21.1 认识一元二次方程 讲义 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程的定义、一般形式及根这一核心知识点，构建从定义（满足整式方程、一个未知数、最高次数2）到一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0，含符号及特殊形式）再到根的定义与根的情况（无实根、两相等或不等实根）的学习支架。 资料通过七类典型题型（如方程识别、参数求解、代数式求值等）设计，培养学生抽象能力（数学眼光）、推理意识（数学思维）和模型意识（数学语言），课中辅助教师系统教学，课后助力学生通过解析查漏补缺，强化知识应用。

第21章21.1 认识一元二次方程 【新教材华东师大版】 知识点1 一元二次方程的定义 1.定义：如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 例如：=2，，，，均不是一元二次方程. 知识点2 一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式是()，其中是二次项，是二次项系数;是一次项，是一次项系数；是常数项. 2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 3.一元二次方程的特殊形式. （1)当b=0时，得()； （2)当c=0时，得()； （3)当b=0且c=0时,得(). 知识点3 一元二次方程的解（根） 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若，是一元二次方程()的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：()，(). 【题型1 一元二次方程的识别】 1．下列关于的方程一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．下列方程：①；②；③；④其中是一元二次方程的有（     ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③ 4．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【题型2 由一元二次方程的定义求参数】 1．已知 是关于x的一元二次方程，则a的值为(　　) A． B． C． D． 2．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若是一元二次方程，则m的值为（    ） A． B．3 C． D．9 4．若关于的方程是一元二次方程，则________． 5．若关于的方程是一元二次方程，则________． 【题型3 化成一元二次方程的一般形式】 1．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．4，1，3 B． C． D． 3．将一元二次方程，化成的形式，则的值分别是（  ） A． B． C． D． 4．一元二次方程化为一般式为___________． 5．写出一个二次项系数与常数项之积为6的一元二次方程，你写出的是___________．（写出一个即可） 【题型4 求一元二次方程的各项系数】 1．关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 3．在下列方程中，是方程的根的是（    ） A． B． C． D． 4．下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 5．已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 【题型5 由一元二次方程的解求参数】 1．已知关于x的方程的一个根是1，则m的值是（     ） A．1 B．2 C． D． 2．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．或2 B． C．2 D．0 3．对于实数a，b定义新运算：，例如：，若关于x的方程有一个根为1，则m的值是（    ） A． B． C． D．0 4．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为__________. 5．已知关于x的方程有一个根是0，则m的值为____． 【题型6 由一元二次方程的解求代数式的值】 1．若是方程的根，则的值为（     ） A．2020 B．2019 C．2018 D．2017 2．若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 3．已知a是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D．2024 4．已知是方程的一个根，则____________． 5．若关于x的一元二次方程有一个根为，则代数式的值是_______________． 6．若是关于的方程的一个根，代数式的值为__________． 【题型7 已知一元二次方程的解求另一个方程的解】 1．若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 2．若关于的一元二次方程有一个根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 3．若关于x的一元二次方程有一根为，则关于y的一元二次方程必有一根为（    ） A．2025 B． C． D． 4．若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 第21章21.1 认识一元二次方程答案与详细解析 【题型1 一元二次方程的识别】 1．D 【分析】只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，注意二次项系数不为0的隐含条件，结合方程类型与未知数个数逐一判断． 【详解】解：A、当时，该方程不含二次项，不是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程； B、方程含有，两个未知数，所以该方程不是一元二次方程； C、方程分母含未知数，不是整式方程，所以该方程不是一元二次方程； D、方程只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，且二次项系数不为0，是一元二次方程． 2．D 【分析】方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程．据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项：是分式方程，不是一元二次方程； B选项：展开左边得，整理得，是一元一次方程，不是一元二次方程； C选项：未明确，不一定是一元二次方程； D选项：是一元二次方程． 3．C 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：①是分式方程，不是一元二次方程； ②含有两个未知数，不是一元二次方程； ③是一元二次方程； ④是一元二次方程； 综上所述，③和④是一元二次方程． 4．B 【详解】解：A、方程含分式，不是整式方程，不符合题意； B、展开左边得，整理得，符合一元二次方程定义； C、当时，方程不含二次项，不是一元二次方程，不符合题意； D、展开左边得，整理得，是一元一次方程，不符合题意． 【题型2 由一元二次方程的定义求参数】 1．B 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2次的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：根据题意可知，， 解得： 2．B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程二次项系数不为0的要求，即可求解． 【详解】∵ 方程是关于的一元二次方程． ∴ 二次项系数不能为，即 ． 解得 ． 3．A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0． 【详解】解：∵方程为一元二次方程， ， 解得：， 故选：A． 4．2 【分析】根据一元二次方程定义列出关于的条件，求解即可得到答案． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得， 即， 由得， ． 5． 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列方程与不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程 ∴ 由得：或 解得或 由，∴ ∴． 【题型3 化成一元二次方程的一般形式】 ．C 【分析】一元二次方程的一般形式为，只需展开原式，移项合并同类项即可得到结果 【详解】解：原方程为， ∵展开方程左边，得， 合并同类项得， 移项整理为一般形式，两边同乘得 2．B 【分析】本题考查一元二次方程一般式的概念，解题思路是将原方程展开，移项合并同类项整理为一般形式，即可对应得到，，的值． 【详解】解：把一元二次方程化成一般式：， 对比一般式，可得，，． 3．A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程一般式的形式及计算方法是解题的关键． 运用完全平方公式展开，再化成一元二次方程的一般式进行比较即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得，， 故选：A ． 4． 【详解】解：， 展开完全平方得， 移项、合并同类项得． 5．（答案不唯一） 【分析】该题考查了一元二次方程，根据题意，需要构造一个一元二次方程，使得二次项系数与常数项的乘积为6．二次项系数和常数项可任意选择，只要满足乘积为6即可，一次项系数可任意取值． 【详解】解：设一元二次方程为 ，其中 a 为二次项系数，c 为常数项． 由条件知， 选择，则，再选择， 得到方程． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型4 求一元二次方程的各项系数】 1．C 【分析】根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将题目给出的等式与一元二次方程的一般形式对比，即可得到对应满足方程的x的值． 【详解】解：∵ 方程为 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根， 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根 ∴方程的根为． 2．A 【详解】解：∵一元二次方程为 ， 把代入方程左边，得， 又∵已知， ∴当时，方程左右两边相等， ∴是该一元二次方程的一个根． 3．C 【详解】解：A．当时，，不是方程的根； B．当时，，不是方程的根； C．当时，，是方程的根； D．当时，，不是方程的根． 4．C 【详解】解：A、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； B、未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，将代入方程左边得：左边右边，是的根，符合题意； D、即，不是一元二次方程，不符合题意． 5．C 【分析】本题考查的解一元二次方程，从表格中直接读取代数式的值为时对应的值，即为方程的根． 【详解】解：当时，代数式的值为；当时，代数式的值也为， 方程的根为或． 故选：C． 【题型5 由一元二次方程的解求参数】 1．A 【分析】将已知根代入原方程，构建关于m的一元一次方程求解． 【详解】解：将代入，得，解得． 2．A 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入方程得到关于的方程，求解后再结合一元二次方程的定义排除不符合条件的值，即可得到结果. 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， 解得或， 又原方程是一元二次方程， 二次项系数，即， 而和都满足， 因此的值为或. 3．C 【详解】解：关于x的方程有一个根为1， ∴ ∴ ∴． 4． 【分析】根据题意得到且，即可求出a的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴且， 解得． 5．1 【分析】本题考查了方程的解的定义．将代入方程，利用根的定义求解 【详解】解：将代入方程 ，得 ， 故答案为：1 【题型6 由一元二次方程的解求代数式的值】 1．C 【分析】所求代数式的二次项、一次项系数与方程对应系数成比例，可通过整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 2．A 【分析】把代入一元二次方程中，得到，再把代入，即可． 【详解】解：将代入，得， ， ． 3．D 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，整体代入法求代数式的值，掌握一元二次方程根的概念是关键；由题意得，则有，，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 故选：D． 4．－2026 【分析】因为a是方程的根，所以可将a代入方程得到关于a的等式，作为化简代数式的核心依据．利用得到的等式对代数式的前两项进行降次化简．利用得到的等式变形得到的表达式，代入分式中化简，最后合并化简后的两部分结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴ ， ∴， 对所求式前两项提取公因式： ∵， 代入分式部分： ∵， ∴等式两边同除以得： ， ∴， 将以上结果代入原式： ． 5． 【分析】根据是的一个根，将代入原方程得，再代入计算即可得答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴把代入方程得: ， 整理得 :， ∴ ． ∴代数式的值为． 6． 【分析】先由方程根的定义，得到，再化简所求代数式，将整体代入计算即可得到答案． 【详解】解： 是关于的方程的一个根， ，则， ． 【题型7 已知一元二次方程的解求另一个方程的解】 1．B 【分析】将所求方程整理变形，使其与原方程结构一致，通过换元利用已知方程的解求解即可. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一解为 ∴ 整理所求方程 移项得 提取公因式得 令，则方程变为，与原方程结构完全相同，故该方程的一个解为 即 解得 因此所求方程必有一解为 2．A 【分析】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键． 通过换元法，将第二个方程转化为第一个方程的形式，然后利用已知根求解． 【详解】解：方程可变形为：， 又， 方程化为． 设，则方程化为， 方程有一个根为， 方程有一个根为， 即， ． 故选A． 3．C 【分析】本题考查一元二次方程的解，代入一元二次方程，得，两边同时除以可确定所求方程的一个根． 【详解】解：把代入一元二次方程，得， 两边除以，得， ∴， ∴是一元二次方程的一根． 故选：C． 4． 【分析】根据题意可得，设，可得关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 设， 则方程可化为 ∵关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴， ∴， ∴一元二次方程必有一个实数根为． 学科网（北京）股份有限公司 $