21.2.1一元二次方程的解法—直接开平方法、因式分解法2026-2027学年九年级数学上册华东师大版

**基本信息** 聚焦一元二次方程两种核心解法，以降次思想为主线，构建"概念-步骤-应用"三阶方法体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接开平方法|14题（含新定义运算）|平方根意义→方程形式分类→三步降次法（化形-开方-求解）|从平方根概念生成解法，通过根的三种情况建立逻辑闭环| |因式分解法|15题（含十字相乘法）|"一移二分三化四解"四步法，结合提公因式/十字相乘技巧|以因式分解原理为基础，通过对比错误解法（如甲同学漏解）深化降次本质|

第21章21.2.1 一元二次方程的解法—直接开平方法、因式分解法 知识点1 直接开平方法解一元二次方程 1. 非负数a的算术平方根为，平方根为． 例如：144的算术平方根为，平方根为． 2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1)将方程化为p或的形式； （2)直接开平方化为两个一元一次方程； （3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 【题型练习】 1．如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．若方程的两根为a和b，且，则下列结论中正确的是（     ） A．a与b相等 B．a与b互为相反数 C．是17的算术平方根 D．是17的算术平方根 3．若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 5．解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（    ） A． B． C． D． 6．方程的根为________． 7．方程的解为___________． 8．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解为____________． 9．已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为__________． 10．若一元二次方程的两个根分别是与，则 ____． 11．用直接开平方法解一元二次方程，要把方程化为或的形式． （1）当时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根__________，．当时，方程有两个相等的实数根． （2）当__________时，因为对任意实数，都有，所以方程无实数根． 12．解下列方程： (1)； (2)． 13．解下列方程： (1)． (2)． 14．爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法．如：解方程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或． 所以，原方程的解为：，． (1)下面是小强同学用发现的新解法解方程时，写的解题过程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 请直接写出上述过程中的，的值及方程的根； (2) 请用小强同学发现的新解法解方程：． 知识点2 因式分解法解一元二次方程 1. 先因式分解，使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2. 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式 3. 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 一移 使方程的右边为0 二分 将方程的左边因式分解 三化 将方程化为两个一元一次方程 四解 写出方程的两个解 【题型练习】 1．用因式分解法解方程，下列方法正确的是（    ） A．，或 B．，或 C．，或 D．， 2．方程的根是（     ） A． B． C． D． 3．已知一个一元二次方程的二次项系数为，两个根分别为，，则这个方程为（     ）． A． B． C． D． 4．已知一元二次方程的两根为、，且，则（     ） A． B． C． D． 5．某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程，解答过程如下所示： 甲同学 乙同学 两边同时除以x，得． 移项，得，． 或，解得，． 其中完全正确的是（    ） A．甲同学 B．乙同学 C．都正确 D．都不正确 6．已知关于的一元二次方程的两个根分别是5和1，则的值为________． 7．将4个数，，，排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫作2阶行列式，若，则________． 8．已知关于的一元二次方程，则该一元二次方程的解为________． 9．因式分解法就是把一元二次方程的一边化为____，另一边分解成两个一次因式的________的形式，让两个一次因式分别等于____，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，得到的两个根就是原方程的两个根． 10．一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个是，则另一个是_______． 11．结合因式分解法写出一个两个实数根分别为2和的一元二次方程：______ 12．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 13．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．用整式乘法的逆运算来进行因式分解，我们把这种方法叫作十字相乘法，即． 例如：分解因式时，，即： 这样我们就可以把分解为．试用十字相乘法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．根据多项式乘法可知，从而我们可得利用十字相乘法进行因式分解的公式，比如：．据此回答下列问题： (1)将二次三项式分解因式； (2)解一元二次方程； (3)某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程．如：，方程左边分解为，从而可以快速求出方程的解． 请你利用此方法尝试解方程． 第21章21.2.1 一元二次方程的解法—直接开平方法因式分解法答案与详细解析 知识点1 直接开平方法解一元二次方程 1．D 【分析】根据非负数的性质，建立不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程可以用直接开平方法求解，， ∴， 解得． 2．C 【分析】先直接用开平方法求出一元二次方程的两根，根据确定a、b的值，再判断各选项的说法是否正确． 【详解】解：解方程， 解得，， ，， A、，A选项错误； B、a与b不是互为相反数，B选项错误； C、，是17的算术平方根，C选项正确； D、，不是17的算术平方根，D选项错误． 3．C 【分析】先将已知根代入原方程得到与的关系，再代入所求方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴，且， 将代入方程，得， ∵，两边同除以得， 即， 开方得或， 解得或， 即方程的根为或． 4．D 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解，即可． 【详解】解：， 化简得， 两边直接开平方，得， 解得． 故选：D． 5．B 【分析】根据正数的平方根互为相反数的性质，即可推出另一个一元一次方程． 【详解】解：原方程为，对等式两边开平方可得，或， 故另一个方程为． 6．， 【详解】解： 移项得 开平方得 解得，． 7．， 【分析】运用直接开平方法即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 8． 【分析】根据新定义的运算规则，将原方程转化为一元二次方程，再利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 9． 【分析】根据常数项为0列出方程求出k的值，根据一元二次方程的定义可知二次项系数不为，求解即可得到的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的常数项为0， ∴， 解得或， ∵二次项系数不为0， ∴， ∴， ∴． 10．2 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法求解． 利用直接开平方法得到，得到方程的两个根互为相反数，所以，解得，则方程的两个根分别是与，则有． 【详解】解：∵， ∴ ， 解得， ∴两根互为相反数， ∵一元二次方程的两个根分别是与， ∴， 解得， ∴一元二次方程的两个根分别是和， ∴， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查直接开方法解一元二次方程的解的情况，熟练掌握直接开平方法是解题的关键；根据平方根的定义和实数的性质，当时，方程有两个互为相反数的实数根；当时，方程有一个重根；当时，方程无实数根，然后问题可求解． 【详解】解：对于一元二次方程，根据平方根的意义： 当时，方程有两个不等的实数根，即，因此； 当时，方程有两个相等的实数根，即； 当时，由于对任意实数x，都有，因此方程无实数根； 故答案为，＜． 12．(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得，； （2）解：， ， 或， 解得，． 13．(1)， (2)， 【分析】（1）利用直接开方法求出的值即可； （2）先化简，再利用直接开方法求出的值即可． 【详解】（1）解：直接开平方，得， 解得，． （2）解：方程可化为， 则， 直接开平方，得， 解得，． 14．(1)，，， (2)， 【详解】（1）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 即，，，； （2）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 知识点2 因式分解法解一元二次方程 1．A 【分析】本题主要考查利用因式分解法解方程，解题需抓住两个关键点：方程右边是否为0，是否遗漏为0的因式． 【详解】解：A选项中，∵，∴或，方法正确； B、C选项中，方程右边不为0，不能直接令因式分别等于右侧的数，方法均错误； D选项中，∵，∴或，选项遗漏的情况，方法错误； 故选：A． 2．C 【分析】移项后提取公因式，用因式分解法求解． 【详解】解：移项，得， 提取公因式，得， 或， 解得． 3．A 【分析】解出每个选项一元二次方程的根，再一一辨别即可． 【详解】A：，两个根分别为，符合题意； B：，两个根分别为，不符合题意， C：，两个根分别为，不符合题意， D：，两个根分别为，不符合题意． 4．B 【分析】利用因式分解法求解一元二次方程，再根据确定两根的值，代入计算即可得到结果. 【详解】解： ， 或 解得，， ， ，， ∴. 5．B 【分析】根据因式分解法解一元二次方程求解判断即可． 【详解】解：依题意，甲同学的解法错误，方程两边不能同时除以x，这样会漏解； 乙同学利用解一元二次方程方法—因式分解法，计算正确， 因此完全正确的是乙同学． 6． 【详解】解：， ∴或， 解得，， ∵方程的两个根分别是和， ∴． 7． 【分析】根据新定义先化简方程，再解方程即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得． 8．， 【分析】先移项，再运用因式分解法求解该方程即可． 【详解】解：， 移项，得：， 提取公因式，因式分解得：， 或， 解得，． 9． 0 乘积 0 【分析】根据一元二次方程的解法，可知因式分解法就是把一元二次方程的化为ab=0的形式，让两个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，得到的两个根就是原方程的两个根． 【详解】解：因式分解法就是把一元二次方程的一边0，另一边分解成两个一次因式的乘积的形式，让两个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，得到的两个根就是原方程的两个根． 故答案为：0；乘积；0． 【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，关键是明确方程化为ab=0的形式，在解题中有广泛的应用． 10． 【分析】本题考查一元二次方程的解法，关键是采用恰当的方法解方程；用因式分解法解方程，利用零乘积性质将方程转化为两个一元一次方程． 【详解】解： ， 或， 故答案为：． 11．（答案不唯一） 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程． 根据给定实数根，利用因式分解法构造一元二次方程即可. 【详解】解：由根为和，可得方程因式分解形式为，展开后得， 故答案为（答案不唯一）． 12．(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解与直接开平方法解方程即可． （1）把方程化为，直接利用开平方法把方程化为或，再解两个一次方程即可． （2）等号右边的各项移到左边，将方程左边提出公因式分解因式后得到，再化为两个一次方程，再解方程即可． （3）方程左边因式分解可得，再化为两个一次方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：原方程可化为， 开平方得：或， 解得：． （2）解：原方程可化为， 因式分解得：， 即：或 解得：． （3）解：原方程可化为， 即：或， 解得：． 13．(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： ∴或， 解得，； （2）解： 或 解得，； （3）解： 则或， 解得，； （4）解： 整理得， 或， 解得，； 14．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： 或 解得； （2）解： 或 解得； （3）解： 或 解得； （4）解： 或 解得． 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用十字相乘法进行分解即可； （2）把方程左边利用十字相乘法进行因式分解，将原方程化为两个一次方程即可求解； （3）把方程左边利用十字相乘法进行因式分解，将原方程化为两个一次方程即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：， 或 ，； （3）解：， ， 或， ，． 学科网（北京）股份有限公司 $