4.2.1 指数函数的概念-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦指数函数概念，通过实际问题导入，衔接函数基础，构建“概念辨析-解析式求解-实际应用”的学习支架，帮助学生从具体实例到抽象模型逐步理解知识脉络。 其亮点在于采用“逐点清”分层突破，结合数学眼光抽象实际模型（如树木成材问题），数学思维强化概念辨析（如指数函数三要素判断），数学语言规范符号表达（如待定系数法求解析式）。实例丰富且典型，助力学生深化理解，教师可高效开展分层教学。

指数函数 4.2 指数函数的概念 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 4.2.1 课时目标 1.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.会从形式上判断一个函数是否是指数函数. 2.会从实际问题中抽象出指数函数模型并能解决相应问题. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　指数函数的概念 逐点清(二)　求指数函数的 解析式或值 逐点清(三)　指数增长与衰减的应用 4 课时检测 逐点清(一)　指数函数的概念 01 一般地，函数___________________叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 多维理解 y=ax(a>0，且a≠1) |微|点|助|解| 指数函数只是一个形式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点： (1)底数a为大于0且不等于1的常数，不能是自变量； (2)指数处只有一个自变量，而且不是含自变量的多项式； (3)ax的系数是1. 1.如果函数f(x)=2a·3x和g(x)=2x-(b+3)都是指数函数，则ab= (　 ) A. B.1 C.9 D.8 √ 微点练明 解析：根据题意可得2a=1⇒a=，-(b+3)=0⇒b=-3，则ab==8. 2.若函数f(x)=(a2+2a-2)(a+4)x为指数函数，则 (　 ) A.a=1或a=-3 B.a>0且a≠1 C.a=1 D.a=-3 √ 解析：因为函数f(x)=(a2+2a-2)(a+4)x为指数函数，则 且a+4≠1，解得a=1. 3.(多选)下列函数是指数函数的是 (　 ) A.y=52x B.y=-4x C.y=x3 D.y=(6a-3)x √ √ 解析：对于A，y=52x=25x为指数函数；对于B，y=-4x不是指数函数；对于C，y=x3不是指数函数；对于D，当a>且a≠时，6a-3>0且6a-3≠1，则y=(6a-3)x为指数函数. 4.若函数y=(2a-1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是 (　 ) A.(0，1)∪(1，+∞) B.[0，1)∪(1，+∞) C.∪(1，+∞) D. √ 解析：依题意得2a-1>0，且2a-1≠1，解得a>，且a≠1， 即a的取值范围是∪(1，+∞). 逐点清(二)　求指数函数的 解析式或值 02 (1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键. (2)求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式. 多维理解 1.已知函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)，且f(1)=2，则f(0)+f(2)= (　 ) A.4 B.5 C.6 D.8 √ 微点练明 解析：由f(1)=2⇒a=2⇒f(x)=2x，所以f(0)+f(2)=20+22=5. 2.若函数f(x)=·ax是指数函数，则f的值为(　 ) A.-2 B.2 C.-2 D.2 √ 解析：因为函数f(x)=·ax是指数函数，所以a-1=1，a>0，且a≠1，即a=4.所以f(x)=4x.则f==2. √ 3.设函数f(x)=若f=8，则a=(　 ) A. B. C.1 D.2 解析：f=4×-=3，则f=f(3)=a3，得a3=8，解得a=2.故选D. 4.已知函数f(x)是指数函数，且f=，则f(3)=_______.  125 解析：设f(x)=ax(a>0，且a≠1)，则f===，得a=5，故f(x)=5x.因此，f(3)=53=125. 逐点清(三)　指数增长与衰减 的应用 03 在实际问题中，经常遇到指数增长模型，形如y=kax(k∈R，且k≠0，a>0，且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型. [典例]　有一种树栽植5年后可成材.在栽植后5年内，该种树的产量年增长率为20%，如果不砍伐，从第6年到第10年，该种树的产量年增长率为10%，现有两种砍伐方案： 甲方案：栽植5年后不砍伐，等到10年后砍伐.乙方案：栽植5年后砍伐重栽，然后过5年再砍伐一次. 请计算后回答：10年内哪一个方案可以得到较多的木材? 解：设该种树的最初栽植量为a，甲方案在10年后的木材产量为y1=a(1+20%)5(1+10%)5=a(1.2×1.1)5≈4.01a.乙方案在10年后的木材产量为y2=2a(1+20%)5=2a·1.25≈4.98a.∵a>0，∴4.98a>4.01a，即y2>y1，∴10年内乙方案可以得到较多的木材. |思|维|建|模| (1)由特殊到一般的归纳方法是探究增长型函数问题常用的手段. (2)在实际问题中，对于平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值或总产量y，可以用公式y=N(1+p)x表示. 1.若镭经过100年后剩余量为原来的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩余量为y，则x，y的函数关系是 (　 ) A.y=(0.957 6 B.y=(0.957 6)100x C.y= D.y=1-(0.042 4 √ 微点练明 解析：由100年后剩余量为原来的95.76%， 故x年后的剩余量y=(0.957 6. 2.某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后排气扇恢复正常.排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位，1 ppm表示百万分之一)，再过4分钟又测得浓度为32 ppm.经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y=c(c，m为常数).求c，m的值. 解：由题意可得 解得故c，m的值分别为128，. 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.下列函数为指数函数的是 (　 ) A.y=2·3x B.y=-3x C.y=5x D.y=1x √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.函数f(x)=(2a-3)ax是指数函数，则f(1)= (　 ) A.8 B. C.4 D.2 √ 解析：∵函数f(x)=(2a-3)ax是指数函数，∴2a-3=1，a>0，且a≠1.解得a=2.∴f(x)=2x.∴f(1)=2.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.若点(a，27)在函数y=()x的图象上，则的值为(　 ) A. B.1 C.2 D.0 √ 解析：点(a，27)在函数y=()x的图象上，所以27=()a，即33=，所以=3，解得a=6，所以=.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.函数f(x)=ax(a>0且a≠1)，对于任意实数x，y都有 (　 ) A.f(xy)=f(x)f(y) B.f(xy)=f(x)+f(y) C.f(x+y)=f(x)f(y) D.f(x+y)=f(x)+f(y) √ 解析：f(x+y)==axay=f(x)f(y).故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.某种细菌在培养过程中，每15 min分裂一次(由1个分裂成2个)，这种细菌由1个分裂成4 096个需经过 (　 ) A.12 h B.4 h C.3 h D.2 h √ 解析：设需经过x次分裂，则2x=4 096，解得x=12.所以所需时间t==3(h). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知一种产品的成本是a元，今后m年，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x(0<x<m)的函数，其关系式是 (　 ) A.y=a(1+p%)x(0<x<m) B.y=a(1-p%)x(0<x<m) C.y=a(p%)x(0<x<m) D.y=a-(p%)x(0<x<m) √ 解析：∵产品的成本是a元，1年后，成本为a-p%·a=a(1-p%)；2年后，成本为a(1-p%)-a(1-p%)·p%=a(1-p%)2；…，∴x年后，成本y=a(1-p%)x(0< x<m). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知函数f(x)=+2，则f(1)与f(-1)的大小关系是(　 ) A.f(1)>f(-1) B.f(1)<f(-1) C.f(1)=f(-1) D.不确定 √ 解析：∵f(x)=+2，∴f(1)=+2=，f(-1)=+2=4.∵<4，∴f(1)<f(-1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.已知f(x)=3x，g(x)=9x，若f(a)g(b)=，则下列各式正确的是(　 ) A.a+b=-1 B.a+b=1 C.a+2b=-1 D.a+2b=1 √ 解析：由3a·9b=知3a·32b=3-1.即a+2b=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.如图所示，面积为8的平行四边形OABC的对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E.若指数函数y=ax(a>1)的图象经过点E，B，则a等于 (　 ) A. B. C.2 D.3 √ 解析：设点C(0，m)(m>0)，则由已知条件可得A，E，B.因为点E，B在指数函数y=ax(a>1)的图象上， 所以解得m=2，所以a=-(舍去)或a=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent，假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有升，则m的值为(　 ) A.10 B.9 C.8 D.5 √ 解析：由题设可得方程组由2ae5n=a⇒e5n=，代入ae(m+5)n=⇒emn=，联立两个等式可得解得m=5.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.函数y=f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)=2x，则当x>0时，f(x)等于 (　 ) A.-2x B.2-x C.-2-x D.2x √ 解析：当x<0时，f(x)=2x，当x>0时，-x<0，则f(-x)=2-x.又f(x)是R上的奇函数，所以当x>0时，f(x)=-f(-x)=-2-x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)已知指数函数f(x)=(2b-3)ax经过点(1，2)，则a=_____，f(a+b)=______.  2　 16 解析：由指数函数的定义可知2b-3=1，即b=2. 将点(1，2)代入f(x)=ax，得a=2.故f(x)=2x，a+b=4， 所以f(a+b)=f(4)=24=16. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(5分)设函数f(x)=则f(f(-4))=_______.  4 解析：依题意，知f(-4)==16，f(16)==4， 所以f(f(-4))=f(16)=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知指数函数y=g(x)满足g(3)=8，定义域为R的函数f(x)=g(x)-g(-x). (1)求y=g(x)，y=f(x)的解析式；(5分) 解：根据题意，函数y=g(x)为指数函数， 设g(x)=ax，若g(3)=8，则a3=8，解得a=2， 则g(x)=2x，f(x)=g(x)-g(-x)=2x-2-x， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)判断函数f(x)的奇偶性.(5分) 解：f(x)=2x-2-x，函数定义域为R， 则f(-x)=2-x-2x=-(2x-2-x)=-f(x)，函数f(x)为奇函数. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象经过点. (1)求a的值；(4分) 解：由已知，得a2=， ∵a>0且a≠1，∴a=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若g(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时，g(x)=f(x)，求g(x)的解析式.(6分) 解：当x≤0时，g(x)=f(x)=，设x>0，则-x<0， 则g(-x)==3x，因为g(x)是定义在R上的偶函数， 所以g(x)=g(-x)=3x，所以函数g(x)的解析式为g(x)= 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $