15.3.1《等腰三角形》分层作业 2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 人教版八年级上册《轴对称》等腰三角形第1课时同步练，分层设计科学，从基础定义到中考应用梯度清晰，覆盖性质证明与计算，适配新授课知识巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|定义、等边对等角、三线合一及直接应用|选择填空为主，夯实概念理解与基础运算| |进阶思维题|性质综合应用与分类讨论|解答题深化推理能力，含多等腰三角形识别等复杂情境| |中考链接题|中考考点与实际情境|结合房梁等生活场景，培养几何直观与应用意识|

人教版八年级上册 第15章 轴对称 3.等腰三角形 第1课时 等腰三角形 本节知识点总结 1. 等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 2. 等腰三角形的性质1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。 3. 等腰三角形的性质2（三线合一）：等腰三角形底边上的中线、底边上的高及顶角平分线重合。 4. 等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线是对称轴。 5. 等腰三角形性质的证明：利用SSS全等三角形证明（作底边上的中线，证明两个三角形全等）。 6. 等腰三角形性质的应用：求角度、求线段长度、证明线段相等、证明角相等。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 等腰三角形的定义与识别 1．（2025秋·北京海淀·期中）下列三角形中，是等腰三角形的是（ ） A．三边长分别为3，4，5的三角形 B．三边长分别为4，4，6的三角形 C．三边长分别为3，5，7的三角形 D．三边长分别为2，3，4的三角形 2．（2025秋·上海浦东·月考）已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为（ ） A．13 B．17 C．13或17 D．10 3．（2025秋·广东广州·单元测）等腰三角形的一边长为5，另一边长为8，则它的周长为______。 题型02 等边对等角的应用（求底角、顶角） 4．（2025秋·江苏南京·期中）在等腰三角形ABC中，AB=AC，若∠B=50°，则∠A的度数为（ ） A．50° B．60° C．70° D．80° 5．（2025秋·浙江杭州·月考）在等腰三角形ABC中，AB=AC，若∠A=80°，则∠B的度数为（ ） A．40° B．50° C．60° D．80° 6．（2025秋·山东济南·期中）等腰三角形的一个内角为70°，则它的顶角为______。 题型03 三线合一的应用（中线、高、角平分线） 7．（2025秋·湖北武汉·月考）在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，若∠BAD=30°，则∠BAC的度数为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 8．（2025秋·湖南长沙·期中）在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，若BD=3，则BC的长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（2025秋·河南郑州·月考）在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=8，则BD的长为______。 题型04 等腰三角形的轴对称性 10．（2025秋·河北石家庄·期中）等腰三角形的对称轴是（ ） A．顶角的平分线 B．底边上的高 C．底边上的中线 D．底边上的中线所在的直线 11．（2025秋·陕西西安·月考）等腰三角形有______条对称轴。 12．（2025秋·辽宁沈阳·期中）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD所在直线是对称轴，点E是AB上一点，则点E关于AD的对称点在（ ） A．AC上 B．BC上 C．AB上 D．无法确定 题型05 等腰三角形性质的证明 13．（2025秋·云南昆明·期中）求证：等腰三角形的两个底角相等。 已知：如图，在△ABC中，AB=AC。 求证：∠B=∠C。 14．（2025秋·广西南宁·期中）求证：等腰三角形底边上的中线、底边上的高及顶角平分线重合。 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线。 求证：AD⊥BC，AD平分∠BAC。 15．（2025秋·四川成都·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且BD=CE。 求证：AD=AE。 题型06 等腰三角形中的角度计算 16．（2025秋·北京朝阳·期中）在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若∠A=40°，则∠BDC的度数为（ ） A．70° B．75° C．80° D．85° 17．（2025秋·广东深圳·单元测）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=BD，若∠BAC=100°，则∠DAC的度数为（ ） A．30° B．40° C．50° D．60° 18．（2025秋·浙江宁波·月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为______。 题型07 等腰三角形中的线段计算 19．（2025秋·湖北武汉·月考）在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC于点D，则AD的长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 20．（2025秋·湖南长沙·期中）在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，若AB=10，BC=12，则AD的长为______，△ABC的面积为______。 21．（2025秋·河南郑州·月考）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DE=3，DF=5，AB=8，则△ABC的面积为（ ） A．24 B．32 C．40 D．48 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2025秋·天津和平·期中）等腰三角形的周长为16，其中一边长为6，则另两边长分别为（ ） A．6和4 B．5和5 C．6和4或5和5 D．以上都不对 2．（2025秋·重庆渝中·月考）在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，则图中等腰三角形的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025秋·四川成都·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若AB=6，则AE的长为（ ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 4．（2025秋·江苏南京·期中）在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，连接AD，若△ABD和△ACD都是等腰三角形，则∠BAC的度数为（ ） A．90° B．108° C．90°或108° D．以上都不对 5．（2025秋·浙江杭州·月考）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，下列结论中不一定正确的是（ ） A．AD⊥BC B．AD平分∠BAC C．BD=CD D．AB=2BD 6．（2025秋·山东济南·期中）在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，点P是BC边上的动点，连接AP，则AP的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 （二）填空题 7．（2025秋·湖北武汉·月考）等腰三角形的一个外角为100°，则它的顶角为______。 8．（2025秋·湖南长沙·期中）在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=50°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，则∠DBC的度数为______。 9．（2025秋·河南郑州·月考）在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，若AB=13，BC=10，则AD=______，△ABC的面积=______。 10．（2025秋·陕西西安·月考）等腰三角形一腰上的中线把周长分成15和12两部分，则它的底边长为______。 （三）解答题 12.（25-26·陕西期中）如图，是的边上的中点，，，垂足分别为，，且，求证：是等腰三角形．   13.（25-26·湖北期中）如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的长．   14.（25-26·河南月考）如图，中，，是的中点，，，垂足分别为E，F ，连接． （1）求证：为等腰三角形； （2）填空:①当的度数为       时，为等边三角形； ②当的度数为       时，为直角三角形． 三、中考链接题 1.（24-25·山东中考）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（     ） A. B. C. D.平分   2.（25-26·河北中考）如图，已知在锐角中，，是的角平分线，是上一点，连结，．若，，则的面积是（       ） A. B. C. D.   3.（25-26·湖南中考）某房梁如图所示，立柱，，分别是斜梁，的中点．若，则的长为____________． 4.（2025·贵州中考）如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，＝，＝，则边的长为________．   5.（25-26四川中考）如图所示，在等腰直角三角形中，为斜边上的高，点E、F分别在上，经过旋转到了的位置． （1）和之间可以看成是经过怎样的变换得到的？ （2）与相交于点G，试判断与的大小关系，并说明理由．   6.（24-25贵州中考）如图，在中，，． （1）尺规作图：过点A作射线平分交于点D，保留作图痕迹． （2）过点D作交于点E，求证：． （3）在（2）的条件下求证：．   7.（26-27同步）如图，在中，为边上的高，且，在上截取一点使，延长交于点，为边上的中点，连接．     （1）求证：； （2）若，求证：．   8.（25-26·黑龙江期末）如图，在中，，点P在上运动，点D在上，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，，求线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版八年级上册 第15章 轴对称 3.等腰三角形 第1课时 等腰三角形 本节知识点总结 1. 等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 2. 等腰三角形的性质1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。 3. 等腰三角形的性质2（三线合一）：等腰三角形底边上的中线、底边上的高及顶角平分线重合。 4. 等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线是对称轴。 5. 等腰三角形性质的证明：利用SSS全等三角形证明（作底边上的中线，证明两个三角形全等）。 6. 等腰三角形性质的应用：求角度、求线段长度、证明线段相等、证明角相等。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 等腰三角形的定义与识别 1．（2025秋·北京海淀·期中）下列三角形中，是等腰三角形的是（ ） A．三边长分别为3，4，5的三角形 B．三边长分别为4，4，6的三角形 C．三边长分别为3，5，7的三角形 D．三边长分别为2，3，4的三角形 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的定义。有两边相等的三角形叫做等腰三角形。 【详解】解：根据等腰三角形的定义，有两边相等的三角形叫做等腰三角形。 A选项，三边长分别为3，4，5，三边都不相等，不是等腰三角形； B选项，三边长分别为4，4，6，有两边相等（4=4），是等腰三角形； C选项，三边长分别为3，5，7，三边都不相等，不是等腰三角形； D选项，三边长分别为2，3，4，三边都不相等，不是等腰三角形。 故选B。 2．（2025秋·上海浦东·月考）已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为（ ） A．13 B．17 C．13或17 D．10 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形三边关系。需要分情况讨论，注意验证是否满足三角形三边关系。 【详解】解：分两种情况讨论： ①当腰长为3时，三边长分别为3，3，7。 ∵3+3=6＜7，不满足三角形三边关系， ∴这种情况不成立。 ②当腰长为7时，三边长分别为7，7，3。 ∵7+3=10＞7，满足三角形三边关系， ∴周长=7+7+3=17。 故选B。 3．（2025秋·广东广州·单元测）等腰三角形的一边长为5，另一边长为8，则它的周长为___18或21___。 【答案】18或21 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形三边关系。需要分情况讨论，注意验证是否满足三角形三边关系。 【详解】解：分两种情况讨论： ①当腰长为5时，三边长分别为5，5，8。 ∵5+5=10＞8，满足三角形三边关系， ∴周长=5+5+8=18。 ②当腰长为8时，三边长分别为8，8，5。 ∵8+5=13＞8，满足三角形三边关系， ∴周长=8+8+5=21。 故答案为：18或21。 题型02 等边对等角的应用（求底角、顶角） 4．（2025秋·江苏南京·期中）在等腰三角形ABC中，AB=AC，若∠B=50°，则∠A的度数为（ ） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质（等边对等角）和三角形内角和定理。等腰三角形的两个底角相等。 【详解】解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C（等边对等角）。 ∵∠B=50°， ∴∠C=50°。 ∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）， ∴∠A=180°-50°-50°=80°。 故选D。 5．（2025秋·浙江杭州·月考）在等腰三角形ABC中，AB=AC，若∠A=80°，则∠B的度数为（ ） A．40° B．50° C．60° D．80° 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质（等边对等角）和三角形内角和定理。等腰三角形的两个底角相等。 【详解】解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C（等边对等角）。 ∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理），∠A=80°， ∴∠B+∠C=180°-80°=100°。 ∵∠B=∠C， ∴∠B=100°÷2=50°。 故选B。 6．（2025秋·山东济南·期中）等腰三角形的一个内角为70°，则它的顶角为___70°或40°___。 【答案】70°或40° 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理。需要分情况讨论：70°的角可能是顶角，也可能是底角。 【详解】解：分两种情况讨论： ①当70°的角是顶角时，顶角就是70°； ②当70°的角是底角时，设顶角为x， 则x+70°+70°=180°， 解得x=40°。 故答案为：70°或40°。 题型03 三线合一的应用（中线、高、角平分线） 7．（2025秋·湖北武汉·月考）在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，若∠BAD=30°，则∠BAC的度数为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质（三线合一）。等腰三角形底边上的中线也是顶角的平分线。 【详解】解：∵AB=AC，AD是BC边上的中线， ∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一）。 ∴∠BAC=2∠BAD。 ∵∠BAD=30°， ∴∠BAC=2×30°=60°。 故选C。 8．（2025秋·湖南长沙·期中）在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，若BD=3，则BC的长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质（三线合一）。等腰三角形底边上的高也是底边上的中线。 【详解】解：∵AB=AC，AD⊥BC， ∴AD是BC边上的中线（等腰三角形三线合一）。 ∴D是BC的中点。 ∴BC=2BD。 ∵BD=3， ∴BC=2×3=6。 故选D。 9．（2025秋·河南郑州·月考）在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=8，则BD的长为__4____。 【答案】4 【分析】本题考查等腰三角形的性质（三线合一）。等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线。 【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴AD是BC边上的中线（等腰三角形三线合一）。 ∴D是BC的中点。 ∴BD=BC÷2。 ∵BC=8， ∴BD=8÷2=4。 故答案为：4。 题型04 等腰三角形的轴对称性 10．（2025秋·河北石家庄·期中）等腰三角形的对称轴是（ ） A．顶角的平分线 B．底边上的高 C．底边上的中线 D．底边上的中线所在的直线 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的轴对称性。等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线。注意对称轴是直线，不是线段。 【详解】解：等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线、顶角平分线、底边上的高重合（三线合一），它们所在的直线是等腰三角形的对称轴。 A、B、C选项都是线段，不是直线，所以不是对称轴； D选项是底边上的中线所在的直线，是对称轴。 故选D。 11．（2025秋·陕西西安·月考）等腰三角形有__1或3____条对称轴。 【答案】1或3 【分析】本题考查等腰三角形的轴对称性。一般的等腰三角形只有1条对称轴，即底边上的中线所在的直线。 【详解】解：一般的等腰三角形是轴对称图形，只有1条对称轴，即底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线。 等边三角形是特殊的等腰三角形，有3条对称轴。） 故答案为：1或3。 12．（2025秋·辽宁沈阳·期中）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD所在直线是对称轴，点E是AB上一点，则点E关于AD的对称点在（ ） A．AC上 B．BC上 C．AB上 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的轴对称性。等腰三角形关于底边上的中线对称，AB与AC是对应边，所以AB上的点的对称点在AC上。 【详解】解：∵等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是对称轴， ∴AB与AC关于AD对称。 ∴AB上的任意一点关于AD的对称点都在AC上。 ∵点E是AB上一点， ∴点E关于AD的对称点在AC上。 故选A。 题型05 等腰三角形性质的证明 13．（2025秋·云南昆明·期中）求证：等腰三角形的两个底角相等。 已知：如图，在△ABC中，AB=AC。 求证：∠B=∠C。 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形性质的证明。可以通过作底边上的中线，利用SSS证明两个三角形全等，从而得到对应角相等。 【详解】证明：取BC的中点D，连接AD。 ∵D是BC的中点， ∴BD=CD。 在△ABD和△ACD中： AB=AC（已知）， BD=CD（已证）， AD=AD（公共边）， ∴△ABD≌△ACD（SSS）。 ∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）。 14．（2025秋·广西南宁·期中）求证：等腰三角形底边上的中线、底边上的高及顶角平分线重合。 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线。 求证：AD⊥BC，AD平分∠BAC。 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形三线合一的证明。可以通过SSS证明两个三角形全等，从而得到对应角相等，进而证明AD是高和角平分线。 【详解】证明：∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD。 在△ABD和△ACD中： AB=AC（已知）， BD=CD（已证）， AD=AD（公共边）， ∴△ABD≌△ACD（SSS）。 ∴∠BAD=∠CAD（全等三角形的对应角相等）， ∠ADB=∠ADC（全等三角形的对应角相等）。 ∵∠BAD=∠CAD， ∴AD平分∠BAC。 ∵∠ADB+∠ADC=180°（平角定义），且∠ADB=∠ADC， ∴∠ADB=∠ADC=90°。 ∴AD⊥BC。 综上，AD⊥BC且AD平分∠BAC，即等腰三角形底边上的中线、底边上的高及顶角平分线重合。 15．（2025秋·四川成都·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且BD=CE。 求证：AD=AE。 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形性质的应用和全等三角形的证明。可以利用等边对等角得到∠B=∠C，再通过SAS证明△ABD≌△ACE，从而得到AD=AE。 【详解】证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C（等边对等角）。 在△ABD和△ACE中： AB=AC（已知）， ∠B=∠C（已证）， BD=CE（已知）， ∴△ABD≌△ACE（SAS）。 ∴AD=AE（全等三角形的对应边相等）。 题型06 等腰三角形中的角度计算 16．（2025秋·北京朝阳·期中）在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若∠A=40°，则∠BDC的度数为（ ） A．70° B．75° C．80° D．85° 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的定义和三角形外角的性质。先利用等边对等角求出底角，再利用角平分线和外角性质求∠BDC。 【详解】解：∵AB=AC，∠A=40°， ∴∠ABC=∠C=(180°-40°)=70°（等边对等角，三角形内角和）。 ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC=∠ABC=×70°=35°。 ∵∠BDC是△ABD的外角， ∴∠BDC=∠A+∠ABD=40°+35°=75°（三角形外角等于不相邻两内角之和）。 故选B。 17．（2025秋·广东深圳·单元测）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=BD，若∠BAC=100°，则∠DAC的度数为（ ） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理。先利用等边对等角求出∠B和∠C，再利用AD=BD得到∠BAD=∠B，最后求∠DAC。 【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=100°， ∴∠B=∠C=(180°-100°)÷2=40°（等边对等角，三角形内角和）。 ∵AD=BD， ∴∠BAD=∠B=40°（等边对等角）。 ∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=100°-40°=60°。 （注：此处答案应为60°，但选项中没有60°，可能题目数据有误。重新检查：若∠BAC=120°，则∠B=30°，∠BAD=30°，∠DAC=90°，也不对。 让我重新计算：题目问的是∠DAC，若∠BAC=100°，∠B=40°，AD=BD，则∠BAD=40°，∠DAC=100°-40°=60°。 可能正确答案是D．60°。） 故选D。 18．（2025秋·浙江宁波·月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为___60°或120°___。 【答案】60°或120° 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理。需要分情况讨论：高在三角形内部和高在三角形外部。 【详解】解：分两种情况讨论： ①当高在三角形内部时（顶角为锐角）： 设等腰三角形ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，∠ABD=30°。 在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABD=30°， ∴∠A=90°-30°=60°。 ②当高在三角形外部时（顶角为钝角）： 设等腰三角形ABC中，AB=AC，BD⊥CA的延长线于D，∠ABD=30°。 在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABD=30°， ∴∠BAD=90°-30°=60°。 ∴∠BAC=180°-60°=120°。 故答案为：60°或120°。 题型07 等腰三角形中的线段计算 19．（2025秋·湖北武汉·月考）在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC于点D，则AD的长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质（三线合一）和勾股定理。先利用三线合一得到BD=BC÷2，再利用勾股定理求AD。 【详解】解：∵AB=AC，AD⊥BC， ∴D是BC的中点（等腰三角形三线合一）。 ∴BD=BC=×6÷2=3。 在Rt△ABD中，AB=5，BD=3， 由勾股定理得： 故选B。 20．（2025秋·湖南长沙·期中）在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，若AB=10，BC=12，则AD的长为__8____，△ABC的面积为___48___。 【答案】8；48 【分析】本题考查等腰三角形的性质（三线合一）、勾股定理和三角形面积公式。先利用三线合一得到BD=BC，再利用勾股定理求AD，最后求面积。 【详解】解：∵AB=AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC，BD=BC=×12=6（等腰三角形三线合一）。 在Rt△ABD中，AB=10，BD=6， 由勾股定理得：AD=。 △ABC的面积=BC×AD=×12×8÷2=48。 故答案为：8；48。 21．（2025秋·河南郑州·月考）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DE=3，DF=5，AB=8，则△ABC的面积为（ ） A．24 B．32 C．40 D．48 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形面积公式。连接AD，将△ABC分成△ABD和△ACD，利用面积法求解。 【详解】解：连接AD。 ∵AB=AC=8， ∴S△ABC=S△ABD+S△ACD =AB×DE+AC×DF =×8×3+×8×5 =12+20 =32。 故选B。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2025秋·天津和平·期中）等腰三角形的周长为16，其中一边长为6，则另两边长分别为（ ） A．6和4 B．5和5 C．6和4或5和5 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形三边关系。需要分情况讨论：6可能是腰长，也可能是底边长。 【详解】解：分两种情况讨论： ①当腰长为6时，底边长=16-6-6=4，三边长分别为6，6，4。 ∵6+4=10＞6，满足三角形三边关系， ∴另两边长为6和4。 ②当底边长为6时，腰长=(16-6)÷2=5，三边长分别为5，5，6。 ∵5+5=10＞6，满足三角形三边关系， ∴另两边长为5和5。 综上，另两边长为6和4或5和5。 故选C。 2．（2025秋·重庆渝中·月考）在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，则图中等腰三角形的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质。先利用等边对等角求出∠ABC和∠C，再利用角平分线求出各角，从而判断等腰三角形的个数。 【详解】解：∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=(180°-36°)=72°。 ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=×72°÷2=36°。 在△ABD中，∠A=∠ABD=36°， ∴AD=BD（等角对等边），△ABD是等腰三角形。 在△BCD中，∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°（三角形外角）， ∴∠BDC=∠C=72°， ∴BD=BC（等角对等边），△BCD是等腰三角形。 又∵△ABC本身是等腰三角形， ∴图中等腰三角形有△ABC、△ABD、△BCD，共3个。 故选C。 3．（2025秋·四川成都·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若AB=6，则AE的长为（ ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质。先利用三线合一求出∠BAD，再利用含30°角的直角三角形性质求AD和AE。 【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠BAC=60°（等腰三角形三线合一）。 在Rt△ABD中，∠B=90°-60°=30°，AB=6， ∴AD=AB=3（含30°角的直角三角形中，30°角对的直角边等于斜边的一半）。 在Rt△ADE中，∠ADE=90°-60°=30°，AD=3， ∴AE=AD=1.5。 故选A。 4．（2025秋·江苏南京·期中）在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，连接AD，若△ABD和△ACD都是等腰三角形，则∠BAC的度数为（ ） A．90° B．108° C．90°或108° D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质和分类讨论。需要分情况讨论△ABD和△ACD中哪些边相等，再利用三角形内角和求解。 【详解】解：设∠B=∠C=x。 ∵AB=AC， ∴∠B=∠C=x。 分两种情况讨论： ①当AD=BD，AD=CD时： ∠BAD=∠B=x，∠CAD=∠C=x， ∴∠BAC=2x。 ∵∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴2x+x+x=180°，解得x=45°， ∴∠BAC=90°。 ②当AB=BD，AC=CD时： ∠BAD=∠ADB=(180°-x)， ∠CAD=∠ADC=(180°-x)， ∴∠BAC=180°-x。 ∵∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴(180°-x)+x+x=180°，解得x=36°， ∴∠BAC=108°。 综上，∠BAC=90°或108°。 故选C。 5．（2025秋·浙江杭州·月考）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，下列结论中不一定正确的是（ ） A．AD⊥BC B．AD平分∠BAC C．BD=CD D．AB=2BD 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质（三线合一）。等腰三角形底边上的中线也是底边上的高和顶角的平分线，但AB不一定等于2BD。 【详解】解：∵AB=AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，BD=CD（等腰三角形三线合一）。 ∴A、B、C选项都正确。 D选项，AB=2BD不一定成立，只有当∠B=60°时才成立。 故选D。 6．（2025秋·山东济南·期中）在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，点P是BC边上的动点，连接AP，则AP的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质和垂线段最短。当AP⊥BC时，AP最短，利用三线合一和勾股定理求解。 【详解】解：根据垂线段最短，当AP⊥BC时，AP最短。 ∵AB=AC，AP⊥BC， ∴P是BC的中点（等腰三角形三线合一）。 ∴BP=BC÷2=6÷2=3。 在Rt△ABP中，AB=5，BP=3， 由勾股定理得：。 ∴AP的最小值为4。 故选B。 （二）填空题 7．（2025秋·湖北武汉·月考）等腰三角形的一个外角为100°，则它的顶角为__80°或20°____。 【答案】80°或20° 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形外角的性质。需要分情况讨论：100°的外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角。 【详解】解：分两种情况讨论： ①当100°的外角是顶角的外角时，顶角=180°-100°=80°； ②当100°的外角是底角的外角时，底角=180°-100°=80°， 则顶角=180°-80°-80°=20°。 故答案为：80°或20°。 8．（2025秋·湖南长沙·期中）在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=50°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，则∠DBC的度数为__15°____。 【答案】15° 【分析】本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理。先利用等边对等角求出∠ABC，再利用垂直平分线得到AD=BD，从而求出∠ABD，最后求∠DBC。 【详解】解：∵AB=AC，∠A=50°， ∴∠ABC=∠C=(180°-50°)=65°。 ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。 ∴∠ABD=∠A=50°（等边对等角）。 ∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=65°-50°=15°。 故答案为：15°。 9．（2025秋·河南郑州·月考）在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，若AB=13，BC=10，则AD=__12____，△ABC的面积=__60____。 【答案】12；60 【分析】本题考查等腰三角形的性质（三线合一）、勾股定理和三角形面积公式。先利用三线合一得到BD=BC÷2，再利用勾股定理求AD，最后求面积。 【详解】解：∵AB=AC，AD是BC边上的高， ∴D是BC的中点（等腰三角形三线合一）。 ∴BD=BC÷2=10÷2=5。 在Rt△ABD中，AB=13，BD=5， 由勾股定理得：AD=。 △ABC的面积=BC×AD=×10×12=60。 故答案为：12；60。 10．（2025秋·陕西西安·月考）等腰三角形一腰上的中线把周长分成15和12两部分，则它的底边长为___7或11___。 【答案】7或11 【分析】本题考查等腰三角形的性质和分类讨论。设腰长为x，底边长为y，根据中线分周长的两种情况列方程组求解，注意验证三角形三边关系。 【详解】解：设腰长为x，底边长为y，腰上的中线把腰分成相等的两部分，每部分为。 分两种情况讨论： ①当x+x=15，y+x=12时： 由x+x=15得x=15，解得x=10。 代入y+x=12得y+5=12，解得y=7。 三边长为10，10，7，满足三角形三边关系。 ②当x+x=12，y+x=15时： 由x+x=12得x=12，解得x=8。 代入y+x=15得y+4=15，解得y=11。 三边长为8，8，11，满足三角形三边关系。 综上，底边长为7或11。 故答案为：7或11。 （三）解答题 12.（25-26·陕西期中）如图，是的边上的中点，，，垂足分别为，，且，求证：是等腰三角形． 【答案】 见解析 【解析】 本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点及其应用问题，牢固掌握全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点是解题的基础和关键．首先运用HL定理证明 ，进而得到 ，运用等腰三角形的判定定理即可解决问题； 【解答】 证明： D是 的BC边的中点，，， ， 、 均为直角三角形， 在Rt ，Rt 中 Rt Rt (HL)， ， ， 是等腰三角形.   13.（25-26·湖北期中）如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】 见解析 6 【解析】 （1）由 , 可知 , 再由 , 可知 , 然后余角的性质可推出 , 再根据对顶角相等进行等量代换即可推出 , 于是得到结论; （2）根据含30度的直角三角形的性质和等边三角形的性质即可得到结论. 【解答】 （1）证明: , 而 是等腰三角形； （2）解： , ∴ △ABC是等边三角形，   14.（25-26·河南月考）如图，中，，是的中点，，，垂足分别为E，F ，连接． （1）求证：为等腰三角形； （2）填空:①当的度数为    30°   时，为等边三角形； ②当的度数为   45°    时，为直角三角形． 【答案】 见详解 ①30°；②45° 【解析】 （1）首先根据等腰三角形的性质得到∠C=∠B，BD=CD，然后证明出ΔDEB≌ΔDFC(AAS)，得到DE=DF，即可证明出ΔDEF为等腰三角形； （2）由题意易得∠BDE=∠CDF，则有①当ΔDEF为等边三角形，则有∠EDF=60°，然后可得∠BDE=∠CDF=60°，进而问题可求解；②当ΔDEF为直角三角形，则有∠EDF=90°，然后可得∠BDE=∠CDF=45°，进而问题可求解. 【解答】 （1）证明：⇒AB=AC，D是BC的中点， ∴ ∠C=∠B，BD=CD， ∵ DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ ∠DEB=∠DFC=90°， 在ΔDEB和ΔDFC中， ∴ΔDEB≌ΔDFC(AAS), ∴ DE=DF， ∴△ DEF为等腰三角形. （2）解：⇒ΔDEB≌ΔDFC， ∴ ∠BDE=∠CDF； ①∵ ΔDEF为等边三角形， ∴ ∠EDF=60°， ∴ ∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°， ∴ ∠BDE=∠CDF=60°， ∵ ∠BED=90°， ∴ ∠B=30°； 故答案为30°； ②∵ ΔDEF为直角三角形，且ΔDEF为等腰三角形， ∴ ∠EDF=90°， ∴ ∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=90°， ∴ ∠BDE=∠CDF=45°， ∵ ∠BED=90°， ∴ ∠B=45°； 故答案为45°. 三、中考链接题 1.（24-25·山东中考）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（     ） A. B. C. D.平分 【答案】 B 【解析】 本题考查三线合一,根据三线合一,进行判断即可. 【解答】 解：当 时， 点 在 上, ; 故选项A不符合题意; ,不能得到 ; 故选项B符合题意; 当 或 平分 时, ; 故选项C,D均不符合题意; 故选B   2.（25-26·河北中考）如图，已知在锐角中，，是的角平分线，是上一点，连结，．若，，则的面积是（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 根据三线合一可得，根据垂直平分线的性质可得，进而根据，可得为等腰直角三角形，根据斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形面积公式即可求解． 【解答】 解： ，是的角平分线， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 则的面积是． 故选．   3.（25-26·湖南中考）某房梁如图所示，立柱，，分别是斜梁，的中点．若，则的长为______4_______． 【答案】 【解析】 本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解题的关键．根据，得出为直角三角形，根据直角三角形的性质得出． 【解答】 解：， 为直角三角形， 是斜梁的中点， ． 故答案为：4 4.（2025·贵州中考）如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，＝，＝，则边的长为________． 【答案】 【解析】 延长到，使得＝，根据等腰三角形的性质与判定，勾股定理即可求出答案． 【解答】 解：延长到，使得， ∵ ， ∴ 是等腰三角形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 过点点作，交于点， ∴ ， ∴  ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， 在中，由勾股定理可知：， 在中，. 故答案为：.   5.（25-26四川中考）如图所示，在等腰直角三角形中，为斜边上的高，点E、F分别在上，经过旋转到了的位置． （1）和之间可以看成是经过怎样的变换得到的？ （2）与相交于点G，试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】 可看成 绕点D顺时针旋转90°得到 解：，理由如下： 是等腰直角三角形， 是斜边BC上的高， 是 的外角， 【解析】 （1）证明 , ，即可得到结论； （2）证明 ，即可得到结论. 【解答】 （1）解：可看成 绕点D顺时针旋转90°得到 。 理由如下：经过旋转到了 的位置， 为斜边上的高， (SAS). 绕点D顺时针旋转90°得到 . （2）略   6.（24-25贵州中考）如图，在中，，． （1）尺规作图：过点A作射线平分交于点D，保留作图痕迹． （2）过点D作交于点E，求证：． （3）在（2）的条件下求证：． 【答案】 见解答 【解析】 （1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）由已知求出 ，则BE=DE，再根据角平分线的性质得CD=DE，即可证明； （3）证明 得到 ，再结合（2）的结论即可证明. 【解答】 （1）如图，射线AD即为所求； （2）证明： 在 中， 平分 （3）证明：在Rt 和Rt 中， 由（2）得   7.（26-27同步）如图，在中，为边上的高，且，在上截取一点使，延长交于点，为边上的中点，连接．     （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】 证明过程见详解； 证明过程见详解. 【解析】 （1）由BD为边AC上的高，证明 ， 都是直角三角形，用HL证明Rt 即可得结论； （2）由 得 ，进而得出 是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得 ，进而得 ，根据FG AC，得 ，等量代换得 ，即可证明 【解答】 （1）证明： 为边AC上的高， ， 都是直角三角形， 在Rt 和Rt 中， （2）证明： 即 是直角三角形， 为边BC上的中点，   8.（25-26·黑龙江期末）如图，在中，，点P在上运动，点D在上，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，，求线段的长． 【答案】 (1) (2) DE=4.75 【解析】 （1）根据等边对等角，直角三角形的两个锐角互余，线段垂直平分线的性质，解答即可； （2）连接 ，设 ，则 ， ，利用勾股定理解答即可. 【解答】 （1）(1)解： 理由如下： DE DP理由如下： 是BD的垂直平分线， （2）解：如图，连接 ，设 ，则 ， , BC=8, PA=2, 解得 的长为4.75. 学科网（北京）股份有限公司 $