25.3 实际问题与一元二次方程（第1课时）-课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与一元二次方程”，核心内容为梳理矩形、正方形等图形的边长与面积关系，建立方程模型并求解检验。课堂导入通过回顾上节课根与系数关系，衔接旧知引出用方程解决实际问题，搭建知识支架。 其亮点在于注重几何直观与模型意识，如例2用细绳围矩形时，通过不同设元方法（如设一边长为x及邻边长为20-x，或设为10+x与10-x）展示从图形提取数量关系，培养抽象能力和推理意识。练习分层设计结合杨辉问题、养蜂场围建等实际情境，帮助学生发展应用意识，教师可借此提升教学效率。

第二十五章 一元二次方程 25.3 实际问题与一元二次方程 （第1课时） 1．梳理矩形、正方形、道路边框等图形的边长、面积等量关系，建立一元二次方程模型． 2．能结合图形示意图，准确提取长、宽、面积之间的数量关系，列出方程． 3．求解方程后，结合线段长度为正数的实际意义，舍去不符合题意的负根． 上节课我们学习了一元二次方程根与系数的关系，请说一说它们之间的关系？ 一元二次方程的两个根与其系数有如下关系: 同一元一次方程、二元一次方程(组)一样，一元二次方程也是刻画某些问题中等量关系的数学模型，运用一元二次方程可以解决很多问题. 4 例1：是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个? 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为，其中为正整数. 由勾股定理，得 解方程，得 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3，4，5. 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤： （1）审：弄清题中的已知量、未知量，找出题中的相等关系． （2）设：恰当地设未知数． （3）列：根据（1）中的相等关系列出一元二次方程． （4）解：正确地解一元二次方程． （5）验：检验解是不是原方程的解且符合题意． （6）答：答案要完整且单位统一． 例2：用一根长为的细绳，能否围成一个面积为的矩形区域?如果能围成，这样的矩形是否唯一? 分析：假设细绳能围成面积为的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度. 设矩形一边长为，由周长为，可用含的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解. 例2：用一根长为的细绳，能否围成一个面积为的矩形区域?如果能围成，这样的矩形是否唯一? 解：设矩形的一边长为，由矩形的周长为，可得此边的邻边长为; 再由矩形的面积为，得 解方程，得 因此，用一根长为的细绳可以围成面积为的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为. 例2：用一根长为的细绳，能否围成一个面积为的矩形区域?如果能围成，这样的矩形是否唯一? 解方程，得 方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？ 不可以. 当x=12时，邻边长20-12=8；当x=8时，邻边长 20-8=12. 两种情况描述的是同一个矩形，只是长和宽互换位置，矩形形状没有发生改变，因此只能围成一个满足条件的矩形区域. 思考：对于例2中的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种. 例如: (1)可设一边长为，那么其邻边长为; (2)可设一边长为，那么其邻边长为. 能根据以上设两邻边长的方法列方程求解例2吗？比较这些设法，说说它们各自的特点. 例2：用一根长为的细绳，能否围成一个面积为的矩形区域?如果能围成，这样的矩形是否唯一? 方法（1）设一边长为，邻边长 由周长可得： ， 整理： ， 解得： . 对应边长为12m、8m. 特点：直接利用面积表达邻边，列出的是分式方程，需要化为整式方程求解. 例2：用一根长为的细绳，能否围成一个面积为的矩形区域?如果能围成，这样的矩形是否唯一? 方法（2）设一边长，邻边长 周长40m，则半周长为20m，两条边长之和恒为20；以平均值10为基准设元. 由面积列方程： 解得. 边长分别为，. 特点：利用和为定值，构造平方差形式，计算最为简便. 例2：用一根长为的细绳，能否围成一个面积为的矩形区域?如果能围成，这样的矩形是否唯一? 解：设矩形的一边长为，由矩形的周长为，可得此边的邻边长为; 再由矩形的面积为，得 解方程，得 因此，用一根长为的细绳可以围成面积为的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为. 特点：思路直观，最容易理解，是常规解法. 已知图形的面积列一元二次方程，除了要准确掌握几何图形的面积、体积或周长的计算方法外，关键是能用未知数表示相关的长度，从而列方程求解． 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】选做题： 【综合拓展类练习】 【综合拓展类练习】 解：②依题意，得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴的长为米；   实际问题与一元二次方程 几何图形问题 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】选做题： 【综合拓展类作业】 【综合拓展类作业】 1．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题：一个矩形长和宽的和为步，面积是平方步，问长比宽多几步？若设长为步，根据题意可列方程是（     ） A． B． C． D． A 2．如图，一块长、宽的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的，则石板小径的宽度为______． 1 3．某公园有一块长是宽的两倍的长方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原长方形的空地长的一边减少了2m，短的一边减少了1m,剩余空地的面积为，求原长方形空地的周长． 解：设原来长方形的宽为米，则长为米． 由题意可得：． 解之得：，（不符合题意，舍去）． ∴原长方形的宽为4米，长为8米． ∴原长方形的周长（米）． 答：原长方形的周长为24米． 4．如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使的面积为，则点P运动的时间是（     ） A． B． C． D． B 5．小西家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为米的门，门不消耗木栏，设长为米． (1)如图①，当时， ①___________米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为平方米，求的长． (2)如图②，当时，养蜂场的面积是否 可以达到平方米？请说明理由． (2)养蜂场的面积不能达到平方米．理由如下： 假设养蜂场的面积可以达到平方米， ∵长为米，∴， 依题意，得：，整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不正确，即养蜂场的面积不能达到平方米． 1．为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为7米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块12平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． C 2．如图，在一块长为25米、宽为20米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为米，则根据题意可列出方程为_____________________． 3．小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为，设右边宽为． (1)天头长为 ；（用含x的代数式表示） (2)若装裱后作品总面积为，则右边宽为多少厘米？ （2）由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：装裱后右边宽是． 4．如图，在一块长12m、宽8m的长方形空地上修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．设道路的宽为，根据题意，可列方程：___________________． 5．如图，为深化劳动教育实践，某校计划将原长、宽的矩形劳动实践基地扩建为矩形，使其总面积达到．经规划测量，确定扩建时长与宽增加的长度之比为（即）． (1)求长和宽各增加了多少米？ (2)扩建后，为便于管理，准备在基地内修建一横一纵两条宽均为的十字形小路，剩余部分为试验园地，求试验园地的面积． 解：（1）设，由得， 扩建后矩形的长为，宽为， 根据总面积列方程：， 整理得：， 解得：，（长度不能为负，舍去）， 因此，， 即长增加了，宽增加了； （2）由（1）得，扩建后矩形的长为，宽为， 将十字小路平移到矩形边缘，剩余试验园地为矩形，长和宽各减少小路宽度， 因此试验园地面积为：． $