第13章三角形 【角平分线模型及拓展】专项练习 2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦三角形角平分线角度计算，通过内角、外角及多交点变式构建递进式训练，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |内角平分线|4题|已知内角求交点角|从内心定义出发，推导∠P=90°+∠A/2| |内外角平分线|3题|内外角平分线交于一点|结合邻补角性质，建立外角与内角关系| |外角平分线|2题|两外角平分线交点计算|利用三角形外角和，推导∠P=90°-∠A/2| |规律探究|2题|n重角平分线交点规律|从特殊到一般，培养符号意识与模型观念|

1. 如图，点是内一点，，，分别是和的角平分线，则 等于（ ）． A. B. C. D. 无法确定 C ∵ ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ， 分别是 和 ， ， 的角平分线， ， ， ， 故选： ． 【知识点】三角形内角和的应用 2. 如图，，，则 ． 略． 【知识点】三角形内角和的应用 10 学科网（北京）股份有限公司 3. 如图，在中，，平分，平分，则 ． ∵ ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ， 平分 ， 平分 ， ， ， ， ． 【知识点】三角形-内角角分线 4. 如图，是内一点，且、分别平分、，若，则 ；若，则 ．; 【知识点】三角形-内角角分线 5. 如图，的外角的平分线与内角平分线交于点，若，则 ． 、 在 中， 分别是 中， ， 在 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴即 和 ， ， 的平分线， ， ， ， ， ， ． 【知识点】三角形-内外角角分线 6. 如图所示，是的外角，，平分，平分，且、交于点．求的度数． ． ∵ 是 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 的一个外角， ， ， ， 平分 ， ， 平分 ， ， ， 是 的一个外角， ， ． 【知识点】三角形-内外角角分线 7. 如图，、是的外角平分线，与交于点，，求的度数．∵ 、 是 和 ， 的外角平分线， ∴ ∵ ∴ ， ， ． 【知识点】三角形-外角角分线 8. 如图，是中的平分线，是的邻补角的平分线．若， ，则（ ）． A. B. C. D. C ∵ 是 中 的平分线， 是 的邻补角的平分线， ， ， ， ∴ ∴ ， ， ， ∴ ． ∵ ∴ ∴ ， ， ． 【知识点】三角形-内外角角分线 9. 在中，、的平分线相交于，，则的度数为 ． ∵ 、 ∴ ∵又 ∴ ∴ 的平分线相交于 ， ， ， ， A ， ， O ． B C 【知识点】三角形-内角角分线 1. 如图，平分，平分，若，，则 ． 连接 ， ∵ ∴ ， ， ∴ ∵ ∴ ∴ ， ， ． 平分 ， 平分 ， ， ， ， ∴ ． 【知识点】角分线性质定理 【知识点】三角形内角和的应用 【知识点】三角形-内角角分线 【知识点】判断三角形的高，中线和角平分线 2. 如图，平分，平分，若，．则 （用含，的式子表示）． 连接 、 ∵ ， ∴ ∵ ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 并延长， ， ， ， ， ， 平分 ， 平分 ， ， ． 【知识点】三角形内角和的应用 3. 如图，为 内一点， ， ， 是 的平分线， 是 的平分线， 与 交于 ，则 的度数为（ ）． A. B. C. D. C ∵ ， ， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ， ，的平分线， ， ， 是 是 的平分线， ， ∴ ． 【知识点】燕尾形（飞镖型） 4. 如图，、交于点，与的平分线交于点，已知，，求的度数．． 由“ ”字模型，可知 ， ， ∵ ∴ ∴ 平分 ， 平分 , ， ， ①， ② ∴① ②，得： ， 故 ， ． 【知识点】蝴蝶型（8字倒角） 1. 如图，在中，，与的角平分线交于 ，与的角平分线交于点，则的度数是 ． 略 【知识点】三角形-内角角分线 2. 观察下列图形，点是的两角平分线的交点，是 的两角平分线的交点， ，是的两角平分线的交点，发现： ， ， ，依次下去，请得出规律式 ． 则 每往后一次都等于上一个角的 加上 ， ， ． 【知识点】数列找规律-图形类的等比数列 【知识点】三角形内角和的应用 3. 如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…以此类推得到，则 的度数是 ． ∵ 是 的平分线， 是 ∴ 的平分线， ， ， 又∵ ， ， ∴ ∴ ∵ ∴ 同理可得 ∴ ∴ ， ， ， ； ， ， 故答案为： ． ． 【知识点】三角形-外角角分线 $ 1. 如图所示，在中，、是外角平分线，、是内角平分线，、交于， 、交于，若．则 ． 2. 如图，已知中，，平分，、分别为的两外角的平分线，平分与延长线交于点．给出下列结论：①；② ； ③．其中正确结论的个数是（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，，点，分别在射线，上运动，平分，的反向延长线与的平分线交于点，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 1 学科网（北京）股份有限公司 4. 如图，在中，，平分，平分，，则和 的关系为（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，在中，平分，平分，与相交于点，． （ 1 ）求的度数． （ 2 ）求的度数． 6. 完成下列各题． （ 1 ）如图，平分，平分，试确定与的数量关系． 图 （ 2 ）如图，平分，平分，试确定与的数量关系． 图 （ 3 ）如图，平分，平分，试确定与的数量关系． A B C E F D 图 7. 如图，在中，，、分别平分、， 、、分别在、 、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、 ，则 . 8. ，点、分别在射线、上，是的平分线，的反向延长线与 的平分线交于点． （ 1 ）如图，当，试求． （ 2 ）如图，当、在射线、上任意移动时（不与点重合），的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出． 9. 已知：如图，在中，、的角平分线交于点，、的外角平分线交于点． （ 1 ）求证：； （ 2 ）若的三个外角平分线交点为、、（如图），求证：为锐角三角形． 1. 如图， 与 有一个公共顶点，且、、共线，在边 上， 与 的平分线 交于点．若 ，，则 ． 2. 如图，和的平分线相交于点，设，，，的度数依次为，， ，，用仅含有两个字母的代数式表示的度数 ． 3. 如图，、、在同一直线上，平分交于，平分，延长线与相交于，若， ，则 度． 4. 解答下列各题： （ 1 ）如图，在中，，，，求的度数． 图 （ 2 ） 图所示的图形中，有点像我们常见的学习用品——圆规，我们不妨把这样图形叫做“规形图”，观察“规形图”图，试探究与、、之间的关系，并说明理由． 图 （ 3 ）如图，平分，平分，若，，求的度数． 图 1. 已知在四边形 中， ． （ 1 ） ． （ 2 ）如图 ，若 平分 ， 平分的外角，请写出与的位置关系，并证 明． （ 3 ）如图，若、分别四等分、的外角（， ），试求的度数． 2. 阅读下面的材料，并解决问题．（ 1 ）已知在 中， ． 如图 ， 、 的角平分线交于点，则 ． 如图 ， 、 的三等分线交于点、，则 ． ， 图 图 （ 2 ）如图，中，、的三等分线交于点、．若， ，求的度数． 图 （ 3 ）如图，中，的三等分线分别与的平分线交于点、．若 ，，求的度数． 图 3. 如图①所示的图形像我们常见的学习用品﹣圆规，我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，那么在这样一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥聪明才智，解决以下问题：2 3 （ 1 ）观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由． （ 2 ）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： 如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则．1 如图③，平分，平分，若，，求 的度数． 如图④，、的等分线分别相交于点、 、…、 ，若 ，，求的度数． 如图⑤，、的等分线分别相交于点、 、…、 ，若4 ，，直接写出（ ）的度数（用含，的式子表示）． $ 1. 如图，点是内一点，，，分别是和的角平分线，则 等于（ ）． A. B. C. D. 无法确定 2. 如图，，，则 ． 3. 如图，在中，，平分，平分，则 ． 4. 如图，是内一点，且、分别平分、，若，则 ；若，则 ． 5. 如图，的外角的平分线与内角平分线交于点，若，则 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 6. 如图所示，是的外角，，平分，平分，且、交于点．求的度数． 7. 如图，、是的外角平分线，与交于点，，求的度数． 8. 如图，是中的平分线，是的邻补角的平分线．若， ，则（ ）． A. B. C. D. 9. 在中，、的平分线相交于，，则的度数为 ． 1. 如图，平分，平分，若，，则 ． 2. 如图，平分，平分，若，．则 （用含，的式子表示）． 3. 如图，为内一点，，，是的平分线，是的平分线，与交于，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，、交于点，与的平分线交于点，已知，，求的度数． 1. 如图，在中，，与的角平分线交于 ，与的角平分线交于点，则的度数是 ． 2. 观察下列图形，点是的两角平分线的交点，是 的两角平分线的交点， ，是的两角平分线的交点，发现： ， ， ，依次下去，请得出规律式 ． 3. 如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…以此类推得到，则 的度数是 ． $ 1. 如图所示，在中，、是外角平分线，、是内角平分线，、交于， 、交于，若．则 ． 方法一：由三角形中的双角平分线模型可得： ， ， ∴ 方法二：∵ ∴ ∴ 故答案为： 、 ． 是外角平分线， ， 、 是内角平分线， ． ． 【知识点】三角形-内外角角分线 2. 如图，已知中，，平分，、分别为的两外角的平分线，平分与延长线交于点．给出下列结论：①；② ； ③ ．其中正确结论的个数是（ ）． 10 学科网（北京）股份有限公司 A. B. C. D. D ∵ 平分 ， 平分 ， ∴ ， ， ∴ ， ，①正确； ， ∵ 是 的平分线， ∴ ， ∴ ，②正确， ∵ ， ∴ ， ∴ ，③正确． 【知识点】三角形内角和的应用 3. 如图，，点，分别在射线，上运动，平分，的反向延长线与的平分线交于点，则的度数是（ ）． A. B. C. D. B 根据三角形的外角性质，可得 ， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选 平分 ， 平分 ， ， ， ， ， ， ． ． 【知识点】三角形的外角定义及性质 4. 如图，在中，，平分，平分，，则和 的关系为（ ）． A. B. C. D. D ∵ ， 平分 ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， 故选 ． 【知识点】三角形-内外角角分线 5. 如图，在中，平分，平分，与相交于点，． （ 1 ）求的度数． （ 2 ）求的度数． （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 1 ）∵在 ∴ （ 2 ）∵ 中， ． 又∵ ∴ ∴在 平分 ， ， 平分 中， ． 【知识点】三角形-内角角分线 6. 完成下列各题． （ 1 ）如图，平分，平分，试确定与的数量关系．图 （ 2 ）如图，平分，平分，试确定与的数量关系． 图 （ 3 ）如图，平分，平分，试确定与的数量关系． A B C E F D 图 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） ． ． ． （ 1 ）∵ ∴ ∵ 平分 ， 平分 ， ， ， ． ∴ （ 2 ）∵ ∴ ． 平分 ， 平分 ， ， ∵ ∴ （ 3 ）∵ ∴ ， ． 平分 ， 平分 ， ， ， ∵ ∴ ， ． 【知识点】三角形-内角角分线 7. 如图，在中，，、分别平分、， 、、分别在、 、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、 ，则 . ∵ 、 分别平分 、 ， ， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵即 ∴ ∴ ， ， ， ， 、 分别平分 、 ， ， ， ， ， 、 分别平分 ， 、 ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为 ． 【知识点】三角形-内外角角分线 8. ，点、分别在射线、上，是的平分线，的反向延长线与 的平分线交于点． （ 1 ）如图，当，试求． （ 2 ）如图，当、在射线、上任意移动时（不与点重合），的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出． （ 1 ） ． （ 2 ）不变化， ． （ 1 ）∵ ∴ ， ， ∵ ∴ ∵ ∴ 是 ． 的平分线 ， 是 的平分线， ． ， ． （ 2 ）不变化， ∵ ∴ ． ， 是 的平分线 ， 是 ， ， ． ∵ ∴ ∵ ∴ 的平分线， ． ． 【知识点】三角形-外角角分线 9. 已知：如图，在中，、的角平分线交于点，、的外角平分线交于点． （ 1 ）求证：； （ 2 ）若的三个外角平分线交点为、、（如图），求证：为锐角三角形．（ 1 ）证明见解析． （ 2 ）证明见解析． （ 1 ）如图， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 平分 平分 ， ， ， ， ， ， 同理可得 在四边形 ∵ ∴ （ 2 ）如图， ， 中， ， ． ∵ 和 为 的外角平分线， ∴ ， ， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ， ， ， ， 为锐角， 同理可得 ， ， ∴ 、 都是锐角， ∴ 为锐角三角形． 【知识点】三角形内角和的应用 1. 如图，与有一个公共顶点，且、、共线，在边上，与的平分线交于点．若，，则 ． 因为 是 的角平分线， 是 ； 的角平分线； 所以 根据飞镖模型，所以 因为 ， ； ； ； ；所以 ；因为 ； ． 【知识点】三角形内角和的应用 【知识点】角分线性质定理 【能力】推理论证能力 2. 如图，和的平分线相交于点，设，，，的度数依次为，， ，，用仅含有两个字母的代数式表示的度数 ． ∵ 和 ∴ 的平分线相交于点 ， ， ， 在 即在即 ① 和 中有： ①， 中有： ②， ， 和 ， ②得： ， ， ． 【知识点】三角形-内角角分线 3. 如图，、、在同一直线上，平分交于，平分，延长线与相交于，若， ，则 度． ∵ 平分 ， ∴ ∴由飞镖模型得：整理得： 即 ， ， ， ①， 又∵ 平分 ， 由 字模型得：整理得： 即： 由①②解得 ， ， ②， ， 故答案为 ． 【知识点】角平分线的相关计算问题 4. 解答下列各题： （ 1 ）如图，在中，，，，求的度数． 图 （ 2 ）图所示的图形中，有点像我们常见的学习用品——圆规，我们不妨把这样图形叫做“规形图”，观察“规形图”图，试探究与、、之间的关系，并说明理由． 图 （ 3 ） 如图，平分，平分，若，，求的度数． 图 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） ． ． ． （ 1 ）略 （ 2 ）略 （ 3 ）略 【知识点】三角形内角和的应用 1. 已知在四边形 中， ． （ 1 ） ． （ 2 ）如图 ，若 平分 ， 平分的外角，请写出与的位置关系，并证 明． （ 3 ）如图，若、分别四等分、的外角（， ），试求的度数． （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） ，证明见解析． ． （ 1 ）四边形内角和为 ∵ ，则 于点 ， ，且 ． （ 2 ） ，延长 交 平分 ， 平分 的外角 ， ∴ 又 ∴ ， ， 即 ． （ 3 ）设 又易知 ∴ ∴ ， 则 ， ， ， 易知 ， ． 【知识点】三角形-内外角角分线 2. 阅读下面的材料，并解决问题． （ 1 ）已知在 中， ． 如图 ， 、 的角平分线交于点 ，则 ． 如图 ， 、 的三等分线交于点 、 ，则 ， ． 图 图 （ 2 ）如图，中，、的三等分线交于点、．若， ，求的度数． 图 （ 3 ）如图，中，的三等分线分别与的平分线交于点、．若 ，，求的度数． 图 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） ; ． ． ; （ 1 ） ∵ ， 又∵ ． 、 的三等分线交于点 ， ， ． ， ∴设 、 ， ∴ ∴ （ 2 ）∵ 、 ， 的三等分线交于点 、 ， ， ∴ 2 ， ， ，解得 ． 则 ． （ 3 ）设 ， ， ， ， 则 ． 【知识点】角分线性质定理 3. 如图①所示的图形像我们常见的学习用品﹣圆规，我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，那么在这样一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥聪明才智，解决以下问题： （ 1 ）观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由． （ 2 ）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： 如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则．1 如图③，平分，平分，若，，求 的度数． （ 1 ）连接 并延长至点 ， 如图④，、的等分线分别相交于点、 、…、 ，若 ，，求的度数． 如图⑤，、的等分线分别相交于点、 、…、 ，若3 4 ，，直接写出（ ）的度数（用含，的式子表示）． （ 1 ） ． （ 2 ）1 2 ． 3 为 ． 4 ． 由外角定理可得 ， ； 且 及 ；相加可得 ． （ 2 ）1 2 3 4 由（ ）的结论易得： ， 又因为 ， ， 所以 ； 故答案是： ． 由（ ）的结论易得 ，易得 ； 而 ， 代入 ， ，易得 ． ， ∵ ， 设 为 ， ∴ ， ， ∴ 为 ． 【知识点】三角形-外角角分线 $