15.3等腰三角形 同步练习 2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦等腰三角形性质与判定，通过基础计算、综合推理到作图应用的分层设计，强化几何直观与推理能力，构建从概念理解到问题解决的知识巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|性质（等边对等角、三线合一）直接应用|如第1题求底角，第2题腰长计算，强化符号意识与运算能力| |能力提升|性质与判定综合，结合中点、垂直平分线|如第6题垂直平分线应用，第12题分类讨论等腰三角形存在性，培养逻辑推理| |综合应用|多知识点证明与作图|如第19题尺规作图，第17题判定定理证明，发展创新意识与模型观念|

性质：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 书写：∵， ∴（等边对等角）． 性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 书写：∵ ， ， ∴ ， （三线合一）． 1. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则等腰三角形的底角等于 ． 或 如图 ，∵ ， ， 于 ． 图 ∴ ∴ 如图 ∵ ． ． ， ， 于 ． 图 ∴ ∴ ． ． 【知识点】腰上的高与腰的夹角问题 10 学科网（北京）股份有限公司 2. 已知等腰的底边 ，且 ，则腰 的长为（ ）． A. B. 或 C. D. 或 B ∵ ∴ 或 ， ， 同时，符合三角形的三边关系，符合题意． 【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角 3. 如图，在等腰中，，，，则（ ）． A. B. C. D. B ∵ ， ， ∴ ∴ ∵ ∴ ， ， ， ． 【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角 4. 如图， 中， ， ，点是 的中点，过点 作 交 于点， 连接 ．则 的度数为（ ）． A. B. C. D. C ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 为 中点，且 ， ， ， ， ， ． 【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角 5. 如图，在中，点在边上，，为的中点，若，则的大小为（ ）． A. B. C. D. C ，点 是 中点， ， ， ， ， ， ， ， ，故选 ． 【知识点】等腰三角形的性质-三线合一 6. 如图，，，的垂直平分线 交于点，则 ． ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 7. 如图，在中，，点是上一点，点是上一点，且．若 ，，求的度数．∵ ， ， ， ∴ ∵ 的垂直平分线 交 于点 ， 【能力】推理论证能力 【知识点】作线段的垂直平分线 【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角 【知识点】三角形内角和的应用 【知识点】线段的垂直平分线的性质定理 A E C B D ． ∵ ， ∴ ∵ ∴ ． ， ． ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ． ， ． ， ． ． 【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角 8. 如图，在中，，，分别是，上的点，且， ，度数是（ ）． A. B. C. D. B 由等腰三角形的性质可知 ， ， ， ∴ ∴ ∴ ． ， ． 【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角 9. 如图，在中，，且为上一点，，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. B ∵ ， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ， ， ， ， ， ， ， ∴ ∴ ， ． 【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角 10. 内有一点，且，若， ，则 的大小是（ ）． A. B. C. D. A 略． 【知识点】三角形内角和的应用 ①利用定义来判定：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. ②判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 （简称“”）． 书写：∵ ∴ （等角对等边）． ①若较短的边为底边，较长的边为腰，则 ，解得 ， 此时三角形三边长分别为 ， ， ，能组成三角形； ②若较短的边为腰，较长的边为底边，则 ，解得 ， 此时三角形三边长分别为 ， ， ， ∵ ， ∴不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不能围成三角形；综上所述，三角形的三边长分别是 ， ， ． （ 2 ）①当 为等腰三角形的腰长时，三角形的三边长分别为 ， ， ， ∵ ， ∴不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不能围成三角形； ②当 为等腰三角形的底边长时，三角形的三边长分别为 ， ， ，满足三角形的三边关系； 故能围成三边长分别为 ， ， 的等腰三角形． 【思想】分类讨论思想 【能力】推理论证能力 【能力】运算能力 【知识点】等腰三角形的判定-两边相等 【知识点】等腰三角形的定义 3. 如图，平分，，若，则等于（ ）． A. B. C. D. D ∵ 平分 ， ， ∴ ． 【知识点】平行线与角平分线综合 4. 如图，与相交于点，连接、、，①；② ；③ ；④． 请从以上四个选项中选出两个作为条件，证明：是等腰三角形（只需选一种情况写证明过程即可）． 证明见解析． ①③： ≌ ． ∴ ∴ ②③： ∴ ． ． ． ． 【知识点】等腰三角形的判定-两边相等 5. 如图，，，点在的垂直平分线上，若，则 ． ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点 在 的垂直平分线上， ， ， ， 是等腰三角形， ， ． 【知识点】线段的垂直平分线的性质定理 【知识点】等腰三角形的判定-两边相等 【知识点】等腰三角形的性质-三线合一 【能力】推理论证能力 6. 如图，点、在的边上，，，求证：． 方法二：∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 在 和 中， ∵ ， ， ， ∴ ≌ ， ∴ ． 7. 已知：如图，在中，， ，求证：是等腰三角形．证明见解析． 方法一：过点 ， ， ， ， ， ． 作 ， 于点 ． ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 【知识点】等腰三角形的性质-三线合一 证明见解析． ∵ ， ∴ ∵ ∴ ∴即 ， ， ， ， 是等腰三角形． 【知识点】等腰三角形的判定-等角对等边 8. 如图，已知和相交于点，且，．求证：． 证明见解析． ∵ ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ， ， ， ， ． ， 【知识点】蝴蝶型（8字倒角） 9. 如图，是的边的延长线上一点，过作于点，交于，．求证：是等腰三角形． 证明见解析． ∵ ， ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ， ． ， ． ， ， ， ，即 是等腰三角形． 【知识点】等腰三角形的判定-等角对等边 10. 下面是“已知底边及底边上的高线作等腰三角形”的尺规作图过程． 已知：线段． 求作：等腰 ，使 ， ， 边上的高为 ． 作法：如图， （1）作线段 ； （2）作线段 的垂直平分线 交 于点； （3）在射线 上顺次截取线段 ， 请回答：得到是等腰三角形的依据是： 连接 ， ． 所以 即为所求作的等腰三角形． ① ： ② ． 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 ; 有两条边相等的三角形是等腰三角形由等腰三角形的判定定理可得． 【知识点】等腰三角形的判定-两边相等 $ ①三条边相等 ②三个角都是60° ③有三组三线合一，三条对称轴 1. 以下叙述中不正确的是（ ）． A. 等边三角形的每条高线都是角平分线和中线 B. 有一内角为的等腰三角形是等边三角形 C. 等腰三角形一定是锐角三角形 D. 在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等 C A 选项：正确，符合等边三角形三线合一性质； B 选项：正确，符合等边三角形的判定； C 选项：不正确，也可能是钝角或等腰直角三角形； D 选项：正确，符合等边对等角及等角对等边的性质．故选 C . 【知识点】区分真假命题 2. 如图，是等边三角形， ，，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 10 学科网（北京）股份有限公司 A ∵ 为等边三角形， ∴ 又∵ ∴ ∴ ， ， ． ， ． ． 【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角 【知识点】等边三角形的性质 3. 如图，是等边三角形，平分，点在的延长线上，且，，则 ． ∵ ∴ ∵ 平分 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， 【知识点】等边三角形的性质 4. 如图，为等边三角形，，，则 ． ∵ 为等边三角形， ， ， ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： ， ， ． ． 【知识点】等边三角形的性质 5. 如图，已知是正方形内的一点，且为等边三角形，那么 ． 【知识点】已知一角求其余两角；等腰三角形的性质-等边对等角 6. 如图，，，共线，和都是等边三角形，若，，则的长为 ． ∵ 和 都是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴ ， ， ， ，即 ， ≌ ，∴ ，∴ ， ． 【能力】推理论证能力 【知识点】SAS 【知识点】全等三角形的对应边与角 【知识点】等边三角形的性质 7. 如图，是正方形内一点，若为等边三角形，则 ． A D E B C ∴ ∵等边三角形 ， ， ， ∵正方形 ∴ ∴ ∴ ， ， ， ， ， ． 【知识点】三角形内角和的应用 8. 如图，为等边三角形，．则的度数为 ． 由 因为 因此 为等边三角形可知， ，所以 ． ，即 ， ， 【知识点】等边三角形的性质 【能力】推理论证能力 9. 如图，点在线段上，和都是等边三角形． （ 1 ）求证：≌． （ 2 ）求证： ． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ）证明见解析． （ 1 ）∵ ∴ ∴即在 和 ， 都是等边三角形， ， ， ． 和 ． 中， ， ∴ （ 2 ）∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ≌ ． ≌ ， ． ， ． ． 【知识点】SAS ①定义：三条边都相等的三角形是等边三角形． ②三个角都相等的三角形是等边三角形． ③有一个角为的等腰三角形是等边三角形． 1. 下面给出的五种三角形：①所有外角都相等的三角形；②三边上的高都相等的三角形；③有两个角是的三角形；④有一个角是的等腰三角形；⑤以等边三角形三边中点为顶点的三角形．其中是等边三角形的有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 D 所给五个命题可通过证明得到它们都是等边三角形． 【知识点】等边三角形的判定 2. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若，，，则的长为（ ）． A. B. C. D. B ∵将 绕点 顺时针旋转 ， 得到 ， ∴ ∴ ∴ 故选： ， 是等边三角形， ． ． 【知识点】旋转性质综合应用 3. 如图，是等边三角形，是高，并且恰好是的垂直平分线，求证： 是等边三角形． 证明见解析． ∵ 在 的垂直平分线上， ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 是等腰三角形， ， ， ， ， 由 得： ∴等腰 ， ，是等边三角形． ， 【知识点】等边三角形的判定 4. 如图，，分别为，的中点，于点，于点．求的度数．． ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ， 连接 分别为 ． ， 的中点， ， 于点 ， 于点 ． 为等边三角形． ． ． 【知识点】等边三角形的判定 【知识点】等边三角形的性质 5. 为等边三角形，且，垂足为，，垂足为，，垂足为，证明是等边三角形． 证明见解析． ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 、 为等边三角形， ， 、 ， ， ， ， 是等边三角形． 【知识点】等边三角形的性质与判定综合问题 6. 下列说法： ①等边三角形的三个内角都相等； ②等边三角形的每一个角都等于； ③三个角都相等的三角形是等边三角形； ④有一个角是的等腰三角形是等边三角形．其中，正确说法的个数是（ ）． A. B. C. D. D ①等边三角形的三个内角都相等；正确； ②等边三角形的每一个角都等于 ；正确； ③三个角都相等的三角形是等边三角形；正确； ④有一个角是 的等腰三角形是等边三角形．正确．故选 ． 【知识点】等边三角形的性质与判定综合问题 $ 性质：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 书写：∵， ∴（等边对等角）． 性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 书写：∵ ， ， ∴ ， （三线合一）． 1. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则等腰三角形的底角等于 ． 2. 已知等腰的底边，且 ，则腰的长为（ ）． A. B. 或 C. D. 或 3. 如图，在等腰中，，，，则（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，中，， ，点是的中点，过点作交于点，连接．则的度数为（ ）． A. B. C. D. 1 学科网（北京）股份有限公司 5. 如图，在中，点在边上，，为的中点，若，则的大小为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，，，的垂直平分线 交于点，则 ． 7. 如图，在中，，点是上一点，点是上一点，且．若 ，，求的度数． A E C B D 8. 如图，在中，，，分别是，上的点，且， ，度数是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，在中，，且为上一点，，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 10. 内有一点，且，若， ，则 的大小是（ ）． A. B. C. D. ①利用定义来判定：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. ②判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 （简称“”）． 书写：∵ ∴（等角对等边）． 1. 在 中， 和 的度数如下，其中能判定 是等腰三角形的是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 用一根长为的细绳围成一个等腰三角形． （ 1 ）如果腰长是底边长的倍，求这个三角形各边的长． （ 2 ）能围成有一边的长是的等腰三角形吗？为什么？ 3. 如图，平分，，若，则等于（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，与相交于点，连接、、，①；② ；③ ；④． 请从以上四个选项中选出两个作为条件，证明：是等腰三角形（只需选一种情况写证明过程即可）． 5. 如图，，，点在的垂直平分线上，若，则 ． 6. 如图，点、在的边上，，，求证：． 7. 已知：如图，在中，， ，求证：是等腰三角形． 8. 如图，已知和相交于点，且，．求证：． 9. 如图，是的边的延长线上一点，过作于点，交于，．求证：是等腰三角形． 10. 下面是“已知底边及底边上的高线作等腰三角形”的尺规作图过程． 已知：线段． 求作：等腰 ，使 ， ， 边上的高为 ． 作法：如图， （1）作线段 ； （2）作线段 的垂直平分线 交 于点； （3）在射线 上顺次截取线段 ， 请回答：得到是等腰三角形的依据是： 连接 ， ． 所以 即为所求作的等腰三角形． ① ： ② ． $ 1 学科网（北京）股份有限公司 5. 如图，已知是正方形内的一点，且为等边三角形，那么 ． 6. 如图，，，共线，和都是等边三角形，若，，则的长为 ． 7. 如图，是正方形内一点，若为等边三角形，则 ． A D E B C 8. 如图，为等边三角形，．则的度数为 ． 9. 如图，点在线段上，和都是等边三角形． （ 1 ）求证：≌． （ 2 ）求证：． ①定义：三条边都相等的三角形是等边三角形． ②三个角都相等的三角形是等边三角形． ③有一个角为的等腰三角形是等边三角形． 1. 下面给出的五种三角形：①所有外角都相等的三角形；②三边上的高都相等的三角形；③有两个角是的三角形；④有一个角是的等腰三角形；⑤以等边三角形三边中点为顶点的三角形．其中是等边三角形的有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若，，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，是等边三角形，是高，并且恰好是的垂直平分线，求证： 是等边三角形． 4. 如图，，分别为，的中点，于点，于点．求的度数． 5. 为等边三角形，且，垂足为，，垂足为，，垂足为，证明是等边三角形． 6. 下列说法： ①等边三角形的三个内角都相等； ②等边三角形的每一个角都等于； ③三个角都相等的三角形是等边三角形； ④有一个角是的等腰三角形是等边三角形．其中，正确说法的个数是（ ）． A. B. C. D. $