阶段质量评价 第四章 指数函数与对数函数-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件PPT（人教A版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了指数函数与对数函数的概念、运算性质、图像特征及实际应用，通过典型例题将指数幂化简、对数运算、定义域求解、单调性分析等知识点串联，构建完整的知识网络。 其亮点在于结合生活实际设计问题，如放射性衰减计算、Logistic人口模型分析，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。通过基础题到综合题的递进设计，如函数零点判断到不等式证明，发展数学思维，帮助学生巩固知识，也为教师提供精准复习参考。

阶段质量评价 第四章　指数函数与对数函数 (时间:120分钟　满分:150分) 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 16 17 18 19 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知a>0，化简×=(　 ) A.a B. C. D. √ 解析：×=×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 18 19 2.已知log2m=2 024，log2n=2 023，则等于(　 ) A.2 B. C.10 D. √ 解析：因为log2m=2 024，log2n=2 023，所以m=22 024，n=22 023，所以==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 3.函数f(x)=+的定义域为(　 ) A.(1，3] B.(1，2)∪(2，3] C.(1，3)∪(3，+∞) D.(-∞，3) √ 解析：由题意知∴1<x<2或2<x≤3， ∴函数的定义域为(1，2)∪(2，3]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 4.(2024·天津高考)设a，b∈R，则“a3=b3”是“3a=3b”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 解析：由函数y=x3单调递增可知，若a3=b3，则a=b；由函数y=3x单调递增可知，若3a=3b，则a=b.故“a3=b3”是“3a=3b”的充要条件，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 5.若a=log60.6，b=1.10.6，c=log0.50.6，则a，b，c的大小关系是 (　 ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c √ 解析：∵a=log60.6<log61=0，b=1.10.6>1.10=1，0=log0.51<c=log0.50.6<log0.50.5=1，故b>c>a.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 6.根据表中的数据，可以断定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间是 (　 ) A.(0，1) B.(-1，0) C.(2，3) D.(1，2) √ 解析：当x=-1时，f(-1)=0.37+1-2=-0.63<0.当x=0时，f(0)=1-0-2=-1<0.当x=1时，f(1)=2.72-1-2=-0.28<0.当x=2时，f(2)=7.39-2-2=3.39>0.当x=3时，f(3)=20.09-3-2=15.09>0.因为f(1)f(2)<0，所以方程ex-x-2=0的一个根在区间(1，2)内.故选D. x -1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 7.函数f(x)=ax-b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是 (　 ) A.a>1，b<0　　　 B.a>1，b>0 C.0<a<1，b>0　 D.0<a<1，b<0 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析：由图象可知，函数f(x)为减函数，从而有0<a<1. 法一　由f(x)=ax-b图象，函数与y轴的交点纵坐标y∈(0，1)，令x=0，得y=a-b，由0<a-b<1，即0<a-b<a0，解得 b<0. 法二　函数f(x)图象可看作是由y=ax(0<a<1)向左平移得到的，则-b>0，即b<0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 8.放射性核素锶89会按某个衰减率衰减，设初始质量为M0，质量M与时间T(单位：天)的函数关系式为M=M0·(其中H为常数)，若锶89的半衰期(质量衰减一半所用时间)约为50天，则质量为M0的锶89经过30天衰减后质量约变为(参考数据：20.6≈1.516)(　 ) A.0.72M0 B.0.70M0 C.0.67M0 D.0.66M0 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析：由题意，锶89半衰期(质量衰减一半所用的时间)所用时间为50天， 即M0=M0·，则H=50，所以质量为M0的锶89经过30天衰减后，质量大约为M0·=M0·=M0·≈M0×≈0.66M0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列函数中既是奇函数，又在(0，+∞)上单调递增的是(　 ) A.f(x)=- B.f(x)=3x C.f(x)=log3x D.f(x)= √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析： f(x)=-是奇函数，且在(-∞，0)和(0，+∞)上单调递增，A符合题意； f(x)=3x不具有奇偶性，是增函数，B不符合题意； f(x)=log3x不具有奇偶性，是增函数，C不符合题意； f(x)==是奇函数，且是增函数，符合题意. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 10.已知函数f(x)=-log2x，0<a<b<c，f(a)f(b)f(c)<0，实数d是函数f(x)的一个零点.给出下列四个判断，其中可能成立的是(　 ) A.d<a B.d>b C.d>c D.d<c √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析：由y=在(0，+∞)上单调递减，y=log2x在(0，+∞)上单调递增，可得f(x)=-log2x在定义域(0，+∞)上是减函数.当0<a<b<c时，f(a)>f(b)>f(c)，又因为f(a)f(b)f(c)<0，f(d)=0，所以①f(a)，f(b)，f(c)都为负值，则a，b，c都大于d；②f(a)>0，f(b)>0，f(c)<0， 则a，b都小于d，c大于d.综合①②可得d>c不可能成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 11.若函数f(x)满足：在定义域D内存在实数x0，使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立，则称函数f(x)为“1阶马格丁香小花花”函数.给出下列4个函数；其中是“1阶马格丁香小花花”函数的有 (　 ) A.f(x)= B.f(x)=ex C.f(x)=lg(x2+2) D.f(x)=2x √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析： f(x)=，定义域为(-∞，-1)∪(-1，+∞)，则=+，方程无解，A错误；f(x)=ex，定义域为R，则=+e，解得x0=ln，B正确；f(x)=lg(x2+2)，定义域为R，则lg[(x0+1)2+2]=lg(+2)+lg 3，化简得到2-2x0+3=0，方程无解，C错误；f(x)=2x，定义域为R，则=+2，即=2，x0=1是方程的一个解，D正确.故选BD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上) 12.(5分)关于x的方程3x2-5x+a=0的一个根大于1，另一个根小于 1，则a的取值范围是________.  (-∞，2) 解析：设f(x)=3x2-5x+a，由题意知，f(1)<0，即-2+a<0，∴a<2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 13.(5分)已知[x]表示不超过x的最大整数，如[-1.2]=-2，[1.5]=1，[3]= 3.若f(x)=2x，g(x)=f(x-[x])，则g=_____，函数g(x)的值域为_______.  　 [1，2) 解析：g=f =f =，令t=x-[x]∈[0，1)，g(x)=f(x-[x])=f(t)= 2t，1≤2t<2，g(x)的值域为[1，2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 14.(5分)已知函数f(x)=若方程f(x)-a=0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围为_______.  (0，1) 解析：作出函数f(x)的图象，如图所示.由图可知，当0<a<1时，直线y=a与y=f(x)的图象有三个交点，所以实数a的取值范围为(0，1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)求值计算： (1)+++；(6分) 解：原式=+1+1++=+2++-=5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 (2)·log23·log34.(7分) 解：原式=·log23·log322 =·log23·2log32=×2=×2=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 16.(15分)已知指数函数y=，当x∈(0，+∞)时，有y>1. (1)求a的取值范围；(7分) 解：∵指数函数y=在x∈(0，+∞)时，有y>1，∴>1.解得0<a<1. ∴实数a的取值范围为(0，1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 (2)解关于x的不等式loga(x-1)≤loga(x2+x-6).(8分) 解：由(1)得0<a<1，∵loga(x-1)≤loga(x2+x-6)， ∴解得2<x≤. ∴不等式的解集为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 17.(15分)已知函数y=ax(a>0，且a≠1)在[1，2]上最大值和最小值的和为12，令f(x)=. (1)求实数a的值；(3分) 解：因为函数y=ax(a>0，且a≠1)在[1，2]上具有单调性，所以a+a2=12. 解得a=3或a=-4. 因为a>0，且a≠1，所以a=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 (2)探究f(x)+f(1-x)是否为定值，若是定值，写出证明过程；若不是定值，请说明理由；(6分) 解：f(x)+f(1-x)=1，为定值.证明如下： 由(1)得，f(x)=， 所以f(x)+f(1-x)=+=+=+=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 (3)解不等式：f(1-x)+2f2(x)<1.(6分) 解：由(2)得，1-f(x)=f(1-x)，且f(x)>0， 所以2f2(x)<1-f(1-x)=f(x). 所以f(x)<.所以<. 整理得3x<，解得x<. 所以原不等式的解集为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 18.(17分)Logistic模型是常用的预测区域人口增长的模型之一，其形式为Pt=，其中Pt是间隔年份t时的人口数量，K是有关人口极限规模的待定参数，r，C是有关人口增长率和初始人口数量的特定参数，已知某地区的人口数据如下表： 时间 2010年 2015年 2020年 … 间隔年份t(单位：年) 0 5 10 … 人口数量Pt(单位：万) 80 86.368 92.076 … 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 该地区某中学学生组成的建模小组对以上数据进行分析和计算，发现Logistic函数Pt=能比较好地描述2010年起该地区的人口数量Pt(单位：万)与间隔年份t(单位：年)的关系. (1)请估计该地区2030年的人口数量(结果保留3位小数)；(8分) 解： 2030年即间隔年份为20年， 该地区的人口数量P20==≈101.351， 该地区2030年的人口数量大约为101.351万. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 (2)请估计该地区2020年到2030年的年平均增长率a(结果保留3位小数).(参考数据：e-0.5≈0.607，e-1≈0.368，≈1.010)(9分) 解：由表可知2020年的人口数量为92.076万，又由(1)知2030年的人口数量大约为101.351万，则有92.076×(1+a)10=101.351，即(1+a)10= ，解得a=-1≈0.010. 所以该地区2020年到2030年的年平均增长率a大约为0.010. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 19.(17分)已知函数f(x)=kx+log9(9x+1)(k∈R)是偶函数. (1)求k的值；(4分) 解：因为f(-x)=f(x)，所以-kx+log9(9-x+1)=kx+log9(9x+1)， 即log9(9-x+1)-log9(9x+1)=2kx， 即log9-log9(9x+1)=2kx，即log9=2kx， 即log9=2kx，所以-x=2kx，对任意x∈R恒成立，所以k=-. 所以f(x)=log9(9x+1)-x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 (2)若函数y=f(x)的图象在直线y=x+b上方，求b的取值范围；(6分) 解：函数y=f(x)的图象在直线y=x+b上方，等价于f(x)-=log9(9x+ 1)-x-b>0对任意的x∈R成立，即log9(9x+1)-x>b. 即log9(9x+1)-x=log9=log9>b对任意的x∈R成立. 令y=log9u，u=1+在x∈R上单调递减，而u=1+>1， 所以y>0，由此b≤0.故b的取值范围是(-∞，0]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 (3)若函数h(x)=+2m·3x+1，x∈[0，log98]，是否存在实数m使得h(x)的最小值为0?若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.(7分) 解：h(x)=+2m·3x+1=9x+2m·3x+2， 令t=3x，t∈[1，2]， 则y=t2+2mt+2=(t+m)2+2-m2，t∈[1，2]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 ①当-m≤1，即m≥-1时，y=t2+2mt+2在[1，2]上单调递增，从而ymin=2m+3=0，则m=-(舍去)； ②当1<-m<2，即-2<m<-1时，y=t2+2mt+2在[1，-m]上单调递减，在[-m，2]上单调递增，从而ymin=2-m2=0，则m=-； ③-m≥2，即m≤-2时，y=t2+2mt+2在[1，2]上单调递减，从而ymin=10+4m=0，则m=-(舍去). 综上，m=-. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $