专题1.3 空间向量基本定理（6类必考点）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“空间向量基本定理”核心知识点，系统梳理基底概念、向量表示步骤及夹角、距离计算方法，构建从定义理解到几何应用的学习支架，衔接平面向量知识，助力空间向量体系的建立。 该资料以五大考点分类设计例题，涵盖基底辨析、向量表示、角度长度计算等，通过多情境题目培养学生用数学眼光抽象空间关系，用数学思维推理运算，用数学语言表达几何问题。课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

专题1.3 空间向量基本定理 【考点导航】 【知识梳理】 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合 相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含 有，不能含有其他形式的向量． 3．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 4．求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 5．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路: (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 【考点1：基底的概念与辨析】 1．（26-27高三·全国·一轮复习）若为空间的一个基底，则下列各项中，能作为空间的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵与共面， ∴A，B，D不正确，C正确. 2．（25-26高二下·福建宁德·期末）已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】由不共面的三个向量能构成一组基底判断. 【详解】对于A选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于B选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于C选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于D选项，设，整理得， 由不共面，得​，解得，只有零解， 则，，三个向量不共面，所以能构成一组基底. 3．（25-26高一下·海南海口·阶段检测）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则向量可用基底表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量基本定理将向量表示成关于的线性组合，结合题设得到方程组，求解即得关于基底的表达式. 【详解】依题意，设， 整理得， 因是空间的一个单位正交基底，且， 则有，解得， 故有. 4．（25-26高一下·河北·阶段检测）已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】三向量可作为基底等价于不共面，待定系数后方程组有解则共面. 【详解】对于A，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 对于B，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 对于C，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底. 对于D，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 5．（25-26高二下·江苏徐州·期末）（多选）在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】以为原点，设，，，则，，即为不共面的基底，将所有向量用，，表示后，判断三个目标向量的线性相关性即可. 【详解】选项A：，. 设，整理得， 因，，不共面，则系数全为0，所以， 故三个向量线性无关，可构成基底，A正确. 选项B：，， 三个向量都仅含，分量，都在平面内，故共面，不能构成基底，B错误. 选项C：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，C正确. 选项D：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，D正确. 【考点2：用基底表示向量】 1．（26-27高二上·河北保定·开学考试）（多选）如图所示，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，设，，，则下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用空间向量基本定理和向量的加减法逐一计算即可判断． 【详解】由向量的平行四边形法则，得，故A错误； 由向量的平行四边形法则和三角形法则， 得 ，故B正确； 因为点在线段上，且，所以， 所以，故C错误； ，故D正确． 2．（25-26高二上·广东广州·期末）（多选）已知三棱锥分别是的中点，为线段上一点，且，设，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据三角形内中点的结论及向量加法、减法的三角形法则逐个分析选项即可得出答案. 【详解】如图，因为为的中点，所以，故选项A正确； ，故选项B正确； ，故选项C错误； ，故选项D正确. 故选：ABD. 3．（25-26高二上·福建·阶段检测）（多选）在四面体中，，点在上，，为的中点，则下列四个选项中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由空间向量的线性运算求解判断． 【详解】是中点，则，A正确； ，B错误； ，C正确D错误． 故选：AC． 4．（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）(多选)如图所示，在平行六面体中，设，，，，分别是，，的中点，则下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据空间向量的线性运算结合基底向量求解即可. 【详解】对于A选项，因为是的中点， 所以，故A正确； 对于B选项，因为是的中点， 所以，故B错误； 对于C选项，因为是的中点， 所以，故C正确； 对于D选项，因为是的中点， 所以，故D正确. 5．（26-27高三·全国·一轮复习）如图所示，已知四棱锥，，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 所以 【考点3：利用空间向量的基本定理解决角度问题】 1．（26-27高三上·云南·开学考试）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设，以为基底，分别表示，再利用向量法即可求出异面直线与所成角. 【详解】设，则，． 以为基底，由题意得，． 因为，， 所以， ， ， 设异面直线与所成角为， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 2．（25-26高二下·福建漳州·期中）在平行六面体中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算可知,，通过数量积求出，进而求出. 【详解】利用空间向量的线性运算可知， 所以， 即, 由于, 所以，， 所以，故 ，即， 故平行四边形为矩形， 3．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则， ， ， ， ， ，， ， ， 则， ， 设异面直线与的夹角为， 则，故选项D正确. 4．（26-27高三上·湖北·阶段检测）正四面体的棱长为，在平面内有一动点，满足，若直线与直线所成的角为，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】先求出正四面体底面中心到顶点距离与体高，由得到动点在底面的轨迹是半径为1的圆；利用向量分解，消去垂直底面的，把异面直线夹角余弦转化为底面向量与夹角的表达式，结合的取值范围求得的范围. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 设正的中心为，连接， 因为为正四面体，所以平面， 在正中，边长为，外接圆半径为， 在Rt中，正四面体的高为， 在Rt中，因为，，所以， 所以点在平面内的轨迹是以为圆心、为半径的圆， 因为平面，且平面，所以， 所以， 设在平面内向量与的夹角为， 则， 由异面直线所成角的定义得， 因为，所以，从而. 5．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期末）如图在平行六面体中，，.令，，，以为基底，解决下列问题： (1)用、、表示向量，并求； (2)求直线和夹角的余弦值. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）利用向量的线性运算和模长公式求解； （2）利用平面向量的数量积求两条直线夹角的余弦. 【详解】（1）， 由已知可得，， 因此，. （2）由（1）知， 因为， 所以，所以； 且 ， 所以. 即直线和夹角的余弦值为. 【考点4：利用空间向量的基本定理解决长度问题】 1．（25-26高二上·浙江台州·期末）在平行六面体中，已知，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量模长公式，将体对角线向量分解为三条棱向量的和，平方展开后代入模长与夹角计算数量积，最后开方得到结果. 【详解】在平行六面体中，， . 因为，， ， 所以，即. 故选：C 2．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知正四面体的棱长为2，空间中一点满足，其中，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，结合，可知点在平面内，所以当平面时，最小，再根据即可求得结果. 【详解】设，则 ，， 所以点在平面内， 依题意当平面时，最小， 四面体为正四面体，为底面的中心，如图，连接并延长交于点，则为的中点. 则， 所以， 即的最小值为， 又，所以，即的最小值为． 故选：B． 3．（2026·新疆·一模）在平行六面体中，．若，则___________． 【答案】3 【分析】利用空间向量的运算表示出，根据长度和角求出，再利用向量模长公式可求答案. 【详解】在平行六面体中， 因为， 所以，， ， 因为，所以， 所以， 整理可得，解得或（舍）. . 所以. 故答案为：3    4．（25-26高二上·山东泰安·期中）已知四棱锥，底面是边长为的菱形，不是钝角，，，为中点，在上的投影向量的模为，则_____. 【答案】 【分析】可将、、当作空间中一组基底，从而可表示出向量、，再利用投影向量定义计算得到，最后利用模长与数量积的关系计算即可得解. 【详解】由为中点，则， 设，由在上的投影向量的模为， 则 ， 化简得，即， 整理得，即或， 又不是钝角，，故， 则 . 故答案为：. 5．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）如图，在平行六面体中，，，，点P为线段BC中点. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)三个不共面的向量作为基底，再用基底表示,再用模长公式.         (2)用基底表示,用数量积计算得出结果就行. 【详解】（1）设，，，这三个向量不共面，构成空间的一个基底， 则，，， 因为， 所以 （2）由（1）可知， 同理可得， . 所以 . 【考点5：空间向量基本定理中的参数问题】 1．（25-26高二上·河南开封·期中）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用向量的减法运算和空间向量基本定理即可求出. 【详解】因点在平面内，则使得， 则， 即， 因是平面外一点，则不共面， 则由以及空间向量基本定理可知， ，得. 故选：B 2．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用空间向量的基本定理可求出的值. 【详解】因为、、三点不共线，点在平面外，点满足， 设， 由题意可知、、不共面，所以，故. 故选：A. 3．（25-26高二上·安徽·期中）已知边长为2的正方体中，向量，若，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．2 【答案】A 【分析】根据空间中四点共面的条件判断出P点所在的平面，进而转化为C点到该平面的距离问题可得. 【详解】如图：    取中点，则，因为， 所以点在平面内，的最小值就是三棱锥的高， 因为， 所以的面积， 设三棱锥的高为，则，所以. 故选：A. 4．（25-26高二上·河南·阶段检测）如图，在三棱柱中，、分别是、的中点，若，则__________. 【答案】/ 【分析】将用、、表示，结合空间向量的基本定理可得出、、的值，即可得出的值. 【详解】在三棱柱中，、分别是、的中点， 则， 又因为，且、、不共面， 所以，，故. 故答案为：. 5．（25-26高三上·天津河西·期中）在如图所示平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则__________. 【答案】 【分析】应用空间向量的加减法，结合已知条件计算求参. 【详解】因为， 且，， 所以， 又因为，且线性无关，所以， 则. 故答案为：. 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 空间向量基本定理 【考点导航】 【知识梳理】 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合 相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含 有，不能含有其他形式的向量． 3．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 4．求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 5．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路: (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 【考点1：基底的概念与辨析】 1．（26-27高三·全国·一轮复习）若为空间的一个基底，则下列各项中，能作为空间的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·福建宁德·期末）已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（25-26高一下·海南海口·阶段检测）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则向量可用基底表示为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·河北·阶段检测）已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（25-26高二下·江苏徐州·期末）（多选）在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【考点2：用基底表示向量】 1．（26-27高二上·河北保定·开学考试）（多选）如图所示，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，设，，，则下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东广州·期末）（多选）已知三棱锥分别是的中点，为线段上一点，且，设，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·福建·阶段检测）（多选）在四面体中，，点在上，，为的中点，则下列四个选项中正确的有（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）(多选)如图所示，在平行六面体中，设，，，，分别是，，的中点，则下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（26-27高三·全国·一轮复习）如图所示，已知四棱锥，，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【考点3：利用空间向量的基本定理解决角度问题】 1．（26-27高三上·云南·开学考试）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·福建漳州·期中）在平行六面体中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·湖北·阶段检测）正四面体的棱长为，在平面内有一动点，满足，若直线与直线所成的角为，则的取值范围为________. 5．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期末）如图在平行六面体中，，.令，，，以为基底，解决下列问题： (1)用、、表示向量，并求； (2)求直线和夹角的余弦值. 【考点4：利用空间向量的基本定理解决长度问题】 1．（25-26高二上·浙江台州·期末）在平行六面体中，已知，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知正四面体的棱长为2，空间中一点满足，其中，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·新疆·一模）在平行六面体中，．若，则___________． 4．（25-26高二上·山东泰安·期中）已知四棱锥，底面是边长为的菱形，不是钝角，，，为中点，在上的投影向量的模为，则_____. 5．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）如图，在平行六面体中，，，，点P为线段BC中点. (1)求； (2)求. 【考点5：空间向量基本定理中的参数问题】 1．（25-26高二上·河南开封·期中）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·安徽·期中）已知边长为2的正方体中，向量，若，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．2 4．（25-26高二上·河南·阶段检测）如图，在三棱柱中，、分别是、的中点，若，则__________. 5．（25-26高三上·天津河西·期中）在如图所示平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则__________. 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $