第一章勾股定理章末训练2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦勾股定理章末复习，分层设计从概念理解到实际应用，通过基础巩固、情境应用、综合建模三阶路径，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|勾股数、两点距离公式、直角三角形性质|直接考查定义与公式，如选择1判断勾股数，填空13结合数轴应用，强化抽象能力| |中档|折叠问题、格点图形计算、简单实际情境|需公式灵活应用，如选择8折叠求折痕长，填空14木杆折断问题，体现推理意识| |综合|四边形综合、最短路径、复杂实际问题|多知识点融合建模，如解答19社区空地面积计算，20云梯救人问题，发展模型意识与应用能力|

第一章勾股定理章末训练2026-2027学年 北师大版八年级上册 一、选择题 1.下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．5，12，13 B．4，5，6 C．2，5，6 D．1，2，3 2.已知△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上的高为12．则△ABC的面积为（　　） A．24或84 B．84 C．48或84 D．48 3.三角形的三条边分别为，，且满足，，则三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 4．在平面直角坐标系中有两点和，则这两点之间的距离是（　　） A．3 B．4 C．5 D．7 5.如图，在，，分别以，，为直径向外构造半圆，则图中三个半圆的面积，，之间的关系为（　　） A． B． C． D． 6．如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，则一个直角三角形的面积为（    ） A．36 B．72 C．18 D．144 7.如图，有一正方形花圃ABCD，其边长为8m．雯雯为了避开拐角走捷径（从点A到点D），直接从对角线AD上走出了一条“路”，却踩伤了花草，她实际上仅仅少走的路长为（　　） A．（16﹣8）m B．（16）m C．（16﹣4）m D．（8﹣8）m 8.如图，，，将沿翻折，使得点C与点B重合．若，，则折痕的长为（   ） A．4 B． C．5 D． 9.如图，将一根长为的筷子斜置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，筷子露在杯子外面的长度为（   ） A． B． C． D． 10.如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门口4m及4m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”，如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则该生头顶C到门铃A的距离为（　　） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 二、填空题 11.如图中，于点D，若则 ． 12．如图，在的方格中，小正方形的边长是，点、、都在格点上，则边上的高为 ． 13．如图，数轴上点，对应的实数分别为1，3，线段于点，且长为1个单位长度，若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点，则点表示的实数为 ．    14.如图，一根竖直的木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成30°角，则木杆折断之前高度约为 　 　m． 15.如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，1小时后两艘轮船相距20海里，则乙轮船每小时航行 海里． 16.如图，长方体的棱长为3，棱长为5，棱长为2，P为中点，一只蚂蚁从点A出发，在长方体表面沿如图所示的路径到点P处吃食物，则它爬行的最短路程是 ． 三、解答题 17.在四边形中，已知，，，． (1)连接，试判断的形状，并说明理由； (2)求的度数． 18.如图，在单位长度为1的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点．分别按相应要求解决问题（图中给出的所有点均在格点上）． (1)在图①中画一个，使点在格点上，且； (2)在图②中画一条线段，使； (3)小星在图③中画了一个格点，猜想说明的形状并求出它的面积． 19.如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)求边的长； (2)连接，判断的形状； (3)求这块空地的面积． 20.某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1）．如图（2），已知云梯最多只能伸长到15m（即AB＝CD＝15m），消防车高3m，救人时云梯伸长至最长，在完成从12m（即BE＝12m）高的B处救人后，还要从15m（即DE＝15m）高的D处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？（延长AC交DE于点O，AO⊥DE，点B在DE上，OE的长即为消防车的高3m）． 21.如图是一个滑梯示意图，若将滑梯BD水平放置，则刚好与DE一样长，已知滑梯的高度CE为4米，BC为1米． （1）求滑道BD的长度； （2）若把滑梯BD改成滑梯BF，使∠BFA＝60°，则求出DF的长．（精确到0.1米，参考数据：1.732） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章勾股定理章末训练2026-2027学年 北师大版八年级上册 一、选择题 1.下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．5，12，13 B．4，5，6 C．2，5，6 D．1，2，3 【答案】A 2.已知△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上的高为12．则△ABC的面积为（　　） A．24或84 B．84 C．48或84 D．48 【答案】A． 3.三角形的三条边分别为，，且满足，，则三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 4．在平面直角坐标系中有两点和，则这两点之间的距离是（　　） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 5.如图，在，，分别以，，为直径向外构造半圆，则图中三个半圆的面积，，之间的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 6．如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，则一个直角三角形的面积为（    ） A．36 B．72 C．18 D．144 【答案】C 7.如图，有一正方形花圃ABCD，其边长为8m．雯雯为了避开拐角走捷径（从点A到点D），直接从对角线AD上走出了一条“路”，却踩伤了花草，她实际上仅仅少走的路长为（　　） A．（16﹣8）m B．（16）m C．（16﹣4）m D．（8﹣8）m 【答案】A． 8.如图，，，将沿翻折，使得点C与点B重合．若，，则折痕的长为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 9.如图，将一根长为的筷子斜置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，筷子露在杯子外面的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 10.如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门口4m及4m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”，如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则该生头顶C到门铃A的距离为（　　） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 【答案】C． 二、填空题 11.如图中，于点D，若则 ． 【答案】 12．如图，在的方格中，小正方形的边长是，点、、都在格点上，则边上的高为 ． 【答案】/ 13．如图，数轴上点，对应的实数分别为1，3，线段于点，且长为1个单位长度，若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点，则点表示的实数为 ．    【答案】/ 14.如图，一根竖直的木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成30°角，则木杆折断之前高度约为 　 　m． 【答案】9． 15.如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以12海里/时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，1小时后两艘轮船相距20海里，则乙轮船每小时航行 海里． 【答案】16 16.如图，长方体的棱长为3，棱长为5，棱长为2，P为中点，一只蚂蚁从点A出发，在长方体表面沿如图所示的路径到点P处吃食物，则它爬行的最短路程是 ． 【答案】 三、解答题 17.在四边形中，已知，，，． (1)连接，试判断的形状，并说明理由； (2)求的度数． 【答案】(1)为等边三角形，理由见解析. (2)． 【详解】（1）解：是等边三角形． ，， 是等边三角形； （2）解：是等边三角形， ，， 在中，，， ， ， ． 18.如图，在单位长度为1的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点．分别按相应要求解决问题（图中给出的所有点均在格点上）． (1)在图①中画一个，使点在格点上，且； (2)在图②中画一条线段，使； (3)小星在图③中画了一个格点，猜想说明的形状并求出它的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)的形状为直角三角形，的面积为 【详解】（1）如图①中，即为所求（答案不唯一）； （2）如图②中， ∵， ∴线段即为所求（答案不唯一）； （3）如图③中， 是直角三角形，理由如下： 由勾股定理得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴的面积． 19.如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)求边的长； (2)连接，判断的形状； (3)求这块空地的面积． 【答案】(1) (2)是直角三角形 (3)这块空地的面积为 【详解】（1）解：， ． 在中， ，， ． 是的中点， ． （2）解：，是的中点， ． ，， ， ， 是直角三角形． （3）解：由（2）可知，是直角三角形，， ， 由（1）可知，， 这块空地得面积为：． 20.某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1）．如图（2），已知云梯最多只能伸长到15m（即AB＝CD＝15m），消防车高3m，救人时云梯伸长至最长，在完成从12m（即BE＝12m）高的B处救人后，还要从15m（即DE＝15m）高的D处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？（延长AC交DE于点O，AO⊥DE，点B在DE上，OE的长即为消防车的高3m）． 【答案】解：在Rt△ABO中， ∵AB＝15m，OB＝12﹣3＝9（m）， ∴（m）， 在Rt△COD中， ∵∠COD＝90°，CD＝15m，OD＝15﹣3＝12（m）， ∴（m）， ∴AC＝OA﹣OC＝3（m）， 答：AC为3m． 21.如图是一个滑梯示意图，若将滑梯BD水平放置，则刚好与DE一样长，已知滑梯的高度CE为4米，BC为1米． （1）求滑道BD的长度； （2）若把滑梯BD改成滑梯BF，使∠BFA＝60°，则求出DF的长．（精确到0.1米，参考数据：1.732） 【答案】 解：（1）由题意可得：△ABD是直角三角形，∠BAD＝90°，且BD＝DE， ∵BC＝1，CE＝4， ∴AE＝1，AB＝4， 设滑道BD的长度为x米，则DE＝x米，AD＝DE﹣AE＝（x﹣1）米， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：42+（x﹣1）2＝x2， 解得：， 答：滑道BD的长度为米； （2）∵∠BFA＝60°， ∴∠ABF＝90°﹣∠BFA＝30°， ∴BF＝2AF， 设AF＝a米，则BF＝2a米， ∴（米）， ∴， 解得：， ∴（米）， 由（1）可知，（米）， ∴（米）． 答：DF的长约为5.2米． 学科网（北京）股份有限公司 $