21.2二次函数的图象和性质课后作业2026-2027学年九年级上册数学沪科版

**基本信息** 沪科版九年级上册21.2二次函数的图象和性质同步练，通过基础巩固、能力提升、拓展探究三层设计，实现从概念理解到综合应用的递进，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|对称轴、顶点坐标等概念|直接应用公式（如单选1-3题），夯实基础| |提升层|平移规律、根的判别式等综合应用|结合图像分析（如填空15题），强化推理| |拓展层|跨知识整合（与一次函数结合）、参数讨论|设置开放设问（如解答20题拓展），发展创新意识|

2026-2027学年九上数学沪科版21.2二次函数的图象和性质课后作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．抛物线的对称轴是直线（     ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 3．当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 4．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 5．将抛物线的图象经过怎样的平移可得到抛物线的图象（     ） A．先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 B．先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 C．先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度 D．先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度 6．关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（     ） A．其图象顶点坐标为 B．随着的增大而减小 C．其图象可以看作是抛物线平移得到 D．当时，的值都大于 7．若抛物线的顶点在第一象限，则方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 8．已知抛物线过，，三点，则抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 9．已知k为任意实数，则抛物线的顶点在（     ） A．x轴上 B．y轴上 C．直线上 D．直线上 10．对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线可以由抛物线平移得到 B．抛物线的顶点坐标为 C．当时，x的取值范围是 D．当时，函数的最大值和最小值分别为和 11．若一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则抛物线的对称轴为（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 12．如图所示，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线，直线与抛物线交于、两点，点在轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 13．已知点、在二次函数的图象上，若，则___（填“”、“”或“”）． 14．已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 15．如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 16．已知二次函数的部分图象如图所示，顶点坐标为，由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是，______． 三、解答题 17．已知一个二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式． 18．已知二次函数． (1)填写表中横线处的数值： x … 0 1 2 3 … … ______ ______ ______ ______ … 根据上表，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2) (3)根据表格、图象可知，当时，y的取值范围是_______________； (4)根据图象可知，当x_______________时，y随x的增大而增大． 19．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度得到点B，点B恰好也在抛物线上． (1)求m的值． (2)将抛物线沿x轴翻折得到抛物线，求抛物线的顶点坐标． 20．点都在二次函数的图象上，且． (1)将该二次函数的表达式化为顶点式是______； (2)该二次函数的图象的对称轴为______，顶点坐标为______； (3)若该二次函数的图象经过点， ①直接写出该二次函数的表达式； ②若，则______；（填“”“”或“”） ③若，求点M的坐标； (4)若，求该二次函数的表达式； (5)【拓展设问】当且时，该二次函数的最大值与最小值的差为1，点在二次函数图象的对称轴的异侧，直接写出a的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年九上数学沪科版21.2二次函数的图象和性质课后作业》 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B C B C C D C C 题号 11 12 答案 C B 1．B 【详解】解：因为抛物线的解析式为， 所以该抛物线的对称轴为直线． 2．B 【分析】二次函数顶点式的顶点坐标为． 【详解】解：抛物线顶点坐标为． 3．B 【详解】解：将代入，得 4．C 【分析】根据顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可得到答案． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 5．B 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位长度，得到， 再向下平移4个单位长度，得到． 6．C 【分析】利用二次函数的性质结合因式分解解一元二次方程判断即可． 【详解】解：二次函数， 顶点坐标为，故选项A错误； 当时，随的增大而减小，故选项B错误； 其图象可以看作是抛物线平移得到，故选项C正确； 令，则，解得或，所以当时，的值不都大于，故选项D错误． 7．C 【分析】本题需要结合抛物线的图像与性质和一元二次方程根的判别式来分析，由题意得出抛物线顶点与轴的位置关系，即可判断方程根的情况． 【详解】解：抛物线开口向上，顶点为其最低点． 顶点在第一象限， 顶点的纵坐标大于，即抛物线的最低点在轴上方． 抛物线与轴无交点． 方程无实数根． 故选：C． 8．D 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵抛物线过点， ∴将，代入，得， ∵抛物线过点， ∴将，代入，得，即， ∵抛物线过点， ∴将，代入，得，化简得， 联立与，两式相加得，解得， 将代入，得，解得， ∴抛物线的解析式为． 9．C 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ∵点的横坐标与纵坐标相等， ∴该点在直线上． 10．C 【分析】将抛物线解析式配方化为顶点式，结合二次函数性质逐一判断各选项． 【详解】解：对抛物线解析式配方，得， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 平移不改变二次项系数的符号与大小，该抛物线二次项系数为，与的二次项系数符号不同， 说法错误，不符合题意； 顶点坐标为，与选项中不符， 说法错误，不符合题意； 令，则， 整理得， 因式分解得， 解得，． 抛物线开口向下， 当时，的取值范围是， 说法正确，符合题意； 对称轴在范围内，且抛物线开口向下， 当时，取最大值，与选项中最大值为不符， 说法错误，不符合题意． 11．C 【详解】解：∵一次函数的图象与轴的交点坐标为， ∴，即， ∴抛物线的对称轴为直线. 12．B 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象的判断．结合抛物线的开口方向、与y轴的交点位置即可判断a、c的符号，根据对称轴即可判断a、b的关系，此时即可判断①；根据当时，二次函数值取最大值，即可判断③；联立一次函数和二次函数，即可求出交点D的横坐标，根据该横坐标小于3即可判断④；根据对称性可知与时的函数值相等，再结合时函数值的符号，即可判断②． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴正半轴交于点， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，①正确； 当时， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，二次函数值取最大值， ∴，即， ∴，③正确； 对于直线，当时， 即直线与x轴交于点， 联立：，即， 解得：，即， ∵结合图象有：，， ∴，解得： ，④正确； 对于抛物线，当时，结合图象有函数值， ∵抛物线对称轴为直线， ∴与时的函数值相等， ∴当时，，②错误， 正确的有①③④． 13．< 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合比较与的大小． 【详解】二次函数 中，二次项系数，因此抛物线开口向上， 该抛物线的对称轴为直线 ， 根据二次函数的性质，当 时， 随 的增大而减小， 已知 ，所以 ． 14．> 【分析】先判断抛物线的开口方向与对称轴，再利用二次函数的增减性比较和的大小． 【详解】对于抛物线， 二次项系数， 因此抛物线开口向下，对称轴为直线， 根据二次函数的性质，当时，随的增大而减小， ， ． 15． 【分析】过A作轴于C，则当x取值在之间时，即有，则只要求出C、B两点的坐标，问题即可得到解答． 【详解】解：过A作轴于C， 令，则： 解得或， ∴， ∵，轴， ∴ ∴当时，自变量的取值范围是． 16． 【分析】由二次函数图象的顶点坐标为，可得对称轴为，所以， 然后把代入即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象的顶点坐标为， ∴对称轴为， ∴， 又∵， ∴． 17． 【分析】设出二次函数的一般式，然后将三个已知点的坐标分别代入一般式，得到关于、、的三元一次方程组，再解方程组求出、、的值，最后确定二次函数的表达式． 【详解】解：由题知，设这个二次函数的表达式为， 将，，代入，得， 解得， ∴这个二次函数的表达式为． 18．(1) 填表如下： … 0 1 2 3 … … 2 3 2 … (2)二次函数的图象如下图所示即为所求： (3) (4) 【分析】（1）根据所给表格代入相应的，求出y的值； （2）描点，连线即可； （3）根据图象，找到最高点和最低点，即可看出y的取值范围． （4）根据图象，可得函数的对称轴以及开口方向，即可看出x的取值范围． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； （2）略 （3）解：由题意可得：当时，的取值范围是. （4）解：由图可得，二次函数的对称轴为，开口向下，那么当时，随的增大而增大． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了抛物线的性质以及点的平移和翻折变换． （1）先求出点A的坐标，再根据点的平移规律得到点B的坐标，最后将点B的坐标代入抛物线的解析式中，求解m的值； （2）先将抛物线的解析式化为顶点式，得到其顶点坐标，再根据关于x轴对称的点的坐标特征求出抛物线的顶点坐标． 【详解】（1）解：对于抛物线，令， 可得， ∴点A的坐标为， ∵点A向右平移4个单位长度得到点B， ∴点B的坐标为， ∵点在抛物线上， ∴，解得． （2）解：由（1）可知，则抛物线的解析式为， 将其化为顶点式：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线是抛物线沿x轴翻折得到的， ∴抛物线的顶点坐标为． 20．(1) (2)， (3)①；②；③ (4) (5) 【分析】（1）提公因式再根据完全平方公式进行化简即可； （2）根据顶点式即可得到对称轴和顶点坐标； （3）①将代入，求出即可得到解析式； ②根据开口方向以及对称轴判断函数增减性，即可得到答案； ③由题意得到，再根据求出，将代入，得，即可得到答案； （4）根据题意求出，将分别代入，得，再根据求出，即可得到函数解析式； （5）分若和两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：； （2）解：对称轴，顶点坐标为； （3）解：①将代入， 即， 解得， 该二次函数的表达式为； ②，开口向上，对称轴， 故在时，，距离对称轴更远， 若，则； ③， 两点关于直线对称， ， ， ， 将代入，得， 点的坐标为； （4）解：， ， 将分别代入， 得， ， ， 该二次函数的表达式为； （5）解：， 二次函数的图象开口向上， 由（2）可知，二次函数图象的顶点坐标为． 又点在二次函数图象的对称轴的异侧，， 点在对称轴的左侧，点N在对称轴的右侧， 当时，函数在处取得最小值， 当时，函数的最大值与最小值的差为1， 当时，函数的最大值为0， ①若，则，即，解得， 由点在二次函数图象的对称轴的异侧，且， 可得， ， 函数的最大值为， ； ， ②若，则，即， 根据点在对称轴左侧可知， 解得． ， 函数的最大值为， ， ， 综上所述，的取值范围为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $