第一章 勾股定理_单元测试卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 适配北师大版八年级上册《勾股定理》单元复习，以梯子滑动、长方体爬行等生活情境为载体，覆盖定理应用、逆定理判定、勾股数性质等核心知识点，注重运算能力与空间观念培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/18|勾股定理计算（如Rt△边长）、勾股数判断|第5题长方体表面最短路径，体现空间观念| |填空题|6/18|勾股定理逆用（如三角形面积）、折叠问题|第12题分类讨论第三边，培养推理意识| |解答题|11/84|实际应用（梯子问题）、动态几何（点P、Q运动）|第23题结合方程思想探究AP²+BQ²=PQ²，发展数学思维|

北师大版八年级上册第一章《勾股定理》单元测试卷 满分：120分 考试时间：120分钟 总题量：23题 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，则斜边 AB 的长为（ ） A．8 cm B．10 cm C．12 cm D．14 cm 2．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ） A．6，7，8 B．7，24，25 C．8，10，12 D．10，12，15 3．下列说法正确的是（ ） A．6，8，11 是一组勾股数 B．9，12，15 是一组勾股数 C．0.6，0.8，1 是一组勾股数 D．5，10，13 是一组勾股数 4．在直角三角形中，斜边长为 13 cm，一条直角边长为 5 cm，则另一条直角边长为（ ） A．8 cm B．10 cm C．12 cm D．18 cm 5．如图，一个长方体的长、宽、高分别为 1 cm，2 cm，4 cm，点 A 与点 G 为相对顶点。一只小虫只沿长方体表面从 A 爬到 G，其最短路程为（ ） A．5 cm B．6 cm C．7 cm D．8 cm 6．一架长 25 m 的梯子斜靠在竖直墙面上，开始时梯脚离墙 7 m，梯顶离地 24 m。若梯顶沿墙面下滑 4 m，梯长保持不变，则梯脚向外移动的距离（ ） A．等于 4 m B．小于 4 m C．大于 4 m D．无法确定 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．在 Rt△ABC 中，斜边 AB＝17 cm，一条直角边 AC＝8 cm，则另一直角边 BC＝________。 8．若 8，15，17 是一组勾股数，则把这三个数同时扩大 2 倍后得到的一组勾股数为________。 9．一个三角形三边长分别为 9 cm，12 cm，15 cm，则它的周长为________，面积为________。 10．如图，在长方形 ABCD 中，AB＝32 cm，BC＝24 cm，沿直线 EF 折叠，使点 B 与点 D 重合，E 在 AB 上。则 AE＝________。 11．如图，池塘中有一根芦苇，直立时高出水面 1 m。把芦苇顶端拉到离芦苇根部水平距离 3 m 的水面处，芦苇长度不变，则水深为________。 12．已知一个直角三角形的两边长分别为 8 cm 和 15 cm，且没有说明哪一条边是斜边，则第三边长的平方为________。（写出所有可能结果） 三、解答题（本大题共11小题，共84分） 13．（6分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝9 cm，BC＝12 cm。求 AB 的长。 14．（6分）△ABC 的三边长分别为 10 cm，24 cm，26 cm。请判断 △ABC 是否为直角三角形，并说明理由。 15．（6分）一个直角三角形的斜边长为 25 cm，一条直角边长为 7 cm。求这个直角三角形的周长和面积。 16．（6分）如图，一棵树在离地 6 m 处折断，树梢恰好落在离树根 8 m 处的地面上。求这棵树折断前的高度。 17．（6分）观察下列三组数：3，4，5；6，8，10；9，12，15。 （1）写出按此规律得到的下一组数； （2）说明这四组数为什么都是勾股数。 18．（8分）如图，一架长 25 m 的梯子斜靠在墙上，开始时梯脚离墙 7 m。 （1）求梯顶离地的高度；若梯顶沿墙面下滑 9 m，求此时梯脚离墙的距离； （2）梯顶下滑 9 m 时，梯脚是否也恰好向外移动 9 m？请说明理由。 19．（8分）如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为 1 cm，2 cm，4 cm。一只小虫从顶点 A 出发，只沿盒子外表面爬到相对顶点 G。 （1）将长方体表面展开后，写出三种本质不同路线的长度的平方； （2）比较它们的大小，求小虫爬行的最短路程。 20．（8分）如图，在长方形 ABCD 中，AB＝32 cm，BC＝24 cm。沿直线 EF 折叠，使点 B 与点 D 重合，其中 E 在 AB 上，F 在 CD 上。 （1）求 AE 的长； （2）求折痕 EF 的长。 21． （9分）一个直角三角形的两边长分别为 9 cm 和 15 cm，但没有说明哪一条边是斜边。 （1）求第三边长的平方的所有可能值； （2）分别求两种情况下三角形的面积。 22．（9分）如图，△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm；在点 C 处作 CD⊥AC，且 CD＝24 cm，连接 AD。 （1）求 AC 和 AD 的长； （2）求四边形 ABCD 的面积。 23．（12分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝16 cm，BC＝12 cm。点 P 在线段 AC 上，点 Q 在线段 BC 上，且 CP＝CQ＝x（0＜x＜12），连接 PQ。 （1）求 AB 的长； （2）当 BP＝13 cm 时，求 x 的值； （3）用含 x 的式子分别表示 AP²，BQ²，PQ²。当 AP²＋BQ²＝PQ² 时，求 x，并判断以 AP，BQ，PQ 为三边的三角形的形状。 参考答案与分步解析 一、选择题（答案与解析） 1．B 解析：∵ ∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，∴ AB²＝AC²＋BC²＝6²＋8²＝100，∴ AB＝10 cm。故选B。 2．B 解析：分别检验最大边的平方与另外两边平方和。7²＋24²＝49＋576＝625＝25²，∴ 7，24，25能构成直角三角形。故选B。 3．B 解析：9，12，15均为正整数，且9²＋12²＝81＋144＝225＝15²，∴ 9，12，15是一组勾股数。故选B。 4．C 解析：设另一条直角边为x cm。∵ 13 cm为斜边，∴ x²＋5²＝13²，∴ x²＝144，∴ x＝12 cm。故选C。 5．A 解析：长方体表面展开后，三种本质不同路线的长度平方分别为：(1＋2)²＋4²＝25，(1＋4)²＋2²＝29，(2＋4)²＋1²＝37。∵ 25＜29＜37，∴ 最短路线长为5 cm。故选A。 6．C 解析：梯顶下滑4 m后离地20 m。设此时梯脚离墙x m，则x²＋20²＝25²，∴ x²＝225，∴ x＝15 m。梯脚向外移动15－7＝8 m。∵ 8＞4，∴ 梯脚向外移动的距离大于4 m。故选C。 二、填空题（答案与解析） 7．15 cm 解析：∵ AB为斜边，∴ BC²＝AB²－AC²＝17²－8²＝289－64＝225，∴ BC＝15 cm。 8．16，30，34 解析：8，15，17同时扩大2倍，得到16，30，34；且16²＋30²＝34²，∴ 仍是一组勾股数。 9．36 cm，54 cm² 解析：∵ 9²＋12²＝15²，∴ 该三角形是直角三角形，两直角边为9 cm、12 cm。周长＝9＋12＋15＝36 cm；面积＝1/2×9×12＝54 cm²。 10．7 cm 解析：设AE＝x cm，则EB＝32－x cm。∵ 折叠后点B与点D重合，E在折痕上，∴ EB＝ED。又∵ ∠A＝90°，AD＝24 cm，∴ (32－x)²＝x²＋24²，解得x＝7。∴ AE＝7 cm。 11．4 m 解析：设水深为x m，则芦苇长为(x＋1) m。芦苇倾斜后，水深x m和水平距离3 m为两条直角边，∴ x²＋3²＝(x＋1)²。解得x＝4。∴ 水深为4 m。 12．289 cm² 或 161 cm² 解析：分两种情况。①8 cm和15 cm都是直角边，第三边为斜边，故第三边长的平方为8²＋15²＝289 cm²；②15 cm为斜边，8 cm为直角边，故第三边长的平方为15²－8²＝161 cm²。 三、解答题（详细规范解析） 13．（6分） 解：∵ Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴ AB²＝AC²＋BC² ＝9²＋12² ＝81＋144 ＝225。 ∵ AB＞0， ∴ AB＝15 cm。 答：AB的长为15 cm。 14．（6分） 解：三边中最长边为26 cm。 ∵ 10²＋24²＝100＋576＝676，26²＝676， ∴ 10²＋24²＝26²。 ∴ 根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，且边长26 cm所对的角是直角。 15．（6分） 解：设另一直角边长为x cm。 ∵ 斜边长为25 cm，一条直角边长为7 cm， ∴ x²＋7²＝25²。 ∴ x²＝625－49＝576。 ∵ x＞0，∴ x＝24。 ∴ 周长＝7＋24＋25＝56 cm； 面积＝1/2×7×24＝84 cm²。 答：这个直角三角形的周长为56 cm，面积为84 cm²。 16．（6分） 解：设树的折断部分长为x m。 ∵ 折断处、树根和树梢构成直角三角形，两直角边分别为6 m、8 m， ∴ x²＝6²＋8²＝36＋64＝100。 ∵ x＞0，∴ x＝10。 ∴ 树折断前的高度＝6＋10＝16 m。 答：这棵树折断前的高度为16 m。 17．（6分） 解：（1）由3，4，5依次同时扩大2倍、3倍，可知下一组应同时扩大4倍， ∴ 下一组数为12，16，20。 （2）∵ 3²＋4²＝5²， ∴ 3，4，5是一组勾股数。 又∵ 若a²＋b²＝c²，则(ka)²＋(kb)²＝k²(a²＋b²)＝(kc)²， ∴ 将一组勾股数的三个数同时扩大相同的正整数倍，仍得到一组勾股数。 ∴ 6，8，10；9，12，15；12，16，20也都是勾股数。 18．（8分） 解：（1）设开始时梯顶离地高度为h m。 ∵ 梯长25 m，梯脚离墙7 m，墙面与地面垂直， ∴ h²＋7²＝25²。 ∴ h²＝625－49＝576，∴ h＝24。 ∴ 开始时梯顶离地24 m。 梯顶下滑9 m后，离地高度为24－9＝15 m。 设此时梯脚离墙为x m，则x²＋15²＝25²。 ∴ x²＝625－225＝400，∴ x＝20。 答：开始时梯顶离地24 m；下滑9 m后，梯脚离墙20 m。 （2）梯脚向外移动的距离为20－7＝13 m。 ∵ 13≠9， ∴ 梯顶下滑9 m时，梯脚不恰好向外移动9 m。 19．（8分） 解：（1）把长方体表面展开，使A、G落在同一平面内。三种本质不同的展开方式对应的路线长度平方分别为： ① (1＋2)²＋4²＝9＋16＝25； ② (1＋4)²＋2²＝25＋4＝29； ③ (2＋4)²＋1²＝36＋1＝37。 （2）∵ 25＜29＜37， ∴ 第一种展开方式对应的路线最短。 又∵ 最短路线长度的平方为25， ∴ 最短路线长为5 cm。 答：小虫爬行的最短路程为5 cm。 20．（8分） 解：（1）设AE＝x cm，则EB＝32－x cm。 ∵ 沿EF折叠后点B与点D重合，点E在折痕EF上， ∴ EB＝ED。 在Rt△AED中，∠A＝90°，AD＝BC＝24 cm， ∴ ED²＝AE²＋AD²＝x²＋24²。 ∴ (32－x)²＝x²＋24²。 解得x＝7。 ∴ AE＝7 cm。 （2）设DF＝y cm。 ∵ 点F在折痕EF上，∴ FB＝FD＝y cm。 又∵ DC＝AB＝32 cm，∴ CF＝32－y cm。 在Rt△BCF中，∠C＝90°， ∴ y²＝24²＋(32－y)²。 解得y＝25，∴ DF＝25 cm，CF＝7 cm。 过F作FH⊥AB于H，则FH＝24 cm，AH＝DF＝25 cm。 ∴ EH＝AH－AE＝25－7＝18 cm。 在Rt△EFH中，EF²＝EH²＋FH²＝18²＋24²＝900。 ∵ EF＞0，∴ EF＝30 cm。 答：AE＝7 cm，折痕EF＝30 cm。 21．（9分） 解：（1）分两种情况讨论： ① 若9 cm和15 cm都是直角边，则第三边为斜边， ∴ 第三边长的平方＝9²＋15²＝81＋225＝306 cm²。 ② 若15 cm为斜边，9 cm为一条直角边，则 第三边长的平方＝15²－9²＝225－81＝144 cm²。 ∴ 第三边长的平方可能为306 cm²或144 cm²。 （2）情况①中，两直角边为9 cm、15 cm， ∴ 面积＝1/2×9×15＝67.5 cm²。 情况②中，第三边长的平方为144 cm²，故第三边长为12 cm， ∴ 面积＝1/2×9×12＝54 cm²。 答：两种情况下的面积分别为67.5 cm²和54 cm²。 22．（9分） 解：（1）∵ ∠ABC＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm， ∴ AC²＝AB²＋BC²＝6²＋8²＝100。 ∵ AC＞0，∴ AC＝10 cm。 又∵ CD⊥AC，CD＝24 cm， ∴ ∠ACD＝90°。 ∴ AD²＝AC²＋CD²＝10²＋24²＝676。 ∵ AD＞0，∴ AD＝26 cm。 （2）S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD ＝1/2×6×8＋1/2×10×24 ＝24＋120 ＝144 cm²。 答：AC＝10 cm，AD＝26 cm；四边形ABCD的面积为144 cm²。 23．（12分） 解：（1）∵ Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16 cm，BC＝12 cm， ∴ AB²＝AC²＋BC²＝16²＋12²＝256＋144＝400。 ∵ AB＞0，∴ AB＝20 cm。 （2）∵ P在线段AC上，∠BCP＝90°，CP＝x，BC＝12 cm， ∴ BP²＝BC²＋CP²＝12²＋x²。 当BP＝13 cm时， 13²＝12²＋x²， ∴ x²＝25。 ∵ 0＜x＜12，∴ x＝5。 （3）∵ AC＝16 cm，CP＝x，∴ AP＝16－x， ∴ AP²＝(16－x)²。 同理，BQ＝12－x，∴ BQ²＝(12－x)²。 在Rt△PCQ中，∠PCQ＝90°，且CP＝CQ＝x， ∴ PQ²＝CP²＋CQ²＝2x²。 当AP²＋BQ²＝PQ²时， (16－x)²＋(12－x)²＝2x²。 展开，得256－32x＋x²＋144－24x＋x²＝2x²， 整理，得400－56x＝0， 解得x＝50/7。 ∵ AP²＋BQ²＝PQ²， ∴ 根据勾股定理的逆定理，以AP、BQ、PQ为三边的三角形是直角三角形，且PQ为斜边。 学科网（北京）股份有限公司 $