21.3 二次函数的图象和性质（二）（分层作业练题型）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 分层清晰，梯度合理，从二次函数基础性质到综合应用，强化抽象能力与推理意识，适配新授课巩固与中考衔接。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|二次函数最值、图象判断、符号推理等基础知识点|以选择填空为主，聚焦核心概念理解，夯实运算能力| |B组能力进阶|对称性应用、待定系数法深化、综合图象分析|增加解答题，强化知识间关联，提升逻辑推理能力| |C组思维拔高|动态问题、新定义（如“不动点函数”）、多知识点综合|引入复杂情境与分类讨论，培养创新意识与模型观念|

分层作业 21.3 二次函数的图象和性质（二） 目 录 A组 巩固过关 题型01 二次函数 y=ax²+bx+c 的最值 题型02 一次函数、二次函数图象综合判断 题型03 根据二次函数的图象判断式子符号 题型04 待定系数法求二次函数解析式 题型05 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型06 根据二次函数的对称性求函数值 题型07 利用二次函数对称性求最短路径 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )二次函数 y=ax²+bx+c 的最值 1．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）对于二次函数，下列说法正确的是（  ） A．图象开口向下 B．当时，y有最大值为2 C．对称轴是直线 D．与y轴的交点坐标为 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数（a，b，c为常数，）的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 对于二次函数，可化为顶点式再根据其性质分析即可． 【详解】解：∵二次项系数， ∴抛物线开口向上， ∴选项A不符合题意， ∵ ， ∴当时，y有最小值为2， ∴选项B不符合题意， ∵， ∴二次函数的对称轴是直线， ∴选项C符合题意， 当时， ， ∴与y轴的交点坐标为， ∴选项D不符合题意， 故选：C． 2．（24-25九年级上·河北保定·阶段检测）已知函数，当时，有最大值3，最小值2，则m的最大值与最小值的差为_________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性和增减性，以及求二次函数的最值的方法． 先将该函数的表达式化为顶点式，得出当时，y有最小值2，再把代入，求出x的值，即可求出m的取值范围，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，y有最小值2， 把代入得：， 解得：， ∵当时，有最大值3，最小值2， ∴， ∴m的最大值为2，最小值为1， ∴， ∴m的最大值与最小值的差为1． 故答案为：1． 3．（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）已知二次函数在时的最大值是t，则t的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的性质 二次函数开口向下，顶点不在内，函数在上单调递减，最大值在左端点． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线． 由于，函数开口向下，且在对称轴右侧， ∴函数在区间上单调递减， ∴当时，最大值是t，． 故答案为：4． ( 题型0 2 )一次函数、二次函数图象综合判断 4．（25-26八年级下·福建福州·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立函数得，解得或，得到二次函数与一次函数相交于点和，即可得出答案． 【详解】解：联立得：， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，当时，， ∴二次函数与一次函数相交于点和， ∴只有D选项图象符合题意． 5．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及对称轴的位置，结合图象特征进行判断；首先由两个函数解析式可知，它们与轴的交点均为，即交于轴上同一点；其次根据的符号判断抛物线的开口方向；最后根据对称轴公式判断对称轴位置． 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． 6．（23-24九年级上·云南昆明·期中）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与一次函数的图象问题，根据二次函数的图象与一次函数的图象特点逐一排除即可，掌握二次函数的图象与一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 故选：． ( 题型0 3 )根据二次函数的图象判断式子符号 7．（2026·安徽芜湖·三模）已知二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题干分析出、、的符号，再判断各选项即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于负半轴， ∴， ∴，故A错误； 对于B与D，由已知条件无法判断代数式的符号； ∵，， ∴，故C正确． 8．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象，判断出、、的关系与符号，逐项验证即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，，故B正确， ∵二次函数的图象与轴交于正半轴， ∴， ∴，故A正确 ∵， ∴，故C正确， ∵图象过点， ∴， ∴， ∴，故D错误． 9．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，已知抛物线图象的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示．下列命题中：①②；③对于任意实数m，都有；④点，点是抛物线上的两个点，若且，则真命题的序号有_______ 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，根据二次函数的性质可得，可判断结论①和结论②；由时，函数值最大可判断结论③；根据得到点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离可判断结论④． 【详解】解：∵二次函数开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，，故①正确，②错误； ∵二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴当时，二次函数有最大值，最大值为， ∴不论取何值，都有， ∴，故③正确； ∵对称轴是直线，且， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离 ∵二次函数开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， ∴，故④正确． 综上所述，正确的选项是①③④． 故答案为：①③④． ( 题型0 4 )待定系数法求二次函数解析式 10．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期中）已知抛物线与抛物线的形状、开口方向相同，且该抛物线最高点的函数值为1，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，解题关键在于用待定系数法列方程来求解．根据两抛物线的形状、开口方向相同可知，a相同，求出a，再根据顶点坐标即可求出m． 【详解】解：抛物线与抛物线的形状、开口方向相同， ， ， 该抛物线最高点的函数值为1， ， 解得：， 抛物线的解析式为， 故选：． 11．（22-23九年级上·山西大同·阶段检测）如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据顶点坐标，利用待定系数法求解． 【详解】解：由顶点坐标可设二次函数表达式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴该二次函数的表达式是． 12．（2025·上海杨浦·一模）已知抛物线经过 (1)求抛物线的解析式； (2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点，那么平移的方法是_____． 【答案】(1) (2)向右平移个单位，再向上平移个单位 【分析】本题考查求二次函数的解析式，二次函数图象的平移，熟练掌握待定系数法求函数解析式，以及平移规则是解题的关键： （1）待定系数法求函数解析式，即可； （2）求出原抛物线的顶点坐标，进行判断即可． 【详解】（1）解：把代入得： ，解得， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵平移后的顶点移动到点，，； 故平移的方法是先向右平移个单位，再向上平移个单位． ( 题型0 5 )已知抛物线上对称的两点求对称轴 13．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段检测）若拋物线经过，则以下结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质是解答本题的关键． 根据题意可知抛物线对称轴为直线，则有点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为：，然后根据二次函数性质：当抛物线开口向下时，离对称轴越远，对应点的函数值越小，进行分析判断即可． 【详解】解： 抛物线经过，， 抛物线对称轴为直线， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为：， 抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小， A、若， ，∴，故选项A结论不正确，不符合题意； 、若，，∴，故选项B结论正确，符合题意； 、若， ，∴，故选项C结论不正确，不符合题意； 、若， ，∴，故选项D结论不正确，不符合题意； 故选：B． 14．（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线的对称轴为直线（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查一元二次方程与函数图象的关系、利用二次函数图象的对称性求对称轴，理解一元二次方程的解与函数图象的关系是解题的关键． 根据题意，得到抛物线与轴的两个交点坐标，再根据对称性即可得到对称轴． 【详解】的两个实数根分别为，， 抛物线与x轴的两个交点坐标为，， 抛物线的对称轴为直线． 故选：A． 15．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）在平面直角坐标系中，，是抛物线（）上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．当，时，，则______． 【答案】1 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．因为当，时，，所以将，代入解析式得，化简求得，进而对称轴可求，题目可解． 【详解】解：对于，，有， ， ， ， 对称轴为， ． 故答案为：1． ( 题型0 6 )根据二次函数的对称性求函数值 16．（2025九年级·全国·专题练习）若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的对称性，熟练求得二次函数的对称轴是解题的关键． 二次函数 （）的图象关于y轴对称，点 在图象上，则对称点 也必在图象上． 【详解】∵ 点 在函数 （）的图象上， ∴ ． 对于点 ，当 时，， ∴ 点 也在图象上． 故选：B． 17．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）已知点，，都在函数的图象上，则、、的大小关系是___________． 【答案】/ 【分析】根据函数表达式可知抛物线开口向下，对称轴，在对称轴处，函数取得最大值，分别计算点、点、点横坐标到对称轴距离进行比较即可． 【详解】解：由函数表达式可知，函数图象为抛物线，抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随着增大而增大，当时，随着增大而减小，在对称轴处，函数取得最大值， ∴距离对称轴越近的点，函数值越大，距离对称轴越远的点，函数值越小， 分别计算，点，三点的横坐标到对称轴的距离： 点的横坐标为，到对称轴的距离为， 点的横坐标为 ，到对称轴的距离为， 点的横坐标为 ，到对称轴的距离为， ∴． 18．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）嘉嘉在画二次函数的图象时，将与的对应值列表如下，其中，是常数，则__________． … 0 1 … … 7 7 … 【答案】3 【分析】本题考查二次函数的对称性．根据图表求出函数对称轴直线，再根据图表信息得到点和点、点和点都关于直线对称，据此求解即可． 【详解】解：，的函数值都是7， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴点和点关于直线对称， 点和点关于直线对称， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：3． ( 题型0 7 )利用二次函数对称性求最短路径 19．（2026·广西贺州·二模）如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据对称轴和点的坐标求出抛物线解析式，进而求出点和抛物线与轴另一交点的坐标；利用抛物线的对称性可知，将转化为，根据两点之间线段最短可知当、、三点共线时，最小，最小值为的长，利用勾股定理求解即可． 【详解】抛物线交轴于点，对称轴是直线， ， 解得， 抛物线解析式为， 令，得， ， 根据对称性可得，抛物线与轴另一交点为， 如图所示，连接， 点与点关于对称轴对称，点在对称轴上， ， ， 根据两点之间线段最短，当、、三点共线时，最小，最小值为线段的长， 在中，，， ， 的最小值为． 20．（2025九年级·全国·专题练习）如图，已知抛物线上有A，B两点，其横坐标分别为，，在轴上有一动点，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】找出点关于轴的对称点，连接与轴相交于点，根据轴对称确定最短路径问题，再根据抛物线解析式求出点、的坐标，利用勾股定理列式计算即可． 【详解】解：如图，点关于轴的对称点的横坐标为1， 连接与轴相交于点，此时最短． 当时，，当时，， 点的坐标为，点的坐标为． 由勾股定理，得， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路径问题、二次函数的性质，熟记确定最短路径的方法和二次函数的性质是解题关键． 21．（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），则的最小值是_____ ．    【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，平行四边形的性质与判定，已知两点坐标求两点距离等等，正确作出辅助线是解题的关键． 先求出点的坐标，求出求出点的坐标即可求出抛物线解析式，从而求出点的坐标，取，连接，，，可证四边形是平行四边形，得到，则四边形的周长，再由点，关于直线对称，得到，则，故当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小，据此求解即可． 【详解】解：点是抛物线与轴交点， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， ， 抛物线解析式为， 抛物线对称轴为直线， 令，则， 解得或， 点的坐标为， 取，连接，，，   ， 又， 四边形是平行四边形， ， 点，关于直线对称， ， ， 当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小， ， 四边形的最小值为． 故答案为：． 一、单选题 1．（26-27九年级·上海·暑假作业）当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将代入，得 2．（2026·广东·二模）已知二次函数的图象如图所示，图象与轴交点的横坐标从左到右依次为，，如果时，＜，则当时，函数值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据二次函数解析式求出对称轴为直线，并计算出当时．根据抛物线的对称性可知当时．结合图象可知，当时，的取值范围在和之间，从而确定的取值范围．进而得出的取值范围，最后利用二次函数的增减性判断的值与的大小关系． 【详解】解：二次函数解析式为 对称轴为直线 当时， 抛物线关于直线对称 当时， 由图象可知，当时，图象在轴下方，对应的值在和之间 图象与轴交点为，且开口向上 当时， 抛物线开口向上，对称轴为直线 当时，随的增大而减小 当时的函数值大于当时的函数值，即． 3．（2026·四川成都·模拟预测）如图，二次函数（）的图象与轴交于点，对称轴为直线，下列结论中错误的是（     ） A． B．当时，随的增大而增大 C．二次函数图形与轴的另一个交点的横坐标为 D． 【答案】D 【分析】根据开口向上，可得，根据对称轴计算公式可得，根据抛物线与y轴的交点位置可得，据此可判断A，B；根据对称性可得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，则当时，，据此可判断C，D． 【详解】解：函数图象开口方向向上，与轴交于负半轴， ，， 对称轴为直线， ∴，当时，y随x的增大而增大；故B正确， ∴， ∴，故A正确， 二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为， 即二次函数图形与x轴的另一个交点的横坐标为，故C正确， ∴由函数图象可知，当时，， ∴，故D错误． 4．（2026·宁夏固原·三模）已知二次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则一次函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数开口及顶点判断，的正负，根据反比例函数图象所在象限判断的正负，结合一次函数图象性质即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下， ∴， ∵二次函数图象与y轴交于正半轴， ∴ ∵反比例函数图象在第二，四象限， ∴， 一次函数过一、二、四象限． 5．（2026·陕西西安·模拟预测）已知关于x的二次函数，当时，该二次函数有最大值．若该函数图象经过两点，且，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出二次函数的对称轴，根据函数在取最大值判断开口方向，再比较两点到对称轴的距离，开口向下的二次函数，点离对称轴越远函数值越小，据此比较和的大小． 【详解】解：二次函数为 对称轴为 时二次函数有最大值 抛物线开口向下，即对于开口向下的二次函数，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小 到对称轴的距离为，到对称轴的距离为 ，即点到对称轴的距离更远 二、填空题 6．（24-25九年级上·云南昭通·阶段检测）已知二次函数图象经过点和，那么该二次函数图象的对称轴是直线________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的对称性，根据函数值相同的两个点关于对称轴对称，进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数图象经过点和， ∴抛物线的对称轴为直线； 故答案为：． 7．（26-27九年级·浙江·暑假作业）抛物线经过点，则________． 【答案】/ 【分析】将已知点的坐标代入抛物线解析式，通过整理变形即可求出所求代数式的值． 【详解】解：把点代入得： ， 整理得， 移项得， 等式两边同时除以，得． 8．（2026·广东珠海·三模）二次函数的最小值为，当时，随增大而增大，请写出一个满足条件的二次函数解析式_________（请写顶点式）． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，确定顶点式中各参数的取值范围，再选取符合条件的参数得到解析式． 【详解】解： 有最小值， 因此对于，可得，顶点纵坐标； 当 时 随增大而增大，开口向上的二次函数，对称轴右侧随增大而增大， 因此对称轴； 取，，得二次函数解析式为（答案不唯一）． 9．（2026·上海·模拟预测）若抛物线的顶点在直线上，且位于第二象限，则的值为__________． 【答案】 【分析】 先求出抛物线的顶点坐标，将顶点坐标代入直线方程得到关于的一元二次方程，求解后根据第二象限点的坐标特征筛选出符合条件的的值即可； 【详解】解：， 顶点坐标为， 抛物线顶点在直线上， ， 整理得， 则， ， 解得：，， 顶点在第二象限，第二象限内点的横坐标小于，纵坐标大于， 当时，顶点横坐标为，不符合要求，舍去； 当时，顶点横坐标为，纵坐标为，符合要求； 故的值为． 10．（2023九年级·山东枣庄·专题练习）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点、点、点在该函数图象上，则；（5）（为常数）．其中正确的结论有______个 【答案】 【分析】根据抛物线的开口方向、与轴交点的位置、对称轴，可知、、，可得：；由函数图象可知当时，，所以可得：；由抛物线经过点，因为抛物线的对称轴是，可知，可得：，所以；根据二次函数的对称性可知点关于的对称点为，根据二次函数的性质可知；根据抛物线的对称轴为直线，可得：，所以成立． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 二次函数的图象与轴的交点在轴的正半轴， 对称轴为直线， ， ， ， 故（1）正确； 由二次函数的图象可知，当时，， ， ， 故（2）错误； ， ， 图象过点， ， ， ， 故（3）正确； 点关于的对称点为，， ， 故（4）错误； 抛物线的对称轴为直线， 二次函数的最大值为， 当时， 可得：， ， 故（5）正确； 综上所述，正确的结论有个． 三、解答题 11．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点，点B的坐标为，若点在抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)通过配方，求此抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2)抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求抛物线的对称轴与顶点坐标，求出解析式是关键． （1）把点及点坐标代入，解方程组即可； （2）配方后化为顶点式，则可求得抛物线的对称轴与顶点坐标． 【详解】（1）解：由题意，把点及点坐标代入， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：配方得：， 故抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 12．（25-26九年级下·全国·课后作业）已知二次函数． (1)求出函数顶点坐标； (2)当时，随的增大而_____________（填“增大”或“减小”）； (3)当时，的取值范围为_____________． 【答案】(1) (2)增大 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）将一般式化为顶点式，即可得出结果； （2）根据二次函数的增减性进行判断即可； （3）根据二次函数的增减性求出函数值的范围即可． 【详解】（1）解：， ∴顶点坐标为； （2）解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大； （3）解：由（2）可知，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当时，函数有最小值为， ∵， ∴当时，值最大，为；当时，函数有最小值为， ∴． 13．（2026·安徽合肥·二模）抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为1． (1)求n的值． (2)已知为抛物线上一点，为抛物线上一点． （i）若仅存在一个实数s，使得，求当时，p的值； （ii）若，且，求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）的值为或；（ii） 【分析】（1）分别求出抛物线与抛物线的顶点坐标，建立关于n的方程求解即可； （2）（i）由（1）得，根据题意得到，即，由仅存在一个实数，使得，则关于的一元二次方程，有两个相等的实数根，求出，进而根据，即可得出的值； （ii）根据题意求出，由，得到，求出，根据二次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴抛物线顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为1， ∴，即； （2）解：（i）由（1）知， ∴抛物线， ∵为抛物线上一点， ∴， ∵，即， ∴，即， ∵仅存在一个实数，使得， ∴关于的一元二次方程，有两个相等的根， ∴，即， 解得：， ∵在上， ∴， 代入， 整理得： 解得：或 当时，； 当时，或． 综上，的值为或． （ii）∵，即，代入得 整理因式分解得： ， ， 故，即． 代入得：． ∴，代入 ∴ ∴当时，最小值为​． 14．（2026·云南昆明·二模）已知抛物线，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，记． (1)求的值； (2)若点在该抛物线上，当时，函数的最大值与最小值之差为，求的值． 【答案】(1)2 (2)或 【分析】（1）抛物线对称轴，代入，对称轴可得，； （2）由（1）得抛物线解析式为，代入得，故，，分三种情况讨论：①，②，③，分别分析各个情况的最大值最小值，代入条件求t的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，对称轴是直线，， ∴， ∴； （2）解：由（1）得抛物线的解析式为， ∵点在该抛物线上，， ∴， ∴，即，，， ∴， ∴， ∴， ， 该抛物线的顶点坐标为， 分三种情况讨论： ①当，即时， 当时，函数值最大：， 当时，函数值最小：， ∵函数的最大值与最小值之差为，即， ∴，解得：，符合； ②当，即时， 函数最小值为顶点纵坐标， ， 最大值最大能在或时取得， 当时，，当时，， 最大值减最小值最大只能为，不可能等于6， 故t不可能取到； ③当时， 当时，函数值最大， 当，函数值最小， ∴，解得：，符合； 综上所述：或． 15．（2026·河南平顶山·三模）定义：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． (1)对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且只有一个不动点； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是___________（填写正确结论的序号）． 该兴趣小组继续对二次函数进行探究，并设计了以下问题，请你解答． (2)若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． (3)在（2）的条件下，当时，对应函数的最大值与最小值的差为5，请求出b，c的值． 【答案】(1)②③ (2) (3)b，c的值分别为，或， 【分析】（1）根据新定义逐一进行判断即可； （2）一般式化为顶点式，求出顶点坐标，根据新定义即可得出对应的关系式； （3）分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：①当时，，故不是“不动点函数”； ②把点代入，得，解得， ∴是“不动点函数”，且只有一个不动点； ③对于任意一个的值，点都在直线上，故是“不动点函数”，且有无数个不动点． 综上：正确的是②③； （2）解：∵， ∴顶点坐标为， ∵抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴，即． （3）解：由（2），得． ∴函数图象为开口向上的抛物线，顶点坐标为． 分以下三种情况讨论： ①当时，由二次函数的性质，可知当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值，；当时，y有最大值，． ∴，解得． ∵， ∴符合题意． 将代入，得． ∴，． ②当时，由二次函数的性质，可知当时，y随x的增大而减小． ∴当时，y有最大值，；当时，y有最小值，． ∴，解得， ∵， ∴符合题意， 将代入，得， ∴，． ③当时，函数在时取最小值，． Ⅰ．当时，函数在时取最大值，． ∴，即，解得． ∵， ∴不符合题意． Ⅱ．当时，函数在时取最大值，， ∴，即，解得． ∵， ∴不符合题意， 综上所述，b，c的值分别为，或，． 一、单选题 1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知抛物线经过四个不同的点，，，D，若，则的值为(   ) A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】先根据二次函数上两点纵坐标相等的性质，得到和的关系式，排除点重合的情况后，将用，表示，代入即可求值． 【详解】解：∵抛物线上，点和满足， 若，则横坐标相同，为同一个点，不符合四个不同点的条件，舍去； 若，抛物线的对称轴为 ∴ ∴ ∵，在抛物线上 ∴， ∴ 将代入得． 2．（2026·福建泉州·模拟预测）抛物线经过四点：，，，，其中，则下列选项中，值不变的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称的性质，先求出抛物线对称轴，再得到与的关系，最后判断各选项即可． 【详解】解：∵抛物线经过点和，两点纵坐标相等 ∴抛物线对称轴为直线， ∵点和点在抛物线上，且到对称轴的距离相等， ∴两点关于抛物线对称轴对称， ∴两点纵坐标相等，即，得， 依次判断选项：A、，值随变化，不是定值，不符合题意； B、，值随变化，不是定值，不符合题意； C、，值恒为，是定值，符合题意； D、，值随变化，不是定值，不符合题意． 3．（2026·河南三门峡·三模）若点在二次函数的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在二次函数的图象上，点到轴的距离小于，可得：，进一步可得的取值范围． 【详解】解：∵， ∴该二次函数的图象开口向上，顶点为． ∵点P到y轴的距离小于2， ∴． 当时，； 当时，； 当时，． ∴n的取值范围是． 4．（2026·安徽·模拟预测）若，已知一次函数的图象经过和两点，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一次函数的图象经过和两点， ∴，消去得， ∵， ∴当，即；或当时，， 当时，； 当时，； 抛物线的对称轴为直线， 当，时，对称轴为直线， 当，时，对称轴为直线， 当时，只有选项C符合抛物线与轴交点在原点下方，且开口向下，则，，与对称轴在原点右侧相矛盾，不符合题意； 当时，开口向下，排除选项B； 对于选项A，由图象知，∴，符合题意； 对于选项C，由图象知，∴，与对称轴在原点右侧相矛盾，不符合题意； 对于选项D，由图象知，∴，与对称轴在原点左侧相矛盾，不符合题意； 综上，只有选项A符合题意． 5．（2026·四川眉山·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由题意可知抛物线开口向上，结合对称轴及点 坐标可得 ，利用的范围求的范围，利用顶点纵坐标为最小值判断不等式及方程根的情况． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上， ， 对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ， 故①错误； ∵抛物线过点 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故②正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时， 有最小值 ， ∴对于任意实数，都有 ， ∴ ，即 ， 故③正确； 抛物线顶点坐标为 ，且开口向上， ∴ 的最小值为， ∴直线 与抛物线 没有交点， ∴关于的方程 没有实数根， 故④错误． 综上所述，正确的结论有②，共2个． 二、填空题 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）写出一个图像过点且其对称轴右侧y 的值随着x 值增大而减小的二次函数表达式______ 【答案】（答案不唯一） 【分析】该题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数解析式，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意设二次函数为，根据题意得出，，取值即可解答． 【详解】解：设二次函数为， ∵对称轴右侧y 的值随着x 值增大而减小， ∴， ∵图像过点， ∴， 取， 则二次函数为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 7．（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移后得到抛物线，则抛物线的表达式为________． 【答案】 【分析】本题考查的是抛物线的平移的性质，熟记抛物线的平移的性质是解本题的关键． 由平移的性质可得二次项的系数为，再结合平移后的抛物线的顶点坐标可得答案． 【详解】解：∵抛物线经过平移后得到抛物线，而的顶点坐标为：， ∴，即； 故答案为：． 8．（2026·宁夏银川·二模）若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线向右平移m（）个单位长度后得到新的抛物线，若为“平衡点”，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据平移方式“左加右减”可得出抛物线的解析式，再根据点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，即将点代入两个解析式求值即可． 【详解】解：依题意得抛物线为：， ∵为“平衡点”， ∴既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上， ， 解得或， ， ． 9．（2026·江苏泰州·二模）已知二次函数图像经过，则______． 【答案】2026 【分析】将已知点的坐标代入二次函数解析式，得到与的关系式，再将所求代数式变形，整体代入计算即可． 【详解】解：将点代入，得 ， 整理得，即， ∴． 10．（2026·江苏南京·三模）二次函数过点，，则m的取值范围为____________． 【答案】 【分析】将已知两点坐标代入二次函数解析式，联立得到方程组，用表示出二次项系数，再根据的条件解一元一次不等式，即可得到的取值范围． 【详解】解：将点，代入得， 整理得， 由得， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题 11．（2026·新疆吐鲁番·二模）在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）． (1)若函数图象经过点，求该函数图象的顶点坐标； (2)若点，在该函数图象上，且，求的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为 (2)或 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，把解析式整理成顶点坐标式，即可得到抛物线的顶点坐标； （2）由二次函数的图象的对称性和增减性可知，两点离对称轴的距离满足，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：函数图象经过点， ， ， ， 该函数图象的顶点坐标为； （2）解：， 对称轴为直线， 点，在该函数图象上，且， ， 即， 解得：或， 即的取值范围为或． 12．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为1． (1)求直线l的表达式； (2)点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出，，设：，将，代入求解即可； （2）设，，求出的函数解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：令，， 解得，， ， 将代入得， ， 设：， 将，代入， 解得， ：； （2）解：设，， ， ∴当时，有最大值． 13．（25-26八年级下·北京·期末）已知：二次函数，y与x的一些对应值如表： x … 0 1 2 4 … … m 3 n 3 … (1)根据表格中的数据，确定二次函数解析式为 ； (2)表格中空白处的值 ， ； (3)用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数的图象，并回答：顶点坐标为 ，对称轴方程为 ； (4)当时，，则t的取值范围为 ． 【答案】(1) (2)8；0 (3)图象如图所示： ； (4) 【分析】（1）运用待定系数法求解二次函数的解析式，即可作答． （2）理解题意，把，分别代入，求出的值； （3）用五点作图法即可，再化为顶点式，即可作答． （4）运用数形结合思想进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把分别代入， 得， 解得， ∴． （2）解：依题意，把代入， 得，即； 把代入， 得，即； （3）解：图略， ∴顶点坐标为，对称轴方程为． （4）解：观察（3）的函数图象： 当时，则 ∵当时，， ∴结合函数图象，得 14．（2026·安徽合肥·三模）已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，直线经过点． (1)求，两点的坐标； (2)当时，直线与抛物线的对称轴交于点． ①若点向上平移2个单位就与点重合，求的值； ②若点在第二象限并且在点的上方，记，求的最大值． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）由题意得，则，，令，解方程即可； （2）①根据直线经过点，得，进而求得点，点，根据点D向上平移2个单位就与点E重合，得，解方程即可； ②用关于k的代数式表示出l，再利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴， ∴， ∴， 当时，得：，即， 解得，， ∵抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧）， ∴，； （2）解：①∵直线经过点，将点B的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， ∴点， 把代入得：， ∴点， ∵点D向上平移2个单位就与点E重合， ∴， 解得或（，不合题意，舍去）， ∴； ②∵，，点E在点D的上方， ∴， ∵点在第二象限， ∴， 解得， ∵与y轴交于点，即， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，l的最大值是． 15．（2026·山东淄博·二模）如图，抛物线（）与轴交于点，，与轴交于点． (1)求此抛物线的表达式； (2)如图1，点是此抛物线上第一象限内的一点，过点作轴的垂线交于点，当时，求点的坐标； (3)如图2，点是轴负半轴一点，，点在此抛物线上，其横坐标为1，连接，，若点，分别为线段，上的动点，且保持，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入函数表达式求解即可； （2）根据以及可得，结合的正切值求解即可； （3）添加辅助线，先求解点与点的坐标，再由勾股定理的逆定理得到，利用边角边的方法证明与全等，由此可得，即当点，点，点三点共线时，最小，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线（）与轴交于点． ∴，解得， ∴抛物线为， 即此抛物线的表达式为； （2）解：∵点是此抛物线上第一象限内的一点， 设点，其中， ∵，且， ∴， ∵抛物线与轴交于点，， ∴点，点， ∴，， 在中，， 记的延长线与轴的交点为点，如图， ∵轴，即， ∴， 在中，， 则有， 整理可得， 解得或（舍）， ∴点的坐标为； （3）解：过点作，并截取，连接， 过点作轴于点，过点作轴于点，如图， ∵点是轴负半轴一点，， ∴点，即， 在中，， ∵点在此抛物线上，其横坐标为1， ∴点的纵坐标为， ∴点， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴，， 在中，， 在中，， ∵在中，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即当点，点，点三点共线时，最小， ∵，， 又∵， 在中，， ∴的最小值为． 1．（2024·山东东营·中考真题）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．(为任意实数) 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键； 由图象可知：，，根据抛物线的与x轴的交点可求对称轴，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断选项A、B、C，由当时，函数有最大值，可判断选项D． 【详解】解：A、抛物线开口往下， ， 抛物线与y轴交于正半轴， 抛物线的与x轴的交点是：和 ∴对称轴为， ， ， ，故选项A错误． ∵， ∴，故选项B错误（否则可得，不合题意）． ，， ∴，故选项C错误． 抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 当时，函数值最大为， 当时，， ， ，故选项D正确． 故选：D． 2．（2024·四川乐山·中考真题）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A． (1)若，求抛物线的顶点坐标； (2)若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围； (3)若抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的特征．数形结合解题是解题的关键． （1）把代入后再将抛物线化成顶点式为，即可求顶点坐标； （2）根据整点个数的范围确定点A纵坐标的范围； （3）结合图象确定有4个“完美点”时a的最大和最小值，进而确定a的范围． 【详解】（1）解：当时，抛物线． ∴顶点坐标． （2）令，则， ∴， ∵线段上的“完美点”的个数大于3个且小于6个， ∴“完美点”的个数为4个或5个． ∵， ∴当“完美点”个数为4个时，分别为，，，； 当“完美点”个数为5个时，分别为，，，，． ∴． ∴a的取值范围是． （3）根据， 得抛物线的顶点坐标为，过点，，． ∵抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”， 显然，“完美点”，，符合题意． 下面讨论抛物线经过，的两种情况： ①当抛物线经过时，解得此时，，，． 如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，共4个． ②当抛物线经过时，解得此时，，，． 如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，，，共6个． ∴a的取值范围是． 3．（2026·湖北·中考真题）抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点在直线上，设点的横坐标为． (1)求的值； (2)如图1，点是抛物线上位于第四象限的点，平行于轴．当时，求点的坐标； (3)点在直线上且位于点的右上方，．过点，分别作轴和轴的垂线，四条垂线围成四边形．若四边形的边与抛物线有两个交点，，记，的纵坐标之和为． ①当点在线段上时，求关于的函数解析式； ②当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)①；②，， 【分析】（1）把点代入抛物线表达式中可解出的值； （2）由（1）求出点和点的坐标，从而求出直线的表达式，得出当时，点的坐标，由平行关系和抛物线表达式可推出点的坐标； （3）利用结合点在直线上且位于点的右上方用表示出点的坐标，从而可得到四边形是边长为的正方形，接着可表示出点和点的运动轨迹，求出当四边形的边与抛物线有两个交点，时，的取值范围；①分情况讨论当点在线段上时，的不同取值范围分别对应的点和点纵坐标，计算它们的纵坐标之和即可得到关于的函数解析式；②在①的基础上分情况讨论剩余的不同取值范围分别对应的点和点纵坐标，计算它们的纵坐标之和即可得到关于的函数解析式． 【详解】（1）解：把点代入抛物线得， 解得，； （2）解：由（1）得， 令得， 因式分解得， 解得或， 令得， ，， 设直线的表达式为， 把，代入得，解得， 直线的表达式为， 当时，， 当时，， 平行于轴， 的纵坐标为， 点是抛物线上位于第四象限的点， 又，化简得，， 解得， ； （3）解：由（2）知直线的表达式为， ， 设点的坐标为， ， ， 化简得， 解得， 点在直线上且位于点的右上方， ， ，即， ， 四边形是边长为的正方形， 如图，当沿移动时，点沿移动，点沿移动， 上图中点和点重合， ， ， ，，，， 当时，， 点在抛物线上， 设直线的表达式为， 把，代入得，解得， 直线的表达式为， 设直线的表达式为， 把，，代入得，解得， 直线的表达式为， 点在直线上运动，点在直线上运动， 如图， 令，化简得，，解得， 令，化简得，因式分解得，解得或， 点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为， 当四边形的边与抛物线有两个交点，时，， ①当点在线段上时，， 点从点往点运动的过程中，当时，即点在线段上时，如图，此时点的纵坐标为点的纵坐标，点的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标， ， 点从点往点运动的过程中，当时，即点在线段右上方时，如图，此时点的纵坐标为点的纵坐标，点的纵坐标为点纵坐标， ， 综上所述，当点在线段上时，； ②当时，如图，点的纵坐标为点的纵坐标，点的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标， ， 当时，如图，点的纵坐标为点的纵坐标，点的纵坐标为点的纵坐标， ， 当时，如图，点的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标，点的纵坐标为点的纵坐标， ， 当时，如图，点的纵坐标为点横坐标在抛物线上对应的纵坐标，点的纵坐标为点的纵坐标， ， 综上所述，， 当时，分情况讨论： 当时，，化简得，，解得不符合，舍去； 当时，，解得符合； 当时，，化简得，，解得，符合，不符合，舍去； 当时，，化简得，，解得，符合，不符合，舍去； 当时，，解得不符合，舍去； 当时，，化简得，，无解； 综上所述，当时，的值为或或． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 21.3 二次函数的图象和性质（二） 目 录 A组 巩固过关 题型01 二次函数 y=ax²+bx+c 的最值 题型02 一次函数、二次函数图象综合判断 题型03 根据二次函数的图象判断式子符号 题型04 待定系数法求二次函数解析式 题型05 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型06 根据二次函数的对称性求函数值 题型07 利用二次函数对称性求最短路径 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )二次函数 y=ax²+bx+c 的最值 1．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）对于二次函数，下列说法正确的是（  ） A．图象开口向下 B．当时，y有最大值为2 C．对称轴是直线 D．与y轴的交点坐标为 2．（24-25九年级上·河北保定·阶段检测）已知函数，当时，有最大值3，最小值2，则m的最大值与最小值的差为_________． 3．（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）已知二次函数在时的最大值是t，则t的值为______． ( 题型0 2 )一次函数、二次函数图象综合判断 4．（25-26八年级下·福建福州·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·云南昆明·期中）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． ( 题型0 3 )根据二次函数的图象判断式子符号 7．（2026·安徽芜湖·三模）已知二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，已知抛物线图象的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示．下列命题中：①②；③对于任意实数m，都有；④点，点是抛物线上的两个点，若且，则真命题的序号有_______ ( 题型0 4 )待定系数法求二次函数解析式 10．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期中）已知抛物线与抛物线的形状、开口方向相同，且该抛物线最高点的函数值为1，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 11．（22-23九年级上·山西大同·阶段检测）如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 12．（2025·上海杨浦·一模）已知抛物线经过 (1)求抛物线的解析式； (2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点，那么平移的方法是_____． ( 题型0 5 )已知抛物线上对称的两点求对称轴 13．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段检测）若拋物线经过，则以下结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14．（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线的对称轴为直线（    ） A． B． C． D． 15．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）在平面直角坐标系中，，是抛物线（）上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．当，时，，则______． ( 题型0 6 )根据二次函数的对称性求函数值 16．（2025九年级·全国·专题练习）若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（   ） A． B． C． D． 17．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）已知点，，都在函数的图象上，则、、的大小关系是___________． 18．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）嘉嘉在画二次函数的图象时，将与的对应值列表如下，其中，是常数，则__________． … 0 1 … … 7 7 … ( 题型0 7 )利用二次函数对称性求最短路径 19．（2026·广西贺州·二模）如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 20．（2025九年级·全国·专题练习）如图，已知抛物线上有A，B两点，其横坐标分别为，，在轴上有一动点，则的最小值为___________． 21．（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），则的最小值是_____ ．    一、单选题 1．（26-27九年级·上海·暑假作业）当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·广东·二模）已知二次函数的图象如图所示，图象与轴交点的横坐标从左到右依次为，，如果时，＜，则当时，函数值（    ） A． B． C． D． 3．（2026·四川成都·模拟预测）如图，二次函数（）的图象与轴交于点，对称轴为直线，下列结论中错误的是（     ） A． B．当时，随的增大而增大 C．二次函数图形与轴的另一个交点的横坐标为 D． 4．（2026·宁夏固原·三模）已知二次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则一次函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西西安·模拟预测）已知关于x的二次函数，当时，该二次函数有最大值．若该函数图象经过两点，且，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·云南昭通·阶段检测）已知二次函数图象经过点和，那么该二次函数图象的对称轴是直线________． 7．（26-27九年级·浙江·暑假作业）抛物线经过点，则________． 8．（2026·广东珠海·三模）二次函数的最小值为，当时，随增大而增大，请写出一个满足条件的二次函数解析式_________（请写顶点式）． 9．（2026·上海·模拟预测）若抛物线的顶点在直线上，且位于第二象限，则的值为__________． 10．（2023九年级·山东枣庄·专题练习）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点、点、点在该函数图象上，则；（5）（为常数）．其中正确的结论有______个 三、解答题 11．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点，点B的坐标为，若点在抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)通过配方，求此抛物线的对称轴和顶点坐标． 12．（25-26九年级下·全国·课后作业）已知二次函数． (1)求出函数顶点坐标； (2)当时，随的增大而_____________（填“增大”或“减小”）； (3)当时，的取值范围为_____________． 13．（2026·安徽合肥·二模）抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为1． (1)求n的值． (2)已知为抛物线上一点，为抛物线上一点． （i）若仅存在一个实数s，使得，求当时，p的值； （ii）若，且，求的最小值． 14．（2026·云南昆明·二模）已知抛物线，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，记． (1)求的值； (2)若点在该抛物线上，当时，函数的最大值与最小值之差为，求的值． 15．（2026·河南平顶山·三模）定义：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． (1)对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且只有一个不动点； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是___________（填写正确结论的序号）． 该兴趣小组继续对二次函数进行探究，并设计了以下问题，请你解答． (2)若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． (3)在（2）的条件下，当时，对应函数的最大值与最小值的差为5，请求出b，c的值． 一、单选题 1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知抛物线经过四个不同的点，，，D，若，则的值为(   ) A．6 B．8 C．10 D．12 2．（2026·福建泉州·模拟预测）抛物线经过四点：，，，，其中，则下列选项中，值不变的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·河南三门峡·三模）若点在二次函数的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽·模拟预测）若，已知一次函数的图象经过和两点，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·四川眉山·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）写出一个图像过点且其对称轴右侧y 的值随着x 值增大而减小的二次函数表达式______ 7．（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移后得到抛物线，则抛物线的表达式为________． 8．（2026·宁夏银川·二模）若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线向右平移m（）个单位长度后得到新的抛物线，若为“平衡点”，则m的值为______． 9．（2026·江苏泰州·二模）已知二次函数图像经过，则______． 10．（2026·江苏南京·三模）二次函数过点，，则m的取值范围为____________． 三、解答题 11．（2026·新疆吐鲁番·二模）在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）． (1)若函数图象经过点，求该函数图象的顶点坐标； (2)若点，在该函数图象上，且，求的取值范围． 12．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为1． (1)求直线l的表达式； (2)点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的最大值． 13．（25-26八年级下·北京·期末）已知：二次函数，y与x的一些对应值如表： x … 0 1 2 4 … … m 3 n 3 … (1)根据表格中的数据，确定二次函数解析式为 ； (2)表格中空白处的值 ， ； (3)用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数的图象，并回答：顶点坐标为 ，对称轴方程为 ； (4)当时，，则t的取值范围为 ． 14．（2026·安徽合肥·三模）已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，直线经过点． (1)求，两点的坐标； (2)当时，直线与抛物线的对称轴交于点． ①若点向上平移2个单位就与点重合，求的值； ②若点在第二象限并且在点的上方，记，求的最大值． 15．（2026·山东淄博·二模）如图，抛物线（）与轴交于点，，与轴交于点． (1)求此抛物线的表达式； (2)如图1，点是此抛物线上第一象限内的一点，过点作轴的垂线交于点，当时，求点的坐标； (3)如图2，点是轴负半轴一点，，点在此抛物线上，其横坐标为1，连接，，若点，分别为线段，上的动点，且保持，求的最小值． 1．（2024·山东东营·中考真题）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．(为任意实数) 2．（2024·四川乐山·中考真题）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A． (1)若，求抛物线的顶点坐标； (2)若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围； (3)若抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围． 3．（2026·湖北·中考真题）抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点在直线上，设点的横坐标为． (1)求的值； (2)如图1，点是抛物线上位于第四象限的点，平行于轴．当时，求点的坐标； (3)点在直线上且位于点的右上方，．过点，分别作轴和轴的垂线，四条垂线围成四边形．若四边形的边与抛物线有两个交点，，记，的纵坐标之和为． ①当点在线段上时，求关于的函数解析式； ②当时，直接写出的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 21.3二次函数的图象和性质（二） 参考答案 A组 巩固过关 题型01 二次函数y=ax+bx+c的最值 1.C 2.1 3.4 题型2 一次函数、二次函数图象综合判断 4.D 5.c 6.A 题型n3 根据二次函数的图象判断式子符号 7.C 8.D 9.①③④ 题型04 待定系数法求二次函数解析式 10.D 11.D 12.【答案】y=2 2+37 5 5+1 1/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 29 1729 (②)向右平移4个单位，再向上平移360个单位 【详解】(1)解：把A(0,1),B(4,5),C(9,12)代入y=ar2+br+c(a≠0)得： c=1 2 c=1 ，解得a= 45 16a+4b+c=5 37 81a+9b+c=12 b= 45 i.y= 2+3 2 45 4 x+1: 43 2 37 2 1009 (2)解：y= x+1= 5 x+ 45 4 360, 371009 ∴抛物线的顶点坐标为 、4’360 .平移后的顶点移动到点(-2,2)， -2 3729.2- 1009 1729 4-4 360 360: 29 1729 故平移的方法是先向右平移4个单位，再向上平移360 个单位 题型05 已知抛物线上对称的两点求对称轴 13.B 14.A 15.1 题型0k 根据二次函数的对称性求函数值 16.B 17.y>y2>y 18.3 颗型07 利用二次函数对称性求最短路径 19.D 20.3v2 2122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.√10 B组 能力进阶 一、单选题 1.B 2.C 3.D 4.C 5.A 二、填空题 6.x=1 7.20.5 8.y=(x-1)2-3 10.3 三、解答题 11. 【答案】(1)y=-x2+2x+3 (②)抛物线的对称轴为直线x=1,顶点坐标为，4) 【详解】(1)解：由题意，把点(3,0)及点C(2,3)坐标代入y=ax2+bx+3, 9a+3b+3=0 得： 4a+2b+3=3' a=-1 解得： b=2· 抛物线解析式为y=-x2+2x+3: (2)解：y=-x2+2x+3配方得：y=(x-)2+4, 3/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故抛物线的对称轴为直线x=1,顶点坐标为，4) 12. 【答案】()(2，-2) (2)增大 (3)-2≤y≤2 【详解】(1)解：y=x2-4x+2=(x-2}-2, ∴顶点坐标为(2，-2)： (2)解：：y=x2-4x+2=(x-2)}-2, ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=2, .当x>2时，y随x的增大而增大： (3)解：由(2)可知，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当x=2时，函数有最小值为y=-2, 1≤x≤4， 当x=4时，y值最大，为(4-2)-2=2；当x=2时，函数有最小值为y=-2, .-2≤y≤2 13.【答案】(1)n=1 1 (②)(ip的值为0或4：(i)一4 【详解】1)解：4三之+mx+nx+2+4n二m m 4n-m mm ∴抛物线y=X2+mxtn 顶点坐标为 2 94 抛物线2，=-X2-mx的顶点坐标为24 :抛物线片=x2+mmtn的顶点纵坐标与抛物线2=-x2-mx的顶点纵坐标之和为1， 4n-m2,m2 4 =1,即n=1 4 (2)解：(i)由(1)知n=1, ∴抛物线乃=x2+x+1, :A(s,)为抛物线y=x2+mx+n上一点， .t=s2+ms+1, 5+t=0,即t=-S, .-5=s2+ms+1,即s2+(m+1)s+1=0, ·仅存在一个实数5，使得s+t=0, 4/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “关于s的一元二次方程s2+(m+)小+1=0，有两个相等的根， .△=(m+1)2-4×1x1=0,即(m+1)2=4, 解得：m=1,m2=-3」 :B(p,q)在2=-x2-mx上， ∴.9=-p2-mp, 代入P+9=0, 整理得：p(-p+1-m)=0 解得：p=0或p=1-m 当m=1时，p=0； 当m=-3时，p=0或p=4」 综上，P的值为0或4. (ii):p=s+2,即s=p-2,代入t+q=1得(s2+ms+)+(-p2-mp)=1 整理因式分解得：(s-p)s+p+m)=0 p=S+2 .8-p=-2≠0 故s+p+m=0,即m=-S-p. 代入S=p-2得：m=-2p+2 ∴.p+q=p+(-p2-mp)=-p2+(1-m)p,代入m=-2p+2 p*9=n-p-- 1 1 “当D=2时，p+g最小值为4： 14.【答案】(1)2 7 1 (②)1=-2或1=2 【详解】(1)解：由题意可知，对称轴是直线x=-1,a=1, ∴.b=2; (2)解：由(1)得抛物线的解析式为y=x2+2x+5, 5122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点M(m,3m+7)(m≠0)在该抛物线上，y=x2+2x+5, .m+2m+5=3m+7, 六m2-m-2=0:即m2-m=2mm-1)=2,m-1-2 m m-2=L. m .H=m-2m2 m3 =m-2=1, m 6H=6, y=x2+2x+5=x2+2x+1+4=(x+1)+4, .该抛物线的顶点坐标为（一1,4）， 分三种情况讨论t≤x≤t+2: ①当t+2<-1,即t<-3时， 当x=t时，函数值最大：yax=t+21+5」 当x=t+2时，函数值最小：ymin=(t+2)+2(t+2)+5, ,函数的最大值与最小值之差为6H,即ymx-6=ymi, 2+21+5-6=t+2}+2t+2)+5,解得：（三-2，符合1<-39 ②当t≤-1≤t+2,即-3≤t≤-1时， 函数最小值为顶点纵坐标4， t+2-t=2, ∴最大值最大能在x=-1+2=1或x=-1-2=-3时取得， 当x=1时，y=8,当x=-3时，y=8, “最大值减最小值最大只能为8-4=4，不可能等于6， 故t不可能取到-3≤t≤-1： ③当t>-1时， 当x=t+2时，函数值最大， 当x=t,函数值最小， +2+2+2*5-6=f+21+5,解得：1=分，符合，>-1 7 1 综上所述：1=2或1=2 6122 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.【答案】(1)②③ (2)c=b2+b 13.9117 (3b,c的值分别为4,16或4,16 【详解】(1)解：①当x=m时，y=m+2≠m,故y=x+2不是“不动点函数”； 1 ②把点(m,m)代入y=-3x+2,得-3m+2=m’解得m=2, y=-3x+2是“不动点函数”，且只有一个不动点： ③对于任意一个m的值，点(m,m)都在直线y=x上，故y=x是“不动点函数”，且有无数个不动点. 综上：正确的是②③： (2)解：：y=x2-2bx+c=(x-b}+c-b2, ·顶点坐标为(b,c-b2), :抛物线y=x2-2bx+C的顶点为该函数图象上的一个不动点， b=c-b2,即c=b2+b. (3)解：由(2)，得y=x2-2bx+(b+b)=(x-b)}2+b. ∴函数图象为开口向上的抛物线，顶点坐标为(b,b). 分以下三种情况讨论： ①当b<0时，由二次函数的性质，可知当0≤x≤2时，y随x的增大而增大， “当x=0时，y有最小值，y小=(0-b+b=+b;当x=2时，y有最大值， y最大=(2-b)+b=b2-3b+4 公-3动+4-心+b）=b+4=5,解得b=4 b<0, b=4符合题意. 将b=-1 1 ..b=- 3 4,c=- 16 ②当b>2时，由二次函数的性质，可知当0≤x≤2时，y随x的增大而减小. 当x=0时，y有最大值，y大=b+b;当x=2时，y有最小值，y小=b-3动+4， 7122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (你+)小-(62-36+4)=4b-4=5,解得b=9 4 b>2, b=9 符合题意， 12 将b=9代入 9_117 =b2+b' 得c= 4 416 .:6=9 117 C= 4’ 16· ③当0≤b≤2时，函数在x=b时取最小值，y最小=b I.当0≤b≤1时，函数在x=2时取最大值，y大=b2-3b+4. ∴.b2-3b+4-b=5,即b2-4b-1=0,解得b=2±V5, .0≤b≤1， ∴b=2±V5不符合题意. Ⅱ.当1<b≤2时，函数在x=0时取最大值，y最大=b+b, .b2+b-b=5,即b2=5,解得b=±V5, 1<b≤2， ∴b=±√5不符合题意， 13.9117 综上所述，b,c的值分别为4,16或4,16· 0 C组 思维拔高 一、单选题 1.D 2.C 3.A 4.A 5.B 8122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 6.y=-x2+2x(答案不唯一) 7.=-x2-2x+2 8.4 9.2026 10.m<-1 三、解答题 11.【答案】4)顶点坐标为(-1,3) (2)m>4或m<-2 【详解】(1)解：函数图象经过点(0,4)， .-m+5=4, ∴.m=1, ∴.y=x2+2x+4=(x+1)2+3」 .该函数图象的顶点坐标为（1,3)： (2)解：“y=x2+2mx-m+5, .对称轴为直线x=m, 点A(-山，)，B(-m+3,少)在该函数图象上，且片>为， -1-(-m>m+3-(-m, 即lm-1>3, 解得：m>4或m<-2, 即m的取值范围为m>4或m<-2, 12.【答案】()y=x+2 好 【详解】(1)解：令y=0,-x2+4=0, 解得=-2,3=2， A(-2,0) 9122 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将x=1代入y=-2+4得y=-1P+4=3, .C(1,3), 设l4c:y=c+b 「-2k+b=0 将4(-2,0)C1,3)代入k+b=3, k=1 解得1b=2’ .l4c:y=x+2; (2)解：设P(x,x+2),E(x,-x2+4), PE=yE-yp=-x2+4-(x+2)=-x2-x+2=- a=-1<0 9 “当x=2时，PE有最大值4 13.【答案】(1)y=x2-4x+3 (2)8；0 (3)图象如图所示： 1 -4-3-2-10 2 4 -2 -3 (2,-):x=2 (④2≤t<4 【详解】(1)解：依题意，把(0,3)，(2，-l),(4,3)分别代入y=ax2+bx+, 3=c 得-1=4a+2b+c 3=16a+4b+c 10/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a=1 解得b=-4 c=3 y=x2-4x+3 (2)解：依题意，把x=-1代入y=x2-4x+3, 得y=(-)°-4×(-1)+3=8，即m=8: 把x=1代入y=x2-4x+3, 得y=1P-4×1+3=0,即n=0: (3)解：图略， y=x2-4x+3=x2-4x+4-1=(x-2)}2-1 顶点坐标为(2，)，对称轴方程为x=2. (4)解：观察(3)的函数图象： 3 2 -4-3-2-10 234x 3 4 当-1≤y<3时，则0<x<4 当0<x≤t时，-1≤y<3, 结合函数图象，得2≤t<4 14.【答案】()A(-3,0),B(1,0) a04:@ 1 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+br-3a(a≠0)的顶点为D(-L,m), x=-2 =-1, .b=2a, .y=ax2+2ax-3a」 11/22 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当y=0时，得：ax2+2a-3a=0,即x2+2x-3=0, 解得x=-3,x2=1, :抛物线y=ax+br-3(a≠0)与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧）， A(-3,0),B(1,0): (2)解：①：直线y=:+m经过点B(1,0),将点B的坐标代入得： 0=k+m, 解得：m=-k, ∴直线的解析式为y=:-k, 把x=-1代入得：y=-2k, 点E(-L,-2k), 把x=-1代入y=axr2+2ax-3a得：y=-4a=-4k2, 点D(-山，-4k2), 点D向上平移2个单位就与点E重合， .-4k2+2=-2k, 解得k=一2或k=1（ak,不合题意，舍去)， o- ②：D(山，-4k2),E(-1-2k),点E在点D的上方， .DE=-2k-(-4K2)=4k2-2k, 点E在第二象限， .-2k>0. 解得k<0. y=ar2+2ax-3a与y轴交于点C(0,-3a),即(0，-3k2), .0C=3k2, 1-0E-0c-4-2=-=++ .-1<0,k<0, 1 “当k=2时，1的最大值是 12/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.【答案】()y= x+2 2 (2(3,2) (3)217 【详解】(1)解：：抛物线y=a(x+1)x-4)(a≠0)与y轴交于点C(0,2). 1 2=a0+10-4),解得a=2, :抛物线为y=x+(x-)。 2+2 即此抛物线的表达式为y=一2x+3 (2)解：，点P是此抛物线上第一象限内的一点， +3+ 设点P62 ++2,其中0<1<4 :∠AP0+∠ABC=90°，且∠OCB+∠ABC=90°， .∠APQ=∠OCB :抛物线y=+-4)与，轴交千点4”日 点A(-1,0),点B(4,0) .0B=4,0C=2, 在RtACOB中 tan∠0CB=O8=4=2, OC 2 记P的延长线与x轴的交点为点S,如图， y本 D 图1 ,PS⊥x轴，即∠ASP=90°， .∠APS=∠OCB 13/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 t-(-1) -2 中， tan∠APS=AB PS +1+2 RtAASP 2 2 则有1+1=2 +2+2 1 2 2 整理可得2-2t-3=0, 解得t=3或t=-1(舍)， ·点P的坐标为(3,2)： (3)解：过点D作DH⊥DE,并截取DH=BE,连接NH, 过点E作EG1y轴于点G,过点E作EK⊥x轴于点K,如图， y G M B K DE --------==-H :点D是y轴负半轴一点，OD=OB, ∴点D(0,-4),即0D=0B=4, 在RtAB0D中，BD=VOD2+OB2=V42+42=42, 点E在此抛物线上，其横坐标为1， 六.点的纵坐标为少三2×P+三1+2=3， ∴点E(1,3), :EG⊥y轴，EK⊥x轴， .∠OGE=∠EKO=∠GOK=90°， .四边形OGEK为矩形， .GE=OK=1,EK=0G=3. .GD=OG+OD=3+4=7,BK=OB-OK=4-1=3. 在RtEGD中，ED=VGD2+GE2=V72+1P=5√2， 在RtAEKB中，BE=VEK2+BK2=V32+32=3√2， 14/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :在△BED中，BD2+BE2=ED2, ∴∠EBD=90° .∠BED+∠BDE=90° .DH⊥DE,即∠EDH=90°， ∴.∠HDB+∠BDE=90° ∴.∠BED=∠HDB, DH=BE,EM=DN. 在△BEM与△HDN中， BE DH ∠BEM=∠HDN, EM=DN .△BEM≌aHDN(SAS), :BM HN, ∴.BM+EN=HN+EN≥EH, 即当点E,点N,点H三点共线时，BM+EN最小， yA M -H DH=BE=32,ED=52. 又：∠EDH=90°， 在RIEDH中，EH=VED+DH=52'+B2=27, ∴.BM+EN的最小值为27 15/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓展 链接中考 1.D 2.【答案】(1)，) 、3 2 1 5a≤2 【详解】(1)解：当a=1时，抛物线y=x2-2x+2=(x-+1. ∴顶点坐标(1，)」 (2)令x=0,则y=2a .A(0,2a. :线段OA上的“完美点”的个数大于3个且小于6个， ,“完美点”的个数为4个或5个 .a>0 ∴.当“完美点”个数为4个时，分别为(0,0)，(0，)，(0,2)，(0,3)： 当“完美点”个数为5个时，分别为(0,0)，(0，)，(0,2)，(0,3)，(0,4) 3≤2a<5 3 a的取值范围是2≤a< 21 (3)根据y=ar2-2ar+2a=a(x-1)+a, 得抛物线的顶点坐标为(l,a),过点P(2,2a）),Q(3,5a),R(4,10a)」 ,抛物线与直线y=x交于M、N两点，线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”， 显然，“完美点”(1，)，(2,2)，(3,3)符合题意。 下面讨论抛物线经过(2,1)，(3,2)的两种情况： ①当物线经过(2)时，解得a=此时，P2Q》, R(45) 如图所示，满足题意的“完美点”有(1，)，(2，)，(2,2)，(3,3)，共4个 16/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 4 ②当抛物线经过(3,2)时，解得a=5此时，P25, Q3,2),R(4,4) 如图所示，满足题意的“完美点”有(，1)，(2,1)，(2,2)，(3,2)，(3,3)，(4,4)，共6个. R M ∴a的取值范围是5<a 2 3.【答案】(1)c=-3 (②1+V2,-2 2-40<1≤3)：②-3,1-3,3+而 t2+3t-6(0≤t≤1) (3)①f= 4 2 2 【详解】(1)解：把点A(-1,0)代入抛物线y=x2-2x+c得0=1+2+c, 解得，c=-3； (2)解：由(1)得y=x2-2x-3, 令y=0得x2-2x-3=0, 因式分解得(x-3)(x+1)=0, 解得x=3或x=-1, 令x=0得y=-3, .B(3,0).C(0,-3), 设直线BC的表达式为y=:+b, 0=3k+b 「k=1 把B3,0):C(0,-3)代入得-3=b，解得1b=-3, .直线BC的表达式为y=x-3, 当x=1时，y=-2, 当t=1时，P(1,-2), PH平行于x轴， ∴H的纵坐标为-2， 17/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点H是抛物线上位于第四象限的点， 又x2-2x-3=-2,化简得x2-2x-1=0,b2-4ac=8, 解得x=士-ac_2生25=1t5, 2a 2 H+2,-2）g (3)解：由(2)知直线BC的表达式为y=x-3, .P(t,t-3) 设点Q的坐标为(a,a-3), :PQ=22, (a-+[a-3)--3]=(22, 化简得2(a-t)=8, 解得la-=2, :点Q在直线BC上且位于点P的右上方， .a>t, ∴a-t=2,即a=t+2, “0(t+2,1-0, 四边形PEQF是边长为2的正方形， 如图，当PO沿BC移动时，点E沿ED移动，点F沿FG移动， B D E-C- G P 上图中点Q和点C重合， ∴0(0，-3). P(-2,-5), .E(-2,-3),F(0,-5),D(0,-1),G(2,-3) 18/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当x=2时，y=x2-2x-3=-3. ∴·点G在抛物线上， 设直线ED的表达式为y=a+b -3=-2k+b k=1 把E(2,-3):D(0,-1)代入得1-1=b ，解得b=-1 ∴直线ED的表达式为y=x-I, 设直线FG的表达式为y=+b [-3=2k+b k=1 把F(0,-5)G(2,-3)代入得-5=b，解得1b=-5: .直线FG的表达式为y=x-5, ∴点E在直线y=x-1上运动，点F在直线y=x-5上运动， 如图， y=x-5 2-3=x-化简得-3x-2=0'-4c=17解得x=6生ac3达 2a 2 令x-2x-3=x-5,化简得x2-3x+2=0,因式分解得(x-lx-2)=0,解得x=1或x=2, 3-17 3+V17 :点的横坐标为2，点K的横坐标为2，点的横坐标为1，点7的横坐标为2 当西达形PE0r的边糖物线有两个交点M·N时，2<1：3计西 2 ①当点P在线段BC上时，0≤t≤3， 点P从点B往点C运动的过程中，当O≤t≤1时，即点Q在线段BC上时，如图，此时点M的纵坐标为点P 的纵坐标，点N的纵坐标为点Q横坐标在抛物线上对应的纵坐标， 19/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .f=(t-3)+t+2}-2(t+2)-3=+31-6 点P从点B往点C运动的过程中，当1<t≤3时，即点Q在线段BC右上方时，如图，此时点M的纵坐标为 点P的纵坐标，点N的纵坐标为点Q纵坐标， ∴.f=(t-3)+(t-1)=2t-4 t2+3t-6(0≤t≤1) 综上所述，当点。在线段C上时，∫=24-40<1s3): BC ②当-2<t≤-1时，如图，点M的纵坐标为点Q的纵坐标，点N的纵坐标为点Q横坐标在抛物线上对应的 纵坐标， B E小 C米N f=(-1)+(+2y-2u+2)-3]=2+31-4 当-l<1s3-7 2一时，如图，点M的纵坐标为点Q的纵坐标，点N的纵坐标为点p的纵坐标， 20122 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E Q F .f=(t-1)+(t-3)=2t-4 -17 当 3 <1<0时，如图。点y的纵坐标为点p横坐标在抛物线上对应的纵坐标，点y的纵坐标为点P 的纵坐标， A B .f=(t-2t-3)+(t-3)=t2-t-6 当31<3+7 2 时，如图，点M的纵坐标为点p横坐标在抛物线上对应的纵坐标，点N的纵坐标为点Q 的纵坐标 M B ∴f=(2-2t-3+(t-1)=t2-t-4 [2+3t-4(-2<t≤-1) 2-4-1<1s3-1回 2 -t-63- <t<0 综上所述，∫= (2 2+3t-6(0≤t≤1) 2t-4(1<t≤3) t2-t-43<t< 3+V17 2 21/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当fs-1 一2时，分情况讨论： 当2<1s-1时，f+3-4= 化简得P0c解得1c3t为 2a 2 符合2<1≤-1，舍去： 当-1<ts3- 2时，21-4=-1 解相1=音符合-1<：53 2； 亚8r6g调宁0-3- 2 2a 2 1上5衍合3<0.4=+5不合3 2符合 2 2不符合 2<1<0,舍去 0,时，6化简以0加c心解得6-4c廷血 2a 2 2符合0s15113 1=-3+ 2 不符合0≤1≤1，舍去： 当1163时，04=期物=个将合1163舍安 当3<1<3+7 亚时，F-14=号、化简得-1 +号0,6-4ac=-5<0:无解： 综上所注，当=时，的宜为或 31-3-3+ 22122