1.3空间向量及其运算的坐标表示9题型分类讲义（讲+练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍

本讲义聚焦空间向量及其运算的坐标表示核心知识点，系统梳理空间直角坐标系建立、点与向量坐标确定、坐标运算（加减数乘数量积）、平行垂直模夹角的坐标条件及两点间距离公式，通过9大题型搭建从概念到应用的学习支架。 资料特色在于知识点与题型深度融合，每个题型先提炼方法（如对称点“关于谁对称谁不变”）再配各地期中期末真题，培养学生用数学眼光观察空间结构、用数学思维推理运算逻辑，课中辅助教师系统授课，课后助力学生针对性练习查漏补缺。

2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍 1.3空间向量及其运算的坐标表示9题型分类 一、空间直角坐标系 1．空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. (2)相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 2．右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 二、空间点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 三、空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 四、空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 五、空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝＝； cos〈a,b〉＝＝ . 六、空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点， 则P1P2＝||＝. （一） 求空间点的坐标 (1)空间直角坐标系有的作用: 可以通过空间直角坐标系将空间点、直线、平面数量化，将空间位置关系解析化; (2)空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标: x轴上的点的坐标为(x,0,0)，y轴上的点的坐标为(0,y,0)，z轴上的点的坐标为(0,0,z)． (3)空间直角坐标系中，坐标平面上的点的坐标: Oxy平面上的点的坐标为(x,y,0)，Oyz平面上的点的坐标为(0,y,z)，Oxz平面上的点的坐标为(x,0,z)． (4)建立空间直角坐标系的原则： ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上； ②充分利用几何图形的对称性． (5)求某点的坐标时，一般先找这一点在坐标轴(坐标平面)的射影，确定坐标轴(坐标平面)点的坐标，再找出它在另外两个轴上的射影，确定点的坐标. 题型1：求空间点的坐标 1．（2026高二·福建·期中）如图长方体中，分别是的中点，如图所示建系，则中点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的图形，求出相关点的坐标，再利用中点坐标公式求解作答. 【详解】依题意，， 因此线段的中点，线段的中点， 所以中点的坐标为. 故选：B 2．（2026高二·江苏南通·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的坐标公式直接计算即可. 【详解】设，已知，向量. 所以， 解得：，，. 所以. 故选：A 3．（2026高二·北京·期中）已知向量，，其中O为坐标原点，若点C为线段AB的中点，则点C的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先表示的坐标，再根据中点坐标公式计算可得． 【详解】因为向量，，其中O为坐标原点， 所以，， 所以的中点的坐标为， 故选：D 4．（2026高二·广东茂名·阶段检测）设点，，，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据，结合向量的坐标表示，列出方程组，即可求解. 【详解】设，则，且， 因为，可得，解得，即点. 故选：B. （二） 空间点的对称问题 （1）空间直角坐标系中对称点的坐标： ①点(a,b,c)关于原点O的对称点为(-a,-b,-c); ②点(a,b,c)关于x轴的对称点为(a,-b,-c); ③点(a,b,c)关于y轴的对称点为(-a,b,-c); ④点(a,b,c)关于z轴的对称点为(-a,-b,c); ⑤点(a,b,c)关于Oxy平面的对称点为(a,b,-c); ⑥点(a,b,c)关于Oyz平面的对称点为(-a,b,c); ⑦点(a,b,c)关于Ozx平面的对称点为(a,-b,c). （2）空间点对称问题的两个技巧： ①空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解． ②对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论． 题型2：求空间直角坐标系中对称点的坐标 5．（2026高二·浙江宁波·期末）已知点是点在坐标平面内的投影，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在坐标平面上的投影的性质求解. 【详解】因为点在坐标平面内的投影横、竖坐标不变，纵坐标为0. 所以. 故选：C 6．（2026高二·河南洛阳·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面Oxz对称的点为，点与点关于轴对称，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称性规则逐一求出的坐标. 【详解】由题意得，则. 故选：D 7．（2026高二·上海·期中）在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中任意一点，则下列叙述错误的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【答案】C 【详解】在空间直角坐标系中： 关于轴对称，坐标不变，、坐标变为相反数，即，选项A正确； 关于平面对称，平面上的点满足，对称时变为相反数，、不变，即，选项B正确； 关于轴对称，坐标不变，、坐标变为相反数，即.选项C中是关于平面对称得到的坐标，故选项C错误； 关于原点对称，、、坐标都变为相反数，即，选项D正确. （三） 空间向量的坐标 1、向量坐标的求法： (1)点A的坐标和向量的坐标形式完全相同； (2)起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得． 2、用坐标表示空间向量的步骤： (1)观察图形：充分观察图形； (2)建坐标系：由图形特征建立恰当的空间直角坐标系； (3)活用运算：综合利用空间向量的加减及数乘运算； (4)确定结果：由基向量表示出空间向量，确定坐标. 题型3：空间向量的坐标 8．（2026高二·广东·期末）如图，正方体的棱长为2，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求得. 【详解】依题意，，所以， 所以. 故选：D 9．【多选】（2026高二·河北邯郸·阶段检测）如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】求出等边三角形的高的长，根据三棱柱的棱长可得各点坐标，然后求得向量的坐标即可判断． 【详解】在等边中，，所以，则，，则. 故选：ABC 10．（2026高二·北京房山·期中）已知，则向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的坐标运算直接求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：B 11．（2026高二·全国·课堂例题）如图，在直三棱柱的底面三角形中，，，，为的中点，试建立恰当的空间直角坐标系． (1)写出，，，四点的坐标； (2)写出向量，，的坐标． 【答案】(1) 以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， ，，，； (2) ，，． 【分析】（1）根据题设构建空间直角坐标系，结合已知写出对应点坐标； （2）应用空间向量的坐标表示及（1）中对应点坐标写出向量的坐标. 【详解】（1）由，知，结合直三棱柱的性质知侧棱，，即两两互相垂直， 以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 易知，点在轴上，点在轴上，且，， 则，，，； （2）， ， ． 12．（2026高二·四川成都·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出点的坐标，再求出向量的坐标. 【详解】因为点与点关于平面对称且，所以点， 又，所以 故选：D （四） 空间向量的坐标运算 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 题型4：空间向量的坐标运算 13．（2026高二·福建宁德·期中）已知，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的坐标运算法则求解. 【详解】已知，，，分别计算三个坐标： 坐标： 坐标： 坐标： 因此. 14．（2026高二·全国·开学考试）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量线性运算的坐标表示得出答案. 【详解】， 故选：D. 15．（2026高二·江苏泰州·阶段检测）已知，，则（   ） A．21 B．8 C．68 D．-3 【答案】B 【详解】根据题意，， 则. 16．（2026高二·广东深圳·期末）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的坐标运算可得，结合空间向量数量积的坐标表示计算即可求解. 【详解】由题意知， 由，得， 解得. 故选：B. 17．（2026高一·山西大同·期中）在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则______. 【答案】 【分析】计算出相关向量，利用共面向量定理列方程，坐标对应相等解方程组即可. 【详解】，，， 四点共面等价于向量、、共面，根据共面向量定理知存在实数，使得： ，即， 所以，则. 18．（2026高二·甘肃酒泉·期末）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点的坐标为，再根据向量相等坐标计算求解. 【详解】平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，设顶点的坐标为， 因为，所以，所以， 所以的坐标为. （五） 空间向量的平行、垂直及模、夹角 1.设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝＝； cos〈a,b〉＝＝ . 注：利用空间向量的坐标运算的一般步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系． (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标． (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算． (4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题． 2.空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点， 则P1P2＝||＝. 3.利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)求出线段端点的坐标； (3)利用两点间的距离公式求出线段的长． 题型5：空间向量的平行问题 19．（2026高一·山东青岛·期末）已知向量，，且，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，， 因为，所以存在实数，使得， 故，解得，，， 所以. 20．（2026高一·河北承德·期末）已知空间向量，，若，则实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【详解】由，得，使得， 则， ，解得. 21．（2026高二·江苏盐城·期末）已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由向量平行的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】因为， 所以，解得：， 故. 22．（2026高二·上海宝山·期末）已知向量平行于向量，则__________． 【答案】 【详解】已知向量平行于向量， 则，解得， ． 题型6：空间向量的垂直问题 23．（2026高二·湖北随州·期末）已知向量，向量，若，则__________． 【答案】4 【详解】，，， ，即， 解得． 24．（2026高一·安徽六安·期末）已知向量，且，则________________． 【答案】1 【详解】因为， 所以. 25．（2026高一·重庆·期末）已知向量，，若，则________． 【答案】 【分析】由向量垂直的坐标表示求解. 【详解】由已知， 因为，所以，解得. 26．（2026高二·江苏镇江·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 已知，， 则，； 由与互相垂直，可得 ， 代入坐标计算得： 整理得，解得. 27．（2026高一·浙江宁波·期末）已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】C 【分析】利用向量垂直的性质得到其数量积为0，从而得解. 【详解】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 题型7：空间向量的距离问题 28．（2026高二·广东东莞·期末）已知向量，，若，则的取值为（    ） A．±1 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】因为向量，， 所以,又因为， 所以，故， 故选：B 29．（2026高二·山东淄博·期中）已知空间向量，．若，则实数的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】由得，结合空间向量数量积的坐标表示建立关于的方程，解之即可求解. 【详解】由题意知，， 由，得， 即， 所以，所以，解得. 故选：C 30．（2026高二·福建龙岩·期中）在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，求出的坐标，即可得. 【详解】由可得， 又， 所以， 所以. 31．（2026高二·新疆喀什·期末）若，则___________ 【答案】 【分析】求出的坐标，再利用模的坐标表示求解即可. 【详解】， ， . 故答案为：. 32．（2026高二·河南安阳·开学考试）在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三点共线，求出C点坐标，即可求. 【详解】，，， 若三点共线，则有，得，解得， ，. 故选：B 33．（2026高二·上海宝山·期末）已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是______. 【答案】4 【分析】利用坐标法，根据空间向量数量积的坐标运算，向量线性运算，不等式思想即可求解． 【详解】是空间相互垂直的单位向量， 设，，设， 又，， 又， ， ，其中， ， ， 当且仅当时取得等号， 的最小值是4． 故答案为：4． 题型8：空间向量的夹角问题 34．（2026高二·贵州遵义·期中）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量数量积坐标运算即可求解. 【详解】由于， 故选：A. 35．（2026高二·河南许昌·阶段检测）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得坐标，然后由空间向量夹角余弦坐标公式可得答案. 【详解】. 则. 故选：A 36．（2026高二·贵州黔南·期末）在正方体中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成角的余弦值. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系．    设正方体的棱长为1．由分别是的中点， 可得， 所以． 由向量夹角公式，得， 因此直线与所成角的余弦值为． 故选：B 37．（2026高二·江西抚州·期末）设向量，，若，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的夹角公式结合向量的数量积与模长公式进行计算即可. 【详解】因为，则有， ， 解得，由题得，故. 故选：B 38．（2026高二·安徽淮南·期中）已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用夹角是锐角的向量关系计算即可. 【详解】因为空间向量，， 若与的夹角是锐角，则且不成立， 所以或. 故选：C. 题型9：空间向量的投影问题 39．（2026高二·河北邢台·阶段检测）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间中点的坐标确定方法，结合空间向量的坐标表示，写出结论即可. 【详解】根据空间中点的坐标确定方法知，空间中的点， 在坐标平面上的投影坐标，竖坐标为0，横坐标与纵坐标不变. 所以空间向量，在坐标平面上的投影向量坐标是：. 故选：A. 40．（2026高二·江苏南京·阶段检测）向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】向量在向量上的投影向量为. 41．（2026高二·江苏·期中）已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求，再由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】向量，，， 所以，解得，所以，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 42．（2026高二·福建福州·期中）空间向量，向量与夹角为，且，若在上的投影向量为，则等于________． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出在上的投影向量即可得解. 【详解】由向量，得，， 因此在上的投影向量，所以. 故答案为： 43．（2026高二·广东佛山·阶段检测）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，顶点位于坐标原点，若是棱的中点，是侧面的中心．    (1)求点，的坐标及； (2)求向量在方向上的投影向量． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】（1）利用给定的图形直接求出点，的坐标，再利用向量的坐标表示并求出模作答. （2）求出的坐标，再利用投影向量的意义求解作答. 【详解】（1）在棱长为1的正方体中，棱的中点，侧面的中心， 因此，所以. （2）依题意，，，则，，， 所以向量在方向上的投影向量为. 1．（2026高二·江苏苏州·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的坐标运算求解. 【详解】已知，则. 2．（2026高二·江苏常州·期中）已知点，，若，则实数x的值为（   ） A． B．0 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的模的计算公式求解即可 【详解】由题知，因为，所以， 解得 3．（2026高二·江苏淮安·期中）已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为（   ） A．2 B．1 C．4 D．3 【答案】C 【详解】由空间四点，，，构成梯形，得四点共面， 则存在唯一实数对，使得， 即， 得，解得. 当时，， 所以，且， 所以空间四点构成梯形. 所以. 4．（2026高二·福建莆田·期末）在正方体中，分别过作直线的垂线，垂足分别为M，N，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设，，结合题意求得，进而利用可求解. 【详解】在正方体中， 以为坐标原点，以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则， 则，，， 设，所以， 所以，解得，所以. 设，所以， 所以，解得，所以. 所以. 5．（2026高二·福建福州·期中）已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的中点的坐标，再求出关于平面对称的点的坐标即可． 【详解】因为点， 所以的中点， 所以关于平面对称的点的坐标为， 故选：C． 6．（2026高二·北京延庆·期中）已知，，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的夹角公式求出，结合向量夹角的取值范围可得出的大小. 【详解】由题意可得， 因为，故. 故选：C. 7．（2026高二·广西来宾·期中）已知空间中三点，，，则（   ） A．7 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】由向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】因为，，， 所以，则. 故选：B 8．（2026高二·湖南·期中）已知、、，若，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的坐标运算求解即可. 【详解】设点坐标为，则， 因为、，所以，， 所以，，，，则点的坐标为． 故选：A． 9．（2026高二·福建泉州·期中）已知．若点共线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据共线得到方程，求出，再求出，得到模长. 【详解】因为点共线，所以与共线， 所以，解得，， 故，， . 故选：B. 10．（2026高二·江苏南京·期中）已知向量，且，则（    ） A．-2 B．-1 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据数量积公式，代入求解，即可得答案. 【详解】由，得，解得. 11．（2026高三·全国·三轮复习）已知向量，且与垂直，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知：，则， 又与垂直， 则，得. 12．（2026高二·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】由空间向量垂直、平行的坐标表示列方程求参数值，进而得，再应用空间向量模长的坐标运算求结果. 【详解】由，，，， ，解得， 又，则，解得， 所以，， 则，可得. 故选：C 13．（2026高二·广东中山·阶段检测）已知，在的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得：，因为在的投影向量为， 所以，即：，且， 代入，，化简得：，解得：， 所以. 14．（2026高二·浙江杭州·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】点关于平面对称点的坐标为. 15．（2026高二·江苏连云港·期中）已知点，，，在平面内，则x值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用向量共面的定理求解即可. 【详解】由题意可得， 又因为四点共面， 所以，则， 所以，解得， 所以. 16．（2026高二·江苏南京·期中）已知空间向量，若共面，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，列出方程组求解即可． 【详解】因为共面，所以存在，使得， 即，解得， 所以． 17．【多选】（2026高二·河南周口·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知，则（    ） A． B．与平行且模为的向量的坐标为或 C．与夹角的余弦值为 D．在上投影向量的坐标为 【答案】BD 【分析】根据向量的坐标运算即可求解AB，根据夹角公式以及投影向量的计算公式即可求解CD. 【详解】对A， 因为，所以A错误； 对B，因为，所以，因为所求的向量与平行，且模为， 所以所求的向量为：或，即所求向量坐标为或，所以B正确； 对C，又因为， 所以与夹角的余弦值为，所以C错误； 对D在上投影向量为：，所以选项D正确． 故选：BD． 18．（2026高二·天津滨海新区·阶段检测）已知空间中三点则下列说法不正确的是（    ） A．与方向相同的单位向量的坐标是 B．在上的投影向量的坐标是 C．与夹角的余弦值是 D．A､B两点间距离为 【答案】C 【分析】分别根据单位向量的定义，投影向量的公式，向量夹角的公式及模长公式即可判断. 【详解】， 由单位向量的定义可知与方向相同的单位向量的坐标是，故A正确. 在上的投影向量的坐标是，故B正确； ，故C错误； 两点间的距离即，故D正确. 故选：C 19．（2026高二·四川达州·期末）已知向量，，，，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂直关系可得，再由投影向量定义计算可得结果. 【详解】由可得，解得，即； 所以; 因此在方向上的投影向量为. 故选：A 20．（2026高二·上海·期末）设、，向量，，，且，，则______. 【答案】0 【分析】由求得，再由数量积的坐标运算求值. 【详解】因为，所以，解得，即， 因为，所以，解得，则， 所以， 故答案为：. 21．（2026高二·北京·期中）已知为坐标原点，,,则的值为______；中，边上中线的长为______． 【答案】 【分析】第一小空可以直接用向量的夹角公式求得；第二小空可以使用向量中线定理写出中线的向量坐标，再求模. 【详解】①； ②在中，假设的中点为, 则上的中线可表示为,其模长为. 则上的中线长等于, 故答案为： 22．（2026高二·新疆·阶段检测）如图1，在长方形中，已知，，将沿长方形的对角线翻折，使其构成如图2所示的三棱锥，则_________. 【答案】2 【分析】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，求得点的坐标满足的关系，由空间向量的数量积的坐标表示求得. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，则， 设，则，， 因为，，所以，则， 所以. 故答案为：. 23．（2026高三·北京·阶段检测）如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点．则棱锥的体积为___________．当时，长度为___________ 【答案】 【分析】利用等体积法计算得三棱锥的体积；建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标表示求出点坐标，进而求出长度. 【详解】在棱长为1的正方体中，是棱上的动点， ，因此棱锥的体积； 以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设，于是， 由，得，解得，因此， 所以长度为. 24．（2026高二·陕西汉中·期末）设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________． 【答案】 【分析】利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】因为是单位向量，所以有， 因为与的夹角等于， 所以， 所以有， ， 故答案为： 25．（2026高二·江苏苏州·期中）在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且. (1)求的长度； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出的坐标，设点P的坐标为，根据求出点坐标，即可利用向量的模求出的长度； （2）设Q的坐标为，根据向量垂直即可求出Q的坐标，进而利用可求出. 【详解】（1）以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图， 则， 由题意，可设点P的坐标为，因为3＝， 所以，所以，解得， 所以点P的坐标为，所以， 所以，即的长度为. （2）由题意可设点Q的坐标为， 因为，所以＝0， 所以·＝0，即，解得 ， 所以点Q的坐标为， 因为，所以＝λ， 所以，故. 26．（2026高二·全国·课后作业）如图，在三棱柱中，平面为棱的中点，已知.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标.    【答案】， 【分析】侧面，而与不垂直，此时在平面上过点作垂直的直线，与相交于点， 则三线两两垂直，可建立空间直角坐标系得各个点的坐标. 【详解】在平面上过点作垂直的直线，与相交于点， 如图所示，侧面，侧面，侧面，, 又,所以两两垂直，以为原点， 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系． ，，，则， 所以，，，，，， 为棱的中点，则有. 27．（2026高二·河北衡水·周测）如图，，坐标原点是的中点，点的坐标为，点在平面上，且，．    (1)求向量的坐标； (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，根据题意求出点的坐标，从而能求的坐标； （2）求出的坐标，根据公式计算即可求解. 【详解】（1）过点作于点，由题意，， 则， ， 所以，    因为，是的中点，所以， 所以. （2），所以， ，所以，， 所以， 则与的夹角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍 1.3空间向量及其运算的坐标表示9题型分类 一、空间直角坐标系 1．空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. (2)相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 2．右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 二、空间点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 三、空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 四、空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 五、空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝＝； cos〈a,b〉＝＝ . 六、空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点， 则P1P2＝||＝. （一） 求空间点的坐标 (1)空间直角坐标系有的作用: 可以通过空间直角坐标系将空间点、直线、平面数量化，将空间位置关系解析化; (2)空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标: x轴上的点的坐标为(x,0,0)，y轴上的点的坐标为(0,y,0)，z轴上的点的坐标为(0,0,z)． (3)空间直角坐标系中，坐标平面上的点的坐标: Oxy平面上的点的坐标为(x,y,0)，Oyz平面上的点的坐标为(0,y,z)，Oxz平面上的点的坐标为(x,0,z)． (4)建立空间直角坐标系的原则： ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上； ②充分利用几何图形的对称性． (5)求某点的坐标时，一般先找这一点在坐标轴(坐标平面)的射影，确定坐标轴(坐标平面)点的坐标，再找出它在另外两个轴上的射影，确定点的坐标. 题型1：求空间点的坐标 1．（2026高二·福建·期中）如图长方体中，分别是的中点，如图所示建系，则中点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 2．（2026高二·江苏南通·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026高二·北京·期中）已知向量，，其中O为坐标原点，若点C为线段AB的中点，则点C的坐标为（    ）． A． B． C． D． 4．（2026高二·广东茂名·阶段检测）设点，，，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． （二） 空间点的对称问题 （1）空间直角坐标系中对称点的坐标： ①点(a,b,c)关于原点O的对称点为(-a,-b,-c); ②点(a,b,c)关于x轴的对称点为(a,-b,-c); ③点(a,b,c)关于y轴的对称点为(-a,b,-c); ④点(a,b,c)关于z轴的对称点为(-a,-b,c); ⑤点(a,b,c)关于Oxy平面的对称点为(a,b,-c); ⑥点(a,b,c)关于Oyz平面的对称点为(-a,b,c); ⑦点(a,b,c)关于Ozx平面的对称点为(a,-b,c). （2）空间点对称问题的两个技巧： ①空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解． ②对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论． 题型2：求空间直角坐标系中对称点的坐标 5．（2026高二·浙江宁波·期末）已知点是点在坐标平面内的投影，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（2026高二·河南洛阳·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面Oxz对称的点为，点与点关于轴对称，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（2026高二·上海·期中）在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中任意一点，则下列叙述错误的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 （三） 空间向量的坐标 1、向量坐标的求法： (1)点A的坐标和向量的坐标形式完全相同； (2)起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得． 2、用坐标表示空间向量的步骤： (1)观察图形：充分观察图形； (2)建坐标系：由图形特征建立恰当的空间直角坐标系； (3)活用运算：综合利用空间向量的加减及数乘运算； (4)确定结果：由基向量表示出空间向量，确定坐标. 题型3：空间向量的坐标 8．（2026高二·广东·期末）如图，正方体的棱长为2，，且，则（    ） A． B． C． D． 9．【多选】（2026高二·河北邯郸·阶段检测）如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2026高二·北京房山·期中）已知，则向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 11．（2026高二·全国·课堂例题）如图，在直三棱柱的底面三角形中，，，，为的中点，试建立恰当的空间直角坐标系． (1)写出，，，四点的坐标； (2)写出向量，，的坐标． 12．（2026高二·四川成都·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． （四） 空间向量的坐标运算 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 题型4：空间向量的坐标运算 13．（2026高二·福建宁德·期中）已知，则为（    ） A． B． C． D． 14．（2026高二·全国·开学考试）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 15．（2026高二·江苏泰州·阶段检测）已知，，则（   ） A．21 B．8 C．68 D．-3 16．（2026高二·广东深圳·期末）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 17．（2026高一·山西大同·期中）在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则______. 18．（2026高二·甘肃酒泉·期末）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． （五） 空间向量的平行、垂直及模、夹角 1.设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝＝； cos〈a,b〉＝＝ . 注：利用空间向量的坐标运算的一般步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系． (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标． (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算． (4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题． 2.空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点， 则P1P2＝||＝. 3.利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)求出线段端点的坐标； (3)利用两点间的距离公式求出线段的长． 题型5：空间向量的平行问题 19．（2026高一·山东青岛·期末）已知向量，，且，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 20．（2026高一·河北承德·期末）已知空间向量，，若，则实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 21．（2026高二·江苏盐城·期末）已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 22．（2026高二·上海宝山·期末）已知向量平行于向量，则__________． 题型6：空间向量的垂直问题 23．（2026高二·湖北随州·期末）已知向量，向量，若，则__________． 24．（2026高一·安徽六安·期末）已知向量，且，则________________． 25．（2026高一·重庆·期末）已知向量，，若，则________． 26．（2026高二·江苏镇江·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数（    ） A． B． C． D． 27．（2026高一·浙江宁波·期末）已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 题型7：空间向量的距离问题 28．（2026高二·广东东莞·期末）已知向量，，若，则的取值为（    ） A．±1 B． C．1 D． 29．（2026高二·山东淄博·期中）已知空间向量，．若，则实数的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 30．（2026高二·福建龙岩·期中）在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 31．（2026高二·新疆喀什·期末）若，则___________ 32．（2026高二·河南安阳·开学考试）在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则（    ） A． B． C． D． 33．（2026高二·上海宝山·期末）已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是______. 题型8：空间向量的夹角问题 34．（2026高二·贵州遵义·期中）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 35．（2026高二·河南许昌·阶段检测）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 36．（2026高二·贵州黔南·期末）在正方体中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 37．（2026高二·江西抚州·期末）设向量，，若，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 38．（2026高二·安徽淮南·期中）已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型9：空间向量的投影问题 39．（2026高二·河北邢台·阶段检测）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 40．（2026高二·江苏南京·阶段检测）向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 41．（2026高二·江苏·期中）已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 42．（2026高二·福建福州·期中）空间向量，向量与夹角为，且，若在上的投影向量为，则等于________． 43．（2026高二·广东佛山·阶段检测）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，顶点位于坐标原点，若是棱的中点，是侧面的中心．    (1)求点，的坐标及； (2)求向量在方向上的投影向量． 1．（2026高二·江苏苏州·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026高二·江苏常州·期中）已知点，，若，则实数x的值为（   ） A． B．0 C．4 D． 3．（2026高二·江苏淮安·期中）已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为（   ） A．2 B．1 C．4 D．3 4．（2026高二·福建莆田·期末）在正方体中，分别过作直线的垂线，垂足分别为M，N，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026高二·福建福州·期中）已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（2026高二·北京延庆·期中）已知，，则是（   ） A． B． C． D． 7．（2026高二·广西来宾·期中）已知空间中三点，，，则（   ） A．7 B． C．9 D． 8．（2026高二·湖南·期中）已知、、，若，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 9．（2026高二·福建泉州·期中）已知．若点共线，则（   ） A． B． C． D． 10．（2026高二·江苏南京·期中）已知向量，且，则（    ） A．-2 B．-1 C．2 D．1 11．（2026高三·全国·三轮复习）已知向量，且与垂直，则的值为（    ） A． B． C． D． 12．（2026高二·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 13．（2026高二·广东中山·阶段检测）已知，在的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 14．（2026高二·浙江杭州·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 15．（2026高二·江苏连云港·期中）已知点，，，在平面内，则x值为（   ） A． B． C．1 D． 16．（2026高二·江苏南京·期中）已知空间向量，若共面，则（    ） A．2 B．1 C． D． 17．【多选】（2026高二·河南周口·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知，则（    ） A． B．与平行且模为的向量的坐标为或 C．与夹角的余弦值为 D．在上投影向量的坐标为 18．（2026高二·天津滨海新区·阶段检测）已知空间中三点则下列说法不正确的是（    ） A．与方向相同的单位向量的坐标是 B．在上的投影向量的坐标是 C．与夹角的余弦值是 D．A､B两点间距离为 19．（2026高二·四川达州·期末）已知向量，，，，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 20．（2026高二·上海·期末）设、，向量，，，且，，则______. 21．（2026高二·北京·期中）已知为坐标原点，,,则的值为______；中，边上中线的长为______． 22．（2026高二·新疆·阶段检测）如图1，在长方形中，已知，，将沿长方形的对角线翻折，使其构成如图2所示的三棱锥，则_________. 23．（2026高三·北京·阶段检测）如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点．则棱锥的体积为___________．当时，长度为___________ 24．（2026高二·陕西汉中·期末）设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________． 25．（2026高二·江苏苏州·期中）在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且. (1)求的长度； (2)若，，求的值. 26．（2026高二·全国·课后作业）如图，在三棱柱中，平面为棱的中点，已知.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标.    27．（2026高二·河北衡水·周测）如图，，坐标原点是的中点，点的坐标为，点在平面上，且，．    (1)求向量的坐标； (2)求与的夹角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $