25.1 一元二次方程的概念 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及根的意义，通过雕像设计、铁皮制盒等实际问题导入，结合复习回顾中方程、一元一次方程的旧知，类比引出新知，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以问题驱动学习，通过类比旧知构建新知，培养数学眼光（抽象数量关系）和数学思维（推理辨析）。典例解析如判断方程类型、化为一般形式等，强化模型观念，帮助学生建立知识体系，教师可高效开展概念教学。

第二十五章 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念 学习目标 1.能根据实际问题的数量关系列一元二次方程，建立模型观念. 2.理解一元二次方程的概念及一般形式，会将方程化为一般形式，并说出各项的名称. 3.理解一元二次方程的根的意义，会检验一个数是否是一元二次方程的根. 1.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫做方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程. 2.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，且未知数项的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程. 类比一元一次方程的定义，想一想：什么样的方程叫一元二次方程呢？ 复习回顾 新课导入 在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为5 m，那么雕像腰部以下为多长? 解：如图，雕像的上部高度AC与下部高度BC应有关 系： AC∶BC＝BC∶5，即BC2＝5AC. 设雕像下部高 x m，可得方程x2＝5(5－x). 整理，得x2＋5x-25＝0. ① A B C 新课导入 这个方程与我们学过的一元一次方程不同，其中未知数x的最高次数是2. 思考 （1）如何解这类方程? （2）如何用这类方程解决一些实际问题? x2＋5x-25＝0 ① 问题1:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 解：设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为（100－2x)cm,宽为(50－2x)cm,根据方盒的底面积为3600cm2,得 化简，得 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 知识精讲 问题2:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛? 解：设比赛组织者应邀请x个队参加比赛. 根据题意，列方程： 化简，得： 知识精讲 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 方程①、②、③都不是一元一次方程.那么这三个方程有什么共同特点呢？与一元一次方程的区别在哪里？ 特点: ①都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2. 知识精讲 x2＋5x－25＝0. ① 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程. ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0) ax2 称为二次项, a 称为二次项系数. bx 称为一次项, b 称为一次项系数. c 称为常数项. ※一元二次方程的概念 ※一元二次方程的一般形式 知识精讲 思考 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？ 当 a = 0 时 bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， ax2 = 0 总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数. 知识精讲 C 不是整式方程 含两个未知数 化简整理成x2-3x+2=0 少了限制条件a≠0 【点睛】判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断. 典例解析 例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ） 练一练 1 ①含有两个未知数. ②不是整式方程. ④未知数的最高次数不是2. ⑤整理后未知数的最高次数不是2. ③符合一元二次方程的“三要素”. 分析： × √ × × × 1 下列方程：①x2＋y－6＝0；②x2＋ ＝2；③x2－x－2＝0； ④x2－2＋5x3－6x＝0； ⑤2x2－3x＝2(x2－2)，其中是一元二 次方程的有 个. 例2 a为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax2－x=2x2 (2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0. 解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程； 【点睛】用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值． 典例解析 (2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程. 已知关于x的方程 . （1）当m为何值时，此方程为一元二次方程？ （2）当m为何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的解. 针对练习 例3 将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10. 【点睛】判定一元二次方程的二次项、一次项和常数项及它们的系数需要先将方程化为一般形式，再去判断；注意系数和项均包含前面的符号. 典例解析 填空： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 -2 1 3 1 3 -5 4 0 -5 3 -2 针对练习 ※一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）. 你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根. 知识精讲 √ √ √ √ 练习：判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根 (1) (x1=1， x2=2， x3=3 ) (2) (x1=-1 ，x2=1， x3= ) 例4 已知a是方程 x2+2x-2=0 的一个实数根，求 3a2+6a+ 2 019的值. 解： 由题意，得a2+2a-2=0，即a2+2a=2. ∴ 3a2+6a+2 019 =3(a2+2a) =3×2 +2 019 =2 025. 已知方程的解求代数式的值，一般先把已知解代入方程，得到等式，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值． 典例解析 达标检测 1.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二次方程的是( ) A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0 C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0 3.已知方程5x²+mx-6=0的一个根为2，则ｍ的值为_______． 2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0, 当k 　　　时，是一元二次方程． 当k 　　　时，是一元一次方程． ≠±1 ＝－1 D -7 课堂小结 拓展应用 1.若a是一元二次方程x2＋x－1＝0的根，则a3＋2a2－7的值为____． 2.若a+b+c=0则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一解为：_________;若4a-2b+c=0则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一解为：_________; 3.m、n是关于x的一元二次方程x2+2006x-2008=0的根，试求（m2+2006m-2007）（n2+2006n+2007）的值。 x=1 x=-2 解：m,n分别代入方程得： m2+2006m-2008=0,得m2+2006m=2008 n2+2006n-2008=0,得n2+2006n=2008 ∴(m2+2006m-2007)(n2+2006n+2007)=4015 －6 $