21.2.2 一元二次方程的解法—配方法 讲义 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程的解法—配方法这一核心知识点，系统梳理从定义（配成完全平方式）到步骤（移项、化系数、配方、开平方、求解），再到根的情况判断（正数、零、负数对应不同实数根）的完整脉络，搭建从基础操作到综合应用的学习支架。 该资料亮点在于题型分层设计，从配方基础练习（如填空、选择）到解方程步骤训练，再到最值、比较大小等应用，培养抽象能力（符号意识）、推理意识和模型意识。详细解析助力课后查漏补缺，课中可通过互动题型提升教学效果，促进学生数学思维发展。

第21章21.2.2 一元二次方程的解法—配方法 配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例) 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则． 【题型1 配方】 1．用配方法解方程，则配方正确的是（     ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 3．将一元二次方程转化为的形式，则的值为（     ） A．8 B．11 C．13 D．16 4．小亮用配方法解方程的部分过程如下： 把常数项移到方程的右边，得  第一步 二次项系数化为1，得①  第二步 配方，得②  第三步 ①②处应分别填入的数是（     ） A．， B．， C．， D．， 5．填空： （1）____ ____； （2）____ ____； （3）________； （4）____ ____． 6．用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 7．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 【题型2 用配方法解方程】 1．用配方法解一元二次方程得，则b的值为________． 2．把关于x的一元二次方程配方，得，则______． 3．某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图．老师看后，发现有一名同学所负责的步骤是错误的，则这名同学是________． 4．已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为_____． 5．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 6．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．有m（m是正整数）个方程：；；…；．小明用配方法解方程，过程为： 移项，得……①， 配方，得……②， 即……③， 直接开平方，得……④， 所以……⑤， ，……⑥． (1)小明的解法是从过程_______________开始出现错误； (2)请你帮助小明写出正确的解法； (3)用配方法解第m个方程（用含m的式子表示方程的根）． 【题型3 配方法的应用】 1．设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 2．用配方法将二次三项式变形，结果是（     ） A． B． C． D． 3．多项式的最小值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 4．将代数式配方后，发现它的最小值为______________________ 5．设m，n为实数，且有最小值，则W的最小值为________． 6．已知，，则比较代数式A与B的值：A________B．（请用“”、“”、“”表示） 7．我们知道：，所以． 解答下列问题： (1)填空： 设，则． 所以，A______B；（填“”“”或“”） (2)已知，请判断的大小关系，并说明理由． 8．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的值的范围． 解： ∵无论x取何实数，总有， ． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题：已知x可取任何实数，求二次三项式的最值情况． 9．【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问题等有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值，求解未知量． 应用一 应用二 用配方法分解因式：． 解： ． 用配方法求代数式的最小值． 解： 的最小值为 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)若，运用配方法可求出的最小值为________； (3)如图，在中，，，，点为边上一点（不与点、点重合），连接，以为边在上方构造正方形，连接．则面积的最大值为________． 10．阅读下列材料： 材料一 “”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如： ，， 解决下列问题： (1)填空： ． (2)已知，求的值． (3)比较代数式与的大小，并说明理由 11．数学课上，老师在黑板上书写了两个整式；，． (1)比较的大小； (2)若，证明：不可能小于0． 12．【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：将先利用配方法变形为的形式，再分解因式． 配方： 分解因式： 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法把分解因式． (2)代数式的最小值是___________（直接写答案）． (3)若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 13．配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值．最小值等，例如：求代数式的最小值，解法如下： 解： ∵，∴．∴的最小值是3． 根据材料中的方法，解答下列问题： (1)若，求的值． (2)求代数式的最小值． (3)用配方法说明：不论x为何值；代数式的值总是正数 第21章21.2.2 一元二次方程的解法—配方法答案与详细解析 【题型1 配方】 1．C 【分析】移项后，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配方为完全平方式，即可得到正确结果． 【详解】解： ． 2．B 【分析】根据配方法的规则，计算一次项系数一半的平方，即可得到横线上需要填的数. 【详解】解：∵ 对一元二次方程配方时，需要给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，原方程中一次项系数为， ∴ 一次项系数一半的平方为 ，因此表示的数为. 3．C 【分析】通过移项、配方将原方程化为题目要求的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴移项得， ∴配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比可得，， ∴． 4．B 【分析】按照配方法的步骤，先将二次项系数化为1得到①，再根据配方的规则求出②即可． 【详解】解： 把常数项移到方程的右边，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得． 因此①为，②为． 5． （1） （2） （3） 1 1 （4） 【详解】解：（1） （2） （3） （4） 6．14 【分析】先移项将常数项移到等号右侧，再对左侧配方，对比形式即可得到的值． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， ∵一次项系数为，其一半的平方为， ∴方程两边同时加，得， 整理，得， ∴． 7．3 【分析】将原方程通过移项、配方化为的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解： ， 移项得， 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，， 因此． 【题型2 用配方法解方程】 1． 【分析】将的两边分别平方整理后得到，然后比较求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ，． 2． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法、多项式相等的条件以及代数式求值，熟练掌握配方法的步骤和多项式系数对应相等的性质是解题的关键． 先将配方后的方程展开，再与原方程比较对应项的系数，求出和的值，最后计算的值． 【详解】解：， ， ∵与是同一个方程， ∴，． ∴，． ∴． 故答案为：． 3．丁 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握用配方法解方程时，开平方要考虑正负两种情况，不能遗漏解是解题的关键． 依次检查配方法解一元二次方程的移项，配方，化简，求解四个步骤，找出错误的步骤． 【详解】解：甲的步骤：此步骤为移项，正确； 乙的步骤：此步骤为配方，两边同时加上一次项系数一半的平方，正确； 丙的步骤：此步骤为化简，正确； 丁的步骤 此步骤为求解 开平方，应得 当时，解得 当时，解得 所以方程的解应为， 丁同学只给出了一个解，遗漏了另一个解，因此步骤错误． 故答案为：丁． 4． 【分析】将配方后的方程展开整理为一元二次方程的一般形式，与原方程对比系数得到m和n的值，代入计算即可． 【详解】解：， ∴， 即， ∵方程通过配方可变形为， ∴， ∴． 5．(1)， (2)， 【分析】按照配方的方法步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴，． （2）解：， ， ， ， ， ， ∴，． 6．(1) (2) (3) (4)原方程无实数根 【详解】（1）解：， 移项得：， 方程两边同除以3得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：； （2）解：， 移项得：， 方程两边同除以6得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：； （3）解：， 移项得：， 方程两边同除以3得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：； （4）解：， 变为一般形式得：， 移项得：， 配方得：， 即， ∵， ∴原方程无解． 7．(1)③ (2)解：移项，得， 配方，得，即， 直接开平方，得， 所以，； (3)解：， ， ， ， ， ∴，． 【分析】（1）过程③应该是，出现错误； （2）根据配方法的步骤进行作答即可； （3）根据配方法的步骤进行作答即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【题型3 配方法的应用】 1．A 【分析】作差后配方，利用平方的非负性判断差的符号，比较M与N的大小． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．A 【详解】解：． 3．C 【分析】本题考查利用完全平方公式求最值，通过完全平方公式将多项式配方，再利用非负性求最小值即可． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴当, 时，多项式取最小值 3， 故选C． 4． 【分析】用配方法对二次代数式变形，根据完全平方式的非负性即可求出代数式的最小值． 【详解】解：对进行配方， ， ， 因此该代数式的最小值为． 5．/ 【分析】把变形为，结合， ，从而可得，进而可得解． 【详解】解：由题意得： 又∵， ， ∴， ∴W的最小值为． 6． 【分析】利用作差法比较两个代数式的大小，对作差结果进行配方整理，根据完全平方的非负性判断差的符号，即可得到A与B的大小关系． 【详解】解： ， ，即， ． 7．(1)2；1； (2)．理由如下： ， ． ， 即， ． 【分析】（1）根据差值比较法比较两式大小即可； （2）求出，据此得出结论即可； 【详解】（1）解：设， 则． 所以，； （2）略 8．无论取何实数，二次三项式有最大值23 【分析】将配方成，然后结合平方的非负性求解即可． 【详解】解： ， 无论取何实数，总有， ， ． ∴无论取何实数，二次三项式有最大值23． 9．(1) (2) (3)8 【分析】（1）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）仿照例题利用配方法求解即可； （3）过点F作于点H，证明，得到；设，则，则，据此可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，过点F作于点H， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为8． 10．(1)；1 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1），再根据完全平方公式进行配方； （2）将原式变形为，再由非负性求解； （3）利用作差法结合配方法求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ∵ ∴， ∴ ∴； （3）解：，理由如下： ∵ ∴， ∴ ∴． 11．(1) (2)见解析 【分析】（1）通过计算并判断的正负性，即可比较的大小； （2）利用整式的加减运算法则表示出，再利用配方法整理得，最后利用非负数的性质即可证明． 【详解】（1）解：， ∴ ， ∴； （2）证明：∵， ∴ ， ∵， ∴， 即， ∴不可能小于0． 12．(1) (2)2 (3)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）利用配方法进行因式分解即可； （2）利用配方法和完全平方的非负性进行求解即可； （3）利用配方法和非负性进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵， ∴ ； ∴代数式的最小值是2； （3）解：， ， ， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 13．(1) (2)最小值为3 (3) 解： ， ∵， ∴， ∴ ∴不论x为何值；代数式的值总是正数． 【分析】（1）先配方，再由完全平方和绝对值的非负性求解即可； （2）将原式配方成，即可求解最小值； （3）将原式配方成，即可求解． 【详解】（1）解： ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解： ∵ ∴ ∴的最小值为3； （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $