13.1.2三角形的高、中线与角平分线同步练习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦三角形高、中线与角平分线的概念辨析与应用，通过基础认知、技能应用、综合拓展三层设计，实现从概念理解到实际问题解决的递进，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|高、中线、角平分线的定义与性质|选择题1-4直接辨析概念，填空题8-10应用定义计算，强化抽象能力| |技能应用层|性质的简单推理与计算|选择题5-7结合面积、角度计算，填空题11-12涉及周长差、性质判断，解答题13-14作图与中线周长计算，发展运算能力| |综合拓展层|多性质综合与实际应用|解答题15-17整合角度、面积、中线性质，联系宣传牌等实际情境，提升应用意识与推理能力|

13.1.2 三角形的高、中线与角平分线 同 步 练 习 八年级上册数学（人教版） | 满分：100分 | 建议用时：45分钟 一、选择题（共7题，每题3分，共21分） 1．在△ABC中，点M在线段AB上，且AM=MB。连接CM，根据已知条件，可以确定线段CM是△ABC的（ ） A．AB边上的中线 B．∠C的角平分线 C．AB边上的高 D．BC边上的中线 2．在△ABC中，点D在边BC上。下列条件中，能直接说明AD是∠BAC的角平分线的是（ ） A．BD=DC B．∠BAD=∠CAD C．AD⊥BC D．AB=AC 3．在直角三角形ABC中，∠A=90°。关于这个三角形的高，下列说法正确的是（ ） A．只有一条高 B．AB、AC都是△ABC的高 C．三条高都与三边不重合 D．斜边BC上的高在三角形外部 4．下列说法中正确的是（ ） A．三角形的角平分线是射线 B．三角形的高一定在三角形内部 C．三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段 D．一条线段只可能是一个三角形的一种特殊线段 5．△ABC的面积为30 cm²，AD是BC边上的高，BC=12 cm，则AD的长为（ ） A．2.5 cm B．5 cm C．6 cm D．10 cm 6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，D在BC上。若∠BAC=82°，∠B=47°，则∠ADC的度数为（ ） A．88° B．89° C．92° D．98° 7．如图，在△ABC中，D是BC的中点，F在直线BC上，且AF⊥BC。下列说法正确的是（ ） A．AD是BC边上的中线，AF是BC边上的高 B．AD是BC边上的高，AF是BC边上的中线 C．AD和AF都平分∠BAC D．AB=AC 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 8．如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，若AB=15 cm，则AD=________cm。 9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，若∠BAD=27°，则∠BAC=________°。 10．如图，在钝角三角形ABC中，∠A为钝角。从顶点B、C分别向对边所在直线作高时，两个垂足均落在相应对边的________上。 11．如图，在△ABC中，AM是BC边上的中线。若△ABM与△ACM的周长分别为22 cm和26 cm，则|AB-AC|=________cm。 12．判断下列说法：①三角形的三条中线都在三角形内部；②三角形的三条角平分线都在三角形内部；③三角形的三条高都一定在三角形内部。正确的是________。（填序号） 三、解答题（共5题，共64分） 13．（8分） 如图，已给出一个不等边三角形ABC，按下列要求在图中作图（不要求写作法）： （1）作BC边上的中线AD；（2分） （2）作∠ABC的角平分线BE；（2分） （3）作AC边上的高BF；（2分） （4）分别写出点D、点E、点F所在的边（或边所在的直线），并说明三条线段AD、BE、BF各自满足的关键条件。（2分） 14．（10分） 如图，在△ABC中，AM是BC边上的中线。已知AB=13 cm，AC=9 cm，AM=5 cm，△ABM的周长为28 cm。 （1）求BM的长；（4分） （2）求BC的长；（2分） （3）求△ACM的周长，并说明为什么不必重新求CM。（4分） 15．（12分） 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，D在BC上；BE⊥AC，垂足为E。已知∠A=72°，∠C=48°。 （1）求∠B的度数；（3分） （2）求∠BAD和∠CAD的度数；（3分） （3）求∠ABE的度数；（3分） （4）求∠ADB的度数。（3分） 16．（14分） 如图，学校制作一块三角形宣传牌ABC，底边BC长1.8 m，从顶点A到直线BC的垂直距离为1.2 m。M是BC的中点，连接AM。 （1）求宣传牌的面积；（4分） （2）求△ABM和△ACM的面积；（6分） （3）不测量AB、AC的长度，说明为什么AM把整块宣传牌分成面积相等的两部分。（4分） 17．（20分） 如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在线段AC上，BE平分∠ABC；F在直线AB上，CF⊥AB，垂足为F。 （1）分别指出AD、BE、CF是哪一种特殊线段，并写出对应的关键条件；（8分） （2）若BC=14 cm，∠ABC=30°，求BD、DC、∠ABE、∠EBC；（6分） （3）若AB=12 cm，△ABC的面积为42 cm²，求CF的长。（6分） 参考答案与详细解答 一、选择题 1．A M是AB的中点，CM连接顶点C与对边AB的中点，所以CM是AB边上的中线。 2．B 角平分线把一个角分成两个相等的角，因此∠BAD=∠CAD能直接说明AD平分∠BAC。 3．B ∠A=90°，AB⊥AC，因此AB可作为AC边上的高，AC可作为AB边上的高；BC边上的高从A向BC作出，且位于三角形内部。 4．C 三角形的中线是线段，不是直线或射线；高不一定都在内部；同一条线段在特殊三角形中可能同时具有中线、角平分线和高的性质。 5．B 由S=1/2×BC×AD，30=1/2×12×AD，所以AD=5 cm。 6．A ∠BAD=∠CAD=41°，∠C=180°-82°-47°=51°。在△ACD中，∠ADC=180°-41°-51°=88°。 7．A D是BC的中点，所以AD连接顶点A与对边BC的中点，AD是BC边上的中线；F在直线BC上且AF⊥BC，所以AF是BC边上的高。 二、填空题 8．7.5 CD是AB边上的中线，所以D是AB的中点，AD=AB÷2=7.5 cm。 9．54 AD平分∠BAC，所以∠BAC=2∠BAD=54°。 10．延长线 当∠A为钝角时，从顶点B、C分别向AC、AB所在直线作垂线，垂足均落在相应边的延长线上。 11．4 因为AM是中线，所以BM=CM。两个小三角形周长之差只来自AB与AC，因此|AB-AC|=|22-26|=4 cm。 12．①② 三角形的三条中线和三条内角平分线均位于三角形内；钝角三角形有两条高的垂足落在相应对边的延长线上，所以③错误。 三、解答题 13．解：在所给图形上作图，结果应满足以下条件： （1）D在线段BC上，且BD=DC，因此AD是BC边上的中线。 （2）E在线段AC上，且∠ABE=∠EBC，因此BE是∠ABC的角平分线。 （3）F在直线AC上，且BF⊥AC，因此BF是AC边上的高。本题所给图形中，垂足F落在线段AC上。 （4）D在线段BC上，E在线段AC上，F在直线AC上；关键条件分别是“对边中点”“两个分角相等”“与对边所在直线垂直”。 14．解：（1）△ABM的周长为28 cm，所以AB+AM+BM=28。 BM=28-13-5=10（cm）。 （2）因为AM是BC边上的中线，所以M是BC的中点，BM=CM=10 cm。 BC=BM+CM=20（cm）。 （3）△ACM的周长=AC+AM+CM=9+5+10=24（cm）。 不必重新求CM，因为中线的端点M是BC的中点，已知BM后立即有CM=BM。 15．解：（1）∠B=180°-∠A-∠C=180°-72°-48°=60°。 （2）AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD=72°÷2=36°。 （3）BE⊥AC，所以∠AEB=90°。在△ABE中，∠BAE=∠A=72°，因此∠ABE=180°-90°-72°=18°。 （4）在△ABD中，∠BAD=36°，∠ABD=∠B=60°，所以∠ADB=180°-36°-60°=84°。 16．解：（1）宣传牌面积=1/2×1.8×1.2=1.08（m²）。 （2）M是BC的中点，所以BM=CM=0.9 m。△ABM和△ACM以BM、CM为底时，它们到直线BC的高都为1.2 m。 S△ABM=1/2×0.9×1.2=0.54（m²）；S△ACM=1/2×0.9×1.2=0.54（m²）。 （3）AM是BC边上的中线，中线把BC分成相等的BM、CM；两个小三角形又具有相同的高，所以面积相等。这一结论与AB、AC的长度无关。 17．解：（1）AD是BC边上的中线，因为D是BC的中点，即BD=DC。 BE是∠ABC的角平分线，因为E在AC上，且∠ABE=∠EBC。 CF是AB边上的高，因为F在直线AB上，且CF⊥AB。 （2）因为D是BC的中点，所以BD=DC=BC÷2=14÷2=7（cm）。 因为BE平分∠ABC，所以∠ABE=∠EBC=30°÷2=15°。 （3）由S△ABC=1/2×AB×CF，得42=1/2×12×CF，所以CF=7 cm。 汪老师编写 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $