是由旋转而得， ∴ ，，． ∴ ，． ∴ ，即． ∵ 在和中， ， ∴   ． 学科网（北京）股份有限公司 $