阶段质量评价 第四章 指数函数与对数函数-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（人教A版）

**基本信息** 本单元卷聚焦高中数学第四章指数函数与对数函数，通过120分钟150分的题量，全面覆盖指数幂运算、对数性质、函数性质及实际应用，融合数学抽象、运算推理与模型观念，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|指数幂化简、对数运算、定义域、充要条件|第4题关联天津高考真题，第8题以放射性衰减为情境，体现科学真实性| |多项选择|3/18|函数奇偶性、单调性、新定义函数|第11题“1阶马格丁香小花花”函数，考查创新应用能力| |填空题|3/15|二次方程根分布、函数值域、分段函数零点|第14题结合图象分析零点，培养几何直观| |解答题|5/77|指数对数综合运算、Logistic人口模型、函数性质应用|第18题人口预测模型，第19题偶函数与最值综合，凸显模型观念与运算推理|

[阶段质量评价]　　　　　　　第四章　指数函数与对数函数 (时间:120分钟　满分:150分) 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知a>0,化简×= (　 ) A.a B. C. D. 解析:选C　×=×=. 2.已知log2m=2 024,log2n=2 023,则等于 (　 ) A.2 B. C.10 D. 解析:选B　因为log2m=2 024,log2n=2 023,所以m=22 024,n=22 023,所以==. 3.函数f(x)=+的定义域为 (　 ) A.(1,3] B.(1,2)∪(2,3] C.(1,3)∪(3,+∞) D.(-∞,3) 解析:选B　由题意知∴1<x<2或2<x≤3,∴函数的定义域为(1,2)∪(2,3]. 4.(2024·天津高考)设a,b∈R,则“a3=b3”是“3a=3b”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选C　由函数y=x3单调递增可知,若a3=b3,则a=b;由函数y=3x单调递增可知,若3a=3b,则a=b.故“a3=b3”是“3a=3b”的充要条件,故选C. 5.若a=log60.6,b=1.10.6,c=log0.50.6,则a,b,c的大小关系是 (　 ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c 解析:选B　∵a=log60.6<log61=0,b=1.10.6>1.10=1,0=log0.51<c=log0.50.6<log0.50.5=1,故b>c>a.故选B. 6.根据表中的数据,可以断定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间是 (　 ) x -1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 A.(0,1) B.(-1,0) C.(2,3) D.(1,2) 解析:选D　当x=-1时,f(-1)=0.37+1-2=-0.63<0.当x=0时,f(0)=1-0-2=-1<0.当x=1时,f(1)=2.72-1-2=-0.28<0.当x=2时,f(2)=7.39-2-2=3.39>0.当x=3时,f(3)=20.09-3-2=15.09>0.因为f(1)f(2)<0,所以方程ex-x-2=0的一个根在区间(1,2)内.故选D. 7.函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是 (　 ) A.a>1,b<0　　　 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0　 D.0<a<1,b<0 解析:选D　由图象可知,函数f(x)为减函数,从而有0<a<1. 法一　由f(x)=ax-b图象,函数与y轴的交点纵坐标y∈(0,1),令x=0,得y=a-b,由0<a-b<1,即0<a-b<a0,解得 b<0. 法二　函数f(x)图象可看作是由y=ax(0<a<1)向左平移得到的,则-b>0,即b<0. 8.放射性核素锶89会按某个衰减率衰减,设初始质量为M0,质量M与时间T(单位:天)的函数关系式为M=M0·(其中H为常数),若锶89的半衰期(质量衰减一半所用时间)约为50天,则质量为M0的锶89经过30天衰减后质量约变为(参考数据:20.6≈1.516) (　 ) A.0.72M0 B.0.70M0 C.0.67M0 D.0.66M0 解析:选D　由题意,锶89半衰期(质量衰减一半所用的时间)所用时间为50天, 即M0=M0·,则H=50,所以质量为M0的锶89经过30天衰减后,质量大约为M0·=M0·=M0·≈M0×≈0.66M0. 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.下列函数中既是奇函数,又在(0,+∞)上单调递增的是 (　 ) A.f(x)=- B.f(x)=3x C.f(x)=log3x D.f(x)= 解析:选AD　f(x)=-是奇函数,且在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增,A符合题意; f(x)=3x不具有奇偶性,是增函数,B不符合题意; f(x)=log3x不具有奇偶性,是增函数,C不符合题意; f(x)==是奇函数,且是增函数,符合题意. 10.已知函数f(x)=-log2x,0<a<b<c,f(a)f(b)f(c)<0,实数d是函数f(x)的一个零点.给出下列四个判断,其中可能成立的是 (　 ) A.d<a B.d>b C.d>c D.d<c 解析:选ABD　由y=在(0,+∞)上单调递减,y=log2x在(0,+∞)上单调递增,可得f(x)=-log2x在定义域(0,+∞)上是减函数.当0<a<b<c时,f(a)>f(b)>f(c), 又因为f(a)f(b)f(c)<0,f(d)=0, 所以①f(a),f(b),f(c)都为负值,则a,b,c都大于d;②f(a)>0,f(b)>0,f(c)<0, 则a,b都小于d,c大于d.综合①②可得d>c不可能成立. 11.若函数f(x)满足:在定义域D内存在实数x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,则称函数f(x)为“1阶马格丁香小花花”函数.给出下列4个函数;其中是“1阶马格丁香小花花”函数的有 (　 ) A.f(x)= B.f(x)=ex C.f(x)=lg(x2+2) D.f(x)=2x 解析:选BD　f(x)=,定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),则=+,方程无解,A错误;f(x)=ex,定义域为R,则=+e,解得x0=ln,B正确;f(x)=lg(x2+2),定义域为R,则lg[(x0+1)2+2]=lg(+2)+lg 3,化简得到2-2x0+3=0,方程无解,C错误;f(x)=2x,定义域为R,则=+2,即=2,x0=1是方程的一个解,D正确.故选BD. 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上) 12.(5分)关于x的方程3x2-5x+a=0的一个根大于1,另一个根小于 1,则a的取值范围是　　　　.  解析:设f(x)=3x2-5x+a,由题意知,f(1)<0,即-2+a<0,∴a<2. 答案:(-∞,2) 13.(5分)已知[x]表示不超过x的最大整数,如[-1.2]=-2,[1.5]=1,[3]=3.若f(x)=2x,g(x)=f(x-[x]),则g=　　　　,函数g(x)的值域为　　　　.  解析:g=f =f =,令t=x-[x]∈[0,1),g(x)=f(x-[x])=f(t)=2t,1≤2t<2,g(x)的值域为[1,2). 答案:　[1,2) 14.(5分)已知函数f(x)=若方程f(x)-a=0有三个不同的实数解,则实数a的取值范围为　　　　.  解析:作出函数f(x)的图象,如图所示.由图可知,当0<a<1时,直线y=a与y=f(x)的图象有三个交点,所以实数a的取值范围为(0,1). 答案:(0,1) 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)求值计算: (1)+++;(6分) (2)·log23·log34.(7分) 解:(1)原式=+1+1++=+2++-=5. (2)原式=·log23·log322 =·log23·2log32 =×2=×2=. 16.(15分)已知指数函数y=,当x∈(0,+∞)时,有y>1. (1)求a的取值范围;(7分) (2)解关于x的不等式loga(x-1)≤loga(x2+x-6).(8分) 解:(1)∵指数函数y=在x∈(0,+∞)时,有y>1,∴>1.解得0<a<1. ∴实数a的取值范围为(0,1). (2)由(1)得0<a<1, ∵loga(x-1)≤loga(x2+x-6), ∴解得2<x≤. ∴不等式的解集为. 17.(15分)已知函数y=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上最大值和最小值的和为12,令f(x)=. (1)求实数a的值;(3分) (2)探究f(x)+f(1-x)是否为定值,若是定值,写出证明过程;若不是定值,请说明理由;(6分) (3)解不等式:f(1-x)+2f2(x)<1.(6分) 解:(1)因为函数y=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上具有单调性,所以a+a2=12. 解得a=3或a=-4. 因为a>0,且a≠1,所以a=3. (2)f(x)+f(1-x)=1,为定值.证明如下: 由(1)得,f(x)=, 所以f(x)+f(1-x)=+=+=+=1. (3)由(2)得,1-f(x)=f(1-x),且f(x)>0, 所以2f2(x)<1-f(1-x)=f(x). 所以f(x)<.所以<. 整理得3x<,解得x<. 所以原不等式的解集为. 18.(17分)Logistic模型是常用的预测区域人口增长的模型之一,其形式为Pt=,其中Pt是间隔年份t时的人口数量,K是有关人口极限规模的待定参数,r,C是有关人口增长率和初始人口数量的特定参数,已知某地区的人口数据如下表: 时间 2010年 2015年 2020年 … 间隔年份t(单位:年) 0 5 10 … 人口数量Pt(单位:万) 80 86.368 92.076 … 该地区某中学学生组成的建模小组对以上数据进行分析和计算,发现Logistic函数Pt=能比较好地描述2010年起该地区的人口数量Pt(单位:万)与间隔年份t(单位:年)的关系. (1)请估计该地区2030年的人口数量(结果保留3位小数);(8分) (2)请估计该地区2020年到2030年的年平均增长率a(结果保留3位小数).(参考数据:e-0.5≈0.607,e-1≈0.368,≈1.010)(9分) 解:(1)2030年即间隔年份为20年, 该地区的人口数量P20==≈101.351, 该地区2030年的人口数量大约为101.351万. (2)由表可知2020年的人口数量为92.076万, 又由(1)知2030年的人口数量大约为101.351万, 则有92.076×(1+a)10=101.351, 即(1+a)10=, 解得a=-1≈0.010. 所以该地区2020年到2030年的年平均增长率a大约为0.010. 19.(17分)已知函数f(x)=kx+log9(9x+1)(k∈R)是偶函数. (1)求k的值;(4分) (2)若函数y=f(x)的图象在直线y=x+b上方,求b的取值范围;(6分) (3)若函数h(x)=+2m·3x+1,x∈[0,log98],是否存在实数m使得h(x)的最小值为0?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.(7分) 解:(1)因为f(-x)=f(x),所以-kx+log9(9-x+1)=kx+log9(9x+1), 即log9(9-x+1)-log9(9x+1)=2kx, 即log9-log9(9x+1)=2kx, 即log9=2kx, 即log9=2kx,所以-x=2kx, 对任意x∈R恒成立,所以k=-. 所以f(x)=log9(9x+1)-x. (2)函数y=f(x)的图象在直线y=x+b上方, 等价于f(x)-=log9(9x+1)-x-b>0对任意的x∈R成立, 即log9(9x+1)-x>b. 即log9(9x+1)-x=log9=log9>b对任意的x∈R成立. 令y=log9u,u=1+在x∈R上单调递减,而u=1+>1, 所以y>0,由此b≤0. 故b的取值范围是(-∞,0]. (3)h(x)=+2m·3x+1 =9x+2m·3x+2, 令t=3x,t∈[1,2], 则y=t2+2mt+2=(t+m)2+2-m2,t∈[1,2]. ①当-m≤1,即m≥-1时,y=t2+2mt+2在[1,2]上单调递增,从而ymin=2m+3=0, 则m=-(舍去); ②当1<-m<2,即-2<m<-1时,y=t2+2mt+2在[1,-m]上单调递减,在[-m,2]上单调递增, 从而ymin=2-m2=0,则m=-; ③-m≥2,即m≤-2时,y=t2+2mt+2在[1,2]上单调递减,从而ymin=10+4m=0, 则m=-(舍去). 综上,m=-. 51 / 158 学科网（北京）股份有限公司 $